PAGEPAGE1第11章算法復(fù)數(shù)推理與證明第3講A組基礎(chǔ)關(guān)1．由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則：①“mn＝nm”類比得到“a·b＝b·a”；②“(m＋n)t＝mt＋nt”類比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；③“(m·n)t＝m(n·t)”類比得到“(a·b)c＝a(b·c)”；④“t≠0，mt＝xt?m＝x”類比得到“p≠0，a·p＝x·p?a＝x”；⑤“|m·n|＝|m||n|”類比得到“|a·b|＝|a||b|”；⑥“eq\f(ac,bc)＝eq\f(a,b)”類比得到“eq\f(a·c,b·c)＝eq\f(a,b)”．以上式子中，類比得到的結(jié)論正確的個數(shù)是()A．1B．2C．3D．4答案B解析∵向量的數(shù)量積滿意交換律，∴①正確；∵向量的數(shù)量積滿意安排律，∴②正確；∵向量的數(shù)量積不滿意結(jié)合律，∴③不正確；∵向量的數(shù)量積不滿意消去律，∴④不正確；由向量的數(shù)量積公式，可知⑤不正確；∵向量的數(shù)量積不滿意消去律，∴⑥不正確；綜上知，正確的個數(shù)為2個，故B正確．2．在用演繹推理證明通項公式為an＝cqn(cq≠0)的數(shù)列{an}是等比數(shù)列的過程中，大前提是()A．a(chǎn)n＝cqnB.eq\f(an,an－1)＝q(n≥2)C．若數(shù)列{an}滿意eq\f(an＋1,an)(n∈N*)是常數(shù)，則{an}是等比數(shù)列D．若數(shù)列{an}滿意eq\f(an＋1,an)(n≥2)是常數(shù)，則{an}是等比數(shù)列答案C解析證明一個數(shù)列是等比數(shù)列的依據(jù)是等比數(shù)列的定義，其公式表示為eq\f(an＋1,an)(n∈N*)或eq\f(an,an－1)(n≥2)是常數(shù)．3．(2024·江西南昌模擬)已知13＋23＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,2)))2,13＋23＋33＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,2)))2,13＋23＋33＋43＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20,2)))2，…，若13＋23＋33＋43＋…＋n3＝3025，則n＝()A．8B．9C．10D．11答案C解析視察所供應(yīng)的式子可知，等號左邊最終一個數(shù)是n3時，等號右邊的數(shù)為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(nn＋1,2)))2，因此，令eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(nn＋1,2)))2＝3025，則eq\f(nn＋1,2)＝55，n＝10或n＝－11(舍去)．4.(2024·山西孝義期末)我們知道：在平面內(nèi)，點(x0，y0)到直線Ax＋By＋C＝0的距離公式d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))，通過類比的方法，可求得：在空間中，點(2,4,1)到直線x＋2y＋2z＋3＝0的距離為()A．3B．5C.eq\f(5\r(21),7)D．3eq\r(5)答案B解析利用類比的方法，在空間中，點(x0，y0，z0)到直線Ax＋By＋Cz＋D＝0的距離d′＝eq\f(|Ax0＋By0＋Cz0＋D|,\r(A2＋B2＋C2))，所以點(2,4,1)到平面x＋2y＋2z＋3＝0的距離d＝eq\f(2＋8＋2＋3,\r(1＋4＋4))＝eq\f(15,3)＝5.5．將自然數(shù)0,1,2，…依據(jù)如下形式進(jìn)行擺列：依據(jù)以上規(guī)律判定，從2024到2024的箭頭方向是()答案B解析看作一個循環(huán)體，又因為2024＝504×4.所以從2024到2024的箭頭方向是.6．(2024·安徽江淮十校三聯(lián))我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中割圓術(shù)有：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不行割，則與圓周合體而無所失矣．”其體現(xiàn)的是一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程，比如在eq\r(2＋\r(2＋\r(2＋…)))中“…”即代表無限次重復(fù)，但原式卻是個定值x，這可以通過方程eq\r(2＋x)＝x確定x＝2，則1＋eq\f(1,1＋\f(1,1＋…))＝()A.eq\f(－\r(5)－1,2)B.eq\f(\r(5)－1,2)C.eq\f(1＋\r(5),2)D.eq\f(1－\r(5),2)答案C解析1＋eq\f(1,1＋\f(1,1＋…))＝x，即1＋eq\f(1,x)＝x，即x2－x－1＝0，解得x＝eq\f(1＋\r(5),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1－\r(5),2)舍去))，故1＋eq\f(1,1＋\f(1,1＋…))＝eq\f(1＋\r(5),2)，故選C.7．(2024·陜西一模)設(shè)△ABC的三邊長分別為a，b，c，△ABC的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則r＝eq\f(2S,a＋b＋c)，類比這個結(jié)論可知，四面體S－ABC的四個面的面積分別為S1，S2，S3，S4，內(nèi)切球半徑為R，四面體S－ABC的體積為V，則R等于()A.eq\f(V,S1＋S2＋S3＋S4)B.eq\f(2V,S1＋S2＋S3＋S4)C.eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4)D.eq\f(4V,S1＋S2＋S3＋S4)答案C解析設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為O，則球心O到四個面的距離都是R，由平面圖形中r的求解過程類比空間圖形中R的求解過程可得四面體的體積等于以O(shè)為頂點，分別以四個面為底面的4個三棱錐體積的和，則四面體的體積為V＝V四面體S－ABC＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)R，所以R＝eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4).故選C.8．(2024·湖北八校聯(lián)考)二維空間中，圓的一維測度(周長)l＝2πr，二維測度(面積)S＝πr2；三維空間中，球的二維測度(表面積)S＝4πr2，三維測度(體積)V＝eq\f(4,3)πr3.應(yīng)用合情推理，若四維空間中，“超球”的三維測度V＝8πr3，則其四維測度W＝________.答案2πr4解析在二維空間中，圓的二維測度(面積)S＝πr2，則其導(dǎo)數(shù)S′＝2πr，即為圓的一維測度(周長)l＝2πr；在三維空間中，球的三維測度(體積)V＝eq\f(4,3)πr3，則其導(dǎo)數(shù)V′＝4πr2，即為球的二維測度(表面積)S＝4πr2；應(yīng)用合情推理，在四維空間中，“超球”的三維測度V＝8πr3，則其四維測度W＝2πr4.9．(2024·重慶調(diào)研)甲、乙、丙三人各從圖書館借來一本書，他們約定讀完后相互交換．三人都讀完了這三本書之后，甲說：“我最終讀的書與丙讀的其次本書相同．”乙說：“我讀的其次本書與甲讀的第一本書相同．”依據(jù)以上說法，推斷乙讀的最終一本書是________讀的第一本書．答案丙解析因為共有三本書，而乙讀的第一本書與其次本書已經(jīng)明確，只有丙讀的第一本書乙還沒有讀，所以乙讀的最終一本書是丙讀的第一本書．10．已知點A(x1，ax1)，B(x2，ax2)是函數(shù)y＝ax的圖象上隨意不同的兩點，依據(jù)圖象可知，線段AB總是位于A，B兩點之間函數(shù)圖象的上方，因此有成立．運(yùn)用類比思想方法可知，若點A(x1，sinx1)，B(x2，sinx2)是函數(shù)y＝sinx(x∈(0，π))圖象上隨意不同的兩點，則類似地有______________成立．答案eq\f(sinx1＋sinx2,2)<sineq\f(x1＋x2,2)解析由題意知，點A，B是函數(shù)y＝ax的圖象上隨意不同的兩點，該函數(shù)是一個改變率漸漸變大的函數(shù)，線段AB總是位于A，B兩點之間函數(shù)圖象的上方，因此有成立；而函數(shù)y＝sinx(x∈(0，π))，其改變率漸漸變小，線段AB總是位于A，B兩點之間函數(shù)圖象的下方，故可類比得到結(jié)論eq\f(sinx1＋sinx2,2)<sineq\f(x1＋x2,2).B組實力關(guān)1．已知從1起先的連續(xù)奇數(shù)蛇形排列形成寶塔形數(shù)表，第一行為1，其次行為3,5，第三行為7,9,11，第四行為13,15,17,19，如圖所示，在寶塔形數(shù)表中位于第i行，第j列的數(shù)記為ai，j，比如a3,2＝9，a4,2＝15，a5,4＝23，若ai，j＝2024，則i＋j＝()1351197131517192927252321……A．64B．65C．71D．72答案C解析依據(jù)數(shù)表排列可得，第1行到第i行末共有1＋2＋…＋i＝eq\f(i1＋i,2)個奇數(shù)，所以第1行到第44行末共有990個奇數(shù)，到第45行末共有1035個奇數(shù)，又(2024＋1)÷2＝1010，即2024是第1010個奇數(shù)，所以2024在第45行，即i＝45.因為第45行第一個奇數(shù)是整體數(shù)表的第991個數(shù)，即為991×2－1＝1981，所以1981＋2(x－1)＝2024，解得x＝20，又第45行奇數(shù)從右到左依次遞增，所以j＝45＋1－20＝26，所以i＋j＝71.2．已知f(x)＝eq\f(2x,2－x)，設(shè)f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1[fn－1(x)](n>1，n∈N*)，若fm(x)＝eq\f(x,1－256x)(m∈N*)，則m＝()A．9B．10C．11D．126答案B解析由題意可得f2(x)＝f1[f1(x)]＝f1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x,2－x)))＝eq\f(2×\f(2x,2－x),2－\f(2x,2－x))＝eq\f(x,1－x)，同理可得，f3(x)＝eq\f(x,1－2x)，f4(x)＝eq\f(x,1－4x)，f5(x)＝eq\f(x,1－8x)，…，fn(x)＝eq\f(x,1－2n－2x)，由fm(x)＝eq\f(x,1－256x)(m∈N*)恒成立，可得2m－2＝256＝28，即有m－2＝8，即m＝10.3．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*)，試歸納猜想出Sn的表達(dá)式為()A．Sn＝eq\f(2n,n＋1) B．Sn＝eq\f(2n－1,n＋1)C．Sn＝eq\f(2n＋1,n＋1) D．Sn＝eq\f(2n,n＋2)答案A解析∵Sn＝n2an＝n2(Sn－Sn－1)，∴Sn＝eq\f(n2,n2－1)·Sn－1，又S1＝a1＝1，則S2＝eq\f(4,3)，S3＝eq\f(3,2)＝eq\f(6,4)，S4＝eq\f(8,5).∴猜想得Sn＝eq\f(2n,n＋1)，故選A.4．(2024·全國卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問成語競賽的成果．老師說：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成果，給乙看丙的成果，給丁看甲的成果．看后甲對大家說：我還是不知道我的成果．依據(jù)以上信息，則()A．乙可以知道四人的成果B．丁可以知道四人的成果C．乙、丁可以知道對方的成果D．乙、丁可以知道自己的成果答案D解析由甲說：“我還是不知道我的成果”可推知甲看到乙、丙的成果為“1個優(yōu)秀，1個良好”．乙看丙的成果，結(jié)合甲的說法，丙為“優(yōu)秀”時，乙為“良好”；丙為“良好”時，乙為“優(yōu)秀”，可得乙可以知道自己的成果．丁看甲的成果，結(jié)合甲的說法，甲為“優(yōu)秀”時，丁為“良好”；甲為“良好”時，丁為“優(yōu)秀”，可得丁可以知道自己的成果．故選D.5．(2024·黑龍江檢測)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差數(shù)列．類比以上結(jié)論我們可以得到的一個真命題為：設(shè)等比數(shù)列{bn}的前n項積為Tn，則________________成等比數(shù)列．答案T4，eq\f(T8,T4)，eq\f(T12,T8)，eq\f(T16,T12)解析設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q，首項為b1，則T4＝beq\o\al(4,1)q6，T8＝beq\o\al(8,1)q1＋2＋…＋7＝beq\o\al(8,1)q28，T12＝beq\o\al(12,1)q1＋2＋…＋11＝beq\o\al(12,1)q66，T16＝beq\o\al(16,1)q1＋2＋…＋15＝beq\o\al(16,1)q120，∴eq\f(T8,T4)＝beq\o\al(4,1)q22，eq\f(T12,T8)＝beq\o\al(4,1)q38，eq\f(T16,T12)＝beq\o\al(4,1)q54，故T4，eq\f(T8,T4)，eq\f(T12,T8)，eq\f(T16,T12)成等比數(shù)列．6．如圖，平面上，點A，C為射線PM上的兩點，點B，D為射線PN上的兩點，則有eq\f(S△PAB,S△PCD)＝eq\f(PA·PB,PC·PD)(其中S△PAB，S△PCD分別為△PAB，△PCD的面積)；空間中，點A，C為射線PM上的兩點，點B，D為射線PN上的兩點，點E，F(xiàn)為射線PL上的兩點，則有eq\f(VP－ABE,VP－CDF)＝________(其中VP－ABE，VP－CDF分別為四面體P－ABE，P－CDF的體積)．答案eq\f(PA·PB·PE,PC·PD·PF)解析設(shè)PM與平面PDF所成的角為α，則A到平面PDF的距離h1＝PAsinα，C到平面PDF的距離h2＝PCsinα，∴VP－ABE＝VA－PBE＝eq\f(1,3)S△PBE·h1，VP－CDF＝VC－PDF＝eq\f(1,3)S△PDF·h2，∴eq\f(VP－ABE,VP－CDF)＝eq\f(\f(1,3)S△PBE·h1,\f(1,3)S△PDF·h2)＝eq\f(\f(1,3)PB·PE·PAsinα,\f(1,3)PD·PF·PCsinα)＝eq\f(PA·PB·PE,PC·PD·PF).7．如圖，將邊長分別為1,2,3的正八邊形疊