/廣西欽州市第四中學(xué)2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共7小題）1．某學(xué)校準(zhǔn)備抽獎活動，在一個盒子中有20個大小和形狀均相等的小球，其中有8個粉色球，8個紫色球和4個藍(lán)色球，從盒子中任選一球，若它不是粉色球，則它為藍(lán)色球的概率為（）A． B． C． D．3．已知甲箱中有2個紅球和3個黑球，乙箱中有1個紅球和3個黑球（所有球除顏色外完全相同），某學(xué)生先從甲箱中隨機(jī)取出2個球放入乙箱，再從乙箱中隨機(jī)取出1個球，記“從乙箱中取出的球是黑球”為事件，則（

）A． B． C． D．4．已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則（

）A．1 B．2 C．3 D．45．已知連續(xù)型隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，記函數(shù)，則的圖象（）A．關(guān)于直線對稱 B．關(guān)于直線對稱C．關(guān)于點(diǎn)成中心對稱 D．關(guān)于點(diǎn)成中心對稱6．若隨機(jī)變量的分布列為，則（）A．12 B．10 C．9 D．87．設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.30.3若隨機(jī)變量，則等于（

）A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7二、多選題（本大題共3小題）8．某地區(qū)組織了一次高三全體學(xué)生的模擬考試，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)成績近似服從正態(tài)分布，則下列正確的是（）A． B．C． D．9．已知離散型隨機(jī)變量的分布列為.定義隨機(jī)變量為自然對數(shù)的底數(shù)，的分布列如下：隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望稱為隨機(jī)變量的生成函數(shù)，記為.是函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，則（

）A．B．若服從兩點(diǎn)分布，，則C．若，則D．若實(shí)數(shù)為常數(shù)，則A．中位數(shù)就是第50百分位數(shù)B．已知隨機(jī)變量，若，則C．已知隨機(jī)變量，滿足，若，，則，D．已知采用分層抽樣得到的高三年級男生、女生各100名學(xué)生的身高情況為：男生樣本平均數(shù)172，方差為120，女生樣本平均數(shù)165，方差為120，則總體樣本方差為120三、填空題（本大題共3小題）11．設(shè)隨機(jī)變量，若，則．12．箱子中裝有4個紅球，2個黃球（除顏色外完全相同），擲一枚質(zhì)地均勻的骰子1次，如果點(diǎn)數(shù)為，則從該箱子中一次性取出個球.規(guī)定：依據(jù)個球中紅球的個數(shù)，判定甲的得分，每一個紅球記1分；依據(jù)個球中黃球的個數(shù)，判定乙的得分，每一個黃球記2分.比如：若一次性取出了2個紅球，2個黃球，則判定甲得分，乙得分.則在1次擲骰子取球的游戲中，.13．一個正八面體，八個面分別標(biāo)以數(shù)字1到8，任意拋擲一次這個正八面體，觀察它與地面接觸的面上的數(shù)字．事件，事件，若事件滿足，則滿足條件的事件的個數(shù)為．四、解答題（本大題共5小題）14．小王參加某機(jī)構(gòu)的招聘面試，要從6道簡答題和4道論述題中任意抽取3道進(jìn)行回答．(1)求小王抽取的3道題中兩種題型都有的概率；(2)每道簡答題答對得10分，每道論述題答對得20分，假設(shè)小王每道題都能答對，記小王答完3道題的總得分為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．15．設(shè)有6個白球和4個紅球混合后裝入袋中，從這10個球中任取5個.(1)在有放回的情況下，求這5個球中恰有3個白球的概率；(2)在不放回的情況下，求這5個球中恰有3個白球的概率；(3)在不放回的情況下，求第3個球?yàn)榘浊虻母怕?16．某籃球運(yùn)動員進(jìn)行定點(diǎn)投籃訓(xùn)練，據(jù)以往訓(xùn)練結(jié)果，第一次投籃命中的概率為．若前一次投籃命中，那么下次投籃命中的概率為；若前一次投籃未命中，那么下次投籃命中的概率為．(1)求該運(yùn)動員第二次投籃命中的概率；(2)記該運(yùn)動員前兩次投籃命中的次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)設(shè)第次投籃命中的概率為，求證：．17．為了估計(jì)一個小池塘中魚的條數(shù)m，池塘主人先從中打撈出20條魚，做好記號后放回池塘，再從中打撈出10條魚，發(fā)現(xiàn)有記號的魚有4條.(1)試估計(jì)m的值；(2)對于（1）中的估計(jì)值m，若在這m條魚中，A種魚有8條，從m條魚中打撈出3條，用X表示其中A種魚的條數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.18．某工廠采購了甲、乙兩臺新型機(jī)器，現(xiàn)對這兩臺機(jī)器生產(chǎn)的第一批零件的直徑進(jìn)行測量，質(zhì)檢部門隨機(jī)抽查了100個零件的直徑進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)如下:零件直徑(單位:厘米)[1.8，2.0]零件個數(shù)1025302510(1)經(jīng)統(tǒng)計(jì)，零件的直徑服從正態(tài)分布，據(jù)此估計(jì)這批零件直徑在區(qū)間內(nèi)的概率;(2)以頻率估計(jì)概率，若在這批零件中隨機(jī)抽取4個，記直徑在區(qū)間內(nèi)的零件個數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(3)在甲、乙兩臺新型機(jī)器生產(chǎn)的這批零件中，甲機(jī)器生產(chǎn)的零件數(shù)是乙機(jī)器生產(chǎn)的零件數(shù)的2倍，且甲機(jī)器生產(chǎn)的零件的次品率為0.3，乙機(jī)器生產(chǎn)的零件的次品率為0.2，現(xiàn)從這批零件中隨機(jī)抽取一件，若檢測出這個零件是次品，求這個零件是甲機(jī)器生產(chǎn)的概率.參考數(shù)據(jù):若隨機(jī)變量，則，，.

參考答案1．【答案】D【詳解】記取出藍(lán)色球?yàn)槭录?事件取出的不是粉色球?yàn)?,,,則．故選D.2．【答案】C【詳解】若該家庭中有兩個小孩，樣本空間為(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，(男，女)，(女，男)(男，男)，(男，女)，(女，男)(男，女)，(女，男)，若該家庭中有三個小孩，樣本空間為(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，則，于是，故選C．3．【答案】D【詳解】記“從甲箱中取出的球恰有個紅球”為事件，根據(jù)題意可得，，所以.故選D.4．【答案】B【詳解】，故選B．5．【答案】C【詳解】由連續(xù)型隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，可得，可得，所以正態(tài)密度曲線關(guān)于對稱，即，由，可得在時增加較快，在時增加越來越慢，所以無對稱軸，故AB錯誤；，所以關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，故C正確，D錯誤.故選C.6．【答案】B【詳解】根據(jù)分布列中概率之和為1，列方程得：，即，解得.故選B.7．【答案】A【詳解】.故選A.8．【答案】AB【詳解】由題意可得．由對稱性可得,，AB正確，CD錯誤．故選AB.9．【答案】AD【詳解】對于A，隨機(jī)變量的生成函數(shù)，則，當(dāng)時，，所以A正確；對于B，服從兩點(diǎn)分布，，則生成函數(shù)為，所以B錯誤；對于C，，則生成函數(shù)為，所以C錯誤；對于D，對于線性變換的生成函數(shù)，所以D正確.故選AD.2、隨機(jī)變量，則；3、.10．【答案】AB【詳解】對于A選項(xiàng)，中位數(shù)就是第50百分位數(shù)，A選項(xiàng)正確.對于B選項(xiàng)，已知隨機(jī)變量，根據(jù)二項(xiàng)分布的方差公式（其中是試驗(yàn)次數(shù)，是每次試驗(yàn)成功的概率），可得.又因?yàn)椋ā槌?shù)），那么.已知，即，解得，B選項(xiàng)正確.對于C選項(xiàng)，已知隨機(jī)變量，滿足，根據(jù)期望的性質(zhì)（、為常數(shù)），可得.因?yàn)?，所?再根據(jù)方差的性質(zhì)（、為常數(shù)），可得.因?yàn)?，所以，C選項(xiàng)錯誤.對于D選項(xiàng)，設(shè)男生樣本為，平均數(shù)為，方差為；女生樣本為，平均數(shù)為，方差為.總體樣本平均數(shù).根據(jù)分層抽樣樣本方差公式（其中、分別是男生、女生的樣本數(shù)量），可得：，所以D選項(xiàng)錯誤.故選AB.11．【答案】0.3/【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量，所以正態(tài)分布曲線關(guān)于對稱，又因?yàn)?，所以，所以又因?yàn)?，所?.3.12．【答案】【詳解】設(shè)擲骰子得到的點(diǎn)數(shù)的概率為，則，當(dāng)時，的概率為，若，則需取出的1個球是紅球的概率為，所以，當(dāng)時，的概率為，若，則需取出的2個球都是紅球的概率為，所以，當(dāng)時，的概率為，若，則需取出的3個球都是紅球的概率為，所以，當(dāng)時，的概率為，若，則有兩種可能的情況：第一種情況為取出的4個球都是紅球有種，第二種情況為取出的4個球種有3個紅球，1個黃球，有種，所以概率為，所以當(dāng)時，的概率為，若，則需取出全部4個紅球，1個黃球，所以，所以，當(dāng)時，不滿足題意，所以綜上.13．【答案】【詳解】事件，事件，故，又，故，即，因?yàn)?，，所以，故，即，又，，故，所以，即，所以，故，其中，，則或2，若，則，又，故，，故，若，，可令或或或；若，，可令或或或，事件，事件若，則，此時，此時，故，不合要求，舍去，綜上，滿足條件的事件的個數(shù)為8.14．【答案】(1)(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為42【詳解】（1）所求概率為.（2）的所有可能取值為，，，，．所以的分布列為X30405060P的數(shù)學(xué)期望.15．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）在有放回的情況下，每一次取到白球的概率為，所以這5個球中恰有3個白球的概率.（2）在不放回的情況下，這5個球中恰有3個白球的概率.（3）在不放回的情況下，若第3個球?yàn)榘浊颍瑒t有四種情況：白,白,白；白,紅,白；紅,白,白；紅,紅,白，所以所求概率.16．【答案】(1)(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為(3)證明見解析【詳解】（1）設(shè)事件“第次投籃命中”，則“第次投籃未命中”，，易知與是互斥事件，所以由全概率公式得該運(yùn)動員第二次投籃命中的概率為．（2）由題意得，，的所有取值為0,1,2，,所以的分布列為012……所以．（3）由題意得，；當(dāng)時，即，變形為，所以數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，又，于是，即，所以．17．【答案】(1)50；(2)分布列見解析，期望為.【詳解】（1）已知小池塘中魚的條數(shù)為m，由樣本估計(jì)總體得=，解得，所以估計(jì)小池塘中有50條魚.（2）依題意，X的可能取值為0，1，2，3，所以，，，，X的分布列為0123.18．【答案】(1)(2)的分布列見解析