中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)專項(xiàng)練習(xí)：專題十五考點(diǎn)34與圓有關(guān)的位置關(guān)系

1.有一題目：“已知；點(diǎn)。為△ABC的外心，ZBOC=130°,求NA.”嘉嘉的解答為：畫

△ABC以及它的外接圓。，連接08,0C,如圖.由4OC=2NA=130。，得NA=65。.而淇

淇說：“嘉嘉考慮的不周全，NA還應(yīng)有另一個(gè)不同的值.”，下列判斷正確的是（）

A.淇淇說的對(duì)，且NA的另一個(gè)值是115。

B.淇淇說的不對(duì)，ZA就得65°

C.嘉嘉求的結(jié)果不對(duì)，ZA應(yīng)得50°

D.兩人都不對(duì)，NA應(yīng)有3個(gè)不同值

2.如圖，已知。。的弦AB=8,以A5為一邊作正方形ABC。，切點(diǎn)為E,則。。的半徑為（）

A.4B.3C.6D.5

3.如圖，A3是。。的切線，連接50并延長(zhǎng)交O。于點(diǎn)C若N5=36。，則NC的度數(shù)是（）

A.180B.24°C.25°D,27°

4.如圖，AB,BC,分別與0。相切于E,F,G三點(diǎn)，且AB〃CD,BO=6,CO=8,

則的長(zhǎng)為（）

AEB

D

A.672B.8A/2C.14D.10

5.如圖，已知點(diǎn)P是。。上的點(diǎn)，用直尺和圓規(guī)過點(diǎn)P作一條直線，使它與。。相切于點(diǎn)P.

以下是甲、乙兩人的作法.

甲：如圖1,連接。尸，以點(diǎn)尸為圓心、。尸長(zhǎng)為半徑畫弧交。。于點(diǎn)A,連接并延長(zhǎng)，再

在射線上截取=直線P3即所求.乙：如圖2,作直徑力，在上取一點(diǎn)3（異

于點(diǎn)P,A）,連接A3和3P,過點(diǎn)尸作NBPC=NA,則直線PC即所求.對(duì)于甲、乙兩人的

作法，下列判斷正確的是（）

A.甲、乙兩人的作法都正確B.甲、乙兩人的作法都錯(cuò)誤

C.甲的作法正確，乙的作法錯(cuò)誤D.甲的作法錯(cuò)誤，乙的作法正確

6.如圖，/點(diǎn)為△ABC的內(nèi)心，。點(diǎn)在3c上，且若"=44。，ZC=56°,則

/4ZD的度數(shù)為何？（）

7.在黑板上有如下內(nèi)容：“如圖，A3是半圓。所在圓的直徑，AB=2,點(diǎn)C在半圓上，過點(diǎn)

C的直線交A3的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D”王老師要求添加條件后，編制一道題目，下列判斷正確的是

AOBI)

嘉嘉：若給出NOCB=NB4C,則可證明直線CD是半圓。的切線.

淇淇：若給出直線CD是半圓。的切線，且則可求出△AOC的面積.

A.只有嘉嘉的正確B.只有淇淇的正確

C.嘉嘉和淇淇的都不正確D.嘉嘉和淇淇的都正確

8.如圖，A3為0。的直徑，PB,PC分別與O。相切于點(diǎn)3,C,過點(diǎn)C作的垂線，垂

足為E,交0。于點(diǎn)D若。=尸3=26，則3E長(zhǎng)為（）

A.lB.2C.3D.4

9.如圖5AB為QO的直徑,C4與QO相切于點(diǎn)A,BC交。。于點(diǎn)D,E是的中點(diǎn)，連接0E并延

長(zhǎng)交AC于點(diǎn)R若3D=gcD,AB=5,則AR的長(zhǎng)為（）

A.述B.3C.WD.4

233

10.如圖，A5與。。相切于點(diǎn)3,連結(jié)AO并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)C,連結(jié)5C.若NC=25。，則

ZA的度數(shù)是.

11.如圖，PA,PB,CD是0。的切線，切點(diǎn)分別為點(diǎn)A,B,E,若分。）的周長(zhǎng)為18cm,

ZAPB=60°,則OO的半徑為cm.

12.如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=5,BC=12,0。的半徑為3,當(dāng)圓心。與點(diǎn)C

重合時(shí)，。。與直線A3的位置關(guān)系為；若。。從點(diǎn)C開始沿直線C4移動(dòng)，則當(dāng)

OC=時(shí)，。。與直線A3相切.

B

CA

13.如圖，△ACD內(nèi)接于圓。，AC為0。的直徑，tanZACD^—,AC=—73,3為圓上

23

一點(diǎn)，連接BC,ZACB=6Q°,P為直徑AC上一點(diǎn)，連接3。、DB,則BP+DP的最小值

14.學(xué)了圓的切線這節(jié)內(nèi)容后，小強(qiáng)設(shè)計(jì)了“過圓外一點(diǎn)作圓的切線”的尺規(guī)作圖的過程.請(qǐng)根據(jù)

他的思路完成以下作圖及填空：

已知：如圖，。。及。。外任意一點(diǎn)P.求作：過點(diǎn)P的。。的切線.

作法：①連接0P,作線段0P的垂直平分線，交0P于點(diǎn)M；

②以般為圓心，以0M為半徑畫圓，交0。于A,3兩點(diǎn)；

③連接Q4,PB,直線Q4,PB即為圓的切線；

（1）尺規(guī)作圖：在圖中，使用直尺和圓規(guī)，按上述作法作圖（保留作圖痕跡）；

（2）將下面的證明過程補(bǔ)充完整.

求證：K4是。。的切線

證明：連接。4,

?.?0P為的直徑，

:.ZOAP^?。（直徑所對(duì)的②）（填寫推理依據(jù)）

:.OA±AP.

又?.?Q4是。。的半徑，

.?.PA是。。的切線（經(jīng)過半徑外端與半徑③的直線是圓的切線）

15.如圖1,在正方形ABCD中，AB=10,點(diǎn)。，E在邊上，且CE=2,DO=3,以點(diǎn)。

為圓心，0E為半徑在其左側(cè)作半圓。，分別交相＞于點(diǎn)G,交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E

（1）GD=；

（2）將半圓。繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)々（0。＜0＜180。），點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為。，點(diǎn)口的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為廣.

①如圖2,若M為半圓。'上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)尸落在A。邊上時(shí)，求點(diǎn)M到線段的最短距離;

②如圖3,當(dāng)半圓。'交于P,R兩點(diǎn)時(shí)，若PR=5,求此時(shí)半圓。'與正方形ABCD重疊

部分的面積；

③當(dāng)半圓。'與正方形ABC。的邊相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為N,直接寫出tan/EDN的值.

答案以及解析

1.答案：A

解析：如圖所示:

ZBOC=130°,

:.ZA=65°,

NA還應(yīng)有另一個(gè)不同的值NA與NA互補(bǔ).

故ZA'=180°—65°=H5°.

故選：A.

2.答案：D

解析：連接E0并延長(zhǎng)，交A3于E連接。4,

設(shè)O。的半徑為「，則。尸=8—廠,

?.?CD邊與。。相切,

:.OE±CD,

■：四邊形ABCD為正方形,

:.AB//CD,

OF±AB

AF=-AB=4,

2

在RtAZME中，AF2+OF2=(9A2,即4?+(8—廠/=/，

解得：r=5,

,。。的半徑為5,

故選：D.

3.答案：D

解析：「AB是。。的切線，

:.ZOAB=90°,

ZAOB=90°-ZB=54-°,

\OA=OC,

:.ZOAC=ZC,

ZAOB=ZOAC+ZC=2ZC,

:.ZAOB=2ZC=54°,即NC=27°.

故選D.

4.答案:D

解析：:AB,BC,CD分別與。。相切于E,F,G三點(diǎn)，

BO平分/ABC,CO平分NBC。，

.\ZBOC=-ZABC,ZBCO=-ZBCD

22

;AB//CD

:.ZABC+ZBCD=1SO0

ZOBC+ZOCB=1(ZABC+NBCD)=90°

ZBOC=180-(ZOBC+ZOCB)=90°

BC=A/W+CO2=A/62+82=10

故選：D.

5.答案：A

解析：甲正確，理由：如圖，連接以，?.?AP=PO=AO,.?.△49P是等邊三角形，

:.ZOPA=ZOAP=60°,-.-AB=OP^AP,:.ZAPB=ZABP,ZOAP=ZAPB+ZABP,

:.ZAPB=ZABP^3G°,:.ZOPB=90°,:.OPLPB,又是。。的半徑，..PB是。。的

切線.乙正確，理由：是。。的直徑，:.ZABP=90°,ZAPB+ZPAB^9Q°,

\'ZBPC=ZBAP,:.ZAPB+NBPC=9。。，..ZOPC=90°,:.OP±PC,又;OP是。。的半

解析：連接C/,如圖所示.

ZBAC=180°—ZB—ZACB=80°.

點(diǎn)為△ABC的內(nèi)心，

:.ZCAI=-ZBAC=40°,ZACI=ZDCI=-ZACB=28°,

22

:.ZAIC=1SO°-ZCAI-ZACI=112°,

又IDLBC,

ACID=90°-ZDCI=62°,

.■,ZA7D=ZA/C+ZCZD=112°+62°=174°.

故選A.

7.答案：D

解析：:AB是半圓。所在圓的直徑，.?.NACB=90。，如圖1所示，連接。C,

圖1

?：OA,0c是半圓。所在圓的半徑，:.ZOAC=ZOCA,?.?NOC4+NOCB=90。,

ZOAC+ZOCB=90°,嘉嘉給出的條件是NOCB=NB4C,ZDCB+ZOCB^90°,

:.OCLCD,又「OC是半圓。所在圓的直徑，.?.直線CD是半圓。所在圓的切線，故嘉嘉

的正確；如圖2所示，連接。C,過點(diǎn)C作CELAB于點(diǎn)E,則0CLC。，?.BC=BD,

.?.△BCD是等腰三角形，ZDCB+ZBCO=ZACO+ZBCO=90°,:.ZACO=ZDCB,

?:NCOB=2ZACO,ZCBO=2ZDCB,:.CO=CB,又?：CO=BO,二三角形03c是等邊

三角形，:.ZCAB^ZACO=ZBCD=ZD=30°,又?.?AB=2,

???△05。是等邊三角形，OB=\,:.CE=叵，:.SAADC=LADCE，X3又也=地,故淇

22224

淇的正確.

8.答案：C

解析：作CHLPB于H,

直徑ABLCD于H,

:.CE=DE=-CD=y[3,

2

?：PC,PB分別切。。于C,B,

：.PB=PC=CD=20,直徑AB工PB,

四邊形ECHB是矩形，

:.BH=CE=6BE=CH,

PH=PB—BH=2拒-6=百，

:.CH=JPC。-PH?=《2國(guó)—（呵=3,

:.BE=CH=3.

故選：C.

9答案:A

解析:連接A。交。/于點(diǎn)G,

?.?E是AO的中點(diǎn)，

：.OE±AD,

:.ZAGO=9Q°,

?.?A3為圓。的直徑，

：.ZADB=9Q°,

：.ZADB=ZAGO=9Q°,

:.BC//OF,

-.-OA^OB,

:.AF=CF,

二。廠是△ABC的中位線,

OF=-BC,

2

BD=-CD,

3

4

?.?C4與圓。相切于點(diǎn)A,

:.ZCAB=90°,

：.ZCAB=ZADB^90°,

?;NB=NB,

:./\BDA^Z\BAC,

.BABD

.-.BA2=BDBC,

1

25=-BC72,

4

:.BC=10,

:.OF=-BC=5,

2

?：OA=-AB=2.5,AF=y/OF^OA2=A/52-2.52=巫,

22

故選:A.

10.答案：40°

解析：如圖，連接08,

?.?A3與。。相切于點(diǎn)3,

:.ZABO=90°.

?;OB=OC,

：.ZOBC=ZC=25°,

：.ZAOB=ZOBC+ZC=50°,

.-.ZA=180°-ZABO-ZAOB=180°-90°-50°=40°.

故答案為：40°.

11.答案：3g

解析：連接。4,OP,OB.-.-PA,PB,CD是0O的切線，:.CA=CE,DE=DB,

PA=PBPC+CE+DE+PD=PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PA=18,

.-.PA=lxl8=9(cm).vJR4,依是O。的切線，..ZAPO--ZAPS=30°,在RtAAOP中,

22

PO=2AO,.?.OA2+92=(2AO)2,解得OA=3有，故OO的半徑為3VL

12.答案:相離；工或生

44

解析：如圖1,

R

過點(diǎn)。作ODLAB于點(diǎn)。，由勾股定理得AB=JAC2+5C2=,52+12?=13,由三角形的面

積公式得AC5C=AB-CD,.一、吆二”又⑺，.?.CD=1^>3,與A3的位置關(guān)系是相

離.

①如圖2,

過點(diǎn)。作OD_LAB于點(diǎn)。，當(dāng)8=3時(shí)，。。與A3相切，-.-ODLAB,ZC=90°,

:.ZODA=ZC=90°,又；Z4=ZA,.-.AADO^AACB,,BP—=—,

BCAB1213

13137

AO=—,OC=5—--

444

過點(diǎn)。作00,54交朋的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，則NC=NOZM=90。，ZBAC=ZOAD,

.A八八人BCAB日口121313_1333少占匚比

.e,Z\BCA^r>/A\ODA,-----...,即———,.e.OA——,/.OC—5H———.^75K,當(dāng)OC

ODOA3OA444

等于工或史時(shí)，0。與直線A3相切.

44

13.答案：—V22

14

解析：如圖，作點(diǎn)3關(guān)于直徑AC的對(duì)稱點(diǎn)E,連接CE,則CE=5C,PE=PB,

ZACE=ZACB^60°,

BP+DP=EP+DP>DE,

即當(dāng)點(diǎn)D,P,E三點(diǎn)共線時(shí)，BP+DP的值最小，最小值為的長(zhǎng)，

連接0E,過點(diǎn)E作EFLAC于點(diǎn)R過點(diǎn)。作。G,AC于點(diǎn)G,

DG//EF,

/\PDGS/\PEF,

GPPDDG

"FP~PE~EFJ

AC是直徑，

ZADC=90°,

vtanZACD^—,

2

二可設(shè)AD=A，CD=2X,則AC=V7X,

???AC=—A/3,

3

V7x=—73,OC=OE=>6,

33

解得：x=—V21,

21

CD=—V21,AD=—V7,

217

-DGxAC=-ADxCD,

22

DG=—

7

??.CG=,GAG="

?;OC=OE,NACE=60°,

△OCE是等邊三角形，

CE=OC=-V3,CF=OF=-OC=-^,

326

EF=-,FG=—43,

214

GPPDDG8

"FP—PE—EF―7’

PG=-y/3,PF=B,

72

PD=PD。,PE=^,

72

DE=PD+PE=@應(yīng),

14

即3P+DP的最小值為"0L

14

故答案為：—V22.

14

14.答案：（1）見解析

（2）①90

②圓周角是直角

③垂直

解析：（1）如圖所示，直線Pfi即為圓的切線;

(2)證明：連接。L,

???OP為0M的直徑，

:.ZOAP=90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角）（填推理的依據(jù)）.

:.OA±AP,

又是。。的半徑，

是。。的切線（經(jīng)過半徑外端與半徑垂直的直線是圓的切線）（填推理的依據(jù)）.

故答案為：①90；②圓周角是直角；③垂直.

15.答案：（1）4

（2）①點(diǎn)”到的最短距離為1

②半圓。'與正方形ABCD重疊部分的面積為空巨+至兀

43

52

③tanNEDN=—或一

45

解析：（1）連接OG,如圖1,

圖1

?.?正方形ABCD中，AB=10,

:.AD=CD=AB=10,ZA￡>C=90°,

?.?CE=2,DO=3,

.■.OG=OE=CD-CE-OD=10-2-3=5,

.-.DG=ylOG2-OD2=4,

故答案為：4；

(2)①如圖2,過點(diǎn)。'作于點(diǎn)交半圓O'于點(diǎn)反向延長(zhǎng)710'交A。于點(diǎn)

Q,則NQHC=90。，

AF'Q

D

n\--------b10

BHC

圖2

此時(shí)點(diǎn)”到BC的距離最短,

NC=ND=ZQHC=90°,

四邊形是矩形，

：.HQ=CD^10,HQ//CD.

?.?點(diǎn)O'是石尸的中點(diǎn)，

O'Q=~DE,

在正方形ABCD中，DC=AB=10,

DE=DC-CE=10-2=8,

QO'=4,

由圖1可得，CE=2,DO=3,

:.OE=10-2-3=5,即半圓的半徑為5,

.'.MH=HQ-QO'-O'M=10-4-5=1,

即點(diǎn)航到BC的最短距離為1；

②如圖3,由①可知半圓。的