試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)圖形的相似中旋轉(zhuǎn)問題考前沖刺專題訓(xùn)練1．已知是等腰直角三角形，，直線m是過點(diǎn)C的任一條直線，于點(diǎn)E，于點(diǎn)D；

(1)如圖（1），求證：；(2)當(dāng)直線m繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖（2）時(shí)，上述（1）中結(jié)論是否還成立？若不成立，請寫出AE與DE和BD的正確數(shù)量關(guān)系，并加以證明．(3)當(dāng)直線m繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖（3）時(shí)，請直接寫出AE與DE和BD的數(shù)量關(guān)系．2．在中，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，其中點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)落在的延長線上時(shí)，則的長為______；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在的延長線上時(shí)，連接，交于點(diǎn)，求的長；(3)如圖3，連接，直線交于點(diǎn)，若，連接．在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在最小值？若存在，請直接寫出的最小值；若不存在，請說明理由．3．已知：在正方形中，為對角線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，為的中點(diǎn)，連接，．

【猜想論證】(1)猜想線段與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【拓展探究】(2)將圖中繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到圖，取中點(diǎn)，連接，你在中得到的結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明．4．通過類比聯(lián)想，引申拓展研究典型題目，可達(dá)到解一題知一類的目的，下面是一個(gè)案例，請補(bǔ)充完整．原題：如圖1，點(diǎn)E、F分別在正方形的邊上，，連接，試猜想之間的數(shù)量關(guān)系

(1)思路梳理：把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，可使與重合，由，得，，即點(diǎn)F、D、G共線，易證_________，故之間的數(shù)量關(guān)系為_________．(2)類比引申：如圖2，點(diǎn)E、F分別在正方形的邊的延長線上，．連接，試猜想之間的數(shù)量關(guān)系為_________，并給出證明．(3)聯(lián)想拓展：如圖3，在中，，點(diǎn)D、E均在邊上，且．若，直接寫出和的長．5．如圖1，正方形和正方形，A，E，B三點(diǎn)共線，AB＝8，，將正方形繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，．

(1)如圖2，求證：；(2)如圖3，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，試求BE的長；(3)在旋轉(zhuǎn)的過程中，是否存在某時(shí)刻，使得，若存在，請直接寫出BE的長；若不存在，請說明理由．6．通過類比聯(lián)想，引申拓展研究典型題目，可達(dá)到解一題知一類的目的，下面是一個(gè)案例，請補(bǔ)充完整．原題：如圖1，點(diǎn)E、F分別在正方形的邊、上，，連接，試猜想、、之間的數(shù)量關(guān)系．

(1)把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，可使與重合，由，得，，即點(diǎn)F、D、G共線，易證≌__________，故、、之間的數(shù)量關(guān)系為__________．(2)如圖2，點(diǎn)E、F分別在正方形的邊、的延長線上，．連接，試猜想、、之間的數(shù)量關(guān)系為__________，并給出證明．(3)如圖3，在中，，，點(diǎn)D、E均在邊上，且．若，，直接寫出的值和的長．7．通過類比聯(lián)想，引申拓展研究典型題目，可達(dá)到解一題知一類的目的，下面是一個(gè)案例，請補(bǔ)充完整．原題：如圖1，點(diǎn)分別在正方形的邊上，，連接，試猜想之間的數(shù)量關(guān)系

(1)思路梳理：把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，可使與重合，由，得，，即點(diǎn)共線，易證________，故之間的數(shù)量關(guān)系為________．(2)類比引申：如圖2，點(diǎn)分別在正方形的邊的延長線上，．連接，試猜想之間的數(shù)量關(guān)系為________，并給出證明．(3)聯(lián)想拓展：如圖3，在中，已知垂足于點(diǎn)D，且．求的長．8．如圖，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)B，C的對應(yīng)點(diǎn)分別為N，M．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)N落在的延長線上時(shí)，且，，求的長；(2)如圖2，繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，延長交于點(diǎn)D，使得，連接，猜想線段，CD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(3)如圖3，連接，點(diǎn)R為的中點(diǎn)，連接．若，，在旋轉(zhuǎn)過程中，求出的最小值；若不存在，請說明理由9．如圖1，在中，，，D，E分別為的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到（如圖2），使直線恰好過點(diǎn)B，連接．(1)判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)求的長；(3)若將繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)直線過的一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，請直接寫出長的其它所有值．10．探究式學(xué)習(xí)是新課程倡導(dǎo)的重要學(xué)習(xí)方式，某興趣小組擬做以下探究．如圖，在矩形中，，將矩形繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，得到矩形．

【初步感知】（1）如圖1，將矩形繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)，連接，．①求證：，②求出，，的數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)論，不必證明）；【深入探究】（2）將矩形繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)且點(diǎn)E落在直線上時(shí)，試探究線段，，的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程；【拓展運(yùn)用】（3）如圖2，將矩形繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)G落在上，與，分別交于點(diǎn)Q，P，當(dāng)F，D，Q三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出的值．11．【特例感知】（1）如圖，已知和是等邊三角形，直接寫出線段與的數(shù)量關(guān)系是______；【類比遷移】（2）如圖，和是等腰直角三角形，，寫出線段與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【拓展運(yùn)用】（3）如圖，若，點(diǎn)是線段外一動(dòng)點(diǎn)，，連接．若將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，求出的最大值．12．在中，，，，點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，得到線段，連接．

(1)如圖1，，，點(diǎn)在射線上，求的長；(2)如圖2，，于點(diǎn)，，猜想線段之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想：(3)如圖3，，點(diǎn)在射線上，點(diǎn)是上一點(diǎn)且滿足，連接，直接寫出當(dāng)最小時(shí)，點(diǎn)到的距離．13．在和中，，，，若，．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，連接，求；(2)如圖2．將圖1中繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)在的內(nèi)部，連接，．線段，相交于點(diǎn)，且，此時(shí)_______；(3)如圖3，在繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)落在線段上時(shí)，過點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，直接寫出的面積．14．如圖1，在中，，,點(diǎn)D，E分別在邊，，連接，，點(diǎn)F是線段中點(diǎn),連接交于點(diǎn)H．(1)觀察猜想：圖1中，線段與的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是_____；(2)探究證明：把處點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α．如圖2，請問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由(3)拓展延伸∶把繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到直線上時(shí)，連接，試探究與、之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？15．在平面直角坐標(biāo)系中，為原點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得，點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)為，，記旋轉(zhuǎn)角為，連接．(1)如圖①，若，求的長；(2)如圖②，若，求的長；(3)若點(diǎn)P為線段的中點(diǎn)，求的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)圖形的相似中旋轉(zhuǎn)問題考前沖刺專題訓(xùn)練》參考答案1．(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）先利用同角的余角相等判斷出，進(jìn)而得出，最后用線段的和差即可得出結(jié)論；（2）先利用同角的余角相等判斷出，進(jìn)而得出，最后用線段的和差即可得出結(jié)論；（3）先利用同角的余角相等判斷出，進(jìn)而得出，最后用線段的和差即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，；（2）（1）中結(jié)論不成立，新結(jié)論為：證明：，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，；（3）證明：，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，．【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，同角的余角相等，掌握“三垂線模型”是解題的關(guān)鍵．2．(1)8(2)(3)存在最小值，最小值為【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，然后由等腰三角形的性質(zhì)，可得，再根據(jù)題意利用勾股定理可求出長為4．即可求出的長．（2）過C作于點(diǎn)D，作交于點(diǎn)E，由旋轉(zhuǎn)可得，，．再由平行線的性質(zhì)可知，即可推出，從而間接求出，．由三角形面積公式可求出．再利用勾股定理即可求出，進(jìn)而求出．最后利用平行線分線段成比例即可求出．（3）作且交的延長線于點(diǎn)P，連接．由題意易證明，可得．然后根據(jù)三角形中位線定理可得，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出的值，由三角形三邊關(guān)系可得，即當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)最小，由此即可求出的最小值．【詳解】（1）解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，∵，∴點(diǎn)落在的延長線上，∴，∴，∴；故答案為：8（2）解：如圖，過C作于點(diǎn)D，作交于點(diǎn)E，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，∵，∴，∴，∴，∵，即，解得：，在中，，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴；（3）解：如圖，作且交的延長線于點(diǎn)P，連接，作，交于點(diǎn)，作中點(diǎn)，連接、，∵，∴，∵，即，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，在和中，∵，∴，∴，即點(diǎn)D為的中點(diǎn)，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，∵，即：，解得：，，即：，解得：，∴，在中，，根據(jù)題意得：，即當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)最小，且最小值為，故答案為：存在最小值，最小值為．【點(diǎn)睛】本題為旋轉(zhuǎn)綜合題．考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，平行線分線段成比例，全等三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，中位線的判定和性質(zhì)以及三角形三邊關(guān)系，綜合性強(qiáng)，為困難題．正確的作出輔助線為難點(diǎn)也是解題關(guān)鍵．3．(1)，理由見解析(2)（1）中結(jié)論仍然成立，即，理由見解析【分析】（1）利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可證出．（2）連接，過點(diǎn)作于，與的延長線交于點(diǎn)；再證明≌，得出；再證出，得到；再證明≌，得出；最后證出．【詳解】（1）；證明：四邊形是正方形，，在中，為的中點(diǎn)，∴，∵，同理，在中，，．（2）解：（1）中結(jié)論仍然成立，即．連接，過點(diǎn)作于，與的延長線交于點(diǎn)，

在與中，，，，≌，；在與中，∵，，∵為的中點(diǎn)，∴，，∴；∵，四邊形是矩形，∴，在與中，∵，，，，．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，添加恰當(dāng)?shù)妮o助線本題的關(guān)鍵．4．(1)，(2)，證明見解析(3)，【分析】（1）先根據(jù)旋轉(zhuǎn)得：，計(jì)算，即點(diǎn)、、共線，再根據(jù)證明，得，可得結(jié)論；（2）作輔助線：把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，證明，得，所以；（3）同理作輔助線：把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，證明，得，先由勾股定理求的長，證明，求出，，繼而得到，過A作，垂足為，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出，可得，利用勾股定理可得．【詳解】（1）解：如圖1，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，可使與重合，即，由旋轉(zhuǎn)得：，，，，，即點(diǎn)、、共線，四邊形為矩形，，，，，，在和中，，，，；故答案為：，；（2）如圖2，，理由是：把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，可使與重合，則在上，

由旋轉(zhuǎn)得：，，，，，，，，在和中，，，，；（3）如圖3，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，可使與重合，連接，，

由旋轉(zhuǎn)得：，，，，，，，，，，由勾股定理得：，，，，，，，，，，，．，，，，過A作，垂足為，∵，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，通過類比聯(lián)想，引申拓展，可達(dá)到解一題知一類的目的，本題通過旋轉(zhuǎn)一三角形的輔助線作法，構(gòu)建另一三角形全等，得出結(jié)論，從而解決問題．5．(1)見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，，，再求出，然后利用“邊角邊”證明和全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可；（2）過點(diǎn)作于，根據(jù)正方形的性質(zhì)與勾股定理得，從而求得，再在在中，由勾股定理，求得，即可由求解．（3）過點(diǎn)作交的延長線于，根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出，解直角三角形求出、，再利用勾股定理列式求出，然后根據(jù)代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得解；【詳解】（1）證明：在正方形和正方形中，，，，，，，在和中，，，；（2）解：過點(diǎn)作于，

∵正方形，，∴，，∵，∴，∵∴在中，由勾股定理，得∴．（3）解：如圖2，過點(diǎn)作交的延長線于，

，，，，，在中，，；【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形．屬四邊形綜合題目，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．(1)，(2)，理由見解析(3)，【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，利用判定定理可直接證明，再依據(jù)對應(yīng)線段相等可求．（2）把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使與重合，證全等即可到結(jié)論．（3）把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使與重合，點(diǎn)B對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，連接和即可求解．【詳解】（1）解：，，理由如下：四邊形是正方形，∴，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，，，，，，，，．（2），證明如下：如下圖，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，與重合，，，，，，；；在和中，，∴；

∴；∵；即．（3）如圖1.解：∵，，∴，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，與重合，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)；∴，，∴，，∴，∵，∴在中，，；；；

在和中，，∴，∴，在直角三角形中，由勾股定理得：，∴，∵是等腰直角三角形；∴，，同理把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，連接，；

；，；；在直角中，；∴∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，；是等腰直角三角形；∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形中的半角模型，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定，掌握類比遷移，旋轉(zhuǎn)后三角形全等的證明是解決本題的關(guān)鍵．7．(1)，(2)，證明見解析(3)【分析】（1）先根據(jù)旋轉(zhuǎn)得：，計(jì)算，即點(diǎn)、、共線，再根據(jù)證明，得，可得結(jié)論；（2）如圖2，同理作輔助線：把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，證明，得，所以；（3）如圖3，將沿翻折得，沿翻折得，延長、相交于G，先證明四邊形是正方形，再由勾股定理求AD的長即可．【詳解】（1）解：如圖1，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，可使與重合，即，由旋轉(zhuǎn)得：，，，，，即點(diǎn)、、共線，四邊形為正方形，，，，，，在和中，，，，；故答案為：，；（2）解：如圖2，，

理由是：把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，可使與重合，則在上，由旋轉(zhuǎn)得：，，，，，，在和中，，，；（3）解：如圖3，將沿翻折得，沿翻折得，延長、相交于G，

∵，∴，由翻折可得：，，，，，，，∴，∴∴四邊形是矩形，∵∴四邊形是正方形，∴，設(shè)，則，在中，，由勾股定理，得解得，即．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，翻折、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，通過類比聯(lián)想，引申拓展，可達(dá)到解一題知一類的目的，本題通過翻折、旋轉(zhuǎn)一三角形的輔助線作法，構(gòu)建另一三角形全等，得出結(jié)論，從而解決問題．8．(1)16(2)，證明見解答過程(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，存在最小值2【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，利用勾股定理求得，故的長為16；（2）在上取點(diǎn)Q，使，連接，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到：，得是等邊三角形，證明，可得，即可得，由，可得，從而可證，得，故；（3）過B作交MC延長線于P，連接，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，證得，得，從而，即可證，可知G是中點(diǎn)，，要使GR最小，只需最小，此時(shí)N、C、A共線，的最小值為，故最小為．【詳解】（1）解：∵將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，，，，，；（2）解：，證明如下：在上取點(diǎn)Q，使，連接，如圖：由繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到得：，是等邊三角形，，，在中，，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知，，，，，，即，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知，，，，，，，，；（3）解：在旋轉(zhuǎn)過程中，存在最小值2，理由如下：過B作交MC延長線于P，連接，如圖：繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，，而，，，，，，，，在和中，，，，即G是中點(diǎn)，∵點(diǎn)R為的中點(diǎn)，∴是的中位線，，要使最小，只需最小，而，∴N、C、A共線，的最小值為，∴最小為．【點(diǎn)睛】本題考查幾何變換綜合應(yīng)用，涉及全等三角形判定與性質(zhì)，勾股定理及應(yīng)用，三角形中位線定理及應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．9．(1)，見詳解(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的不變性證明，再由對應(yīng)角相等及鄰補(bǔ)角即可得證；（2）設(shè)，在中，由勾股定理得：，解方程即可；（3）分類討論，分第一次經(jīng)過點(diǎn)B，經(jīng)過點(diǎn)A，再次經(jīng)過點(diǎn)B討論，根據(jù)變化中的不變性，不變的是基本圖形關(guān)系即，以及位置關(guān)系，始終有垂直，繼而設(shè)，運(yùn)用勾股定理列方程求解即可．【詳解】（1）解：與的位置關(guān)系為．∵，D，E分別為的中點(diǎn)，∴，即，∵，即，∴,∴，∴，∵，，，∴，∴，∴，即：．（2）解：中，，∴，同理可求，∵，∴，設(shè)，在中，由勾股定理得：，解得：（舍負(fù)），∴．（3）解：①經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，題（2）已求；②經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，如圖所示，同理可證：，∴，∵，∴，設(shè)，在中，由勾股定理得：，解得：（舍負(fù)），即：；③再次經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，如下圖：同理可證：，，設(shè)，在中，由勾股定理得：，解得：（舍負(fù)），即：；綜上所述：或．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等的應(yīng)用，正確熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．10．（1）①見解析；②；（2）點(diǎn)E落在直線上時(shí)，，點(diǎn)E落在線段上時(shí)，，證明見解析；（3）【分析】（1）①由，，得到，結(jié)合，，即可求解，②由，，，通過等量代換，即可求解，（2）①點(diǎn)E落在直線上時(shí)，連接，交于點(diǎn)H，在與中，由，，得到，點(diǎn)A，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線，設(shè)，在中，得出，在中，，即可求解，②點(diǎn)E落在線段上時(shí)，連接，在與中，由，，得到，點(diǎn)A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線，在中，，，設(shè)，，即可求解，（3）作，延長交于點(diǎn)，由，得到，，由，得到，由，得到，設(shè)，，則，，，由，得，解得：，由，，，得到，由，得到，將，，代入，即可求解，本題考查了，矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是：找到等量關(guān)系，列出等量關(guān)系式．【詳解】解：（1）①證明：，，，，，，，，②∵，，，∴，∴（等價(jià)結(jié)果也正確）；

（2）結(jié)論①：（等價(jià)結(jié)果也正確），理由如下：當(dāng)，點(diǎn)E落在直線上時(shí)，連接，交于點(diǎn)H，在中，，在與中，，，，點(diǎn)A，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線，，設(shè)，在中，，由，得出，在中，，（等價(jià)結(jié)果也正確），結(jié)論②：（等價(jià)結(jié)果也正確），理由如下：當(dāng)，點(diǎn)E落在線段上時(shí)，連接，在中，，在與中，，，，點(diǎn)A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線，

在中，，，設(shè)，，（等價(jià)結(jié)果也正確），綜上所述：點(diǎn)E落在直線上時(shí)，，點(diǎn)E落在線段上時(shí)，；（3）過點(diǎn)，作，交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，連接、，∴，∵矩形，∴，，∴，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，∴，∴，，∵，，∴，∴，∵矩形，∴，，∴，∵，，∴，∴，，設(shè)，，則：，，，∴，∵，∴，∴,即：，解得：，（舍），∵，，∴，∵，∴，∵，，，即：，∴，∴，∵，，∴，故答案為：．11．（1）；（2），理由見解析；（3）【分析】（1）證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得線段與的數(shù)量關(guān)系；（2）通過證明，可得結(jié)論；（3）通過證明，可得，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路線是以為圓心，為半徑的圓，即可求解．【詳解】解：（1）線段與的數(shù)量關(guān)系是：．理由：∵和是等邊三角形，∴，，，∴，在和中，，∴，∴，故答案為：；（2）．理由：∵和是等腰直角三角形，∴，，，∴，，∴，，∴，∴，∴；（3）如圖，過點(diǎn)作，且，連接，，

∵，∴是等腰直角三角形，∴，，∵將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∴，，∴，∴，又∵，∴，∴，∴∴點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路線是以為圓心，為半徑的圓，∴當(dāng)在的延長線上時(shí)，的值最大，最大值為：，∴的最大值為．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是添加恰當(dāng)輔助線，構(gòu)造全等三角形或相似三角形解決問題．12．(1)；(2)，理由見解析；(3)．【分析】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，由旋轉(zhuǎn)及等腰直角三角形的性質(zhì)得，，，，，進(jìn)而求得，然后分別在、和中，解直角三角形即可得解；（2）如圖，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得，再利用三角形的內(nèi)角和定理以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，從而得最后證明，，即可得解；（3）如圖，在、上分別取點(diǎn)、，使得，則，連接，延長到，使得，連接，先證、和都是等邊三角形，得，，，，進(jìn)而證明，得，由三角形相似得，于是有點(diǎn)在等邊的外接圓的上運(yùn)動(dòng)，如圖，連接、，分別過、作，于點(diǎn)、，則，利用解直角三角形及勾股定理以及相似三角形的性質(zhì)即可得解．【詳解】（1）解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵，，，點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，，∴，，，，∴，∵，∴，在中，，即，解得，∴，在中，，即，∴，在中，，即，解得；（2）解：，理由如下：如圖，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，

∵，∴，，∵，∴，化簡得，∵，，，點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，∴，，，∴，∵，∴，∴，∴，，即，∴，∵在和中，，，，，∴，∴，∴，∵，，∴，，∴，，∴，∴；（3）解：如下圖，在、上分別取點(diǎn)、，使得，則，連接，延長到，使得，連接，

∵，，，點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，，∴和都是等邊三角形，∴，，，∴是等邊三角形，∴，∵，，∴，∵，即，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴點(diǎn)在等邊的外接圓的上運(yùn)動(dòng)，如圖，連接、，分別過、作，于點(diǎn)、，則，

∴，∵，∴，∵，，∴，∴即，解得，∴，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，即，解得．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的判定及性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理以及解直角三角形等知識，綜合性較強(qiáng)，根據(jù)題意，作出相應(yīng)輔助線是解題的關(guān)鍵．13．(1)(2)(3)的面積為或【分析】（1）過點(diǎn)B作，交的延長線于點(diǎn)F，求出,，即可求出的值；（2）過點(diǎn)D作于點(diǎn)H，過點(diǎn)A作于點(diǎn)G，連結(jié)，先證明，得到，進(jìn)一步推得，然后證明，得到，可知點(diǎn)D在上，由此即可得到答案；（3）當(dāng)點(diǎn)E在左上方時(shí)，過點(diǎn)C作于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作于點(diǎn)N，延長交于點(diǎn)T，設(shè)交于點(diǎn)，利用和逐步求出，，，求得，的值，最后再利用相似三角形的性質(zhì)即可求得答案．【詳解】（1）如圖1，過點(diǎn)B作，交的延長線于點(diǎn)F，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，在中，；（2）如圖2，過點(diǎn)D作于點(diǎn)H，過點(diǎn)A作于點(diǎn)G，連結(jié)，，，，，，，，，，，，，，，又，，，點(diǎn)D在上，，，故答案為：．（3）當(dāng)點(diǎn)E在右下方時(shí)（如圖3），過點(diǎn)C作于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作于點(diǎn)N，延長交于點(diǎn)T，設(shè)交于點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，解得；當(dāng)點(diǎn)E在右下方時(shí)（如圖4），同理可求得，，，，；綜上所述，的面積為或．

【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)的定義等知識，構(gòu)造全等三角形和相似三角形是解答本題的關(guān)鍵．14．(1)，(2)，仍然成立，理由見解析(3)或【分析】本題是三角形的綜合題，主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形