人教A版選擇性必修第三冊(cè)第六章計(jì)數(shù)原理

章引言閱讀教材P1，回答下列問題：1.計(jì)數(shù)原理產(chǎn)生的現(xiàn)實(shí)背景是什么？2.本章學(xué)習(xí)內(nèi)容是什么？研究框架是什么？3.本章學(xué)習(xí)的基本方法和路徑是什么？6.16.26.3應(yīng)用加法運(yùn)算與乘法運(yùn)算分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理排列、排列數(shù)公式組合、組合數(shù)公式二項(xiàng)式定理推廣歸納人教A版選擇性必修第三冊(cè)第六章

計(jì)數(shù)原理6.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理第4課時(shí)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用(題目點(diǎn)撥)1.“多面手”問題[例1]7名學(xué)生中，3名會(huì)下象棋但不會(huì)下圍棋，2名會(huì)下圍棋但不會(huì)下象棋，2名既會(huì)下象棋又會(huì)下圍棋，現(xiàn)從這7人中選出2人分別參加象棋比賽和圍棋比賽，共有____種不同的選法.3象2圍2多(法1)第1步：選出會(huì)象棋的，有5種選擇;第2步：選出會(huì)小號(hào)的，有4種選擇;共5×4=20種選法.其中同個(gè)多面手2次均被選中的情況應(yīng)排除，(法2)共3×2+2×2+3×2+2×1=18種選法.排除法分區(qū)法故有20－2=18種選法1.“多面手”問題(法3)以“多面手”是否入選進(jìn)行分類：①“多面手”不入選：綜上，共6+10+2=18種選法.先選多面手，再選另一名，共2×2+2×3=10種選法;③“多面手”2名都入選：有2種選法.先選會(huì)象棋的，再選會(huì)圍棋的，共3×2=6種選法;②“多面手”只有1名入選：[例1]7名學(xué)生中，3名會(huì)下象棋但不會(huì)下圍棋，2名會(huì)下圍棋但不會(huì)下象棋，2名既會(huì)下象棋又會(huì)下圍棋，現(xiàn)從這7人中選出2人分別參加象棋比賽和圍棋比賽，共有____種不同的選法.3象2圍2多1.“多面手”問題[變式]某藝術(shù)小組有9人，每人至少會(huì)鋼琴和小號(hào)中的1種樂器，其中8人會(huì)鋼琴，5人會(huì)小號(hào)，從中選出會(huì)鋼琴和會(huì)小號(hào)的各1人，有____種不同的選法.先選出會(huì)鋼琴的，有8種選擇;再選出會(huì)小號(hào)的，有5種選擇;共8×5=40種選法.排除其中同個(gè)多面手2次均被選中的情況，5鋼2小3多(排除法)(分區(qū)法)共5×3+3×2+5×2+3×2=37種選法.多A

多A多B

多B多C多C故有40－3=37種選法優(yōu)先考慮特殊位置(首位不為0)2.組數(shù)問題[例2.1]用0,1,…,9這十個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè):(1)三位數(shù)?(2)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)?(3)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)?(4)小于500的無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)?析:(1)依次確定百位、十位和個(gè)位數(shù)字的選法，共9×10×10=900個(gè)三位數(shù).(2)依次確定百位、十位和個(gè)位數(shù)字的選法，

共9×9×8=648個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).(4)依次確定百位、十位和個(gè)位數(shù)字的選法，

共4×9×8=288個(gè).(3)由(1)(2)得共900－648=252個(gè)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).首(百)位不能取0正難則反百位取1,2,3,4優(yōu)先考慮特殊位置(個(gè)位的奇偶或首位不為0)2.組數(shù)問題(法1)①若個(gè)位為0，則依次確定百位、十位，共4×3=12種選法；②若個(gè)位不為0，可取2,4，再依次確定百位、十位，

共2×3×3=18種選法；[變式1]由0,1,2,3,4可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的偶數(shù)?個(gè)位取偶數(shù)百位不為0綜上，共12+18=30個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)偶數(shù).(法2)依次確定個(gè)位、百位、十位，共3×4×3=36種選法；排除百位為0的選法共2×3=6種，綜上，共36－6=30種選法(法3)①個(gè)位為0，共4×3=12種選法；②個(gè)位為2，共3×3=9種選法；③個(gè)位為4，共3×3=9種選法；綜上，共12+9+9=30種選法2.組數(shù)問題[變式2]由0,1,2,3,4,5六個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)?個(gè)位取奇數(shù)千位不為0析：依次確定個(gè)位、千位、百位、十位，

共3×4×4×3=144種選法；[變式3]用0,1,2,3,4五個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字且是3的倍數(shù)的三位數(shù)?

故3個(gè)數(shù)字可以選0,1,2；0,2,4；1,2,3；2,3,4.析：3的倍數(shù)的三位數(shù)，各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)；共4+4+6+6=20個(gè).[練習(xí)1]由0,1,2,3,4,5可組成_____個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字且比2000大的四位偶數(shù)?120個(gè)位取偶數(shù)千位不取0,1提示：按個(gè)位為0/2/4分三類，

依次確定千/百/十位優(yōu)先考慮特殊位置(個(gè)位的奇偶或首位不為0)2.組數(shù)問題[練習(xí)2]用0~5六個(gè)數(shù)字可組成____個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字且比3042大的四位數(shù).①千位為4或5：千、百、十、個(gè)位各有2、5、4、3種選擇；②千位為3，百位不為0：百、十、個(gè)位各有4、4、3種選擇；綜上，符合的數(shù)共有2×5×4×3+4×4×3+1+3=172個(gè)③千位為3，百位為0：i)十位為4,個(gè)位為5按千位進(jìn)行分類：3___30__4/5___ii)十位為5,個(gè)位為1/2/4[練習(xí)3]用0~5六個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的且比40000大的五位偶數(shù)?(2×3－1)×4×3×2=120(個(gè))優(yōu)先考慮特殊位置(個(gè)位的奇偶或首位不為0)2.組數(shù)問題[練習(xí)1]由0,1,2,3,4,5可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字且比2000大的四位偶數(shù)?①個(gè)位為0：共4×4×3=48種選法；②個(gè)位為2：共3×4×3=36種選法；共有48+36+36=120個(gè)③個(gè)位為4：共3×4×3=36種選法；(法1)按個(gè)位進(jìn)行分類，依次確定千位、百位、十位，___0___2___4(法2)按千位分兩類(2/4或3/5)，依次確定千、個(gè)、百、十位，共2×2×4×3+2×3×4×3=48+72=120種選法.第2步：考慮百位，有4種選擇；共(3×4－2)×4×3=120(個(gè))第3步：考慮個(gè)位，有3種選擇；(法三)第1步：考慮千位和個(gè)位：有3×4－2=12種選擇；個(gè)位取偶數(shù)千位不取0,1優(yōu)先考慮特殊位置(個(gè)位的奇偶或首位不為0)2．解決組數(shù)問題時(shí)，應(yīng)特別注意其限制條件，有些條件是隱藏的，要善于挖掘．排數(shù)時(shí)，要注意特殊元素、特殊位置優(yōu)先的原則.[提醒]數(shù)字“0”不能排在兩位數(shù)字或兩位數(shù)字以上的數(shù)的最高位.1．對(duì)于組數(shù)問題，一般按特殊位置（一般指末位和首位）由誰(shuí)占領(lǐng)分類，分類中再按特殊位置（或者特殊元素）優(yōu)先的方法分步完成．如果正面分類較多，可采用間接法從反面求解．解決組合數(shù)問題的方法2.組數(shù)問題ABCD3.涂色/種植問題[例3]如圖，要給標(biāo)有字母A、B、C、D等的區(qū)域涂色，每格涂一色，同種顏色可用多次，但相鄰區(qū)域涂不同色。(1)若圖①有5種顏色可選，則不同的涂色方案有___種；共5×4×3×3=180種53435343CBAD圖①ABDC5343析：依次涂A,B,C,D，依次涂B,C,A,D[例3]如圖，要給標(biāo)有字母A、B、C、D等的區(qū)域涂色，每格涂一色，同種顏色可用多次，但相鄰區(qū)域須涂不同色。(2)若圖②有5種顏色可選，則不同的涂色方案有_____種；3.涂色/種植問題①B,D同色：共5×4×3×1×3=180種涂法析：分步依次涂A,B,C,D,E，考慮B,D是否同色.②B,D不同色：共5×4×3×2×2=240種涂法ABCDE543？ABCDE圖②420或分步依次涂C,B,A,D,E，考慮B,D是否同色.3[練習(xí)1]如圖，要給地圖上標(biāo)有字母A、B、C、D等的區(qū)域涂色，每格涂一色，同種顏色可使用多次，但相鄰區(qū)域須涂不同色。若圖③有5種顏色可選，則不同的涂色方案有____種；3.涂色/種植問題析：D的涂法取決于A,C是否同色①A,C同色：共5×4×1×4=80種涂法.②A,C不同色：共5×4×3×3=120種涂法.綜上，共有80+120=200種.分步依次涂A,B,C,D，考慮A,C是否同色54？圖③ADBC或分步依次涂B,A,D,C，考慮B,D是否同色3.涂色/種植問題小結(jié)①按相對(duì)區(qū)域/頂點(diǎn)/面是否同色分類②空間平面化→平面區(qū)域涂色③按A,B,C,D…順序或從有最多相鄰的區(qū)域或點(diǎn)開始考慮.④對(duì)于不相鄰的區(qū)域，常分為同色和不同色兩類，這是常用的分類標(biāo)準(zhǔn).各面涂色條件同上各點(diǎn)涂色條件同上各區(qū)涂色條件同上底左右前后PDBAC[練習(xí)2]給圖④的5個(gè)頂點(diǎn)涂色，同一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)不能同色，有4種顏色可選，則不同的涂色方法有___種.4322(法1)分步依次涂E,A,B,C,DE(4)→A(3)→B(2)→C(2)→D(2)2共4×3×2×2×2=96種圖④(法2)分步依次涂A,B,C,D,EA(4)→B(3)→C(與A同色?)→D(與B同色?)→E(?)分四類注：從與其有最多相鄰的區(qū)域或點(diǎn)開始考慮.3.涂色/種植問題小結(jié)3.涂色/種植問題小結(jié)[例4]將3種作物全部種植在如圖所示的5塊試驗(yàn)田中，每塊種植一種作物，且相鄰的試驗(yàn)田不能種同一種作物，則不同的種植方法共有________種.析：依次種植5塊田，使得相鄰試驗(yàn)田種不同作物，

共3×2×2×2×2=48種種法.其中只種2種作物的情況應(yīng)排除，共3×2=6種，故符合題意的種法共48－6=42種.[變式]用1,2,3三個(gè)數(shù)字組成一個(gè)四位數(shù)，規(guī)定這三個(gè)數(shù)必須全部使用且同一數(shù)字不能相鄰出現(xiàn)，這樣的四位數(shù)有_____個(gè).3×2×2×2－6=18個(gè)4.選取/分配問題[例5]高三年級(jí)的三個(gè)班到甲、乙、丙、丁四個(gè)工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，其