2025屆固始縣永和高中、外國語高中二模聯(lián)考高三數(shù)學(xué)試題卷注意事項:本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分?？荚嚂r間120分鐘，滿分150分?？忌鷳?yīng)首先閱讀答題卡上的文字信息，然后在答題卡上作答，在試題卷上作答無效。交卷時只交答題卡。第I卷(選擇題，共58分)一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分。每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的，請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上。）1．已知集合，則A的子集個數(shù)為（

）A．4 B．7 C．8 D．162．在復(fù)數(shù)集中，我們把實部與實部相等，虛部與虛部互為相反數(shù)的一對具有孿生關(guān)系的復(fù)數(shù)記為和，他們也是實系數(shù)一元二次方程（）在判別式小于0時的兩個復(fù)數(shù)根，我們將這種關(guān)系定義為共（

）A．額 B．呃 C．扼 D．軛3．記等差數(shù)列的前項和為，已知，則（

）A．33 B．44 C．55 D．664．在△中，角，，所對的邊分別為，，，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件5．已知公比不為1的等比數(shù)列的前項和為，若數(shù)列是首項為1的等差數(shù)列，則（

）A． B． C． D．6．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為是上一點(diǎn)，是直線與的一個交點(diǎn)，若，則（

）A． B．3 C． D．27．若，且與存在且唯一，則（

）A．2 B．4 C． D．8．已知是奇函數(shù)，則在處的切線方程是（

）A． B． C． D．二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9．星等是衡量天體光度的量.為了衡量星星的明暗程度，古希臘天文學(xué)家喜帕恰斯（又名依巴谷）在公元前二世紀(jì)首先提出了星等這個概念，例如，1等星的星等值為1，等星的星等值為.已知兩個天體的星等值，和它們對應(yīng)的亮度，滿足關(guān)系式，關(guān)于星等下列結(jié)論正確的是（

）A．星等值越小，星星就越亮B．1等星的亮度恰好是6等星的100倍C．若星體甲與星體乙的星等值的差小于2.5，則星體甲與星體乙的亮度的比值小于D．若星體甲與星體乙的星等值的差大于10，則星體甲與星體乙的亮度的比值小于10．如圖是一塊高爾頓板示意圖，在一塊木板上釘著若干排互相平行但相互錯開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ溃懊鎿跤幸粔K玻璃，將小球從頂端放入，小球在下落過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子從左到右分別編號為0，1，2，3，…，10，用X表示小球落入格子的號碼，則（

）A． B．C． D．11．已知復(fù)數(shù)滿足，（為虛數(shù)單位），是方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的兩根，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小值為 B．的最小值為4C．當(dāng)時，則 D．當(dāng)時，則第II卷(非選擇題，共92分)三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共計15分）12．經(jīng)過橢圓的右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)的直線斜率為，則的離心率為.13．如圖，圓柱的軸截面為矩形，點(diǎn)，分別在上、下底面圓上，，，，，則異面直線AM與CN所成角的余弦值為.14．若直線與曲線相切，則的取值范圍為.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15．(13分)如圖，在多面體中，，，，平面，，，.(1)求證：直線平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離.16．(15分)某高新技術(shù)企業(yè)新研發(fā)出了一種產(chǎn)品，該產(chǎn)品由三個電子元件構(gòu)成，這三個電子元件在生產(chǎn)過程中的次品率分別為，組裝過程中不會造成電子元件的損壞，若有一個電子元件是次品，則該產(chǎn)品為次品.現(xiàn)安排質(zhì)檢員對這批產(chǎn)品一一檢查，確保無任何一件次品流入市場.(1)若質(zhì)檢員檢測出一件次品，求該產(chǎn)品僅有一個電子元件是次品的概率;(2)現(xiàn)有兩種方案，方案一:安排三個質(zhì)檢員先行檢測這三個元件，次品不進(jìn)入組裝生產(chǎn)線;方案二:安排一個質(zhì)檢員檢測成品，一旦發(fā)現(xiàn)次品，則取出重新更換次品的電子元件，更換電子元件的費(fèi)用為20元/個.已知每個質(zhì)檢員每月的工資約為3000元，該企業(yè)每月生產(chǎn)該產(chǎn)品件，請從企業(yè)獲益的角度選擇最優(yōu)方案.17．(15分)已知橢圓的離心率為，以C的短軸為直徑的圓與直線相切.(1)求C的方程；(2)直線：與C相交于A，B兩點(diǎn)，過C上的點(diǎn)P作x軸的平行線交線段AB于點(diǎn)Q，直線OP的斜率為（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），△APQ的面積為.的面積為，若，判斷是否為定值？并說明理由.18．(17分)已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，焦距為4，虛半軸長為1.如圖，直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限.與關(guān)于原點(diǎn)對稱，連接與，其中垂直于的平分線，垂足為.

(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求證：直線與直線的斜率之積為定值；(3)求的最小值.19．(17分)英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)的泰勒公式有如下特殊形式：當(dāng)在處的階導(dǎo)數(shù)都存在時，．注：表示的2階導(dǎo)數(shù)，即為的導(dǎo)數(shù)，表示的階導(dǎo)數(shù)，該公式也稱麥克勞林公式.(1)根據(jù)該公式估算的值，精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位；(2)由該公式可得：．當(dāng)時，試比較與的大小，并給出證明（不使用泰勒公式）；(3)設(shè)，證明：.2025屆固始縣永和高中、外國語高中二模聯(lián)考高三數(shù)學(xué)參考答案1234567891011CDDCDDBCABDADACD12．/13．/14．15．（1）因為，平面，平面，所以，所以，，兩兩垂直，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，所以，則，又因為平面所以直線平面.(7分)（2）由，得，，設(shè)平面的法向量為，則，令得，所以則平面與平面夾角的余弦值為(4分)（3）由于，平面的法向量，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，所以點(diǎn)到平面的距離為(2分)16．（1）記“質(zhì)檢員檢測出一件次品”為事件，“該產(chǎn)品僅有一個電子元件是次品”為.，，所以.(6分)（2）設(shè)一件產(chǎn)品中所含電子元件為次品的個數(shù)為，則可取，，，，所以，，，，則的分布列為0123所以.若選方案一，則企業(yè)每月支出質(zhì)檢員工資共元.若選方案二，則企業(yè)每月支出質(zhì)檢員工資和更換電子元件費(fèi)用共計.若

，則.所以當(dāng)且時，選方案一;當(dāng)且時，選方案二.(9分)17．（1）由橢圓的離心率為得：，即有，由以C的短軸為直徑的圓與直線相切得：，聯(lián)立解得，所以C的方程是.(4分)（2）為定值，且，因為，則，因此，而，有，于是平分，直線的斜率互為相反數(shù)，即，設(shè)，由得，，即有，而，則，即于是，化簡得：，且又因為在橢圓上，即，即，，從而，，又因為不在直線上，則有，即，所以為定值，且.(11分)18．（1）由題設(shè)，故，所以，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2分)（2）不妨設(shè)，因為點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以，易知直線的斜率存在，不妨設(shè)直線的斜率為，記，因為直線為的平分線，所以，因為兩點(diǎn)均在雙曲線上，所以，此時，則，同理得，因為，又，所以，整理得，則，故直線與直線的斜率之積為定值；(6分)（3）由（2）知，因為，所以，聯(lián)立，又，解得，所以，不妨設(shè)直線的方程為，因為點(diǎn)在直線上，解得，所以直線的方程為，易知，因為直線的斜率為，不妨設(shè)直線的方程為，因為點(diǎn)在直線上，解得，所以直線的方程為，聯(lián)立，消去并整理得，由韋達(dá)定理得，因為，所以，此時，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故當(dāng)