高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1湖北省武漢市部分重點(diǎn)中學(xué)5G聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交.一、單項單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為,所以錯,因為,所以對,因為,所以錯,因為,所以錯.故選：B2.已知二項式的展開式中僅有第項的二項式系數(shù)最大，則為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為二項式的展開式中僅有第項的二項式系數(shù)最大，則二項式的展開式共項，即，解得.故選：A.3.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，所以，令，則，，則，所以故選：A.4.1949年10月1日，開國大典結(jié)束后，新成立的中央人民政府在北京飯店舉行了有600余位賓客參加的新中國第一次國慶招待會，史稱“開國第一宴”．該宴的主要菜品有：鮑魚濃汁四寶、東坡肉方、蟹粉獅子頭、雞汁煮干絲、清炒翡翠蝦仁和全家福．若這六道菜要求依次而上，其中“東坡肉方”和“雞汁煮干絲”不能接連相鄰上菜，則不同的上菜順序種數(shù)為（）A.240 B.480 C.384 D.1440【答案】B【解析】鮑魚濃汁四寶、蟹粉獅子頭、清炒翡翠蝦仁和全家福依次而上有種排列方式，此時形成個空位，選出個空位將東坡肉方和雞汁煮干絲分別插入進(jìn)去，共有種排列方式，由乘法原理可知不同的上菜順序種數(shù)為，故選：.5.若點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線距離的最小值為（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】過點(diǎn)作曲線的切線，當(dāng)切線與直線平行時，點(diǎn)到直線距離最小.設(shè)切點(diǎn)為，所以切線斜率為，由題知，解得或（舍），，此時點(diǎn)到直線距離.故選：D6.三根繩子上共掛有8只氣球，繩子上的球數(shù)依次為2，3，3，每槍只能打破一只球，而且規(guī)定只有打破下面的球才能打上面的球，則將這些氣球都打破的不同打法數(shù)是（）A.350 B.140 C.560 D.280【答案】C【解析】將8只氣球編號，依次從下往上，從右往左編號為，問題等價于8只氣球排列，其中號，號，號必須是從下到上的順序打破氣球，則有種.故選：C.7.若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根據(jù)二項式定理展開式，故當(dāng)時，，即，所以，整理得，故，又，所以.故選：C．8.若曲線與曲線有公切線，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設(shè)公切線與函數(shù)切于點(diǎn)，由，得，所以公切線的斜率為，所以公切線方程為，化簡得，設(shè)公切線與函數(shù)切于點(diǎn)，由，得，則公切線的斜率為，所以公切線方程為，化簡得，所以，消去，得，由，得，令，則，所以在上遞減，所以，所以由題意得，即實數(shù)的取值范圍是，故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.的展開式中，下列結(jié)論正確的是（）A.展開式共7項 B.x項系數(shù)為－280C.所有項的系數(shù)之和為1 D.所有項的二項式系數(shù)之和為128【答案】BD【解析】由題意得展開式共8項，故A錯；通項為，令，解得，所以項系數(shù)為，故B正確；令中得，所以所有項的系數(shù)之和為，故C錯；所有項的二項式系數(shù)和為，故D正確.故選：BD10.甲、乙、丙、丁四名同學(xué)報名參加假期社區(qū)服務(wù)活動，社區(qū)服務(wù)活動共有“關(guān)懷老人”“環(huán)境檢測”、“圖書義賣”這三個項目，每人都要報名且限報其中一項．記事件A為“恰有兩名同學(xué)所報項目相同”，事件B為“只有甲同學(xué)一人報‘關(guān)懷老人’項目”，則（）A.四名同學(xué)的報名情況共有種B.“每個項目都有人報名”的報名情況共有36種C.“四名同學(xué)最終只報了兩個項目”的概率是D.【答案】BCD【解析】對于A，由題意可知，甲、乙、丙、丁四名同學(xué)每人有3種選擇，故四名同學(xué)的報名情況共有種，A錯誤；對于B，現(xiàn)將四名志愿者分為2，1，1三組，共有種情況，再將其分到三個活動中，共有種，由分步乘法計數(shù)原理得到種，故“每個項目都有人報名”的報名情況共有36種，B正確；對于C，四名同學(xué)最終只報了兩個項目，若有3人報名了1個項目，另外1人報名了1個項目，此時有種情況，若每2個人報名了1個項目，此時有種情況，共有種情況，“四名同學(xué)最終只報了兩個項目”的概率是，C正確；對于D，事件A：先從4名同學(xué)選出2人，組成一組，再進(jìn)行全排列，故，事件：甲同學(xué)1人報名‘關(guān)懷老人’項目，剩余3人分為2組，和剩余的2個項目進(jìn)行全排列，故，所以，D正確．故選：BCD11.已知函數(shù)，下列說法中正確的有（）A.函數(shù)的極小值為B.函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為C.D.若曲線與曲線無交點(diǎn)，則的取值范圍是【答案】BCD【解析】A：，令，所以當(dāng)時，，為單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)時，，為單調(diào)遞減函數(shù)；則函數(shù)的極大小值為，故A錯誤；B：，又，則函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，即，故B正確；C：因為在上單調(diào)遞減，所以，即，所以，則，故C正確；D：兩曲線無交點(diǎn)等價于方程無解，顯然，即無解，即無解，因此比函數(shù)的最大值還大，即，故，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，則_____________.【答案】2或6【解析】因為，所以，解得，又或，解得或.故答案為：2或613.已知函數(shù)，若函數(shù)恰好有兩個零點(diǎn)，則實數(shù)等于________．【答案】【解析】因為，則，對于函數(shù)，所以，顯然不是函數(shù)的零點(diǎn)，當(dāng)時函數(shù)恰好有兩個零點(diǎn)，所以方程有兩個根，令，則函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個交點(diǎn)，當(dāng)時，，則，所以當(dāng)時，，函數(shù)在上為增函數(shù)，當(dāng)時，，函數(shù)在上為減函數(shù)，又，當(dāng)時，，函數(shù)在上為減函數(shù)，由此可得函數(shù)的圖象如下：當(dāng)即時，函數(shù)與函數(shù)的圖象恰有兩個交點(diǎn)，所以.故答案為：.14.已知當(dāng)時，不等式恒成立，則正實數(shù)的取值范圍是_______.【答案】【解析】由題意，原不等式可變形為，即，設(shè)，則當(dāng)時，恒成立，因為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因為，，則，所以，，因在上單調(diào)遞增，所以要使，只需，在上恒成立，取對數(shù)，得，因為，所以．令，，因為，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，則.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù).（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.解：（1）函數(shù)的定義域為R.導(dǎo)函數(shù).所以，，所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）令，解得：或.列表得：x13+2+單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，；單調(diào)減區(qū)間為；極大值為，極小值為.16.在6名內(nèi)科醫(yī)生和4名外科醫(yī)生中，內(nèi)科主任和外科主任各1名，現(xiàn)要組成5人醫(yī)療小組送醫(yī)下鄉(xiāng)，依下列條件各有多少種選派方法？（1）有3名內(nèi)科醫(yī)生和2名外科醫(yī)生；（2）既有內(nèi)科醫(yī)生，又有外科醫(yī)生；（3）至少有1名主任參加；（4）既有主任，又有外科醫(yī)生．解：（1）先選3名內(nèi)科醫(yī)生共有種選法，再選2名外科醫(yī)生共有種選法，故選派方法共有種.（2）既有內(nèi)科醫(yī)生，又有外科醫(yī)生包括四種情況：內(nèi)科醫(yī)生去人，易得選派方法為：.（3）分兩類：一是選1名主任有種方法；二是選2名主任有種方法，故至少有1名主任參加的選派方法共種.（4）若選外科主任，則其余可任意選，共有種選法；若不選外科主任，則必選內(nèi)科主任，且剩余四人不能全選內(nèi)科醫(yī)生，有種選法，故既有主任，又有外科醫(yī)生的選派種數(shù)為.17.某學(xué)校安排甲、乙、丙三個班級同時到學(xué)校禮堂參加聯(lián)歡晚會，已知甲班藝術(shù)生占比8%，乙班藝術(shù)生占比6%，丙班藝術(shù)生占比5%．學(xué)生自由選擇座位，先到者先選．甲、乙、丙三個班人數(shù)分別占總?cè)藬?shù)的，，．若主持人隨機(jī)從場下學(xué)生中選一人參與互動．（1）求選到的學(xué)生是藝術(shù)生的概率；（2）如果選到的學(xué)生是藝術(shù)生，判斷其來自哪個班的可能性最大．解：（1）設(shè)“任選一名學(xué)生恰好是藝術(shù)生”，“所選學(xué)生來自甲班”，“所選學(xué)生來自乙班”,“所選學(xué)生來自丙班”．由題可知：，，，，，.（2）；所以其來自丙班的可能性最高．18.某服裝廠主要從事服裝加工生產(chǎn)，依據(jù)以往的數(shù)據(jù)分析，若加工產(chǎn)品訂單的金額為x萬元，可獲得的加工費(fèi)為萬元，其中．（1）若，為確保企業(yè)獲得的加工費(fèi)隨加工產(chǎn)品訂單的金額x的增長而增長，則該企業(yè)加工產(chǎn)品訂單的金額x（單位：萬元）應(yīng)在什么范圍內(nèi)？（2）若該企業(yè)加工產(chǎn)品訂單的金額為x萬元時共需要的生產(chǎn)成本為萬元，已知該企業(yè)加工生產(chǎn)能力為（其中x為產(chǎn)品訂單的金額），試問m在何范圍時，該企業(yè)加工生產(chǎn)將不會出現(xiàn)虧損．解：（1）當(dāng)時，，所以，令，即，又因為，因此，所以該企業(yè)加工產(chǎn)品訂單的金額x（單位：萬元）應(yīng)在；（2）令，該企業(yè)加工生產(chǎn)將不會出現(xiàn)虧損，即恒成立，所以，即，設(shè)，則，令，則，所以在上單調(diào)遞減，且，所以在上，即在上恒成立，故，所以，故，因此當(dāng)時，該企業(yè)加工生產(chǎn)將不會出現(xiàn)虧損.19.設(shè)函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若有兩個零點(diǎn)，，①求a的取值范圍；②證明：．解：（1）由，，可得，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，得，令，得，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（2）①因為函數(shù)有兩個零點(diǎn)，由（1）得，此時的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，有極小值當(dāng)，，當(dāng)，在上有一個零點(diǎn)，當(dāng)，，當(dāng)，在上有一個零點(diǎn)，所以由可得②證明：由（1）可得的極小值點(diǎn)為，則不妨設(shè)．設(shè)，，可得，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，則，，所以當(dāng)時，，且．因為當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以，即設(shè)，，則，則，即．所以，．設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，即．綜上，湖北省武漢市部分重點(diǎn)中學(xué)5G聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交.一、單項單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為,所以錯,因為,所以對,因為,所以錯,因為,所以錯.故選：B2.已知二項式的展開式中僅有第項的二項式系數(shù)最大，則為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為二項式的展開式中僅有第項的二項式系數(shù)最大，則二項式的展開式共項，即，解得.故選：A.3.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，所以，令，則，，則，所以故選：A.4.1949年10月1日，開國大典結(jié)束后，新成立的中央人民政府在北京飯店舉行了有600余位賓客參加的新中國第一次國慶招待會，史稱“開國第一宴”．該宴的主要菜品有：鮑魚濃汁四寶、東坡肉方、蟹粉獅子頭、雞汁煮干絲、清炒翡翠蝦仁和全家福．若這六道菜要求依次而上，其中“東坡肉方”和“雞汁煮干絲”不能接連相鄰上菜，則不同的上菜順序種數(shù)為（）A.240 B.480 C.384 D.1440【答案】B【解析】鮑魚濃汁四寶、蟹粉獅子頭、清炒翡翠蝦仁和全家福依次而上有種排列方式，此時形成個空位，選出個空位將東坡肉方和雞汁煮干絲分別插入進(jìn)去，共有種排列方式，由乘法原理可知不同的上菜順序種數(shù)為，故選：.5.若點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線距離的最小值為（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】過點(diǎn)作曲線的切線，當(dāng)切線與直線平行時，點(diǎn)到直線距離最小.設(shè)切點(diǎn)為，所以切線斜率為，由題知，解得或（舍），，此時點(diǎn)到直線距離.故選：D6.三根繩子上共掛有8只氣球，繩子上的球數(shù)依次為2，3，3，每槍只能打破一只球，而且規(guī)定只有打破下面的球才能打上面的球，則將這些氣球都打破的不同打法數(shù)是（）A.350 B.140 C.560 D.280【答案】C【解析】將8只氣球編號，依次從下往上，從右往左編號為，問題等價于8只氣球排列，其中號，號，號必須是從下到上的順序打破氣球，則有種.故選：C.7.若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根據(jù)二項式定理展開式，故當(dāng)時，，即，所以，整理得，故，又，所以.故選：C．8.若曲線與曲線有公切線，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設(shè)公切線與函數(shù)切于點(diǎn)，由，得，所以公切線的斜率為，所以公切線方程為，化簡得，設(shè)公切線與函數(shù)切于點(diǎn)，由，得，則公切線的斜率為，所以公切線方程為，化簡得，所以，消去，得，由，得，令，則，所以在上遞減，所以，所以由題意得，即實數(shù)的取值范圍是，故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.的展開式中，下列結(jié)論正確的是（）A.展開式共7項 B.x項系數(shù)為－280C.所有項的系數(shù)之和為1 D.所有項的二項式系數(shù)之和為128【答案】BD【解析】由題意得展開式共8項，故A錯；通項為，令，解得，所以項系數(shù)為，故B正確；令中得，所以所有項的系數(shù)之和為，故C錯；所有項的二項式系數(shù)和為，故D正確.故選：BD10.甲、乙、丙、丁四名同學(xué)報名參加假期社區(qū)服務(wù)活動，社區(qū)服務(wù)活動共有“關(guān)懷老人”“環(huán)境檢測”、“圖書義賣”這三個項目，每人都要報名且限報其中一項．記事件A為“恰有兩名同學(xué)所報項目相同”，事件B為“只有甲同學(xué)一人報‘關(guān)懷老人’項目”，則（）A.四名同學(xué)的報名情況共有種B.“每個項目都有人報名”的報名情況共有36種C.“四名同學(xué)最終只報了兩個項目”的概率是D.【答案】BCD【解析】對于A，由題意可知，甲、乙、丙、丁四名同學(xué)每人有3種選擇，故四名同學(xué)的報名情況共有種，A錯誤；對于B，現(xiàn)將四名志愿者分為2，1，1三組，共有種情況，再將其分到三個活動中，共有種，由分步乘法計數(shù)原理得到種，故“每個項目都有人報名”的報名情況共有36種，B正確；對于C，四名同學(xué)最終只報了兩個項目，若有3人報名了1個項目，另外1人報名了1個項目，此時有種情況，若每2個人報名了1個項目，此時有種情況，共有種情況，“四名同學(xué)最終只報了兩個項目”的概率是，C正確；對于D，事件A：先從4名同學(xué)選出2人，組成一組，再進(jìn)行全排列，故，事件：甲同學(xué)1人報名‘關(guān)懷老人’項目，剩余3人分為2組，和剩余的2個項目進(jìn)行全排列，故，所以，D正確．故選：BCD11.已知函數(shù)，下列說法中正確的有（）A.函數(shù)的極小值為B.函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為C.D.若曲線與曲線無交點(diǎn)，則的取值范圍是【答案】BCD【解析】A：，令，所以當(dāng)時，，為單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)時，，為單調(diào)遞減函數(shù)；則函數(shù)的極大小值為，故A錯誤；B：，又，則函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，即，故B正確；C：因為在上單調(diào)遞減，所以，即，所以，則，故C正確；D：兩曲線無交點(diǎn)等價于方程無解，顯然，即無解，即無解，因此比函數(shù)的最大值還大，即，故，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，則_____________.【答案】2或6【解析】因為，所以，解得，又或，解得或.故答案為：2或613.已知函數(shù)，若函數(shù)恰好有兩個零點(diǎn)，則實數(shù)等于________．【答案】【解析】因為，則，對于函數(shù)，所以，顯然不是函數(shù)的零點(diǎn)，當(dāng)時函數(shù)恰好有兩個零點(diǎn)，所以方程有兩個根，令，則函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個交點(diǎn)，當(dāng)時，，則，所以當(dāng)時，，函數(shù)在上為增函數(shù)，當(dāng)時，，函數(shù)在上為減函數(shù)，又，當(dāng)時，，函數(shù)在上為減函數(shù)，由此可得函數(shù)的圖象如下：當(dāng)即時，函數(shù)與函數(shù)的圖象恰有兩個交點(diǎn)，所以.故答案為：.14.已知當(dāng)時，不等式恒成立，則正實數(shù)的取值范圍是_______.【答案】【解析】由題意，原不等式可變形為，即，設(shè)，則當(dāng)時，恒成立，因為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因為，，則，所以，，因在上單調(diào)遞增，所以要使，只需，在上恒成立，取對數(shù)，得，因為，所以．令，，因為，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，則.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù).（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.解：（1）函數(shù)的定義域為R.導(dǎo)函數(shù).所以，，所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）令，解得：或.列表得：x13+2+單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，；單調(diào)減區(qū)間為；極大值為，極小值為.16.在6名內(nèi)科醫(yī)生和4名外科醫(yī)生中，內(nèi)科主任和外科主任各1名，現(xiàn)要組成5人醫(yī)療小組送醫(yī)下鄉(xiāng)，依下列條件各有多少種選派方法？（1）有3名內(nèi)科醫(yī)生和2名外科醫(yī)生；（2）既有內(nèi)科醫(yī)生，又有外科醫(yī)生；（3）至少有1名主任參加；（4）既有主任，又有外科醫(yī)生．解：（1）先選3名內(nèi)科醫(yī)生共有種選法，再選2名外科醫(yī)生共有種選法，故選派方法共有種.（2）既有內(nèi)科醫(yī)生，又有外科醫(yī)生包括四種情況：內(nèi)科醫(yī)生去人，易得選派方法為：.（3）分兩類：一是選1名主任有種方法；二是選2名主任有種方法，故至少有1名主任參加的選派方法共種.（4）若選外科主任，則其余可任意選，共有種選法；若不選外科主任，則必選內(nèi)科主任，且剩余四人不能全選內(nèi)科醫(yī)生，有種選法，故既有主任，又有外科醫(yī)生的選派種數(shù)為.17.某學(xué)校安排甲、乙、丙三個班級同時到學(xué)校禮堂參加聯(lián)歡晚會，已