引

入汽車(chē)號(hào)牌的所有可能的序號(hào)數(shù)計(jì)數(shù)問(wèn)題玩具的數(shù)量班級(jí)籃球比賽場(chǎng)數(shù)紅、黃、綠三面旗幟組成航海信號(hào)數(shù)量很多分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理最基本、最重要的方法：分步乘法計(jì)數(shù)原理排列數(shù)公式應(yīng)用二項(xiàng)式定理計(jì)數(shù)公式：組合數(shù)公式如何提高效率呢？列舉6.1分類(lèi)加法原理與分步乘法原理1第六章計(jì)數(shù)原理當(dāng)問(wèn)題中的數(shù)量很大時(shí)，如何巧妙設(shè)計(jì)“數(shù)法”，以提高效率呢？下面先分析一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，并嘗試從中得出巧妙的計(jì)數(shù)方法.問(wèn)題1用一個(gè)大寫(xiě)的英文字母或一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字給教室里的一個(gè)座位編號(hào)，總共能編出多少種不同的號(hào)碼?因?yàn)橛⑽淖帜腹灿?6個(gè)，阿拉伯?dāng)?shù)字共有10個(gè)，所以總共可以編出26+10=36種不同的號(hào)碼.問(wèn)題2

這個(gè)問(wèn)題有什么特征嗎?

首先，這里要完成的事情是“給一個(gè)座位編號(hào)”；其次是“或”字的出現(xiàn):一個(gè)座位編號(hào)用一個(gè)英文字母或一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字表示.因?yàn)橛⑽淖帜概c阿拉伯?dāng)?shù)字互不相同，所以用英文字母編出的號(hào)碼與用阿拉伯?dāng)?shù)字編出的號(hào)碼也互不相同.這兩類(lèi)號(hào)碼數(shù)相加就得到號(hào)碼的總數(shù).這里的“或”代表分類(lèi).上述計(jì)數(shù)過(guò)程的基本環(huán)節(jié)是：(1)確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)問(wèn)題條件分為字母號(hào)碼和數(shù)字號(hào)碼兩類(lèi)；(2)分別計(jì)算各類(lèi)號(hào)碼的個(gè)數(shù)；

(3)各類(lèi)號(hào)碼的個(gè)數(shù)相加，得出所有號(hào)碼的個(gè)數(shù).我們把這種計(jì)數(shù)方法稱(chēng)為分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理.從特殊到一般的思想一般地，如果完成一件事有兩類(lèi)不同方案，在第1類(lèi)方案中有m種不同的方法，在第2類(lèi)方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有

N＝m＋n種不同的方法.兩類(lèi)不同方案中的方法互不相同1.分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理：分類(lèi)加法計(jì)數(shù)流程：分類(lèi)計(jì)數(shù)結(jié)論將完成這件事的方法分幾類(lèi)求出每一類(lèi)的方法數(shù)將每一類(lèi)的方法數(shù)相加得出結(jié)果

例1

在填寫(xiě)高考志愿表時(shí)，一名高中畢業(yè)生了解到，A，B兩所大學(xué)各有一些自己感興趣的強(qiáng)項(xiàng)專(zhuān)業(yè)，如下表.如果這名同學(xué)只能只能選一專(zhuān)業(yè)，那么他共有多少種選擇？A大學(xué)B大學(xué)生物學(xué)數(shù)學(xué)化學(xué)會(huì)計(jì)學(xué)醫(yī)學(xué)信息技術(shù)學(xué)物理學(xué)法學(xué)工程學(xué)

解：這名同學(xué)可以選擇A，B兩所大學(xué)中的一所.在A大學(xué)中有5種專(zhuān)業(yè)選擇方法，在B大學(xué)中有4種專(zhuān)業(yè)選擇方法.因?yàn)闆](méi)有一個(gè)強(qiáng)項(xiàng)專(zhuān)業(yè)是兩所大學(xué)共有的，所以根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，這名同學(xué)可能的專(zhuān)業(yè)選擇種數(shù)為變：在例1中，如果數(shù)學(xué)也是A大學(xué)的強(qiáng)項(xiàng)專(zhuān)業(yè)，那么A大學(xué)共有6個(gè)專(zhuān)業(yè)可以選擇，B大學(xué)共有4個(gè)專(zhuān)業(yè)可以選擇，應(yīng)用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，得到這名同學(xué)可能的專(zhuān)業(yè)選擇種數(shù)為6+4=10.這種算法有什么問(wèn)題？A大學(xué)B大學(xué)生物學(xué)數(shù)學(xué)化學(xué)會(huì)計(jì)學(xué)醫(yī)學(xué)信息技術(shù)學(xué)物理學(xué)法學(xué)工程學(xué)數(shù)學(xué)

解：這種算法有問(wèn)題，因?yàn)閱?wèn)題強(qiáng)調(diào)的是這名同學(xué)的專(zhuān)業(yè)選擇，故并不需要考慮學(xué)校的差異，所以這名同學(xué)可能的專(zhuān)業(yè)選擇種數(shù)應(yīng)當(dāng)為問(wèn)題3

如果完成一件事有三類(lèi)不同方案，在第1類(lèi)方案中有m1種不同的方法，在第2類(lèi)方案中有m2種不同的方法，在第3類(lèi)方案中有m3種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法?追問(wèn)：如果完成一件事有n類(lèi)不同方案，在每一類(lèi)方案中都有若干種不同的方法，那么應(yīng)當(dāng)如何計(jì)數(shù)呢?N=m1+m2+m3分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理推廣：

完成一件事,如果有n類(lèi)方案,第1類(lèi)方案中有m1種不同的方法,第2類(lèi)方案中有m2種不同的方法，……，第n類(lèi)方案中有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法.各類(lèi)不同方案中的方法互不相同類(lèi)比的思想正確理解分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理：①分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分類(lèi)”問(wèn)題，②完成一件事要分為若干類(lèi)，③各類(lèi)的方法相互獨(dú)立，④各類(lèi)中的各種方法也相對(duì)獨(dú)立，⑤用任何一類(lèi)中的任何一種方法都可以單獨(dú)完成這件事.問(wèn)題4

用前6個(gè)大寫(xiě)英文字母和1~9這9個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字，以A1,A2,???,A9,B1,B2,???的方式給教室里的一個(gè)座位編號(hào)，總共能編出多少種不同的號(hào)碼?這里仍然是“給一個(gè)座位編號(hào)”，但與前一問(wèn)題的要求不同.與前一問(wèn)題不同，這個(gè)問(wèn)題中，號(hào)碼必須由一個(gè)英文字母和一個(gè)作為下標(biāo)的阿拉伯?dāng)?shù)字組成，即得到一個(gè)號(hào)碼要經(jīng)過(guò)先確定一個(gè)英文字母，后確定一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字這樣兩個(gè)步驟.A19423數(shù)字5768字母得到的號(hào)碼A1A2A3A4A5A6A7A8A9樹(shù)狀圖追問(wèn)1：能用樹(shù)狀圖列出所有可能的號(hào)碼嗎?

用右圖所示的方法可以列出所有可能的號(hào)碼.由于前6個(gè)英文字母中的任意一個(gè)都能與9個(gè)數(shù)字中的任意一個(gè)組成一個(gè)號(hào)碼，而且它們互不相同，問(wèn)題4

用前6個(gè)大寫(xiě)英文字母和1~9這9個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字，以A1,A2,???,A9,B1,B2,???的方式給教室里的一個(gè)座位編號(hào)，總共能編出多少種不同的號(hào)碼?A19423數(shù)字5768字母得到的號(hào)碼A1A2A3A4A5A6A7A8A9樹(shù)狀圖我們把上述這種計(jì)數(shù)方法稱(chēng)為分步乘法計(jì)數(shù)原理.由此編出的不同號(hào)碼共有

6×9=54種.追問(wèn)1：你能說(shuō)一說(shuō)這個(gè)問(wèn)題的特征嗎?上述計(jì)數(shù)過(guò)程的基本環(huán)節(jié)是：（1）“和”字的出現(xiàn)，可確定完成編號(hào)要分為先確定一個(gè)英文字母，后確定一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字兩個(gè)步驟；（2）分別計(jì)算各步號(hào)碼的個(gè)數(shù)；（3）將各步號(hào)碼的個(gè)數(shù)相乘，得出所有號(hào)碼的個(gè)數(shù).2.分步乘法計(jì)數(shù)原理：一般地，完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有

N＝m×n種不同的方法.②各步驟相互依存,只有各步驟都完成了,這件事才算完成,將各個(gè)步驟的方法數(shù)相乘得到完成這件事的方法總數(shù),又稱(chēng)乘法原理.注意：①無(wú)論第1步采用哪種方法，與之對(duì)應(yīng)的第2步都有相同的方法數(shù).

例2

某班有男生30名、女生24名，從中任選男生和女生各1名代表班級(jí)參加比賽，共有多少種不同的選法?解：第1步，從30名男生中選出1人，有30種不同選法；

第2步，從24名女生中選出1人，有24種不同選法.

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有不同選法的種數(shù)為

N＝30×24=720.

如果完成一件事需要n個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法.問(wèn)題5

如果完成一件事有三個(gè)步驟,做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，做第3步有m3種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法?N＝m1×m2×m3追問(wèn)：

如果完成一件事需要有n個(gè)步驟,

做每一步中都有若干種不同方法,那么應(yīng)當(dāng)如何計(jì)數(shù)呢?分步乘法計(jì)數(shù)原理推廣正確理解分步乘法計(jì)數(shù)原理：①分步計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分步”問(wèn)題，②完成一件事要分為若干步，③各個(gè)步驟相互依存，④完成任何其中的一步都不能完成該件事，⑤只有當(dāng)各個(gè)步驟都完成后，才算完成這件事.注意：確定分步標(biāo)準(zhǔn)時(shí)要確保每一步都不能獨(dú)立地完成這件事.分步乘法計(jì)數(shù)流程：分步計(jì)數(shù)結(jié)論將完成一件事的過(guò)程分成若干步求出每一步中的方法數(shù)將每一步中的方法數(shù)相乘得最終結(jié)果

例3書(shū)架的第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書(shū)，第2層放有3本不同的文藝書(shū)，第3層放有2本不同的體育書(shū).

(1)從書(shū)架上任取1本書(shū)，有多少種不同取法?

(2)從書(shū)架的第1層、第2層、第3層各取1本書(shū)，有多少種不同取法?解：(1)根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，不同的取法種數(shù)為

N＝4＋3＋2＝9.(2)根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的取法種數(shù)為

N＝4×3×2=24.問(wèn)題6：分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)是什么?分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理相同點(diǎn)不同點(diǎn)注意點(diǎn)用來(lái)計(jì)算完成一件事的方法種數(shù)每類(lèi)方案中的每一種方法都能獨(dú)立完成這件事每步依次完成才算完成這件事情（每步中的每一種方法不能獨(dú)立完成這件事）相加相乘類(lèi)類(lèi)獨(dú)立步步關(guān)聯(lián)不重不漏缺一不可分類(lèi)--分步--解：從3幅畫(huà)中選出2幅分別掛在左、右兩邊墻上，可以分兩個(gè)步驟完成：

第1步，從3幅畫(huà)中選1幅掛在左邊墻上，有3種選法；

第2步，從剩下的2幅畫(huà)中選1幅掛在右邊墻上，有2種選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同掛法的種數(shù)為

N＝3×2=6.這6種掛法如右圖所示.

例4

要從甲、乙、丙3幅不同的畫(huà)中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，共有多少種不同的掛法?.乙乙丙甲右邊丙乙甲左邊得到的掛法甲乙甲丙乙甲乙丙丙甲丙乙甲丙

例5

給程序模塊命名，需要用3個(gè)字符，其中首字符要求用字母A~G或U~Z，后兩個(gè)要求用數(shù)字1~9，最多可以給多少個(gè)程序命名？解2:

首字符用A~G給程序命名的個(gè)數(shù)為7×9×9＝567.

首字符用U~Z給程序命名的個(gè)數(shù)為6×9×9＝486.

∴總的不同名稱(chēng)的個(gè)數(shù)是567＋486＝1053.問(wèn)題1你還能給出不同的解法嗎?解:由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，首字符不同選法的種數(shù)為7＋6＝13.

后兩個(gè)字符從1~9中選，因?yàn)閿?shù)字可以重復(fù)，所以不同選法的種數(shù)都為9.

由分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同名稱(chēng)的個(gè)數(shù)是13×9×9＝1053，

即最多可以給1053個(gè)程序模塊命名.

例6電子元件很容易實(shí)現(xiàn)電路的通與斷、電位的高與低等兩種狀態(tài)，而這也是最容易控制的兩種狀態(tài).因此計(jì)算機(jī)內(nèi)部就采用了每一位只有0或1兩種數(shù)字的記數(shù)法，即二進(jìn)制.為了使計(jì)算機(jī)能夠識(shí)別字符，需要對(duì)字符進(jìn)行編碼，每個(gè)字符可以用1個(gè)或多個(gè)字節(jié)來(lái)表示，其中字節(jié)是計(jì)算機(jī)中數(shù)據(jù)存儲(chǔ)的最小計(jì)量單位，每個(gè)字節(jié)由8個(gè)二進(jìn)制位構(gòu)成.(1)1個(gè)字節(jié)(8位)最多可以表示多少個(gè)不同的字符?(2)計(jì)算機(jī)漢字國(guó)標(biāo)碼包含了6763個(gè)漢字，一個(gè)漢字為一個(gè)字符，要對(duì)這些漢字進(jìn)行編碼，每個(gè)漢字至少要用多少個(gè)字節(jié)表示?解:(1)由分步乘法計(jì)數(shù)原理，1個(gè)字節(jié)最多可以表示不同的字符個(gè)數(shù)是2×2×2×2×2×2×2×2＝28＝256.(2)由(1)知，1個(gè)字節(jié)最多可以表示256個(gè)不同的字符，則2個(gè)字節(jié)最多就可以表示256×256＝65536>6763，所以每個(gè)漢字至少要用2個(gè)字節(jié)表示.練：五名學(xué)生報(bào)名參加四項(xiàng)體育比賽，每人限報(bào)一項(xiàng)，報(bào)名方法的種數(shù)為多少？他們爭(zhēng)奪這四項(xiàng)比賽的冠軍，獲得冠軍的可能性有多少種？解:（1）5名學(xué)生中任一名均可報(bào)其中的任一項(xiàng)，因此每個(gè)學(xué)生都有4種報(bào)名方法，5名學(xué)生都報(bào)了項(xiàng)目才能算完成這一事件故報(bào)名方法種數(shù)為4×4×4×4×4=45種.（2）每個(gè)項(xiàng)目只有一個(gè)冠軍，每一名學(xué)生都可能獲得其中的一項(xiàng)獲軍，因此每個(gè)項(xiàng)目獲冠軍的可能性有5種故有n=5×5×5×5=54種.1.某教學(xué)樓有四個(gè)不同的樓梯，3名學(xué)生要下樓，共有多少種不同的下樓方法?2.有4名同學(xué)要爭(zhēng)奪3個(gè)比賽的冠軍，冠軍獲得者共有多少可能?3.四封信投入三個(gè)信箱，有多少種投法?4.某公共汽車(chē)上有10名乘客，沿途有5個(gè)車(chē)站，乘客下車(chē)的可能方式有多少種?4343345105.75600有多少個(gè)正約數(shù)?有多少個(gè)奇約數(shù)?5.75600有多少個(gè)正約數(shù)?有多少個(gè)奇約數(shù)?解:由于75