九年級(jí)學(xué)業(yè)水平考專題復(fù)習(xí)解答題—與圓有關(guān)的計(jì)算及證明專題1.(2024北京）如圖,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)C,D在⊙O上,OD平分∠AOC.(1)求證:OD//BC;(2)延長(zhǎng)DO交⊙O于點(diǎn)E,連接CE交OB于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P.若,PE=1,求⊙O半徑的長(zhǎng)。.2.(2024·浙江中考)如圖,在圓內(nèi)接四邊形ABCD中,AD<AC,∠ADC<∠BAD，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E,使AE=AC,延長(zhǎng)BA至點(diǎn)F,連接EF,使∠AFE=∠ADC.(1)若∠AFE=60°,CD為直徑,求∠ABD的度數(shù);(2)求證:①EF//BC;②EF=BD.3.(2024湖北)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,點(diǎn)E在AC上,以CE為直徑的⊙O經(jīng)過(guò)AB上的點(diǎn)D,與OB交于點(diǎn)F,且BD=BC.(1)求證:AB是OO的切線;(2)若AD=,AE=1,求EQ\o\ac(⌒,CF)的長(zhǎng).4.(2024山東)如圖,在四邊形ABCD中,AD//BC,∠DAB=60°,AB=BC=2AD=2.以點(diǎn)A為圓心,以AD為半徑作弧DE交AB于點(diǎn)E,以點(diǎn)B為圓心,以BE為半徑作弧EF交BC于點(diǎn)F,連接FD交弧EF于另一點(diǎn)G,連接CG.(1)求證:CG弧EF所在圓的切線;(2)求圖中陰影部分的面積.(結(jié)果保留π）5.(2024·福建)如圖，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D,AE⊥OC,垂足為E,BE的延長(zhǎng)線交AD于點(diǎn)F.(1)求的值;(2)求證:△AEB∽△BEC;(3)求證:AD與EF互相平分.解：(1)解:∵AB=AC,且AB是⊙O的直徑，∴AC=2AO，∵∠BAC=90°，∴在Rt△AOC中,tan∠AOC=∵AE⊥OC，∴在Rt△AOE中,tan∠AOC=∴(2)證明:過(guò)點(diǎn)B作BM//AE,交EO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，∴∠BAE=∠ABM,∠AEO=∠BMO=90°.∵AO=BO，∴△AOE≌△BOM(AAS)，∴AE=BM,OE=OM，∵∴BM=2OE=EM，∴∠MEB=∠MBE=45°，∵AB=AC,∠BAC=90°，∴∠ABC=45°，∴∠MBE=∠ABC=45o∴∠ABM=∠CBE，∵∠AEB=∠AEO+∠MEB=135°,∠BEC=180－∠MEB=135°，∴∠AEB=∠BEC，∴△AEB∽△BEC.(3)證明:連接DE,DF，∵AB是OO的直徑，∴∠ADB=∠AFB=90°,AB=2AO，∵AB=AC,∠BAC=90°，∴BC=2BD,∠DAB=45°，由(2)知,△AEB∽△BEC，∠EAO=∠EBD，∴△AOE∽△BDE，∴∠BED=∠AEO=90°,'∴∠DEF=90°,∴∠AFB=∠DEF,∴AF//DE,由(2)知,∠AEB=135°，∴.∠AEF=180°-∠AEB=45°.∴∠DFB=∠DAB=45°（同弧所對(duì)的圓周角相等）∴∠DFB=∠AEF=45°∴AE//FD,∴四邊形AEDF是平行四邊形，∴AD與EF互相平分.6.(2024·廣東）綜合與實(shí)踐[主題]濾紙與漏斗[素材]如圖(1)所示:①一張直徑為10cm的圓形濾紙;②一只漏斗口直徑與母線均為7cm的圓錐形過(guò)濾漏斗.[實(shí)踐操作]步驟1:取一張濾紙;步驟2:按如圖(2)所示步驟折疊好濾紙;步驟3:將其中一層撐開,圍成圓錐形;步驟4:將圍成圓錐形的濾紙放入如圖(1)所示漏斗中.[實(shí)踐探索](1)濾紙是否能緊貼此漏斗內(nèi)壁(忽略漏斗管口處)?用你所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)說(shuō)明.(2)當(dāng)濾紙緊貼漏斗內(nèi)壁時(shí),求濾紙圍成圓錐形的體積.(結(jié)果保留π)7.(2024·安徽)如圖,⊙O是△ABC的外接圓,D是直徑AB上一點(diǎn),∠ACD的平分線交AB于點(diǎn)E,交⊙O于另一點(diǎn)F,且FA=FE.(1)求證:CD⊥AB.(2)設(shè)FM⊥AB,垂足為M,若OM=OE=1,求AC的長(zhǎng).8.(2024.湖南)[問題背景]已知點(diǎn)A是半徑為r的⊙O上的定點(diǎn)，連接OA,將線段OA繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)(0°<<90°)得到OE,連接AE,過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線l,在直線l上取點(diǎn)C,使得∠CAE為銳角.[初步感知](1)如圖1,當(dāng)=60°時(shí),∠CAE=_________°;[問題探究]（2）以線段AC為對(duì)角線作矩形ABCD，使得邊AD過(guò)點(diǎn)E,連接CE,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)F.EQ\o\ac(○,1)如圖2,當(dāng)AC=2r時(shí),求證:無(wú)論a在給定的范圍內(nèi)如何變化,BC=CD+ED總成立;EQ\o\ac(○,2)如圖3.當(dāng)，時(shí),請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并求tan及的值.9.(2024遼寧）如圖,⊙O是△ABC的外接圓,AB是⊙o的直徑,點(diǎn)D在EQ\o\ac(⌒,BC)上,EQ\o\ac(⌒,AC)=EQ\o\ac(⌒,BD),點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上,∠CEA=∠CAD.(1)如圖1,求證:CE是⊙O的切線;(2)如圖2,若∠CEA=2∠DAB,OA=8,求EQ\o\ac(⌒,BD)的長(zhǎng).10.(2024·甘肅中考)如圖,AB是⊙O的直徑，EQ\o\ac(⌒,BC)=EQ\o\ac(⌒,BD),點(diǎn)E在AD的延長(zhǎng)線上,且∠ADC=∠AEB.(1)求證:BE是⊙O的切線;(2)當(dāng)⊙O1的半徑為2，BC=3時(shí)，求tan∠AEB的值.參考答案(1)證明:∵OD平分∠AOC,∴∠AOD=∠AOC.又∵∠B=∠AOC,∴∠B=∠AOD,∴OD//BC.(3分)(2)設(shè)⊙0的半徑為r.如圖,∵OD//BC,∴△EOF∽△CBF,∠1=∠2，則∴,即.過(guò)點(diǎn)O作OG⊥BC于點(diǎn)G,BG=，∴cos∠2=∵BP是⊙0的切線,切點(diǎn)為B，∴0B⊥PB,:.OB=OPcos∠1=OPcos∠2,:r=(r+1)x,解得r=故⊙O半徑的長(zhǎng)為.(1)30°.①如圖,延長(zhǎng)AB,∵四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形,∴∠CBM=∠ADC,又∵∠AFE=∠ADC,∴∠AFE=∠CBM,∴.EF//BC.②過(guò)點(diǎn)D作DG//BC交OO于點(diǎn)G,連結(jié)AG，CG,∵DG//BC,∴.EQ\o\ac(⌒,BD)=EQ\o\ac(⌒,CG),:.BD=CG,∵四邊形ACGD是圓內(nèi)接四邊形,∴∠GDE=∠ACG,.EF//DG,∴∠DEF=∠GDE,∴∠DEF=∠ACG,:∠AFE=∠ADC,∠ADC=∠AGC,∴∠AFE=∠AGC,∵AE=AC,∴△AEF≌△ACG(AAS),∴EF=CG,∴EF=BD.3、(1)證明:連接CD，則OD=OC在△OBC和△OBD中，OC=ODBC=BDOB=OB∴△OBC≌△OBD（SSS)∴∠ODB=∠ABC=900即AB⊥OD.又∵OD是的半徑，∴AB是的切線.(2)設(shè)⊙O的半徑為r,則OD=OE=r,∴.OA=AE+OE=1+r.在Rt△AOD中,AD=,由勾股定理得OA2=OD2+AD2,即(1+r)2=r2+()2,解得r=1,∴.0D=1,0A=2,即OD=OA,∴.∠A=30°(提示:若直角三角形的一條直角邊等于斜邊的一半,則這條邊所對(duì)的角是30°)，∴.∠AOD=60°，∴∠BOD=∠BOC=60°(提示:全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等)，即弧EQ\o\ac(⌒,CF)的長(zhǎng)為4、平行四邊形的判定與性質(zhì)+切線的判定+扇形的面積公式等邊三角形的判定與性質(zhì)解:(1)證明:連接BG,如圖.∵AB=BC=2AD=2，∴.AD=AE=1,∴.BE=BF=BG=CF=1.∵AD//BC，∴四邊形ABFD是平行四邊形.∵∠A=60°,∴∠BFD=60°.∵BF=BG，∴△BFG是等邊三角形，∴.∠FGB=60°,GF=BF=1,∴GF=CF，又∠GFC=180－∠GFB=120°，∴∠CGF=(180°-120°)=30°，∴∠BGF+∠FGC=90°.∵BG是EQ\o\ac(⌒,EF)所在圓的半徑，:.CG是EQ\o\ac(⌒,EF)所在圓的切線.(2)∵∠DAB=60°,四邊形ABFD是平行四邊形，∴∠ABF=120°,DF=AB=2,∴DG=1.∵∠GBF=60°，∴∠EBG=60°，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H,如圖.在Rt△ADH中,AD=1,∠DAB=60°，∴DH=AD·sin∠DAB=∴S陰影=S梯形ABGD－S扇形ADE－S扇形EBG=(1+2)xx－=5.(1)解:∵AB=AC,且AB是⊙O的直徑，∴AC=2AO，∵∠BAC=90°，∴在Rt△AOC中,tan∠AOC=∵AE⊥OC，∴在Rt△AOE中,tan∠AOC=∴(2)證明:過(guò)點(diǎn)B作BM//AE,交EO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，∴∠BAE=∠ABM,∠AEO=∠BMO=90°.∵AO=BO，∴△AOE≌△BOM(AAS)，∴AE=BM,OE=OM，∵∴BM=2OE=EM，∴∠MEB=∠MBE=45°，∵AB=AC,∠BAC=90°，∴∠ABC=45°，∴∠MBE=∠ABC=45o∴∠ABM=∠CBE，∵∠AEB=∠AEO+∠MEB=135°,∠BEC=180－∠MEB=135°，∴∠AEB=∠BEC，∴△AEB∽△BEC.(3)證明:連接DE,DF，∵AB是OO的直徑，∴∠ADB=∠AFB=90°,AB=2AO，∵AB=AC,∠BAC=90°，∴BC=2BD,∠DAB=45°，由(2)知,△AEB∽△BEC，∠EAO=∠EBD，∴△AOE∽△BDE，∴∠BED=∠AEO=90°,'∴∠DEF=90°,∴∠AFB=∠DEF,∴AF//DE,由(2)知,∠AEB=135°，∴.∠AEF=180°-∠AEB=45°.∴∠DFB=∠DAB=45°（同弧所對(duì)的圓周角相等）∴∠DFB=∠AEF=45°∴AE//FD,∴四邊形AEDF是平行四邊形，∴AD與EF互相平分.6、解:(1)能.理由如下:設(shè)圓錐形過(guò)濾漏斗的側(cè)面展開圖的扇形圓心角為n°.根據(jù)題意,得.解得n=180.∴將圓形濾紙按步驟折疊,將其中一層撐開,圍成的圓錐形濾紙能緊貼此漏斗內(nèi)壁.(2)設(shè)濾紙圍成圓錐形底面圓的半徑為rcm,高為hcm.根據(jù)題意,得2πr=，解得∴∴V圓錐=(cm3）即濾紙圍成圓錐形的體積為(cm3).7、解：(1)證明:∵FA=FE，∴∠FAE=∠AEF.∵∠FAE與∠BCE都是BF所對(duì)的圓周角，∴∠FAE=∠BCE.∵∠AEF=∠CEB，∴∠CEB=∠BCE.∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠DCE.∵AB是直徑,∴∠ACB=90°,∴∠CEB+∠DCE=∠BCE+∠ACE=∠ACB=90°,∴∠CDE=90°,∴CD⊥AB.(2)解:由(1),知∠BEC=∠BCE，∴.BE=BC∵AF=EF,FM⊥AB，∴.MA=ME=2,AE=4,∴圓的半徑OA=OB=AE－OE=3,∴BC=BE=OB-OE=2.在△ABC中,AB=6,BC=2,∠ACB=90°，由勾股定理得AC=8.(1)30(2)∵四邊形ABCD是矩形,AC=2r，∴OA=OE=CF=DF=r.BC=AD.∵∠OAC=∠ADC=90°，∴∠OAE+∠CAD=∠ACD+∠CAD.∴∠OAE=∠ACD.∵OA=OE,CF=DF,∴∠OAE=∠OEA=∠ACD=∠CDF.在△OAE和△FCD中，∠OEA=∠FDC，∠OAE=∠FCD，0A=FC，∴△0AE≌△FCD(AAS).∴AE=CD.∵AD=AE+ED，∴BC=AD=CD+ED.∴無(wú)論α在給定的范圍內(nèi)如何變化,BC=CD+ED總成立.補(bǔ)全圖形如圖.∵AC是⊙0的切線，∴∠OAC=90°.∵AC=∴tan∠AOC=.設(shè)OA=3m,則AC=，OC=5m.∵。OE=OA=3m,∴CE=2m，∴∠AOC=如圖,過(guò)O作OH⊥AE,垂足為點(diǎn)H,則AH=EH.'∵∠OHE=90°=∠D,∠OEH=∠CED.∵.△OEH∽△CED.∴設(shè)EH=AH=3a,則DE=2a.∴AD=AH+EH+ED=8a.在Rt△ACD中,CD2=AC2-AD2=16m2-64a2.在Rt△CED中,CD2=CE2-ED2=4m2-4a2.∴16m2-64a2=4m2-4a2.解得a=.∴BC=AD=,CD=AB=∴9、.(1)證明:如圖1,連接OC.∵∠CAO是△ACE的一個(gè)外角，∴∠CAO=∠CEA+∠ACE，即∠CAD+∠DAB=∠CEA+∠ACE,∵∠CEA=-∠CAD，∴∠DAB=∠ACE，∵EQ\o\ac(⌒,AC)=EQ\o\ac(⌒,BD),∴.∠ABC=∠DAB,∴.∠ABC=∠ACE,∵AB是⊙O的直徑,∴.∠ACB=90°,∴.∠ABC+∠OAC=90°，∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∴∠ABC+∠OCA=90°，.∴∠ACE+∠OCA=90°即∠OCE=90°，∵OC是⊙O的半徑,∴CE是⊙0的切線.(2)解:如圖2,連接OD，OC.設(shè)∠DAB=x,∵∠CEA=2∠DAB，∴∠CEA=2x,∵∠CEA=∠CAD，∴∠CAD=2x,∵AC=BD,∠ABC=∠DAB=x，∵AB是⊙0的直徑，∴∠ACB=90°即∠ABC+∠BAC=90°∴x+2x+x=90°,解得x=22.5°即∠DAB=22.5°，∴∠BOD=2∠DAB=45°∵0A=8,∴EQ\o\ac(⌒,BD)的