天津市部分區(qū)2025屆高三下學(xué)期質(zhì)量調(diào)查（一）數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合4={-2,-1,0,1,2},B={x|-l<x<l},則Ac&8)=()

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-2,-1,1}D.{-2,-1,2}

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.下列說法中，不正確的是（）

A.在1,3,6,7,9,10,12,15這組數(shù)據(jù)中，第50百分位數(shù)為8

B.分類變量A與8的統(tǒng)計量/越大，說明“A與8有關(guān)系”的可信度越大

C.根據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)所得的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為丫=故+〃，若

5=2，尤=1，y=3,貝！I。=1

D.兩個模型中，殘差平方和越大的模型擬合的效果越好

3

4.設(shè)a=-6=0.2",c=bgj,則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.b<c<aB.c<a<bC.b<a<cD.c<b<a

5.已知根，〃是兩條直線，。是一個平面，下列命題正確的是（）

A.若加//a,n!la,貝！Jzn〃"B.若機(jī)_La,m±n,貝!J〃//a

C.若機(jī)_La,〃ua,則機(jī)_L幾D.若根//a,則〃_La

6.己知｛qj是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且4%,3%成等差數(shù)列，則篤％的值是

（）

A.—B.—C.9D.16

169

7.函數(shù)〃x）=2cos2x+gsin2x-機(jī)在區(qū)間、，兀上有兩個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)加的取值

范圍是（）

A.（-2,-1]B.[-2,1]C.（-1,0]D.[—1,0]

8.已知A,B,。為球0的球面上的三個點(diǎn)，0。為VABC的外接圓，若0。1的面積為8兀，

AB=BC=AC=OO{,則球。的表面積為（）

A.3671B.64兀C.128TID.256兀

22

9.已知雙曲線C：,一七=l（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為％F2,C上一點(diǎn)〃（一3,4）

ab

關(guān)于一條漸近線的對稱點(diǎn)恰為右焦點(diǎn)尸2.若N（x°,%）是C上的一個動點(diǎn)，滿足麗?甌1<0,

則為的取值范圍是（）

A.（-5,5）B.（-4,4）C.（-5,4）D.（T,5）

二、填空題

10.i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù).

1-1

11.在1的展開式中，常數(shù)項為.（用數(shù)字作答）

12.已知圓C的方程為爐+y2-2〃》-l=0（〃zeR）.當(dāng)圓C的面積最小時，直線

3x—4y+a=0（a>0）與圓C相切，則。的值為.

13.某中學(xué)組建了A,B,C,D,E五個不同的社團(tuán)，旨在培養(yǎng)學(xué)生的興趣愛好，要求每

個學(xué)生必須且只能參加一個社團(tuán).假定某班級的甲、乙、丙三名學(xué)生對這五個社團(tuán)的選擇是

等可能的，且結(jié)果互不影響.記事件M為“甲、乙、丙三名學(xué)生中恰有兩人參加社團(tuán)A”，

則P（M）=;若甲、乙、丙三名學(xué)生中有兩人參加社團(tuán)A,則恰巧甲參加社團(tuán)A的概

率為.

14.在邊長為2的菱形ABCZ)中，ZR4D=60°,且在=g應(yīng)5,BE=ABA+juBC,則

2+〃=;若/為線段8E上的動點(diǎn)，則麗.喬的最小值為

21

~x+3〃x—一,

15.已知a>0,函數(shù)/（尤）=?」12若關(guān)于x的方程〃x)=2辦-1,恰有2個

一+〃lnx,x>—.

2

互異的實(shí)數(shù)解，貝匹的取值范圍是.

試卷第2頁，共4頁

三、解答題

16.在VABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.己知6=近，c=l,B=-|

(1)求。的值；

⑵求sinA的值；

(3)求cos(3-2A)的值.

17.如圖，在四棱錐P-ABCD中，上4_L底面ABC。，ADJ.AB,AB//DC,AD=DC=2,

AP=3,AB=1,E為棱尸C的中點(diǎn).

P

⑴求證：3E〃平面PAD；

(2)求平面PAD與平面BDE夾角的余弦值；

⑶求點(diǎn)P到平面BDE的距離.

22

18.已知橢圓》+方=1(。＞。＞0)的左焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，且橢圓的短軸長

為20.

(1)求橢圓的方程;

(2)已知過原點(diǎn)的直線4與橢圓相交于M,N兩點(diǎn)，若直線:工-2〉+4&=0上存在點(diǎn)0,

使得△阿0是以為底邊的等腰直角三角形，求直線《的方程.

19.已知｛4｝為等差數(shù)列，其前〃項和為S“，滿足弓=1,且邑=2g+2.

⑴求｛%｝的通項公式；

%-4+1，/為奇數(shù)，

⑵設(shè)數(shù)列作“｝滿足么=婿％電耗其中”eN*.

」■，力為偶數(shù)，

I2

(i)記孰=優(yōu)7，/eN*.證明：是等差數(shù)列；

8求

i=2乙

20.已知函數(shù)〃x)=xe*T,g(x)=a(x+lnx),其中

⑴求曲線y=〃x)在點(diǎn)⑴)處的切線方程；

⑵是否存在。，使得函數(shù)力(尤)=g(尤)-6+：在區(qū)間［l,e］上的最小值為0?若存在，求出。的

值；若不存在，請說明理由；

⑶設(shè)不是函數(shù)/(x)"(x)-g(x)的極小值點(diǎn)，且網(wǎng)與)20,證明：F(x0)>2(xj-x^).

試卷第4頁，共4頁

《天津市部分區(qū)2025屆高三下學(xué)期質(zhì)量調(diào)查（一）數(shù)學(xué)試卷》參考答案

題號123456789

答案DADBCACCB

1.D

【分析】利用集合的補(bǔ)集和交集運(yùn)算即可求解.

【詳解］因?yàn)?={尤卜1〈尤41},所以=或x>l},

所以Ana8）={—2,-1,2}.

故選：D.

2.A

【分析】根據(jù)對數(shù)相等，指數(shù)相等及對數(shù)的概念即可判斷.

【詳解】若lg"lg6,則“=僅”>0/>0）,所以=1之，

反之，若則°=/小即，當(dāng)"0力<0時，lga,lgb沒有意義,

所以“iga="受"im”的充分不必要條件.

故選：A.

3.D

【分析】求數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)，判斷A的真假；根據(jù)/的意義，判斷B的真假；根據(jù)

線性回歸方程必過伉刃求a判斷C的真假；根據(jù)殘差平方和的意義判斷D的真假.

【詳解】對A：因?yàn)?x5O%=4,所以這組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為：寧=8,故A選項

內(nèi)容正確；

對B：根據(jù)統(tǒng)計量/的意義可知，B選項內(nèi)容正確；

對C：根據(jù)線性回歸方程必過伉歹）得：3=2xl+&n°=i，故C選項內(nèi)容正確；

對D：因?yàn)闅埐钇椒胶驮叫。Ｐ蛿M合的效果越好，故D選項內(nèi)容錯誤.

故選：D

4.B

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.

答案第1頁，共14頁

.兀M3.v3

【詳解】因?yàn)閍=且;=〈GJ"'=1'即：<.<1'

又b=0.2">0,2°=1,C=10gl2<10gl1=°.

33

所以Z?>a>c.

故選：B

5.C

【分析】根據(jù)空間中線、面關(guān)系的判定和性質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】對A：平行于同一個平面的兩條直線的位置關(guān)系不確定，故A錯誤;

對B：若機(jī)J_a,m±n,則〃//1或〃ua,故B錯誤；

對C：根據(jù)線面垂直的定義可知，C正確；

對D：若加//a,mln,則直線幾與平面。的位置關(guān)系不確定，故D錯誤.

故選：C

6.A

【分析】設(shè)正項等比數(shù)列｛為｝的公比為4(4>0),根據(jù)等差中項的性質(zhì)得到方程，求出3,

再根據(jù)等比數(shù)列通項公式計算可得.

【詳解】設(shè)正項等比數(shù)列｛%｝的公比為式4>。)，由4弓，：%，3%成等差數(shù)列，

可得2x^43=44+3%,即qq2=4%+3/q,所以q2=4+3q,解得0=-1(舍去)或q=4,

▼,、，%+%為+%11

所以―一靖+癡一了一瓶

故選：A

7.C

【分析】利用二倍角公式及兩角和的正弦公式化簡/(X),令g(x)=2sin[2x+^],貝Uy=相-1

與〉=8(同在全兀上有兩個交點(diǎn)，分析g(x)的單調(diào)性，即可得到不等式組，解得即可.

【詳解】因?yàn)?(x)=2cos2x+V3sin2x-m=cos2x+V3sin2x-m+l

(1.且inj

=2—cos2x+-m+1=2sin2x+—-m+1

I6

27

令g(x)=2sin(2x+?,依題意y=帆一1與y=g(x)在、，兀上有兩個交點(diǎn),

答案第2頁，共14頁

,兀ric717兀13兀

由—,7t,貝|2兀+工￡——

2ooo

令.2_"兀1［不7兀，萬3兀］，.解.得a尤1兀,2句兀,所L—以.g/(x、)=2s.4C2x+V兀、在，.匕兀，旬27r上單,倜遞減、,、,

人小?！?兀13兀］「2兀所以y=2sin(2x+(］在《兀

令2%+工￡'斛得XE工-，71上單調(diào)遞增，且

o2o3

g（兀）=1;

所以-2<m-14-1,解得-1<〃2<0,即實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是(-1,。］.

故選：C

8.C

【分析】首先求出。Q的半徑「，再由正弦定理求出A8,設(shè)球。的半徑為R(R>0),所以

R2=產(chǎn)+OO；,最后由球的表面積公式計算可得.

【詳解】因?yàn)?。。的面積為8兀，設(shè)。。的半徑為r(r>0),則口2=8兀，解得「=2&，

=2r=4A/2

^AB=BC=AC=OOl,所以VABC為等邊三角形，則$也工一，所以鉆=26,

Sm3

設(shè)球0的半徑為R(R>0),所以收=/+OO；=(2亞『+(2#『=32,

所以球。的表面積S=4兀叱=47tx32=128兀.

故選：C

9.B

【分析】依題意可得/入吟=］，貝U??砒■=(),從而得到點(diǎn)N在以。為圓心，

10閭=|。叫為半徑的圓的內(nèi)部，即可求出為的取值范圍.

b

【詳解】設(shè)g與漸近線y=的交點(diǎn)為Q，則。為g的中點(diǎn)，且

a

又。為久居的中點(diǎn)，所以O(shè)P//MF」即/瑞加耳=5,所以礪.礪［=0,

要使麗.麗<0,則點(diǎn)N在以。為圓心，|。閭=|。0|為半徑的圓的內(nèi)部，

根據(jù)對稱性可知-4<%<4,即%的取值范圍是(-4,4).

故選：B

答案第3頁，共14頁

0

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘除法運(yùn)算，即可解決.

【詳解】言=與=g+mi故答案為;+T

【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)乘除法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

11.60

【分析】根據(jù)二項式定理的通項公式，利用x項的指數(shù)為0即為常數(shù)項.

6k

【詳解】由I的展開式的通項為（+1=c*6d=C12kx6-3k

令6—3Z=0,k=2,則舊無。=60,

即在'+標(biāo)]的展開式中，常數(shù)項為60,

故答案為：60.

12.5

【分析】先求得圓C面積最小時圓的半徑，然后根據(jù)點(diǎn)到直線的距離等于半徑列方程求得

【詳解】依題意，圓C的方程為爐+/—2〃?—l=O（〃zcR）,

所以=療+],所以圓心為c（o,〃z）,半徑為，加+1,

所以當(dāng)〃2=0時，半徑最小，圓的面積最小，且半徑的最小值為1,

此時圓心c（o,o）到直線3x-4y+a=0（a>0）的距離為

J=l,a=5或a=—5（舍去）.

故答案為：5

答案第4頁，共14頁

122

13.

1253

【分析】首先求出甲、乙、丙三名學(xué)生中恰有兩人參加社團(tuán)A的事件數(shù)，及恰巧甲參加社團(tuán)

A的事件數(shù)，再由古典概型的概率公式計算可得.

【詳解】依題意甲、乙、丙三名學(xué)生選擇社團(tuán)的可能結(jié)果有5x5x5=125個，

12

若甲、乙、丙三名學(xué)生中恰有兩人參加社團(tuán)A,則有C；C：=12種選擇，所以P（M）=而；

甲、乙、丙三名學(xué)生中有兩人參加社團(tuán)A,則恰巧甲參加社團(tuán)A,則有C；C；=8種選擇，

所以甲、乙、丙三名學(xué)生中有兩人參加社團(tuán)A,則恰巧甲參加社團(tuán)A的概率尸=：=：.

122

故答案為：運(yùn)；i

14.-/1.25--

452

—?1—?

【分析】依題意可得以根據(jù)平面向量線性運(yùn)算及基本定理求出九、",建立平面

直角坐標(biāo)系，求出產(chǎn)點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)麗=，而（04區(qū)1）,利用坐標(biāo)法及二次函數(shù)的性質(zhì)計算可

得.

—?1—?—?1—>

【詳解】因?yàn)镃E=§￡D,所以CE=wG）,

所以而=反+曰=反+工無=前+工麗,

44

一人15

又BE=2BA+〃BC且麗、就不共線，所以T4,所以％+〃="

〃=1

如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則。（2,0）,B（1,V3）,C（3,⑹，

—?1—?

由CE=—CO,所以E

4

所以BE=,因?yàn)閺S為線段班上的動點(diǎn),

,所以一T+K

設(shè)麗=/麗（04/41）,所以而=/礪=—

所以衣」卜，一字+班

答案第5頁，共14頁

25

52

15.°，1

x+l,x<—X+1,%K—

22

【分析】依題意可得。=令g（x）=,貝與

x+11,x+11,=a

X〉一,X>一

x（2x-lnx）92x（2x-lnx）2

y=g（x）有兩個交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求出g（元）的單調(diào)性，即可求出函數(shù)g（元）的取值范圍，從而

求出。的取值范圍;

答案第6頁，共14頁

21

~x+3av—一,

2

【詳解】由/(x)=26-1,/(%)=<

11

—+alnx,x>—.

、冗2

可得當(dāng)XWQ時—爐+3or—Q=2OV—1,即=12-1=(%—,所以。=九+1；

11y_|-1

當(dāng)X〉一時，一+〃ln犬=2辦一1,所以a(2x—lnx)=---,

2xx

fl17r-1

令m(x)=2_x-lnx,XG—,+8,貝IJ根'(x)=2――=----->0,

(2

所以加(無)在上單調(diào)遞增，所以〃z(x)>〃z1-ln—=l+ln2>0,

2

X+1,X<—

x+]2

所以“=x(21nx)，所以"='

■x+1j_，

x(2x-lnx)52

x+1,xW—

2

令g(x)=,1，則>=〃與丁=8(同有兩個交點(diǎn),

x+1

,x>一

x(2x-lnx)2

①當(dāng)無V；時，g(x)=x+l,則g(x)在-鞏g上單調(diào)遞增，且g(x”3

—00,—

2

②當(dāng)x>；時g(x)=x(2；［；)，則

2x*2*-xlnx-(x+l)(4x-lnx-l)lnx-^2x2+3x-l

g，(x)=

x2(2x-lnx)2

,則“⑴」-以-3=上士3,

XX

；時〃(￡>>0,則可可在(0。)上單調(diào)遞增,

所以當(dāng)0<兀<1

4

當(dāng)尤>；時〃(“<0,則/z(x)在；，+”)上單調(diào)遞減,

所以〃(x)m「O

所以g'(x)<0恒成立，所以g(x)在上單調(diào)遞減,

33

不111—2_>2,

又g--------,因?yàn)椋?lt;z(l+ln2)<%(l+lne)=l,所以g

i(l+ln2)222；(1+1吟2

3

且當(dāng)Xf+00時g(x)>o,g(x)-0,所以g(%)￡0,

l+ln2

答案第7頁，共14頁

所以0<a4；,即a的取值范圍是

故答案為：d

16.(1)3

⑵酒

14

(3)--

14

【分析】(1)利用余弦定理計算可得；

(2)利用正弦定理計算可得；

(3)首先求出cosA,再由二倍角公式及兩角差的余弦公式計算可得.

【詳解】(1)由余弦定理可得。2=合+可—,ccosB,

即7=/+1—2axlx—,解得〃=3或a=—2（舍去）.

2

(2)由正弦定理一；=「；，所以.XasinB

sinAsmBsinA=--------

bV714

⑶由余弦定理"SA=;=*=一《'

3A/3

所以sin2A=IT

cos2A=2cos

所以cos（3-2A）=cosBcos2A+sin3sin2A=gx136r3內(nèi)11

+-------X--------------=

142I14J14

17.(1)證明見解析

（2）1

-7

【分析】(1)以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證明線面平行;

(2)求出平面的一個法向量，再由向量法求解;

(3)求出向量而，再由向量法求解.

【詳解】(1)因?yàn)镻AL底面ABC。，ABu底面ABCD,所以上4,43,

答案第8頁，共14頁

又因?yàn)锳D1AB,A￡>nAP=A,AD,APu平面上4。，

所以ABJL平面PAD,即通為平面PAD的一個法向量,

如圖以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB,AD,AP分別為無軸，軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

可得A(0,0,0),3(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),尸(0,0,3),

由￡為棱尸C的中點(diǎn)，得石1,1,￡|,

向量詼=(0,1,3，麗=(1,0,0),故而.通=0，

又平面PAD,所以8E〃平面PAD；

(2)因?yàn)辂?(一1,2,0),設(shè)平面3DE的法向量為拓=(x,y,z),

n?BD=-x+2y=0

則一.3,取為=（6,3,-2）,

n?BE=y+—z=0

2

又平面PAP的法向量慶=在=(1,0,0),

|m-n|66

設(shè)平面PAD與平面題應(yīng)夾角為凡則cos6二七號:不二丁，

|m|-|n|1x77

所以平面24。與平面3DE夾角的余弦值為與；

(3)因?yàn)辂?(-1,0,3),

\BP-n\|2

所以點(diǎn)尸到平面BDE的距離d=L—L=—,

同7

12

即點(diǎn)尸到平面班史的距離為了.

x2y2

18.⑴土+工=1

82

(2)4X-15y=?；?gt;=。

【分析】(1)利用拋物線方程可求出。，再由短軸長可求出方，進(jìn)而求得/的值，可寫出橢圓

答案第9頁，共14頁

的方程;

（2）將直線4分三種情況討論：斜率不存在時，斜率為0時和斜率存在且不為0時，再利用

△MNQ是以MN為底邊的等腰直角三角形進(jìn)行求解即可.

【詳解】（1）?拋物線^=4向的準(zhǔn)線方程為0-指，

22

?,?橢圓W+方=1（。>匕>0）的左焦點(diǎn)為HM，即。=

:橢圓的短軸長為2加，.1Zb=2痣，即b=&,.?.a2=Z?2+c2=8,

22

橢圓的方程為土+匕=1;

82

（2）設(shè)M（％,%）,N?,%），

當(dāng)直線4的斜率不存在時，4：X=O,

此時M,N分別為橢圓的上、下頂點(diǎn)，不妨設(shè)M（O,0）,N（0,-聲）,

要使是以MN為底邊的等腰直角三角形，則。卜4次,0）,

.-.|oe|=4V2,\MN\=142,：.\OQ\^MN\,不合題意；

當(dāng)直線4的斜率為0時，4：>=。，

此時M,N分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，不妨設(shè)M（-20,O）,N（2應(yīng),0）,

要使是以為底邊的等腰直角三角形，則。（0,2&）,

：.\OQ\=2y/2,\MN\=4y/2,:.\OQ\=^\MN\,滿足題意；

當(dāng)直線6的斜率存在且不為。時，設(shè)4：>=陽心。）,

答案第10頁，共14頁

8,

小月“就^斗1H止磊土

:.\MN\=2\OM\=2.1-^+-^^=4^2.1-^-^

1111V1+4F1+4尸\l+4k2

設(shè)MN的垂直平分線方程為>=$(k豐0),

K

???AMNQ是以MN為底邊的等腰直角三角形，:.\OQ\=^\MN\,

延［，唔

k+2J"+2J2yi5+4k2,

44

化簡得，15左2-4左=0,，左=77或左=0(舍)，/>：y=~x,

綜上，直線人的方程為4x-15y=0或y=0.

19.(l)a?=n

/1n-1

(2)(i)證明見解析；(解—+

2〃2I

【分析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,根據(jù)所給條件求出d,即可求出通項公式;

2+1一(〃+1)，"為奇數(shù)，2

班便新其中〃當(dāng)〃為奇數(shù)時，”=一

(2)(i)由(1)可得口=<"2wN*,

式，〃為偶數(shù)，2

I2

答案第11頁，共14頁

即可求出?！钡耐椆?，即可得證；3)令4=d,則幺=

利用分組求和法與裂項相消法計算可得.

【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,由4=1,且$3=24+2,

所以3fl]+3d=2%+2d+2,解得d=1,

所以見=〃；

為奇數(shù),

(2)(i)由(1)可知4,=〃又b=J〃2其中〃￡

"”，〃為偶數(shù)，N*

I2

2+1-(〃+1)，〃為奇數(shù),

所以勿=<后其中〃￡

會為偶數(shù)'N"

當(dāng)〃為奇數(shù)時，bn=b〃+T+=("[)——(〃+1)=21，

所以g=b2?-i="'--=2n(n-l)>

所以4=2"-2,貝Ij3=-G=2,

nn+1n

所以1?]是以。為首項，2為公差的等差數(shù)列;

2

4；+2%-4n—n2n2-2(n-l)+21

(ii)令4=+

Tn2〃TTF，

(-)122I23222n2("-ifn2

而￡7"?-+r+…+-----

2T272~FT2'iT3'

7

n-\

11

1-n-1

n1111221

￡聲=-rH—7+,,,+

1