山西、陜西、寧夏、青海四省區(qū)普通高中新高考2025屆高三質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．已知向量．若，則的值為（

）A．10 B．6 C．3 D．3．“”是“復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．的展開式的第3項(xiàng)的系數(shù)是（

）A． B．15 C．20 D．5．設(shè)，則（

）A． B．C． D．6．已知函數(shù)，則在上的最大值為（

）A． B． C．0 D．17．已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，其終邊與圓交于點(diǎn)．若點(diǎn)沿著圓的圓周按逆時(shí)針方向移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．8．已知雙曲線的焦距為，左、右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)作斜率不為0的直線與雙曲線的左、右支分別交于兩點(diǎn)．若的內(nèi)切圓與直線相切于點(diǎn)，且，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)為，下列說(shuō)法正確的是（

）A．該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為6B．該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5C．該組數(shù)據(jù)的方差為D．該組數(shù)據(jù)的第45百分位數(shù)為410．將函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則下列命題正確的是（

）A．的最小正周期為36B．C．為偶函數(shù)D．在上共有5個(gè)極值點(diǎn)11．在四棱錐中，，四邊形是平行四邊形，分別為棱的中點(diǎn)，，點(diǎn)在平面的射影恰好是棱的中點(diǎn)，則（

）A．平面B．線段的長(zhǎng)為C．三棱錐的外接球的表面積為D．平面與平面夾角的余弦值為三、填空題（本大題共3小題）12．若的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，則，的面積為．13．已知點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，且的最小值為3，則，圓的半徑．14．設(shè)函數(shù)，函數(shù)．若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若恒成立，求的取值范圍．16．如圖，在正四棱柱中，為棱的中點(diǎn)，．(1)證明：平面．(2)求的值．(3)求直線與平面所成角的正弦值．17．如圖，點(diǎn)，，，，均在直線上，且，質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)均從點(diǎn)出發(fā)，兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)每次都只能向左或向右移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度，兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)時(shí)向左移動(dòng)的概率均為，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)均移動(dòng)2次.已知每個(gè)質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)2次后到達(dá)的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的積分如下表所示，設(shè)隨機(jī)變量為兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)各自移動(dòng)2次后到達(dá)的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的積分之和.積分0100200(1)求質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)2次后到達(dá)的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的積分為0的概率；(2)求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.18．已知分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，均為橢圓上異于頂點(diǎn)的點(diǎn)，為橢圓上的點(diǎn)，直線經(jīng)過左焦點(diǎn)，直線經(jīng)過右焦點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)試問是否為定值？若是定值，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)設(shè)的面積與的面積分別為，求的最小值．19．已知集合，集合滿足，當(dāng)取不同值時(shí)，各不相同．記的所有元素之和為，將數(shù)列的所有項(xiàng)重新排列為，使得．(1)當(dāng)時(shí)，求．(2)當(dāng)時(shí)，證明：成等差數(shù)列．(3)設(shè)，證明：．

參考答案1．【答案】C【詳解】因?yàn)?，又，所?故選C.2．【答案】A【詳解】由題設(shè)，則，可得.故選A.3．【答案】A【詳解】若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，則，所以，故“”是“復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限”的充分不必要條件.故選A.4．【答案】B【詳解】由題設(shè)，展開式通項(xiàng)為，，所以，即第3項(xiàng)的系數(shù)是15.故選B.5．【答案】C【詳解】因?yàn)?，，，所?故選C.6．【答案】C【詳解】，令，則，則，且，則因，則，則，又，則，即，則在上單調(diào)遞增，則的最大值為.故選C.7．【答案】B【詳解】因?yàn)榻堑捻旤c(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，其終邊與圓交于點(diǎn)，所以圓半徑，所以，因?yàn)辄c(diǎn)沿著圓的圓周按逆時(shí)針方向移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)，所以，所以.故選B.8．【答案】D【詳解】設(shè)的內(nèi)切圓分別切于點(diǎn)，則，，因?yàn)?，所以，得，所以，即，①因?yàn)?，所以，即，②，所以①②，得，得，因?yàn)?，所以，所以，所以雙曲線的漸近線方程為，即.故選D.

9．【答案】BC【詳解】將數(shù)據(jù)，，，，，從小到大排序?yàn)?，，，，?這組數(shù)據(jù)有個(gè)，是偶數(shù)個(gè)，所以中位數(shù)為，故選項(xiàng)錯(cuò)誤.該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故選項(xiàng)正確.已知該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則方差為：，故選項(xiàng)正確.由于，2.7不是整數(shù)，向上取整為，所以第45百分位數(shù)是第個(gè)數(shù)，即，故選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選BC.10．【答案】ACD【詳解】對(duì)于A，的最小正周期為，A正確；對(duì)于B，將函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度可得：，B錯(cuò)誤，對(duì)于C，因?yàn)?，所以為偶函?shù)，C正確，對(duì)于D，令，可得，解得：，由，可得的取值有，共有5個(gè)極值點(diǎn)，D正確；故選ACD.11．【答案】ABD【詳解】對(duì)于A，取線段的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)槔獾闹悬c(diǎn)，則為的中位線，則，且，因?yàn)槔獾闹悬c(diǎn)，且四邊形是平行四邊形，則且，則且，則四邊形是平行四邊形，則，又平面，平面，則平面，故A正確；對(duì)于B，取分別取線段、的中點(diǎn)、，連接、、，由于為的中位線，則，且，由于為的中位線，則，且，又因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，則，且，則，且，則四邊形是平行四邊形，則，因，則，則，即，故B正確；對(duì)于C，因點(diǎn)在平面的射影恰好是棱的中點(diǎn)，則以為原點(diǎn)，分別以平行于、的直線為軸、軸，以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，在中，，則，則，則，設(shè)三棱錐的外接球的球心，半徑為，則，解得，則外接球的表面積為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由C選項(xiàng)可知，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則得，容易知平面的法向量為，則，則平面與平面夾角的余弦值為，故D正確.故選ABD.12．【答案】/【詳解】因?yàn)?，由正弦定理，可得，又因?yàn)椋傻?，所以，即，因?yàn)椋傻?，又因?yàn)?，所以的面積為.13．【答案】41【詳解】根據(jù)題意，得，解得，因?yàn)閳A心恰好為拋物線的焦點(diǎn)，則，又，所以點(diǎn)在圓的外部，所以，則，解得.14．【答案】【詳解】令函數(shù)，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，令函數(shù)，由恰有兩個(gè)零點(diǎn)，得函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)的圖象與直線，直線恒過定點(diǎn)，觀察圖象，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與直線恒有兩個(gè)交點(diǎn)，則；當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，則；當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，，于是，解得，則，所以的取值范圍為.15．【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為(2).【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，由，得；由，得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，由不等式恒成立，得，解得，所以的取值范圍是.16．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【詳解】（1）在正四棱柱中，易知平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，，平面，所以平?（2）在正四棱柱中，易知四邊形為矩形，四邊形為正方形，則，由為的中點(diǎn)，則，由，易知，則，可得，解得.（3）由（1）可知為平面的一個(gè)法向量，易知，由圖可得，在正四棱柱中，易知兩兩垂直，，，所以，，，設(shè)直線與平面的夾角為，則.17．【答案】(1)(2)分布列見解析，200【詳解】（1）設(shè)事件為“質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)2次后到達(dá)的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的積分為0”，由題意可知點(diǎn)兩次移動(dòng)后在點(diǎn)，又起點(diǎn)為點(diǎn)，即的移動(dòng)一次向左一次向右，所以.（2）的所有可能取值為，，0，200，400.，，，，，所以隨機(jī)變量的分布列為0200400.18．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）依題意可得：，解得，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）

易得，，設(shè)，，則，所以得，，同理可得，則.（3）由（2）易得由，得因?yàn)樗?，解得?舍去)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.19．【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，集合，其子集及其對(duì)應(yīng)的為：①空集：；②：；③：；④：；重新排列之后：；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)，其中，，