§2.3冪函數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過(guò)具體實(shí)例了解冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)；2.體會(huì)冪函數(shù)的變化規(guī)律及蘊(yùn)含其中的對(duì)稱(chēng)性并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用.學(xué)習(xí)過(guò)程任務(wù)一、課前準(zhǔn)備（預(yù)習(xí)教材P77~P79，找出疑惑之處）復(fù)習(xí)1：求證在R上為奇函數(shù)且為增函數(shù).復(fù)習(xí)2：1992年底世界人口達(dá)到54.8億，若人口年平均增長(zhǎng)率為x%，2008年底世界人口數(shù)為y（億），寫(xiě)出：（1）1993年底、1994年底、2000年底世界人口數(shù)；（2）2008年底的世界人口數(shù)y與x的函數(shù)解析式．任務(wù)二、新課導(dǎo)學(xué)探究任務(wù)一：冪函數(shù)的概念問(wèn)題：分析以下五個(gè)函數(shù)，它們有什么共同特征？（1）邊長(zhǎng)為的正方形面積，是的函數(shù)；（2）面積為的正方形邊長(zhǎng)，是的函數(shù)；（3）邊長(zhǎng)為的立方體體積，是的函數(shù)；（4）某人內(nèi)騎車(chē)行進(jìn)了1，則他騎車(chē)的平均速度，這里是的函數(shù)；（5）購(gòu)買(mǎi)每本1元的練習(xí)本本，則需支付元，這里是的函數(shù).新知1、冪函數(shù)的概念：一般地，形如的函數(shù)稱(chēng)為冪函數(shù)，其中為常數(shù).試一試：判斷下列函數(shù)哪些是冪函數(shù).；②；③；④.探究任務(wù)二：冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)問(wèn)題：作出下列函數(shù)的圖象：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．從圖象分析出冪函數(shù)所具有的性質(zhì).觀(guān)察圖象，總結(jié)填寫(xiě)下表：常見(jiàn)冪函數(shù)的性質(zhì)說(shuō)明：說(shuō)明：除函數(shù)外，其余四個(gè)冪函數(shù)具有奇偶性②在第一象限內(nèi)，函數(shù)的圖像向上與軸無(wú)限接近，我們稱(chēng)軸軸為漸近線(xiàn)結(jié)合以上特殊冪函數(shù)的圖像得出一般冪函數(shù)的性質(zhì)（1）所有冪函數(shù)在上都有定義，并且圖像都通過(guò)點(diǎn)（2）若，則冪函數(shù)的圖像都過(guò)原點(diǎn)，并且在區(qū)間上為增函數(shù)（3）若則冪函數(shù)的圖像在區(qū)間上是減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，當(dāng)從右邊趨向于原點(diǎn)時(shí)，圖像在軸右方無(wú)限地逼近軸，當(dāng)趨向于時(shí)，圖像在軸上方無(wú)限地逼近軸（4）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為奇函數(shù)；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為偶函數(shù)例1、已知冪函數(shù)，求的值例2、已知函數(shù)為何值時(shí)，是：（1）正比例函數(shù)（2）反比例函數(shù)（3）二次函數(shù)（4）冪函數(shù)例3．下面六個(gè)冪函數(shù)的圖象如圖所示，試建立函數(shù)與圖象之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．2、冪函數(shù)的定義域和值域所有冪函數(shù)的定義域和值域的求法分為五種情況（1）時(shí)，的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)椋?）為正整數(shù)時(shí)，的定義域?yàn)椋瑸榕紨?shù)時(shí)，值域?yàn)?為奇數(shù)時(shí)，值域?yàn)椋?）為負(fù)整數(shù)時(shí)，的定義域?yàn)?，為偶?shù)時(shí)，值域?yàn)?，為奇?shù)時(shí)，值域?yàn)椋?）當(dāng)為正分?jǐn)?shù)時(shí)，化為，根據(jù)的奇偶性求解（5）當(dāng)為負(fù)分?jǐn)?shù)時(shí)，化為，根據(jù)的的奇偶性求解例4、（1）函數(shù)的定義域是，值域是；（2）函數(shù)的定義域是，值域是；練1（1）函數(shù)的定義域是，值域是；（2）函數(shù)的定義域是，值域是；練2、冪函數(shù)①，②，③，④，⑤，其中定義域?yàn)榈氖牵ǎ〢．①②B．②③C．②④D．④⑤例5．設(shè)α∈{－1,1，eq\f(1,2)，3}，則使函數(shù)y＝xα的定義域?yàn)镽，且為奇函數(shù)的所有α值為()A．1,3B．－1,1C．－1,3 D．－1,1,3冪函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性（1）冪函數(shù)的單調(diào)性：在區(qū)間上，當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)（2）冪函數(shù)的奇偶性：令（其中、互質(zhì)，、）當(dāng)為奇數(shù)，則的奇偶性取決于是奇數(shù)還是偶數(shù).當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，則是奇函數(shù)；當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，則是偶函數(shù)當(dāng)為偶數(shù)，則必是奇數(shù)，此時(shí)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)例6、若當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（）A．B．C．或D．例7、已知函數(shù)為偶函數(shù)，且求的值，并確定的解析式若在上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍例8、已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，且在區(qū)間上市減函數(shù)（1）求函數(shù)的解析式（2）討論的奇偶性練3、下列說(shuō)法正確的是（）A．是奇函數(shù)B．是奇函數(shù)C．是非奇非偶函數(shù)D．是非奇非偶函數(shù)構(gòu)造冪函數(shù)比較兩個(gè)冪值得大小比較兩個(gè)冪值的大小，關(guān)鍵是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，若指數(shù)相同而底數(shù)不同，則考慮冪函數(shù)；若指數(shù)不同而底數(shù)相同，則考慮指數(shù)函數(shù)；若底數(shù)不同，指數(shù)也不同，需引入中間量，利用冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性或借助于函數(shù)的圖像來(lái)比較例9、比較下列各組數(shù)大?。海?）（2）（3）練4、比較下列各組數(shù)大?。海?）（2）（3），，練5、若，則下列不等式成立的是（）A．B．C．D．任務(wù)三、課后作業(yè)第一題、選擇題1．在函數(shù)y＝2x3，y＝x2，y＝x2＋x，y＝x0中，冪函數(shù)有()A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)解析：選B.y＝x2與y＝x0是冪函數(shù)．2．若冪函數(shù)在上是增函數(shù)，則（）.A．>0 B．<0 C．=0 D．不能確定3．函數(shù)f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－3是冪函數(shù)，且在x∈(0，＋∞)上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)m＝()A．2 B．3C．4 D．54．使(3－2x－x2)－eq\f(3,4)有意義的x的取值范圍是()A．R B．x≠1且x≠3C．－3＜x＜1 D．x＜－3或x＞1解析：選C.(3－2x－x2)－eq\f(3,4)＝eq\f(1,\r(4,3－2x－x23))，∴要使上式有意義，需3－2x－x2＞0，解得－3＜x＜1.解析：選A.m2－m－1＝1，得m＝－1或m＝2，再把m＝－1和m＝2分別代入m2－2m－3＜0，經(jīng)檢驗(yàn)得m＝2.5.若，那么下列不等式成立的是（）.A．<l< B．1<<C．<l< D．1<<6．函數(shù)的圖象是（）.A.B.C.D.7．函數(shù)y＝(x＋4)2的遞減區(qū)間是()A．(－∞，－4) B．(－4，＋∞)C．(4，＋∞) D．(－∞，4)解析：選A.y＝(x＋4)2開(kāi)口向上，關(guān)于x＝－4對(duì)稱(chēng)，在(－∞，－4)遞減．8．給出四個(gè)說(shuō)法：①當(dāng)n＝0時(shí)，y＝xn的圖象是一個(gè)點(diǎn)；②冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,0)，(1,1)；③冪函數(shù)的圖象不可能出現(xiàn)在第四象限；④冪函數(shù)y＝xn在第一象限為減函數(shù)，則n＜0.其中正確的說(shuō)法個(gè)數(shù)是()A．1B．2C．3 D．4解析：選B.顯然①錯(cuò)誤；②中如y＝x－eq\f(1,2)的圖象就不過(guò)點(diǎn)(0,0)．根據(jù)冪函數(shù)的圖象可知③、④正確，故選B.第二題、填空題9.已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則它的解析式為.10．比較下列兩組數(shù)的大小：（1）；（2）.11．已知2.4α＞2.5α，則α的取值范圍是________．解析：∵0＜2.4＜2.5，而2.4α＞2.5α，∴y＝xα在(0，＋∞)為減函數(shù)．答案：α＜0第三題、解答題12．求函數(shù)y＝(x－1)－eq\f(2,3)的單調(diào)區(qū)間．解：y＝(x－1)－eq\f(2,3)＝eq\f(1,x－1\f(2,3))＝eq\f(1,\r(3,x－12))，定義域?yàn)閤≠1.令t＝x－1，則y＝t－eq\f(2,3)，t≠0為偶函數(shù)．因?yàn)棣粒剑璭q\f(2,3)＜0，所以y＝t－eq\f(2,3)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，在(－∞，0)上單調(diào)遞增．又t＝x－1單調(diào)遞增，故y＝(x－1)－eq\f(2,3)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，在(－∞，1)上單調(diào)遞增．13．已知(m＋4)－eq\f(1,2)＜(3－2m)－eq\f(1,2)，求m的取值范圍．解：∵y＝x－eq\f(1,2)的定義域?yàn)?0，＋∞)，且為減函數(shù)．∴原不等式化為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋4＞0,3－2m＞0,m＋4＞3－2m))，解得－eq\f(1,3)＜m＜eq\f(3,2).∴m的取值范圍是(－eq\f(1,3)，eq\f(3,2))．14．已知冪函數(shù)y＝xm2＋2m－3(m∈Z)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，求y的解析式，并討論此函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性．解：由冪函數(shù)的性質(zhì)可知m2＋2m－3＜0?(m－1)(m＋3)＜0?－3＜m＜1，又∵m∈Z，∴m＝－2，－1,0.當(dāng)m＝0或m＝－2時(shí)，y＝x－3，定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．∵－3＜0，∴y＝x－3在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是減函數(shù)，又∵f(－x)＝(－x)－3＝－x－3＝－f(x)，∴y＝x－3是奇函數(shù)．當(dāng)m＝－1時(shí)，y＝x－4，定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．∵f(－x)＝(－x)－4＝eq\f(1,－x4)＝eq\f(1,x4)＝x－4＝f(x)，∴函數(shù)y＝x－4是偶函數(shù)．∵－4＜0，∴y＝x－4在(0，＋∞)上是減函數(shù)，又∵y＝x－4是偶函數(shù)，∴y＝x－4在(－∞，0)上是增函數(shù)．任務(wù)四、鞏固訓(xùn)練第一題、選擇題1．已知冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，eq\f(\r(2),2))，則f(4)的值為()A．16B.eq\f(1,16)C.eq\f(1,2) D．2解析：選C.設(shè)f(x)＝xn，則有2n＝eq\f(\r(2),2)，解得n＝－eq\f(1,2)，即f(x)＝x－eq\f(1,2)，所以f(4)＝4－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).2．下列冪函數(shù)中，定義域?yàn)閧x|x＞0}的是()A．y＝xeq\f(2,3)B．y＝xeq\f(3,2)C．y＝x－eq\f(1,3) D．y＝x－eq\f(3,4)解析：選D.A.y＝xeq\f(2,3)＝eq\r(3,x2)，x∈R；B.y＝xeq\f(3,2)＝eq\r(x3)，x≥0；C.y＝x－eq\f(1,3)＝eq\f(1,\r(3,x))，x≠0；D.y＝x－eq\f(3,4)＝eq\f(1,\r(4,x3))，x＞0.3．函數(shù)和圖象滿(mǎn)足 （）A．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)B．關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)C．關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)D．關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)4．函數(shù)在區(qū)間上的最大值是 （） A． B． C． D．5．設(shè)T1＝，T2＝，T3＝，則下列關(guān)系式正確的是()A．T1<T2<T3B．T3<T1<T2C．T2<T3<T1D．T2<T6.冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象依次是圖中的曲線(xiàn)（）A. B.C. D.7.下列函數(shù)在上為減函數(shù)的是（）A.B.C.D.答案：Ｂ8．冪函數(shù)f(x)＝xα滿(mǎn)足x＞1時(shí)f(x)＞1，則α滿(mǎn)足條件()A．α＞1 B．0＜α＜1C．α＞0 D．α＞0且α≠1解析：選A.當(dāng)x＞1時(shí)f(x)＞1，即f(x)＞f(1)，f(x)＝xα為增函數(shù)，且α＞1.解析：選D.y＝xeq\f(2,3)＝eq\r(3,x2)，其定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇0，＋∞)，故定義域與值域不同．9.當(dāng)x∈（1，＋∞）時(shí)，函數(shù)）y＝的圖象恒在直線(xiàn)y＝x的下方，則a的取值范圍是（A）A、a＜1 B、0＜a＜1 C、a＞0 D、a＜010．若點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，則下列結(jié)論中不能成立的是(B) A．B．Ｃ．D．第二題、填空題11．函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_______．解析：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x≠0,1－x≥0))，∴x<1.答案：(－∞，1)12．已知n∈{－2，－1,0,1,2,3}，若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))n，則n＝____－1,2____.13．是偶函數(shù)，且在是減函數(shù)，則整數(shù)的值是5.14．設(shè)x∈(0,1)時(shí)，y＝xp(p∈R)的圖象在直線(xiàn)y＝x的上方，則p的取值范圍是________．解析：結(jié)合冪函數(shù)的圖象性質(zhì)可知p<1.答案：p<115．已知函數(shù)f(x)＝xα(0＜α＜1),對(duì)于下列命題：①若x＞1,則f(x)＞1；②若0＜x＜1,則0＜f(x)＜1;③若f(x1)＞f(x2),則x1＞x2；④若0＜x1＜x2,則.其中正確的命題序號(hào)是_①②③_______.第三題、解答題16．已知冪函數(shù)f（x）＝（p∈Z）在上是增函數(shù)，且在其定義域內(nèi)是偶函數(shù)，求p的值，并寫(xiě)出相應(yīng)的函數(shù)f（x）17．函數(shù)f(x)＝(m2－m－5)xm－1是冪函數(shù)，且當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f(x)是增函數(shù)，試確定m的值．解：根據(jù)冪函數(shù)的定義得：m2－m－5＝1，解得m＝3或m＝－2，當(dāng)m＝3時(shí)，f(x)＝x2在(0，＋∞)上是增函數(shù)；當(dāng)m＝－2時(shí)，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是減函數(shù)，不符合要求．故m＝3.18．已知冪函數(shù)，當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)為減函數(shù)，則該冪函數(shù)的解析式是什么？奇偶性如何？單調(diào)性如何？解：由于為冪函數(shù)，所以m2－m－1＝1，解得m＝2，或m＝－1.當(dāng)m＝2時(shí)，m2－2m－3＝－3，y＝x－3，在(0，＋∞)當(dāng)m＝－1時(shí)，m2－2m－3＝0，y＝x0＝1(x≠0)在(0，＋∞)故所求冪函數(shù)為y＝x－3.這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)，其定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，根據(jù)函數(shù)在x∈(0，＋∞)上為減函數(shù)，推知函數(shù)在(－∞，0)上也為