專題21閱讀理解創(chuàng)新綜合題（解析版）

五年中考真題

1.（2024?河南?統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐

在學(xué)習(xí)特殊四邊形的過(guò)程中，我們積累了一定的研究經(jīng)驗(yàn)，請(qǐng)運(yùn)用已有經(jīng)驗(yàn)，對(duì)“鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形”進(jìn)行

研究

定義：至少有一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形.

（1）操作判斷

用分別含有30。和45。角的直角三角形紙板拼出如圖1所示的4個(gè)四邊形，其中是鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形的有

（填序號(hào)）.

（2）性質(zhì)探究

根據(jù)定義可得出鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形的邊、角的性質(zhì).下面研究與對(duì)角線相關(guān)的性質(zhì).

如圖2,四邊形ABCD是鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形，AB=AD，AC是它的一條對(duì)角線.

①寫出圖中相等的角，并說(shuō)明理由；

②若BC=m,DC=n,ZBCD=20,求AC的長(zhǎng)（用含相，“，。的式子表示）.

（3）拓展應(yīng)用

如圖3,在RtZXABC中，？590?,AB=3,6C=4,分別在邊BC,AC上取點(diǎn)N,使四邊形肱V

是鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形.當(dāng)該鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形僅有一組鄰邊相等時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng).

【答案】（1）②④（2）①/ACD=/ACB.理由見(jiàn)解析；②------

2cose

⑶竽或竽

【小問(wèn)1詳解】

解：觀察圖知，圖①和圖③中不存在對(duì)角互補(bǔ)，圖2和圖4中存在對(duì)角互補(bǔ)且鄰邊相等,

故圖②和圖④中四邊形是鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形，

故答案為：②④；

【小問(wèn)2詳解】

解：①NACD=NACB,理由：

延長(zhǎng)CB至點(diǎn)E,使6后=。。，連接AE,

:四邊形ABC。是鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形,

ZABC+ZD=18Q°,

,/ZABC+ZABE=1SQ°,

：.ZABE=ZD,

?/AB=AD,

AABE^AAZ)C(SAS),

ZE=ZACD,AE=AC,

：.ZE=ZACB,

：.ZACD=ZACB-,

②過(guò)A作”，￡C于F,

■：AE=AC,

/.CF=|CE=1（JBC+JBE）=1（JBC+DC）=^-^,

,/ZBCD=25

：.ZACD=ZACB=6,

CF

在RtzNAFC中，cos61=——，

AC

…CFm+n

：.AC=------=----------；

cosd2cos夕

【小問(wèn)3詳解】

解：,:?B90?,AB=3,BC=4,

AC=y/AB2+BC1=5，

...四邊形是鄰等對(duì)補(bǔ)四邊形，

/.ZANM+ZB=1SO°,

：.ANM^90°,

當(dāng)=時(shí)，如圖，連接40,過(guò)N作NH上BC于H,

C

???AM2^AB'+BM-=18>

在R3AAW中兒GV?=AM?—⑷y2=1&—.2,

在RLACMN中MN?=CM?-CN?=（4-3）2-（5-AiV）2,

：.18-AN2=（4-3）2-（5-A2V/，

解得4V=4.2,

4

：.CN=~,

5

,；ZNHC=ZABC=9Q0,ZC=ZC,

：.&NHCs&ABC,

4

.NCNH

里，即UNHCH,

"ACABCB丁

：.NH=—CH=—

2525

?*-84

??LJJLl--------

25

BN=y/BH2+NH2=yV2；

當(dāng)AN=A6時(shí)，如圖，連接W,

RtAABMAANM,

：.BM=NM,故不符合題意，舍去；

當(dāng)=時(shí)，連接AM,過(guò)N作NH工BC于H,

VZMNC=ZABC=90°,ZC=ZC,

/.ACMNs/\CAB,

CNMNCN5-CN

：.—=——，即nn——=------,

BCAB43

解得CN=4^

7

,：ZNHC=ZABC=90°,ZC=ZC,

A^NHC^ABC,

20

NCNHCH

—=——=一，即_NHCH,

ACABCB

534

：.NH=—,CH=—

77

.*_12

??JD/7-------

7

/.BN=S/BH2+NH2=—72；

7

當(dāng)?shù)?=時(shí)，如圖，連接4W，

AM=AM,

：.Rt^ABM^RiAANM,

:.AN=AB,故不符合題意，舍去；

綜上，BN的長(zhǎng)為吆回或竺叵.

57

2.（2023?河南?統(tǒng)考中考真題）李老師善于通過(guò)合適的主題整合教學(xué)內(nèi)容，幫助同學(xué)們用整體的、聯(lián)系

的、發(fā)展的眼光看問(wèn)題，形成科學(xué)的思維習(xí)慣.下面是李老師在“圖形的變化”主題下設(shè)計(jì)的問(wèn)題，請(qǐng)你

圖2備用圖

（1）觀察發(fā)現(xiàn)：如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)/（4,0）的直線軸，作金。關(guān)于y軸對(duì)稱的圖

形△ABG,再分別作△A[BG關(guān)于X軸和直線/對(duì)稱的圖形△&與C2和3c3,則△A與c?可以看作

是AABC繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為；3c3可以看作是AABC向右平移得至I]的，

平移距離為個(gè)單位長(zhǎng)度.

(2)探究遷移：如圖2,YABCD中，ZBAD=a(O°<a<90°),P為直線A3下方一點(diǎn)，作點(diǎn)尸關(guān)于

直線A3的對(duì)稱點(diǎn)6,再分別作點(diǎn)6關(guān)于直線A。和直線的對(duì)稱點(diǎn)八和鳥(niǎo)，連接AP,4鳥(niǎo)，請(qǐng)僅就

圖2的情形解決以下問(wèn)題：

①若請(qǐng)判斷尸與a的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

②若4。=加，求P,鳥(niǎo)兩點(diǎn)間的距離.

(3)拓展應(yīng)用：在(2)的條件下，若c=60。，AD=25ZPAB=15°,連接8A.當(dāng)乙月與YABCD

的邊平行時(shí)，請(qǐng)直接寫出AP的長(zhǎng).

【答案】⑴180%8.

(2)①，=2。，理由見(jiàn)解析；②2〃zsin。

⑶26或3后-?

【小問(wèn)1詳解】

(1)AABC關(guān)于>軸對(duì)稱的圖形△4用￡,△4用￡與層C?關(guān)于x軸對(duì)稱，

A△4星G與AABC關(guān)于。點(diǎn)中心對(duì)稱，

則a4臺(tái)2c2可以看作是446C繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為180。

VA(-l,l),

朋=2,

?/M(4,0),4,A關(guān)于直線尤=4對(duì)稱，

44+明=2x4=8,

即9=8,

△A4C3可以看作是AABC向右平移得到的，平移距離為8個(gè)單位長(zhǎng)度.

故答案為：180°，8.

yk

【小問(wèn)2詳解】

①力=2。，理由如下,

連接A4,

圖2

由對(duì)稱性可得，ZPAB=Z/JAB,Z^AD=ZP2AD,

NPAg=ZPAB+AB+Z/JAD+ZP2AD

=2N《AB+2NqAD

=2(/qAB+4AD)

=2ZBAD

/3—2tz,

②連接尸4《鳥(niǎo)分別交A5,CD于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作OGLA5,交A5于點(diǎn)G,

圖2

由對(duì)稱性可知：PE=：E,=名/且pq_LAB,F\P3±CD,

V四邊形ABCD為平行四邊形，

J.AB//CD

；.P，片,鳥(niǎo)三點(diǎn)共線，

PB=PE+AE+AF+&F=2AE+2AF=2EF,

■：尸4±AB,A81CD,DG1AB,

：.APXFD=ZPiEG=NDGE=90°,

...四邊形EEDG是矩形，

：.DG=EF,

在Rt/kZMG中，ZDAG=a,AD=m

DG-AD-sinZ.DAG=msina,

/.PP^-2EF-2DG=2/nsina

【小問(wèn)3詳解】

解：設(shè)AP=x,則A《=AE=x,

依題意，

當(dāng)鳥(niǎo)鳥(niǎo)〃AD時(shí)，如圖所示，過(guò)點(diǎn)尸作尸A《于點(diǎn)Q,

P3

/.N《EE=90。

?/Z.PAB=15°,c=60。，

ZPA^=2NPAB=30°,ZDA/J=ZDAP2=45°

N￡A《=90。，則

在中，AAPXP=1(180°-APAPX)=75°,

NP1AA=180。—45°-75°=60°,則NPRP[=30°,

44=2鳥(niǎo)片=2缶

在RtZXAPQ中，ZPAQ=30°,則PQ=；AP=gx,AQ=^AP2-PQ2=^-

在RbPQ[中，APx-AQ^x-^-x，

PIAQ2”Q2=^6—A/2

----------x

；

?PPi=PPl+PXP3=娓ax+2立x=

由(2)②可得=2ADsina,

AD=2x/3

：.Pg=2x2&x@=6

2

，娓S垃x=6,

2

解得：x=3A/2—^6;

如圖所示，若P2P3〃DC,則N《A6=90。,

P

???HPR=60°,則NRP1A=30°,

則肥=方=今,

,,PD_V6—A/2_V6—A/2A/2

,PP\-----------X?PR=-----------XH------X-----X

123222

PR=6,

.A/6,

-----x=6，

2

解得：x=2\/6，

綜上所述，AP的長(zhǎng)為3行-癡或26.

3.（2022?河南?統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐

綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng).

（1）操作判斷

操作一：對(duì)折矩形紙片ABCD使與8c重合，得到折痕EF,把紙片展平;

操作二：在AD上選一點(diǎn)尸，沿8尸折疊，使點(diǎn)A落在矩形內(nèi)部點(diǎn)M處，把紙片展平，連接PM,BM.

根據(jù)以上操作，當(dāng)點(diǎn)M在EF上時(shí)，寫出圖1中一個(gè)30。的角：.

(2)遷移探究

小華將矩形紙片換成正方形紙片，繼續(xù)探究，過(guò)程如下：

將正方形紙片ABCD按照(1)中的方式操作，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)。，連接BQ.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)〃在上時(shí)，ZMBQ=。，NCBQ=°；

②改變點(diǎn)P在上的位置(點(diǎn)P不與點(diǎn)A，。重合)，如圖3,判斷與/C8Q的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明

理由.

(3)拓展應(yīng)用

在(2)的探究中，已知正方形紙片A5C。的邊長(zhǎng)為8cm,當(dāng)尸。=1cm口寸，直接寫出AP的長(zhǎng).

【答案】(1)NBME或ZABP或NPBM或/MBC

(2)①15,15；②NMBQ=NCBQ,理由見(jiàn)解析

4024

(3)AP=——cm或——cm

1113

【小問(wèn)1詳解】

解：?.-AE=BE=-AB,AB=BM

2

：.BE=-BM

2

BE1

.ZBEM=9Q°,sinNBME=——=-

BM2

：.ZBME=30°

：.ZMBE=60°

'：ZABP=ZPBM

：.ZABP=ZPBM=ZMBC=30°

【小問(wèn)2詳解】

:四邊形ABC。是正方形

：.AB=BC,ZA=ZABC=ZC=90°

由折疊性質(zhì)得：AB=BM,ZPMB=ZBMQ=ZA=90°

：.BM=BC

①BQ=BQ

：.RtABQM=RtABgC(HL)

：.ZMBQ=ZCBQ

Q?MBC30?

：.ZMBQ=ZCBQ=15°

②?；BM=BC,BQ=BQ

1?RtABQM工RtABQC(HL)

：.ZMBQ=ZCBQ

小問(wèn)3詳解】

當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)尸的下方時(shí)，如圖,

A

E

B

圖3

'/FQ=1cm,DF=FC=4cm,AB=8cm

，QC=CD—O尸一bQ=8—4一1=3(cm),DQ=DF+FQ=4+1=5(cm)

由(2)可知，QM=QC

設(shè)AP=PM=x,PD=8—x,

：.PD2+DQ2^PQ2,

即(8—%y+52=(%+3y

解得：x=￡40

540

?.AP——cm；

11

當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)尸的上方時(shí)，如圖，

APD

*/FQ=1cm,DF=FC=4cm,AB=8cm

?**QC=5cm,DQ=3cm,

由(2)可知，QM=QC

設(shè)==PD=8-x,

：.PD2+DQ2=PQ1,

即(8-X)2+32=(X+5)2

24

解得：x=一

13

24

AP=—cm.

13

4.(2021?河南?統(tǒng)考中考真題)下面是某數(shù)學(xué)興趣小組探究用不同方法作一個(gè)角的平分線的討論片段,

請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù).

小明：如圖1,(1)分別在射線。4,OB上截取。。=。￡>,。岳=。尸(點(diǎn)(7,E不重合)；(2)分別作線段

CE,。尸的垂直平分線人，12,交點(diǎn)為尸，垂足分別為點(diǎn)G,H-(3)作射線。尸，射線即為N&OB的平分

線.

簡(jiǎn)述理由如下：

由作圖知，4PGO=4PH0=9Q°,OG=0H,OP=OP,/?t△PGO=Rt△PHO,貝(JNPOG=

乙POH,即射線OP是乙40B的平分線.

小軍：我認(rèn)為小明的作圖方法很有創(chuàng)意，但是太麻煩了，可以改進(jìn)如下，如圖2,(1)分別在射線

OA,上截取0C=。。，OE=OF[>^C,E不重合)；(2)連接。E,CF,交點(diǎn)為P；(3)作射線0P.射

線OP即為N40B的平分線.

圖1圖2圖3

⑴小明得出Rt△PGO=Rt△PH。的依據(jù)是(填序號(hào)).

①sss②sas③4as④asa⑤HL

(2)小軍作圖得到的射線0尸是N20B的平分線嗎？請(qǐng)判斷并說(shuō)明理由.

(3)如圖3,已知乙40B=60。，點(diǎn)E,尸分別在射線OA,OB上,且。E=OF=V3+1.點(diǎn)C,。分別為射線

OA,上的動(dòng)點(diǎn)，且連接。E,CF,交點(diǎn)為P,當(dāng)NCPE=30。時(shí)，直接寫出線段OC的長(zhǎng).

【答案】⑤

【解析】解：（1）如圖1,由作圖得，0C=0D,0E=OF,PG垂直平分

CE,PH垂直平分。產(chǎn)，

Z.PGO=/.PH0=90°,

■：OE-OC=OF-OD,

???CE=DF,

圖1

11

???CG=-CEDH=-DF,

22f

??.CG=DH,

??.OC+DG=OD+DH,

???OG=OH,

OP=OP,

???Rt△PGOzRt△PH0(HL),

故答案為：⑤.

(2)射線OP是乙4。8的平分線，理由如下：

如圖2,???OC=0D,乙DOE=LCOF,0E=OF,

???△DOE^ACOF(SAS~),

???乙PEC=Z-PFD,

???乙CPE=^CPF,CE=DF,

??.△CPE=LOPF(ZZS),

??.PE=PF,

OE—OF,Z.PEO=Z.PFO,PE=PF,

??.△OPE=LOPF(S/S),

:?乙POE=^POF,&fl^POA=^POB,

■■OP是Z710B的平分線.

(3)如圖3,OC<OE,連接。尸，作PM104,貝IJNPM。=NPME=90。，

由(2)得，O尸平分N4。B,乙PEC=LPFD,

4PEC+30°=4PFD+30°,A

vAAOB=60°,E/

NPOE=NPOF=LOB=30。，\f7\\

2

7、*

???乙CPE=30°,/，/Vk

???AOCP=乙PEC+乙CPE=4PEC+30°,zOPC=4PFD+"OF=/--------------DF--------B

/PF。+30°,圖3

??.AOCP="PC=；(180。-乙POE)=jx(180°-30°)=75°,

???OC=OP,乙OPE=75°+30°=105°,

???/,OPM=90°-30°=60°,

???乙MPE=105°-60°=45°,

?，?4MEP=90。-45。=45。，

??.MP=ME,

設(shè)MP=ME=m,則。M=MP?tan60°=V3m,

由。E=d5+1,得6+避血=8+1,解得zn=l,

MP=ME=1,

???OP=IMP=2,/A

AOC=OP=2；A

如圖4,OC>OE,連接。尸，作PMJ.O4貝叱PM。=NPMC=90。，域\\\

乙

同理可得，4POE=Z-POF=-/-AOB=30°,zOEP=OPE=75°9^OPM=/

2，/\\

60°,4Mpe=乙MCP=45°,j--------------------V

OF=OP=V3+1，圖4

?；MC=MP=-OP=-OE=—，

222

???OM=MP-tan60°=—xV3=-.

22

???OC=OM+MC=—+—=2+V3.

22

綜上所述，OC的長(zhǎng)為2或2+8.

5.（2020?河南?統(tǒng)考中考真題）將正方形ABCD的邊AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至A",記旋轉(zhuǎn)角為。.連

接BB'，過(guò)點(diǎn)。作OE垂直于直線8。，垂足為點(diǎn)E,連接W,CE,

RR，

(1)如圖1,當(dāng)c=60°時(shí)，ADE8'的形狀為,連接3。，可求出一的值為

CE

(2)當(dāng)0。<1<360。且1看90。時(shí)，

①(1)中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立?如果成立，請(qǐng)僅就圖2的情形進(jìn)行證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由;

②當(dāng)以點(diǎn)8',瓦C,。為頂點(diǎn)四邊形是平行四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫出——的值.

B'E

【答案】（1）等腰直角三角形，V2：（2）①結(jié)論不變，理由見(jiàn)解析；②3或1.

【詳解】（1）由題知NB45'=60°,ZBAD=90°,AB=AD=AB'

二N?AD=30°,且AABB'為等邊三角形

：.ZAB'B^60°,ZABfD=1（180°-30°）=75°

???ZDB'E=180°-60°-75°=45°

■:DEtBB'

：./DEB'=90°

：.ZB/DE=45°

...ADEB'為等腰直角三角形

連接BD,如圖所示

?/ZBDC=/B'DE=45°

：.ZBDC-NB'DC=ZB'DE-ZB'DC即ZBDB'=Z.CDE

..CDDE

'BD~DB'~2

ABDB'~/\CDE

BB,BD2r-

：.——=-——=十=72

CECD0

故答案為：等腰直角三角形，J5

（2）①兩個(gè)結(jié)論仍然成立

連接BD,如圖所示:

AB=AB'，ZBAB'^a

ZABBf=90°-—

2

ZB'ADa-90°,ADAB'

ZAB'D=135°--

2

NEB'D=ZAB'D-ZAB'B=45°

DE±BB'

NEDB'=/EB'D=45°

△DEB'是等腰直角三角形

四邊形ABC。為正方形

—=V2,ZBDC=45°

CD

BDDB'

CDDE

,/ZEDB'=ZBDC

/.ZB'DB=/EDC

/.AB'DB-^EDC

工嘰夜

CECD

結(jié)論不變，依然成立

②若以點(diǎn)瓦C,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，分兩種情況討論

第一種：以CD為邊時(shí)，則CD//B'E,此時(shí)點(diǎn)5'在線段BA的延長(zhǎng)線上,

如圖所示：

此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，

,金B(yǎng)E,

ABE=B'E,得'=1；

B'E

②當(dāng)以CD為對(duì)角線時(shí)，如圖所示:

此時(shí)點(diǎn)F為CD中點(diǎn),

VDE1BB'

：.CB'±BB'

ZBCD=90°

ABCF-ACB'F-ABB'C

BCCB'BB'°

"CF~B'F~CB'~

，BB'=4B'F

：.BE=6B'F,B'E=2B'F

器=3

BF

綜上：一--的值為3或1.

B'E

一年模擬新題

一、解答題

1.（2024?河南周口?二模）在VABC和△€￡?中，AC=SC,CE=EF,NCEF=ZACB=90。,。是A8的

中點(diǎn)，連接CO,點(diǎn)E在線段A8上移動(dòng)（不與點(diǎn)。重合），連接正，CF始終在AC的右側(cè).

⑴發(fā)現(xiàn)問(wèn)題

BF

如圖1,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，—=________,ZEBF=_______.

DE

⑵探究問(wèn)題

如圖2,當(dāng)E是AD上任意一點(diǎn)時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由.

⑶解決問(wèn)題

AF

當(dāng)3C=3BR時(shí)，請(qǐng)直接寫出生的值.

［答案】⑴^；45°

（2）當(dāng)E為4。上任意一點(diǎn)，（1）中的結(jié)論仍然成立，理由見(jiàn)解析

⑶g或2

【詳解】(1)解：根據(jù)題意，AC^BC,CE=EF,

且/CE斤=ZACB=90°,

可知VA3C,△CEF均為等腰直角三角形，

當(dāng)E在點(diǎn)A時(shí)，BC=AC=CE=AF,ZCEF=ZACB,

：.AACB^AFEC(SAS),

/.AB=CF,

??,D是AB中點(diǎn)，AC=BC,

：.CD±AB,即ABJ_CF\BD=-AB,

2

：.ZBDF=90。,

'：AC=AF,

：.CD=DF=-CF

2

；?BD=DF,

即VBD尸為等腰直角三角形，

可得NEBF=45°,BF=yJiBD=0DE，

.BF叵DEr-

??--=-----V,

DEDE

故答案為：五,45°.

(2)解:當(dāng)E為AD上任意一點(diǎn)，但不包括A點(diǎn)，D點(diǎn),

則有ED」AD」C￡),

nn

在ACDE中，ED=-CD,

n

:.CE=—CD,

n

在VCB尸中，CF=^CD,CBgCD,

n

在YCBF,“旗中，存在H==

CDCE

9：ZECD+ZDCF=ZECF=45°,ZBCF+ZDCF=ZBCD=45°

：.ZBCF=ZECD

:.△CDEsXCBf,

變=0,NCBF=NCDE=90°,

?.?NCK4=45。，

:./EBF=45。,成立,

所i—

當(dāng)點(diǎn)E為A點(diǎn)時(shí)，同（1）,有荒=&，ZEBF=45°,成立.

DE

綜上，當(dāng)E是AO上任意一點(diǎn)時(shí)，（1）中的結(jié)論仍然成立.

（3）解：當(dāng)E在AZ）上時(shí)，如圖，

由（2）知VCDENCBF,

.0=包=竺=應(yīng)

"CD~CE~DE~'

:.DE=—BF,

2

???當(dāng)BC=33方時(shí)，

AD=BD=CD=J-BC2=—BF,

V22

,AEAD-DE1

一^E~AD+DE~2'

當(dāng)石在BD上時(shí)，如圖,

,AEAD+DE

1BE~AD-DE~'

AF1

綜上，當(dāng)8c=33/時(shí)，,=彳或2.

BE2

2.（2024?河南濮陽(yáng)?三模）發(fā)現(xiàn)問(wèn)題

（1）已知，如圖①，在四邊形ABC。中，E在BC上，AE=DE,/ABE=NAED=/ECD,若AB=5,BC=12,

則BE=_.

探究問(wèn)題

(2)如圖②，已知長(zhǎng)方形A3C。的周長(zhǎng)為36,CD=10,點(diǎn)石為AD邊上一點(diǎn)，EGLEF分別交A5于點(diǎn)G,

交8于點(diǎn)R且EG=EF,求四邊形3CFG的面積.

解決問(wèn)題

(3)如圖③，RtZXABC中，ZACB=90°,AC=5,BC=12,AB=13,以A3為邊在其左上方作正方形ABEF,

FD垂直于C4延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接AE,"、N分別為AE、3C上兩動(dòng)點(diǎn)，連接FM,BM,MN,當(dāng)BM+MN

的值最小時(shí)，求多邊形瓦即汨的面積.(注：四邊相等，四個(gè)角是直角的四邊形是正方形，正方形是軸對(duì)

稱圖形，對(duì)角線是其一條對(duì)稱軸)

【答案】(1)7；(2)48；(3)144

【詳解】解：(1)VZBAE+ZBEA+AABE=180°,ZCED+ZBE4+ZA￡D=180°,/ARF=/AED,

ZBAE=ZCED,

?；?ABE1ECD,AE=ED,

：.△ABE^AECD(AAS),

EC=AB=5,

：.BE=BC-EC=12-5=1,

故答案為：7；

(2)??,長(zhǎng)方形ABC。的周長(zhǎng)為36,CD=10,

AD=BC=—x56—10=8,

2

??.NDFE+Z.DEF+ZZ)=180。ZAEG+NDEF+ZFEG=180°ZD=ZFEG=9Q°,

：.ZDFE=ZAEG,

VZD=ZA=90°,FE=EG,

：.△DFE^AAEG(AAS),

：-DF=AE,DE=AG,

???S四邊形ADFG=1（。/+AG）?AD=；（AE+OE）?A。，

,**S四邊形ABC￡）=AD.CD=80,

??§四邊形5CFG二S四邊形ABC。-S四邊形ADFG=80-32=48

即四邊形BCFG的面積為48；

（3）連接尸N,如圖，

MB=MF,

???BM+MN=FM+MNNFN,

當(dāng)尸、M、N在同一直線上等號(hào)成立，且當(dāng)時(shí)，F(xiàn)N最小,此時(shí)四邊形CD/W是矩形，F(xiàn)N=CD,

CN=DF,

'：AB=AF,ZC=ZD=ZBAF=90°,

由（2）可知NBAC=NAFD,

???△BAC^AAFD（AAS）,

BC=AD=12,AC=FD=5,

AFN=CD=AD+AC=12+5=17,CN=DF=5,

**S四邊形ABEF=A3-AB=169,

則S四邊形ACNF=T（AC+/N）-CN=：（5+17）X5=55,SACB=|AC-CB=1X5X12=30,

即當(dāng)BM+A7N最小時(shí)，多邊形ERV0B的面積為：S多邊步上襁g=S四邊形ABEF+S/CB-S四邊步*CNF=144,

多邊形ERMNB的面積為144.

3.（2024?河南開(kāi)封?二模）在等腰VABC中，ZBAC^45°,AB=AC,。是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接即，將

加）繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)135。，得到DE,連接CE.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E落在54邊的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接AE,BD=4日求S讖CD；

(2)如圖2,取CE■的中點(diǎn)/，連接￡>F,AF,求證：AF±DF；

(3)如圖3,當(dāng)3DJ.AC時(shí)，點(diǎn)G是直線CE上一動(dòng)點(diǎn)，連接DG,將ACDG沿著。G翻折得到△C'Z)G,連

接AC、BC,若43=4+2拒，請(qǐng)直接寫出"'+(0-1)2。'的最小值.

【答案】(1)80

(2)證明見(jiàn)解析

(3)2"

【詳解】(1)解：延長(zhǎng)ED交BC于H,如圖1所示:

vZK4C=45o,AB=AC,

:.ZABC=ZACB=67.5°,

vZBDE=135°,BD=BE,

Z.DBE=ZDEB=22.5°,NBDH=45°,

:.ZDBH=45°=NBDH,

:.BH=DH,NBHD=90°,

BD=40，

:.BH=DH^4,

ZBDC=ZBAC+ZABD=67.5°,

:.ZBDC=ZACB,

/.BD=BC=46，

S^BCD二萬(wàn)xBCxDH=；x4A/2x4=8A/2；

(2)證明：延長(zhǎng)。歹到使引以=。尸，連接A",CM,如圖2所示:

.??點(diǎn)尸是石C的中點(diǎn),

圖2

:.EF=CF,

?;/DFE=ZMFC,

.?.△DEF^AMCF(SAS),

:.CM=DE=BD,NCMF=NE,

???ZACM=ZMCF+ZACE=ZE+ZACE=ZADE=135°-ZADB,

?.?ZR4C=45°,

ZABD+ZADB=135°,

:.ZABD=1350-ZADB,

:.ZABD=ZADE=ZACM9

又??AB=AC,

ACM(SAS),

:.AD=AM,

又?.?DF=MF,

,\AF±DF；

(3)解：vBDIAC,ABAC=45°,

:.ZBAC=ZABD=45°,

:.AD=BD,NDBC=22.5。,

/.AB=V2AD=AC，

:.CD=CAD-AD,

tanZCBD=tan22.5°=—=立AD-AD=垃_\,

AB=4+2A/2，

；.AD=BD=2+2舊CD=2,

在現(xiàn))上取一點(diǎn)Af,使“。0=22.5°,連接c'M，如圖3所示:

???將ACDG沿著DG翻折得到AC'DG,

圖3

:.CD=C'D,

tanZDBC=tanZDCM=tan15°==—=72-1,

CDBD

,DMCD

"DC'一BD

又?；NC'DM=NC'DB,

△CW^ABZ)C,,

，也=生=0一1,

BCBD

CM=(^2-\^BC,

AC+(^2-\^BC'=AC+C'M,

二當(dāng)點(diǎn)A,點(diǎn)C',點(diǎn)M三點(diǎn)共線時(shí)，AC'+(0-1)BC'有最小值為AM的長(zhǎng),

tanZDCM=^-=s/2-l,

CD

.-.DM=272-2，

AM=y/AD2+DM2=J(2+2^)2+(2A/2-2)2=2n，

AC+(V2-1)BC的最小值為2#.

4.（2024?河南鶴壁?三模）如圖，將正方形。1BC放在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)。為原點(diǎn)，頂點(diǎn)C,A分別

在x軸和V軸上，8點(diǎn)坐標(biāo)為（3,3）,動(dòng)點(diǎn)E在。4邊上（不與端點(diǎn)重合），將△OEC沿EC翻折，點(diǎn)0的對(duì)稱

點(diǎn)為。點(diǎn).

圖①圖②圖③

(D如圖①，當(dāng)。C平分/BCE時(shí)，一血＞的度數(shù)為

(2)如圖②，過(guò)點(diǎn)石作欣;〃工軸交C。于點(diǎn)交2C于點(diǎn)G.當(dāng)為等腰直角三角形時(shí)，求E點(diǎn)的坐

標(biāo);

(3)如圖③，延長(zhǎng)EO交A8于點(diǎn)產(chǎn)，當(dāng)點(diǎn)E在邊Q4上移動(dòng)時(shí),△的的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？如果是，請(qǐng)求

出變化范圍，如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案］(1)60°

(2)5(0,372-3)

(3)不變，見(jiàn)解析

【詳解】(1)解：由折疊的性質(zhì)可知，NOCE=NDCE,ZCED=ZCEO,

,：DC平分NBCE,

：.ZDCE=ZDCB,

：.NDCE=ZDCB=ZOCE,

'：ZDCE+ZDCB+ZOCE=ZBCO=90°,

ZDCE=ZDCB=ZOCE=30°,

ZCED=ZCEO=60°,

NAED=180°-Z.CED-Z.CEO=60°,

故答案為：60°；

(2)解：軸，△DEH為等腰直角三角形,

Z.DCO=Z.DEH=NDHE=45°,

NAED=90°-NDEH=45°,

如圖②，連接AC,

圖②

:正方形OABC,3點(diǎn)坐標(biāo)為(3,3),

，ZACO=45°,AO=CO=3,

A、D、C三點(diǎn)共線，

VADE是等腰直角三角形，

設(shè)磯0,a),則AD=r)E=OE=a,AE=3-a,

由勾股定理得，AE=NAD。+DE。，即3-4=，/+/,解得a=30一3,

/.E(0,3啦-3)；

(3)解：不變，理由如下：

如圖③，連接CF,

圖③

由折疊、正方形的性質(zhì)可知，CD=CO=BC,ZCDF=ZCBF=90°,

,:CF=CF,CD=CB,

RtACDF^RtACBF(HL),

DF=BF,

C^AFF=AE+AF+EF=AE+AF+DE+DF=AE+0E+AF+BF=A0+AB=6,

/.△AEF的周長(zhǎng)不變.

5.（2024?河南開(kāi)封?一模）如圖，在矩形ABC。中，=CD=5,點(diǎn)G是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，AG=|AC,

延長(zhǎng)。G交48于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)C作CVLDE,交DE于點(diǎn)0,交AD于點(diǎn)/，點(diǎn)H是CD的中點(diǎn)，連接OH.

圖1圖2備用圖

（1）問(wèn)題提出：

①如圖1,若=則。"=,DF=；

3

②如圖2,若3C=gA3,求O”和。尸的長(zhǎng)度.

n

（2）推廣應(yīng)用：若請(qǐng)直接寫出和的長(zhǎng).（用己知數(shù)或含”的式子表示）

【答案】（1）①：，7；②OH=JDF=3

24212

525

（2）0"=—,DF=—

24n

【詳解】（1）解：①??,CF，O￡,點(diǎn)H是8的中點(diǎn)，AB=CD=5,

：.OH=-CD=-

22f

AB=AD,

/.AD=CD,

??,ZADE+ZCDE=ACDE+ZDCF=90°,

AZADE=/DCF,

\-ZDAE=ZCDF=9Q°f

△APE0ADCF（ASA）,

/.DE=CF,DF=AE,

vABnCD,

，AAEGsACDG,

,AG_AE

,~CG~~CDJ

AG=1AC,

?AG1

"'CG~~CD~4,

：.AE=~,^DF=AE=~；

44

②同理①O"=’CD=9,

22

同理①得：Z\AEGsACDG,

,AGAE_1

一三一而一"

AE=-

4f

???ZADE+Z.CDE=ZCDE+ZDCF=90°,

ZADE=/DCF,

-,?ZDAE=ZCDF=90°f

NADE^NDCF,

.ADAE

3

??,矩形ABC。中，BC=AD=-AB=3f

(2)解：同理(1)^OH=-CD=-,AAEGsACDG,

22

,AGAE_1

.?節(jié)一五一"

/.AE=-

49

???ZADE+ZCDE=ZCDE+ZDCF=90°,

ZADE=/DCF,

-.-ZDAE=ZCDF=90°f

NADE^NDCF,

,ADAE

'~CD~~DF"

矩形ABCD中，BC=AD=—AB=n,

5

“二型2上X=5至.

ADn4n

6.(2024.河南商丘.三模)如圖1,點(diǎn)。是口ABCD的對(duì)角線AC,8。的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作施LAB,OML3C,

垂足分別為H,M,若。HNOM,我們稱人黑是內(nèi)”的中心距比.

(1)如圖2,當(dāng)2=1,求證：nABCD是菱形；

⑵如圖3,當(dāng)/ABC=90。，且AB=O3,求口ABCD的九值;

(3汝口圖4,在VABC中，ZC=90°,AC=BC=6,動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)B出發(fā).沿線段BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)。

自C出發(fā)，沿線段C4向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，P、。兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)速度均為每秒1個(gè)單位，連結(jié)PQ,以PQ、

AQ為鄰邊作QAQPE,若QAQP"的中心距比幾=廂.求點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

Q)也

9

(3)萬(wàn)秒

【詳解】(1)證明："=1,

:.OH=OM.

?：OH1AB,OMA.BC,垂足分別為H,M,

:.ZABO=ZCBO,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

:.AD//BC.

:.ZADB=ZCBD.

:.ZABD=ZADB,

AB=AD，

???四邊形ABC。是平行四邊形,

二?四邊形ABCD是菱形；

(2)解：由題意得：?.?四邊形ABC￡＞是矩形,

，AC=BD,

-.-OH1AB,OMLBC,垂足分別為M,

：.ZOHB=ZOMB=90°,

.?.四邊形創(chuàng)匿汨是矩形，

:.OM=BM,

?：AC,交于點(diǎn)0,

AO=-AC,BO=-BD,

22

AO=BO,

?.-AB=OB,

.?.△AQB是等邊三角形,

/.AB=BO,

-OHIAB,垂足分別為H,

:.BH=-AB=-BO,

22

設(shè)BH=k(k>0),則BO=2k.由勾股定理得OH=瓜,

_OHOH_0k_&

~OM

(3)解：設(shè)口AQPE的對(duì)角線交點(diǎn)為。，過(guò)。作OHLAQ交AC于過(guò)。作?！敖籔Q于M,

在R/CQ中，PQ2=CP2+CQ2,

PQ=J(6T)-+廣，

???四邊形AQPE是平行四邊形,

..°AAQO-°JQO，

s.^AQOH=^PQOM,

?.?PQ>PC=AQ,

：.OH>OM,

.OH_PQ

,^OM~~AQ，

?/A=,

...它巫于,

化簡(jiǎn)得：3〃-32r+64=0,

9

.M=5，G=9（舍），

9

；?點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為二秒，

2

9

故答案為：—.

7.（2024.河南南陽(yáng).三模）綜合與實(shí)踐：折紙中的數(shù)學(xué)

折紙是我國(guó)傳統(tǒng)的民間藝術(shù)，也是同學(xué)們喜歡的手工活動(dòng)之一，幸運(yùn)星、紙飛機(jī)、千紙鶴、密信等折紙活

動(dòng)在生活中都是廣為流傳的，通過(guò)折紙我們可以得到許多美麗的圖形，同時(shí)折紙的過(guò)程還蘊(yùn)含著豐富的數(shù)

學(xué)知識(shí)，折紙往往從矩形紙片開(kāi)始，下面就讓我們帶著數(shù)學(xué)的眼光來(lái)探究一下有關(guān)矩形紙片的折疊問(wèn)題,

看看折疊矩形紙片蘊(yùn)含著哪些豐富的數(shù)學(xué)知識(shí).

在一張矩形紙片上任意畫一條線段4B,將紙片沿線段4B折疊（如圖2）

問(wèn)題1：重疊部分的VABC的形狀（是、不是）等腰三角形.

問(wèn)題2：若AB=4cm,BC=5cm,則重疊部分VABC的面積為

⑵折紙2：如圖3,矩形紙片A3CD,點(diǎn)E為邊CD上一點(diǎn)，將ABCE沿著直線BE折疊，使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)產(chǎn)

落在邊4。上，請(qǐng)僅用無(wú)刻度的尺子和圓規(guī)在圖3中找出點(diǎn)E的位置(保留作圖痕跡，不寫作法).

(3)折紙3：如圖4,矩形紙片ABC。，AB=5,BC=6,若點(diǎn)M為射線8C上一點(diǎn)，將AABM沿著直線AM

折疊，折疊后點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為？，當(dāng)點(diǎn)笈恰好落在BC的垂直平分線上時(shí)，求的長(zhǎng).

【答案】⑴是；2庖

(2)見(jiàn)解析

⑶g或15

【詳解】(1)問(wèn)題1：如圖②，設(shè)點(diǎn)M是紙片下邊上的點(diǎn)，

AM

圖②

:紙片為矩形，則5C〃AM,

ZCBA=ZBAM,

由折疊的性質(zhì)知，ZMAB=ZCAB,

：.ZCBA=ZCAB,

???VABC的形狀為等腰三角形，

故答案為：是；

問(wèn)題2：過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)

則A”=MT」AB=2,

2

則CH=7C42-AH2=752-22=而，

則VABC的面積=JxA8xC"=gx4x?=25(cm?)

故答案為：201;

(2)以點(diǎn)8為圓心，以3c長(zhǎng)度為半徑作圓交2D于點(diǎn)尸，作/EBC的角平分線3E,交CD于點(diǎn)E,作圖過(guò)

圖③

(3)當(dāng)點(diǎn)B落在矩形內(nèi)部時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)笈作3c于點(diǎn)H,交2D

?.,點(diǎn)8恰好落在BC的垂直平分線上，故4V=DN=g/l￡?=；8C=3,

在RLMBW中，cosAB'AN=—=-=sinZAB'N,

ABr5

4

VAB'=5,AN=3,貝!]BW=4,則tanN"3=§,

貝1」3'"=5-4=1,

ZB'AN+ZAB'N=90°,ZAB'N+ZHB'M=90°,

：.ZHB'M=ZB'AN,

HMHM4

在中，tanNHB'M=——=——=tanZBfAN=-

B'H13f

445

解得：HM=—,BM=BH-MH=3——=—.

333

4

AN=3f貝lj3'N=4,貝iJtanZBS47V=§,

???/B'AN+ZABrN=90°,ZAB'N+ZHB'M=90°,

rr

/.ZMBH=ZBANf

HMHM4

在Rt&877拉中，tanN/ffi'M=F-=k=tanNB'AN=w，

BH93

解得：HM=12,則8M=8H+RM=3+12=15.

故8M的長(zhǎng)為g或15.

8.（2024?河南安陽(yáng).一模）隨著教育教學(xué)改革的不斷深入，數(shù)學(xué)教學(xué)如何改革和發(fā)展，如何從“重教輕學(xué)”向

自主學(xué)習(xí)探索為主的方向發(fā)展，是一個(gè)值得思考的問(wèn)題.從數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展歷程來(lái)看分析，不外乎就是

三個(gè)環(huán)節(jié)：【觀察猜想】-【探究證明】-【拓展延伸］下面同學(xué)們從這三個(gè)方面試看解決下列問(wèn)題：

己知：如圖1所示將一塊等腰三角板RWN放置與正方形438的重含，連接⑷V、CM,E是⑷V的

中點(diǎn)，連接8E.

(1)CM與BE的數(shù)量關(guān)系是,C似與5E的位置關(guān)系是；

【探究證明】

(2)如圖2所示，把三角板即W繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)e(0<