清單02實數(shù)（3考點梳理+11題型解讀）

考宜情單

清單01平方根

i.算術平方根

一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于。，即爐=°,那么這個正數(shù)x叫做。的算術平方根.a

的算術平方根記為夜,讀作“根號1,。叫做被開方數(shù).

規(guī)定：0的算術平方根是0.

2.平方根

（1）平方根的相關概念

一般地，如果一個數(shù)的平方等于a,那么這個數(shù)叫做。的平方根或二次方根.這就是說，如

果》2=°,那么x叫做。的平方根.如2和-2是4的平方根，簡記為±2是4的平方根.

（2）平方根的性質

正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù).

試卷第1頁，共23頁

0的平方根是0.

負數(shù)沒有平方根，

（3）平方根的表示方法

正數(shù)。的算術平方根可以用夜表示；正數(shù)。的負的平方根，可以用，符號“-夜”表示，故

正數(shù)。的平方根可以用符號“士夜”表示，讀作“正、負根號如土岳=±5.

3.平方根的估算

要估算（點0）”的近似值，

第一步先確定估算數(shù)的整數(shù)范圍，如.22<7<32,所以2〈后<3；

第二步以較小整數(shù)為基礎，開始逐步加0.1（或以較大整數(shù)為基礎，開始逐步減0.1）,并求

其平方，確定被估算數(shù)的十分位；如此繼續(xù)下去，可按要求估算“S”的近似值，即用“夾逼

法”

清單02立方根

1.立方根和開立方

（1）一般地，如果一個數(shù)的立方等于e那么這個數(shù)叫做。的立方根或三次方根.這就是

說，如果，=a,那么x叫做。的立方根.

（2）求一個數(shù)的立方根的運算，叫做開立方.開立方與立方互為逆運算，可以通過這種關

系求一個數(shù)的立方根.

2.立方根的表示方法

一個數(shù)。的立方根，用符號表示，讀作“三次根號其中a是被開方數(shù)，3是根指

數(shù).如3說表示8的立方根，3般=2；3Q表示一8的立方根，3口=_2,中的根指

數(shù)3不能省略，

3.立方根的性質

（1）正數(shù)的立方根是正數(shù).

（2）負數(shù)的立方根是負數(shù).

（3）0的立方根是0.

4.平方根與立方根的聯(lián)系與區(qū)別

（1）聯(lián)系

試卷第2頁，共23頁

都與相應的乘方運算互為逆運算，開平方與平方互為逆運算，開立方與立方互為逆運算.

0的平方根和立方根都是它本身.

（2）區(qū)別

在用符號表示平方根時，根指數(shù)2可以省略不寫；而用符號表示立方根時，根指數(shù)3不能省

略.

平方根只有非負數(shù)才有，而立方根任何數(shù)都有.

正數(shù)的平方根有兩個，而正數(shù)的立方根只有1個.

互為相反數(shù)的兩個數(shù)的立方根也互為相反數(shù).如：-8和8互為相反數(shù)，它們的立方根-2和2

也互為相反數(shù).即3J—q=-3W.

清單038實數(shù)及其簡單運算

1.無理數(shù)

（1）無理數(shù)的概念

無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù).如應，§口|,0.8080080008...都是無理數(shù).

（2）常見的無理數(shù)

所有開方開不盡的方根，如石.

化簡后含有兀的數(shù)，如

無限不循環(huán)小數(shù)，如0.320030250...

2.實數(shù)的定義

有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).

3.實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應關系

我們知道，任何一個有理數(shù)，在數(shù)軸上都有唯一確定的點與之對應，但是數(shù)軸，上的點并不

都表示有理數(shù)，而有理數(shù)和無理數(shù)合在一起，才.能填滿整個數(shù)軸，所以實數(shù)與數(shù)軸上的點

是一一對應的，也就是說，每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示；反之，數(shù)軸上的每

一個點都表示一個實數(shù).

4.實數(shù)的運算

（1）實數(shù)的運算

當數(shù)從有理數(shù)擴充到實數(shù)以后，實數(shù)之間不僅可以進行加、減、乘、除（除數(shù)不為0）、乘

方運算，而且正數(shù)及0可以進行開平方運算，任意一個實數(shù)可以進行開立方運算.在進行實

數(shù)的運算時，有理數(shù)的運算法則及運算性質等同樣適用.

試卷第3頁，共23頁

（2）實數(shù)運算的順序

先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，同級運算從左到右依次計算，有括號的要先算括

號里面的.實數(shù)的運算順序與有理數(shù)相同，有理數(shù)范圍內的加法運算律、乘法運算律和去

（添）括號法則同樣適用于實數(shù).

強型陸單

【考點題型一】平方根（）

【例1】

（24-25七年級上,浙江金華?期中）

1.一個正數(shù)的兩個平方根分別是和-3,則機的值是.

【變式1-1]

（24-25七年級上?浙江杭州?期中）

2.1”6蔡的平方根是士41"，用數(shù)學式子表達為（

〔竺=+3164164

A.B.D.

255255255

【變式1-2】

（24-25七年級上?陜西西安?期中）

3.若加的平方是9,"的平方是25,S.m-n>0,則加+〃的值是()

A.-2B.-8或-2C.一8或8D.8或一2

【變式1-3】

（24-25七年級上?浙江溫州?期中）

4.已知一個正數(shù)的兩個平方根分別是。和3,則d的值是（)

A.9B.-9C.27D.-27

【變式1-4】

（23-24七年級下?廣西柳州?期中）

2

5.求下列式中x的值：X-81=0.

【考點題型二】算數(shù)平方根（)

【例2】

（22-23七年級下?浙江寧波?期中）

6.若關于a,6,。的方程Ja-6+2+（2a+/-c）2=0,求4。一6-。的值為

試卷第4頁，共23頁

【變式2-1]

（23-24七年級下?云南曲靖?期中）

7.一個正方形的面積是25,則這個正方形的邊長是（）

A.5B.±5C.V5D.±45

【變式2-2】

（22-23七年級下?重慶江津?期中）

8.已知+y-3+[x-2y-4=Ja-2022+J2022-a,貝（Jx+y=（）

A.-1B.0C.1D.2

【變式2-3]

（23-24七年級下?陜西安康?期中）

9.如圖，這個正方體的體積是：27cm3且相對面上的算式相同，則這個正方體的展開圖中

算式結果是奇數(shù)的面的面積之和是cm2.

/1+y49/

K/25-716/

【變式2-4]

（23-24七年級下?河南駐馬店?期中）

10.我國南宋時期數(shù)學家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，即三角形的三邊長

分別為a,6,c,記°="等，那么其面積S=Jp（p-a）（p-6）（0-c）.如果某個三角形的

三邊長分別為2,3,3,其面積S介于整數(shù)〃和"+1之間，那么”的值是.

【變式2-5]

（23-24七年級下?山東臨沂?期中）

11.為了培養(yǎng)學生的愛國主義情懷，激發(fā)青少年報效祖國、奉獻社會、服務人民的責任心和

使命感，學校舉辦了“小小賀卡，軍民情深”祝?；顒?小芳制作了一張面積為225cm2的正

方形賀卡.現(xiàn)有一個長方形信封如圖所示，長、寬之比為3:2,面積為420cm2,小芳能將

這張賀卡不折疊就放入此信封嗎？請通過計算說明你的判斷.

試卷第5頁，共23頁

【變式2-6]

（22-23七年級下?湖北黃岡?期中）

12.如圖1,在平面直角坐標系中，點A,3的坐標分別為/（4,0）,8儂0）,且a,6滿足

|a+3|+VF=1=0.現(xiàn)同時將點A,B分別向上平移2個單位，再向左平移2個單位，分別

（2）如圖2,點P是線段NC上的一個動點，點。是線段C。的中點，連接P。，PO,當點P

在線段NC上移動時（不與A,C重合），請找出/尸。。，NOPQ,/尸。8的數(shù)量關系，

并證明你的結論；

（3）在坐標軸上是否存在點使△MID的面積與的面積相等？若存在，直接寫出點

M的坐標；若不存在，試說明理由.

【考點題型三】立方根（）

【例3】

（23-24七年級下?云南曲靖?期中）

13.已知2a-1的算術平方根是3,3a+6-9的立方根是2,c是絕對值最小的數(shù).

（1）求a,b,c的值；

⑵求2a+3b+c的平方根.

【變式3-1】

（22-23七年級下?河南商丘?期中）

14.若°=_疔，b=-』（-2）3,c=卜月則a,b,c的大小關系是（）.

A.a>b>cB.b>c>aC.b>a>cD.c>b>a

試卷第6頁，共23頁

【變式3-2]

（23-24七年級下?廣西玉林?期中）

15.已知4a+4的立方根是2,2a+46+2的算術平方根是4,則。+6的平方根是,

【變式3-31

（22-23七年級下?廣西南寧?期中）

16.正方體的體積為7,則正方體的棱長為.

【變式3-4]

（22-23七年級下?貴州黔南?期中）

17.已知2a+3的平方根是±5,15-36=2,求a+b的算術平方根.

【變式3-5]

⑵一24七年級下?廣東惠州?期中）

18.解方程：（X-5）3+8?0

【變式3-6】

（23-24七年級下?廣東肇慶?期中）

19.已知x+1的平方根是±2,4工+2了+7的立方根是3,求/+/的算術平方根.

【變式3-71

（23-24七年級下?北京?期中）

20.一個正數(shù)的平方根是2x+4和-3x-2,求這個數(shù)的立方根.

【變式3-8]

（23-24七年級上?浙江溫州?期中）

21.如圖是一塊體積為216立方厘米的正方體鐵塊.

（1）求該正方體鐵塊的棱長及表面積；

（2）現(xiàn)在工廠要將這塊鐵塊融化，重新鍛造成兩個棱長為2厘米的小正方體鐵塊和一個底面

為正方形的長方體鐵塊，若長方體鐵塊的高為8厘米，求長方體鐵塊的底面正方形的邊長.

【變式3-9]

試卷第7頁，共23頁

（23-24七年級下?廣西百色?期中）

22.1實踐與探究】

【類比學習】在一次數(shù)學興趣小組活動中，老師和幾個同學一起探討：在4=6中，a、b、n

三者的關系.

同學甲：在優(yōu)=6中，已知服”，求6,這是我們學過的乘方運算，其中6叫做。的"次方.

如：（-2）3=-8,則一8是一2的3次方.

同學乙：在a"=6中，已知6、〃，求。，這是我們學過的開方運算，其中“叫做6的"次方

根，

如：（±2『=4,則±2是4的二次方根（即平方根）；

（-2）3=-8,則-2是-8的三次方根（即立方根）.

老師：兩位同學說的很好，那么請大家類比平方根、立方根的定義計算：

（1）81的四次方根等于,-32的五次方根等于；

同學丙：老師，在優(yōu)=6中，如果已知。和b,那么如何求”呢？又是一種什么運算呢？

老師：這個問題問的好，已知a、b,可以求"，它是一種新的運算，稱為對數(shù)運算.

這種運算的定義是：若優(yōu)="a>0,awl）,則〃叫做以。為底6的對數(shù)，記作：〃=log）.

例如：23=8,則3叫做以2為底8的對數(shù)，記作-28=3.

結合上面的學習，請你計算：

（2）log327=,V=64+log4-=；

16

隨后，老師和同學們又一起探究出對數(shù)運算的一條性質：如果a>0,awl,M>0,

N>0,那么10ga（M.N）=10gaM+10gaN.

（3）請利用上述性質計算：1。857+1。85：.

【考點題型四】實數(shù)的概念與分類（）

【例4】

（24-25七年級下?全國?期中）

23.實數(shù)：百，我，兀，0.1010010001...（相鄰兩個1之間依次多一個0）,0,其中無理

數(shù)有（）個.

A.1B.2C.3D.4

試卷第8頁，共23頁

【變式4-1]

（22-23七年級下?湖北省直轄縣級單位?期中）

24.4-，討的絕對值為.

【變式4-2]

（23-24七年級下?黑龍江齊齊哈爾?期中）

25.囪-4的相反數(shù)是.

【變式4-3]

（24-25七年級上?浙江金華?期中）

26.已知下列實數(shù)：①0,?—,③4，④g,⑤321，⑥當，其中整數(shù)有：

,分數(shù)有：,無理數(shù)有：.（只需填寫序號）

【變式4-4]

（24-25七年級下?全國，期中）

27.滿足-。＜x＜痂的整數(shù)x是.

【考點題型五】實數(shù)與數(shù)軸（）

【例5】

（23-24七年級下?四川廣安?期中）

28.實數(shù)a,b,c在數(shù)軸上對應點的位置如圖所示，化簡：V7-7（c-a）2+|^-c|

-?--1---!-?---＞

Ub0C

【變式5-1]

（24-25七年級下?全國?期中）

29.實數(shù)。在數(shù)軸上的位置如圖所示，貝-5y+J（a-IO））化簡后為（）

耀

?SB

A.5B.-5C.15-2aD.2a-15

【變式5-2]

（22-23七年級下?重慶江津?期中）

30.對代數(shù)式A定義新運算：回=兇.在代數(shù)式a+6+c中任意加新運算，然后按給出的

試卷第9頁，共23頁

運算順序重新運算，稱此為“新運算操作”.實數(shù)a,b,C在數(shù)軸上的位置如圖所示.例如:

a+4^+c=a+\b\+c=a-b+c9+不（b+c）之=同+|b+c|=a-6-c,….下列說法正確的個數(shù)

是（）

①V^+6+V?>0;

②a+｛（b+c）2=a++V?;

③至少存在一種“新運算操作”，使運算結果與原代數(shù)式之和為0；

④至少存在一種“新運算操作”，使運算結果為-a-b+c.

cba

-3-2-1012

A.4B.3C.2D.1

【變式5-3]

（24-25七年級上?浙江杭州?期中）

31.把下列實數(shù)表示在數(shù)軸上，并比較它們的大?。ㄓ谩啊础边B接）.

-3,0,|-2|,-V16,（-l）"

?II?1???1A

-4-3-2-101234

<<<<.

【變式5-4]

（23-24七年級上?浙江寧波?期中）

32.教材上有這樣一個合作學習活動：如圖1,依次連結2x2方格四條邊的中點A,B,

C,D,得到一個陰影正方形.設每一小方格的邊長為1,得到陰影正方形面積為2.

【基礎嘗試】

（1）發(fā)現(xiàn)圖1這個陰影正方形的邊長就是小方格的對角線長，則小方格對角線長是一，由

此我們得到一種在數(shù)軸上找到無理數(shù)的方法；

【畫圖探究】

（2）如圖2,以1個單位長度為邊長畫一個正方形，以數(shù)字1所在的點為圓心，正方形的

對角線為半徑畫弧，與數(shù)軸交于N兩點，則點M表示的數(shù)為；

試卷第10頁，共23頁

圖⑴圖⑵

【問題解決】

（3）如圖3,3x3網(wǎng)格是由9個邊長為1的小方格組成.

①畫出面積是5的正方形，使它的頂點在網(wǎng)絡的格點上；

②請借鑒（2）中的方法在數(shù)軸上找到表示實數(shù)仆-1的準確位置.（保留作圖痕跡并標出

必要線段長）

【考點題型六】實數(shù)的大小比較（）

[例6]

（23-24七年級下?貴州黔南?期中）

33.數(shù)學課上，老師提出一個問題，比較無理數(shù)的時，由于老師無法解決，你能幫老師解決

這個問題dl與[的大小.

小明的方法：因為后＞4,所以亞-3_3,所以當匚一:（填““或“＜”）

小英的方法：典心-：=交廣，因為21＜6?=36,所以亞-6_0,所以"（填

44444

“＞，或，＜，，）

（1）將上述材料補充完成；

（2）請從小明和小英的方法中選擇一種比較姮二1與;的大小.

22

【變式6-1]

（24-25七年級上?山東東營?期中）

試卷第11頁，共23頁

34.比較大?。骸?.

3

【變式6-2]

（23-24七年級下?全國?期中）

35.比較大小：2-舊1-V3.

【變式6-3]

（23-24七年級上?浙江寧波?期中）

36.在數(shù)軸上畫出表示下列各數(shù)的點，并用“〈”連接上述各數(shù).

|-4|,—,0,—1,^4,萬.

【變式6-4]

（23-24七年級下?福建福州?期中）

37.某市規(guī)劃3兩塊空地種植花卉，/空地為正方形，2空地為長與寬之比是3:2的長

方形，若兩塊空地的面積都為96cm2,現(xiàn)打算分別在兩塊空地的四周都圍上柵欄，請比較這

兩塊空地所需柵欄長度的大小？并說明理由.

【變式6-5]

（24-25七年級上?浙江杭州?期中）

38.如圖1,正方形MVP0的面積為4,連結各邊中點，得到一個新的正方形N8CD.

圖I圖2

（1）求出圖1中正方形42。的面積及其邊長；

（2）如圖2,把正方形放到數(shù)軸上，使得邊加與數(shù)軸重合，且點/落在數(shù)軸上表示-1

的點處，現(xiàn)正方形N2CD分別做以下運動：

①將正方形/BCD繞點A順時針旋轉至邊N3與數(shù)軸重合，假設此時點B所表示的數(shù)為m；

②將正方形/BCD沿數(shù)軸正方向移動2個單位，假設此時點A所表示的數(shù)為n.

試求m,n的值并比較"2與”的大小.

【考點題型七】實數(shù)的運算（）

試卷第12頁，共23頁

【例7】

(24-25七年級上?云南曲靖?期中)

39.計算：

⑴7^7-4x(-1)2025+|_2|3_灰

⑵病+V1萬-4-21-G

【變式7-1]

(24-25七年級上?浙江寧波?期中)

40.如圖，是一個數(shù)值轉換器，其工作原理如圖所示.

當輸入的x值為-7時，則輸出的＞值為.

【變式7-2]

(24-25七年級上?浙江紹興?期中)

41.計算J話-16-2]的值為.

【變式7-3]

(24-25七年級下?全國?期中)

42.求下列各式中的未知數(shù)：

(1)(X+1)2=25；

⑵-8(1-2城+1=28.

【變式7-4]

(24-25七年級上?浙江杭州?期中)

43.計算：

(1)(-1)3+|-2|-V9；

⑵舛x(g-gJ+23.

【變式7-51

(24-25七年級上?浙江臺州?期中)

44.對于任意實數(shù)a,b,定義一種新運算十:a十6=(a+l)2+(6+l)2,例如:

試卷第13頁，共23頁

1十2=(l+iy+(2+l)2=13.

(1)(-2)?3=.

(2)求2十[(-I)十(-3)]的平方根.

(3)我們知道，實數(shù)的加法運算和乘法運算都滿足交換律，試問實數(shù)a,6的這種新運算十是

否也滿足交換律？請說明理由.

【變式7-6]

(22-23七年級上?浙江嘉興?期中)

45.閱讀材料：若點N在數(shù)軸上分別表示實數(shù)小,那么"，N之間的距離可表示

為|加一〃|.例如即表示3,1在數(shù)軸上對應的兩點之間的距離；同樣：|5+3|=|5-(-3)|

表示5,-3在數(shù)軸上對應的兩點之間的距離.根據(jù)以上信息，完成下列題目：

(1)已知A,B,C為數(shù)軸上三點，點A對應的數(shù)為近，點。對應的數(shù)為1.

①若點B對應的數(shù)為-2,則B,C兩點之間的距離為一；

②若點A到點B的距離與點A到點C的距離相等，則點8對應的數(shù)是—.

(2)對于|x-3|+|x+4|這個代數(shù)式.

①它的最小值為—；

②若|x-3|+[x+4|+|y-l|+|y+2|=10,則x+y的最大值為.

【考點題型八】無理數(shù)的大小估算()

【例8】

(24-25七年級上?浙江杭州?期中)

46.下列整數(shù)中，與后-2最接近的是()

A.2B.3C.4D.5

【變式8-1]

(24-25七年級上?浙江寧波?期中)

47.已知整數(shù)。滿足4＜五＜5,則整數(shù)。不可能是()

A.16B.17C.18D.19

【變式8-2]

(24-25七年級上?浙江金華?期中)

48.已知整數(shù)修滿足機＜?。??+1,則加的值為.

試卷第14頁，共23頁

【變式8-3]

（24-25七年級上?浙江杭州?期中）

49.若整數(shù)。滿足條件行<a〈后，貝壯的值是

【變式8-4]

（24-25七年級上?浙江金華?期中）

50.如圖，長方形內部有兩個相鄰的正方形，面積分別為10和4.

⑴請計算陰影部分的面積.

（2）請計算陰影部分的周長，并估計該周長最接近哪個整數(shù).

【變式8-51

（24-25七年級上?浙江杭州?期中）

51.定義：若無理數(shù)"的被開方數(shù)（T為正整數(shù)）滿足"2<7<5+1『（其中"為正整

數(shù)），則稱無理數(shù)"的“共同體區(qū)間”為（a〃+1）.例如：因為F<3<22,所以后的“共同體

區(qū)間”為（1,2）.請回答下列問題:

（1）726的“共同體區(qū)間”為：

（2）若無理數(shù)人的“共同體區(qū)間”為（2,3）,求而？的“共同體區(qū)間”;

⑶若整數(shù)x,V滿足關系式：斤斤+12023+（尸4,=2024,求Jx（y+1）的“共同體區(qū)間”.

【變式8-6]

（24-25七年級上?浙江杭州?期中）

52.如圖，在4x4的小正方形組成的圖形中有一個陰影部分（陰影部分也是正方形），若每

個小正方形的邊長為1,點A表示的數(shù)為1.

試卷第15頁，共23頁

(1)圖中正方形/BCD的面積為多少？它的邊長為多少？這個值在哪兩個連續(xù)整數(shù)之間？

(2)若陰影正方形的邊長的值的整數(shù)部分為x,小數(shù)部分為了,求卜-麗『的值；

(3)若正方形N2C。從當前狀態(tài)沿數(shù)軸正方向翻滾，我們把點5滾到與點尸重合時，記為第一

次翻滾，如圖所示，C翻滾到數(shù)軸上時，記為第二次翻滾，以此類推，請直接回答：

①點尸表示的數(shù)為多少？

②若正方形ABCD從當前狀態(tài)沿數(shù)軸正方向翻滾，經(jīng)過2024次翻滾后與數(shù)軸上的點Q重合,

點。表示的數(shù)為多少？

【考點題型九】實數(shù)的小數(shù)點移動()

【例9-1]

(24-25七年級上?浙江杭州?期中)

53.我們知道，平方數(shù)的開平方運算可以直接求得，如石等，有些數(shù)則不能直接求得，如

石，但可以通過計算器求得.還有一種方法可以通過一組數(shù)的內在聯(lián)系，運用規(guī)律求得.請

你觀察下表：

a0.04440040000

4aX2yz

(1)表格中的三個值分別為：無=;歹=;z=；

(2)用公式表示這一規(guī)律：當a=4x100”(“為整數(shù))時，6=；

(3)利用這一規(guī)律，解決下面的問題：

已知a2.358,則①J0.0556工；②7^它.

【例9-2】

(七年級下?甘肅慶陽?期中)

54.觀察下列正數(shù)的立方根運算，并完成下列問題;

b0.0040964.096409640960004096000000

0.161.6161601600

(1)用語言敘述上述表格中的規(guī)律：在立方根運算中，被開方數(shù)的小數(shù)點每向右移動三位,

相應的立方根的小數(shù)點就向—移動—位.

試卷第16頁，共23頁

(2)運用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，探究下列問題：已知2.35,則#0.013x_,比3000。

(3)類比上述立方根運算：已知VT諉*1.913,則出石士—，V36600~—.

【變式9-1]

(24-25九年級上?吉林長春?期末)

55.小裴同學通過計算觀察下列正數(shù)的立方根運算，發(fā)現(xiàn)了一定規(guī)律；

m0.0040964.096409640960004096000000

y/m0.161.6161601600

運用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，探究下列問題：己知2.35,則的而I*()

A.0.235B.0.0235C.2.35D.0.00235

【變式9-2]

(23-24七年級下?福建福州?期中)

56.已知=y/23=b,J2300=k，則左=.(用含°或6的代數(shù)式表示)

【變式9-3]

(22-23七年級下?重慶沙坪壩?期中)

57.若0x1,414，而R4.472,貝!I-J5而。.

【變式9-4]

58.(1)觀察下表，你能得到什么規(guī)律？

a0.01211.2112112100

4a0.111.111110

(2)已知岳女3.873,根據(jù)上述規(guī)律求瘋百，V150000,J0.000015的近似值.

【變式9-5]

59.(1)填表：

a0.001110001000000

y[a110

試卷第17頁，共23頁

由表你發(fā)現(xiàn)了：被開方數(shù)的小數(shù)點向右（或左）移動一位，其立方根的小數(shù)點向右（或左）移動一

位；

（2）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：

①已矢口將=1.442,則升0.003=_;

②已知40.000456=007696,貝！

（3）用鐵皮制作一個封閉的正方體，它的體積為0.125立方米，需要多大面積的鐵皮？

【考點題型十】實數(shù)的整數(shù)部分與小數(shù)部分（）

【例10】

（24-25七年級上?浙江寧波?期中）

60.閱讀下面的文字，解答問題：大家知道也是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因

此行的小數(shù)部分我們不可能全部寫出來.將這個數(shù)減去其整數(shù)部分，得到的差就是小數(shù)部

分，因為0的整數(shù)部分是1,于是用來表示血的小數(shù)部分.又例如：

???V4<V7<V9,即2<S<3,

,近的整數(shù)部分是2,小數(shù)部分為4-2.

（參考性質：①不等式的兩邊都加上同一個數(shù)，所得的不等式仍成立；

②不等式的兩邊都乘同一個正數(shù)，所得的不等式仍成立）

根據(jù)上述材料，回答下列問題：

（1）、/萬的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是;

（2）6+6也是夾在相鄰兩個整數(shù)之間的，可以表示為a<6+g<6,求。+6的值；

⑶已知10+衿=x+2y,其中x是整數(shù)，且0<"1,求3x-2y的值.

【變式10-1]

（23-24七年級下?北京?期中）

61.若M的整數(shù)部分為a,小數(shù)部分為6,則。+2方=.

【變式10-2]

（23-24七年級下?云南曲靖?期中）

62.已知加為JF7的整數(shù)部分，則%的值為.

試卷第18頁，共23頁

【變式10-3]

(22-23七年級下?安徽合肥?期中)

63.已知實數(shù)a、b分別是廂-1的整數(shù)和小數(shù)部分，求式子力-|6+3|的值.

【變式10-4]

(24-25七年級上?浙江寧波?期中)

64.已知16的算術平方根是26-3的平方根是±3,c是的整數(shù)部分.

⑴求。，b,c的值；

(2)求a+6-c的平方根.

【變式10-5]

(23-24七年級上?浙江杭州?期中)

65.如圖，每個小正方形的邊長均為1,可以得到每個小正方形的面積為1.

//

LT\A1

(1)圖中陰影部分正方形的面積是多少？該正方形的邊長為多少？

(2)估計正方形邊長的值在哪兩個整數(shù)之間？

(3)設該正方形邊長的整數(shù)部分為X,小數(shù)部分為了，求(x-y)的相反數(shù).

【變式10-6]

(24-25七年級上?浙江紹興?期中)

66.閱讀理解：(的，即2<J7<3.

.?.近的整數(shù)部分為2,小數(shù)部分為近一2.

.-.1<V7-1<2.

.?.療-1的整數(shù)部分為1.

V7-1的小數(shù)部分為V7-I-I=V7-2.

解決問題：

⑴填空：底的整數(shù)部分是,屈-3的小數(shù)部分是

試卷第19頁，共23頁

(2)如果V7+1的小數(shù)部分為a,3-近的整數(shù)部分為6,求a+6-近的值.

【變式10-7]

(24-25七年級上?浙江寧波?期中)

67.閱讀下列材料：

通過探究知道：血”1.414…，它是個無限不循環(huán)小數(shù)，也叫無理數(shù)，因此近的小數(shù)部分

我們不可能全部寫出來，于是小明用血-1來表示近的小數(shù)部分，你同意小明的表示方法

嗎？事實上，小明的表示方法是有道理的，因為血的整數(shù)部分是1,將這個數(shù)減去其整數(shù)

部分，差就是小數(shù)部分，又例如：；2?<7<32,即2<g<3,.?.近的整數(shù)部分是2,小數(shù)

部分是S-2.

(1)6的整數(shù)部分是.

(2)己知8+g=x+y,其中x是一個整數(shù)，。<了<1,求2x+(y-百的值.

【考點題型十一】實數(shù)的規(guī)律探究()

【例11-1】

(22-23七年級下?河北石家莊?期中)

68.先觀察下列各式：&=1；Vl+3=V4=2；J1+3+5=百=3;

Jl+3+5+7=y/16=4；

⑴計算：J1+3+5+7+9=；

(2)已知"為正整數(shù)，通過觀察并歸納，請寫出J1+3+5+7+9+11+…+(21)=；

(3)應用上述結論，計算J1+3+5+7+9+…+101的值.

【例11-21

(22-23七年級下?山東臨沂?期中)

69.據(jù)說，我國著名數(shù)學家華羅庚在一次出國訪問途中，看到飛機上鄰座的乘客閱讀的雜志

上有道智力題：一個數(shù)是59319,希望求它的立方根，華羅庚脫口而出：39.鄰座的乘客十

分驚奇，忙問計算的奧妙.你知道華羅庚是怎樣迅速準確地計算出來的嗎？請按照下面的問

題試一試：

試卷第20頁，共23頁

(1)由1()3=1000,1003-1000000,你是怎樣確定病殺是幾位數(shù)的？

(2)由59319的個位上的數(shù)是9,你是怎樣確定以59319的個位上的數(shù)是幾的？

⑶如果劃去59319后面的三位319得到數(shù)59,而3?=27,43=64,由此你又是怎樣確定

#59319的十位上的數(shù)是幾的？

(4)已知6859,19683,110592都是整數(shù)的立方，按照上述方法，請你確定它們的立方根(直

接寫出結果).

【變式11-1J

(23-24七年級下?北京?期中)

70.研究發(fā)現(xiàn)：由于42=2x3x7,42沒有大于1的平方約數(shù)，所以當。為正整數(shù)時，、因

Va

為有理數(shù)的條件是a=42〃(其中/為正整數(shù)).

(1)若正整數(shù)。使得、匡=工，則。的值為二

Va2一

(2)已知a、b、。是正整數(shù)，S.a>b>c,當欄+榨+f=1時，稱(a,b,c)為“團結數(shù)

組”.

①若(a,b,c)為“團結數(shù)組"，且a=6=c,則a=6=c=_；

②若(a,378,c)為“團結數(shù)組"，且"c,則a=_,c=_.

③“團結數(shù)組”共有_個.

【變式11-2]

(23-24七年級下?湖北荊州?期中)

71.先觀察下列等式，再回答問題：第一個等式人*$]+建舊；第二個等式

十小第三個等式

14J32423412

(1)根據(jù)上述三個等式提供的信息，請你猜想第五個等式;

(2)請按照上面各等式反映的規(guī)律，試寫出第"個等式("為正整數(shù));

⑶對于任何實數(shù)。，⑷表示不超過a的最大整數(shù)，如[3]=3,[V5]=2,計算:

的值.

【變式11-3]

試卷第21頁，共23頁

（22-23七年級下?河南濮陽?期中）

72.觀察下列算式的特征及運算結果，探索規(guī)律:

Jlx3+1=A/4=2,

72x4+1=V9=3,

V3X5+1=V16=4,

V4X6+1=后=5.

(1)觀察算式規(guī)律，計算J5x7+1=,726x28+1=,

(2)用含正整數(shù)n的代數(shù)式表示上述算式的規(guī)律

(3)計算：73x5+1-75x7+1+《7x9+1-79x11+172021x2023+1.

【變式11-4]

（22-23七年級下?遼寧大連?期中）

73.問題情境：

數(shù)學活動課上，老師出示了一組題，閱讀下列解題過程，探求規(guī)律:

實踐探究:

遷移應用:

=工符合上述規(guī)律，請直接寫出x的值.

【變式11-51

⑵一24七年級下?廣西柳州?期中）

試卷第22頁，共23頁

74.閱讀理解，觀察下列式子:

①我+舛=2+(-2)=0；

②i/1+>/—1=1+(—1)=0；

(3)^/1000+VziW=io+(-io)=o；

根據(jù)上述等式反映的規(guī)律，回答如下問題：

(1)根據(jù)以上式子的規(guī)律，寫出一個類似的等式：.

(2)由等式①，②，③，④所反映的規(guī)律，可歸納為一個這樣的真命題：對于任意兩個有理

數(shù)6,若，則孤+蠣=0；反之也成立.

(3)根據(jù)上述的真命題，解答問題：若癢五與瘍？的值互為相反數(shù)，求x的值.

試卷第23頁，共23頁

1.7

【分析】本題主要考查了平方根的概念，根據(jù)一個正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)列式求解即

可得到答案.

【詳解】解：?.?一個正數(shù)的兩個平方根分別是加-4和-3,

m—4+(-3)=0,

解得：機=7,

故答案為：7.

2.C

【分析】本題主要考查的是平方根的定義，熟練掌握相關知識是解題的關鍵.

根據(jù)算術平方根和平方根的定義進行解題即可.

【詳解】解：“要的平方根是±±"，用式子表示為土、戶=士±.

255'255

故選：C.

3.B

【分析】此題考查了代數(shù)式求值，平方根，熟練掌握運算法則確定小與〃的值是解本題的關

鍵.

根據(jù)題意，利用平方根的定義求出加與"的值，即可確定出原式的值.

【詳解】解：的平方是9,〃的平方是25,

m=±3,n=±5,

又,；m-n>°,即加>〃，

.?.相=3,〃=-5或機=—3,n=—5,

.?.加+幾=3—5=—2或加+〃=-3—5=—8,

故選：B.

4.D

【分析】本題考查了平方根的定義，利用正數(shù)的平方根有兩個，且互為相反數(shù)列出方程，求

出方程的解即可得到。的值.

【詳解】解：：一個正數(shù)的兩個平方根是。和3,

Q+3=0,

..a——3,

???/=—27

答案第1頁，共39頁

故選：D.

5.x=9或x=-9

【分析】本題主要考查了求平方根的方法解方程，先把常數(shù)項移到方程右邊，再把方程兩邊

同時開方即可得到答案.

【詳解】解：???一-81=0,

.--X2=81,

二x=9或x=-9.

6.-4

6+2=0

【分析】此題主要考查了算術平方根的非負性，利用非負性可得C八…再整體代

入求值即可.

【詳解】由題可知，

6+2=0

[2a+Z>-c=0'

得4。-6-c=2(4-b)+2。+6-c=-4+0=-4；

故答案為：-4.

7.A

【分析】本題主要考查的是算術平方根的概念以及正方形的面積的計算，掌握算術平方根的

概念是解題的關鍵.根據(jù)算術平方根的概念以及正方形的面積公式計算即可.

【詳解】已知一個正方形的面積是25,

則這個正方形的邊長為725=5,

??.這個正方形的邊長是5.

故選：A.

8.C

【分析】本題考查二次根式的非負性和二次根式有意義的條件，根據(jù)二次根式有意義的條件

得到a=2022,，2x+y-3+”-2y-4=0,根據(jù)非負性，列出方程組進行求解即可.

【詳解】解：5-202220,2022-a20,

???a=2022,

yj2x+y-3+x—2y—4—0,

答案第2頁，共39頁

j2x+y-3=0x=2

解得:

[x-2y-4=0，=-l

:.x+y=\；

故選C.

9.36

【分析】本題考查了立方根的應用、算術平方根的應用、有理數(shù)的混合運算，求出正方體的

邊長為3cm,計算出1+回=8,V25-V16=l,7121=11,得到這個正方體的展開圖中算

式結果是奇數(shù)的面共有4個，由此即可得解.

【詳解】解：.??這個正方體的體積是27cm3,

???這個正方體的邊長為病=3cm,

???1+?=1+7=8,725-716=5-4=1,7121=11,

這個正方體的展開圖中算式結果是奇數(shù)的面共有4個，

??.這個正方體的展開圖中算式結果是奇數(shù)的面的面積之和是4x3x3=36cm"

故答案為：36.

10.2

【分析】本題主要考查了求一個數(shù)的算術平方根以及算術平方根的估算，掌握算術平方根的

估算方法是解本題的關鍵.

首先計算三角形的面積為2收，再估算2行的范圍可得2<2也<3,從而可得答案.

【詳解】解：根據(jù)題意，三角形的三邊長分別為2,3,3,

所以其面積S=,4x(4-2)x(4-3)x(4-3)=樞=2丘,

,/4<8<9,

V?<Vs<y/9，

???2<2V2<3,

???面積S介于整數(shù)"和"+1之間，

，”的值為2.

故答案為：2.

n.小芳能將這張賀卡不折疊就放入此信封

答案第3頁，共39頁

【分析】本題考查了算術平方根的應用，通過利用平方根解方程，找出信封的寬及賀卡的邊

長是解題的關鍵；設長方形信封的長為3xcm,寬為2xcm,根據(jù)長方形的面積求出長方形

的寬，根據(jù)正方形的面積，求出正方形的邊長，再比較即可判斷；

【詳解】小芳能將這張賀卡不折疊就放入此信封，理由如下：

設長方形信封的長為3xcrn,寬為2xcm,

長方形面積為420cm2,

/.2x-3x=420,

/.x2=70?

解得x=/元，

，長方形的寬為2，6cm,

正方形賀卡的面積為225cm2,

???正方形賀卡的邊長為=15cm，

■：V70>8,

.-.2V70>16，

:.2屈,

,小芳能將這張賀卡不折疊就放入此信封.

12.(1)(-3,0),(2,0)

⑵ZPQD+ZOPQ+ZPOB=360°

⑶存在；點M的坐標為(2,0)或(-8,0)或(0,-：或/g1

【分析】本題考查了實數(shù)的非負性，平行線的性質，平移規(guī)律，分類思想，熟練掌握實數(shù)的

非負性，平行線的性質，平移規(guī)律是解題的關鍵.

(1)由非負數(shù)的性質即可求解；

(2)過點尸作依〃/3,利用平行線的性質即可得三角的關系；

(3)分點〃在x軸上與M在y軸上兩種情況考慮即可.

【詳解】⑴解：由于卜+3|+病與=0,且卜+3|20,病不0,

所以。+3=0,6-2=0,

即。=—3,6=2,

.?.4-3,0),5(2,0).

答案第4頁，共39頁

故答案為：(-3,0),(2,0);

(2)解：^PQD+ZOPQ+ZPOB=360°；

證明如下：

如圖，過點尸作尸尸〃Z3,

/.ZFPO-^ZPOB=1SO°；

???點A,8分別向上平移2個單位，再向左平移2個單位，分別得到其對應點C,D,

AB//CD,

PF//CD,

zPQD+zFPQ=1S0°；

zFPO+zPOB+zPQD+zFPQ=360°.

而/FPO+zFPQ=zOPQ,

①當點〃在X軸上時，

由平移知，AB//CD,AB=CD,AB=5,OD=2,

「?^AACD=_X5X2=5；

設點"坐標為(x,0),則M4=|x+3],

■■S.AMD=^MA-OD=^\X+3\X2=5,

解得：工=2或%=-8,

故》(2,0)或兇(一8,0)；

圖1

②當點M在y軸上時，設，(0,y),

答案第5頁，共39頁

則=OA-3,

■■■^=1^.O^=1|2-y|x3=5,

解得：J=—J=y>

即M或；

綜上，點M的坐標為⑵。)或(-8,0)或］o,一￡|或(0,三|.

13.⑴a=5,b=2,c=0

⑵士4

【分析】題主要考查了立方根，平方根，算術平方根，正確理解平方根和立方根的定義是解

題的關鍵.

(1)先根據(jù)立方根和平方根的定義得到關于。、6的值，再由絕對值的性質可求出c的值；

(2)把(1)中a,b,c的值代入2a+3人+c,再根據(jù)算術平方根的定義求解即可.

【詳解】⑴解：的算術平方根是3,

?1-2a-1=9,

a=5,

???3a+6-9的立方根是2,

*1*3a+6—9=8,

■■■b=2,

■.-c是絕對值最小的數(shù)，

???c=0；

(2)解：?.a=5,b=2,c=0,

.??2a+36+c=2x5+3x2+0=16,

2a+36+c的平方根為±V16=±4.

14.B

【分析】本題主要考查了平方根、立方根的性質等知識點，靈活運用平方根、立方根的性質

成為解題的關鍵.

先根據(jù)平方根、立方根的性質化簡，然后再根據(jù)有理數(shù)的大小比較法則比較大小即可.

【詳解】解：r