/江蘇省南京市2024?2025學年高二下學期第一階段學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測（4月期中）數(shù)學試題一、單選題（本大題共8小題）1．可以表示為（

）A． B． C． D．2．若是一個單位正交基底，且向量，，則的值為（

）A． B．4 C．7 D．233．今有2只紅球、3只黃球，同色球不加以區(qū)分，將這5只球排成一列，有（）種不同的方法.A．24 B．18 C．12 D．104．已知三點不共線，對平面外的任一點O，下列條件中能確定點共面的是（

）A． B．C． D．5．若展開式中常數(shù)項為60.則常數(shù)a的值為（

）A．4 B．2 C．8 D．66．如圖，在四面體OABC中，M是棱OA上靠近點A的三等分點，N，P分別是BC，MN的中點．設(shè)，，，則向量可表示為（）A． B．C． D．7．如圖，湖面上有4個相鄰的小島A，B，C，D，現(xiàn)要建3座橋梁，將這4個小島連接起來，共有（）種不同的方案.A．10 B．12 C．16 D．248．設(shè)，則的值為（

）A．128 B．-128 C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知點，，則（）A．為 B．線段的中點坐標為C．點B到x軸的距離為5 D．直線的一個方向向量為10．如圖，在棱長為2的正方體中，點E是的中點.（）A．與平面所成角的正弦值為B．與所成角的余弦值為C．點到直線的距離為D．和平面的距離為11．由0，1，2，3，4，5組成沒有重復數(shù)字的六位數(shù)，則（）A．其中能被5整除的數(shù)有240個 B．其中偶數(shù)有312個C．其中2，4相鄰的數(shù)有192個 D．其中1，3不相鄰的數(shù)有372個三、填空題（本大題共3小題）12．設(shè)，則.13．在空間直角坐標系中，若三點A（1，-1，a），B(2，a，0)，C(1，a，-2)滿足：，則實數(shù)a的值為.14．已知，，直線與曲線相切，則的最小值為.四、解答題（本大題共5小題）15．等比數(shù)列中的所有項均為整數(shù)，已知，.(1)求與前項和；(2)設(shè)，求數(shù)列的前10項的和.16．在的展開式中，前3項的系數(shù)成等差數(shù)列.(1)求展開式中的一次項；(2)證明展開式中沒有常數(shù)項；(3)求展開式中所有的有理項.17．某班一天的課表共安排6節(jié)課，上午4節(jié)，下午2節(jié)，每門學科都不重復，有7門學科可供選擇，它們分別是數(shù)學、語文、物理、化學、體育、生物、歷史.要求體育課必須安排進課表，且不安排在上午前3節(jié)課.(1)共有多少種不同的課表?(2)若數(shù)學安排進課表，且安排在上午，共有多少種不同的課表?(3)若數(shù)學、語文都安排進課表，且都安排在上午，共有多少種不同的課表?18．如圖，直三棱柱中，是的中點，，.(1)求與平面所成的角大?。?2)求點到平面的距離；(3)若為的中點，求二面角的正弦值.19．已知函數(shù)，，.(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)當時，設(shè)的最小值為，在區(qū)間上的最小值為，試比較與的大小關(guān)系；(3)若與在區(qū)間上的單調(diào)性相反，求的取值范圍.

參考答案1．【答案】B【詳解】根據(jù)排列數(shù)的定義得可以表示為.故選B.2．【答案】A【詳解】由是一個單位正交基底，得，所以.故選A.3．【答案】D【詳解】依題意，從一排的5個位置中任取2個放入2只紅球，另3個位置放入黃球即得一個排列，所以不同排法種數(shù)是.故選D.4．【答案】D【詳解】平面外的任一點O，點共面的充要條件是，且，對于A，由，得，點不共面，A不是；對于B，由，得，點不共面，B不是；對于C，由，得，點不共面，C不是；對于D，由，得，點共面，D是.故選D.5．【答案】A【解析】直接利用二項式定理計算得到，解得答案.【詳解】展開式的通項為：.取得到常數(shù)項為，解得.故選.6．【答案】D【詳解】由題意，向量，故選D.7．【答案】C【詳解】依題意，要將4個相鄰的小島A，B，C，D連接起來，共有個位置可以建設(shè)橋梁，從這6個位置中選3個建設(shè)橋梁，共有種選法，但選出的3個位置可能是僅連接或或或三個小島，不合題意，所以要建3座橋梁，將這4個小島連接起來，共有（種）不同的方案.故選C.8．【答案】B【詳解】依題意，的通項公式為，則都為負數(shù)，都為正數(shù)，因此，取，得，所以.故選B.9．【答案】ABC【詳解】對A，由題意得，則，故A正確；對B，線段的中點坐標為，即，故B正確；對C，點B到x軸的距離為，故C正確；對D，因為，且，則與向量不共線，故D錯誤.故選ABC.10．【答案】BCD【詳解】以為原點，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，則，對于A，設(shè)平面的法向量為，，設(shè)與平面所成角為所以，故A錯誤；對于B，，設(shè)與所成角為，則，故B正確；對于C，，由點到直線的距離公式可得，故C正確；對于D，設(shè)平面的法向量為，，則，取，則，由可得平面，所以和平面的距離即為點到平面的距離，由點到直線的距離公式可得，故D正確.故選BCD.11．【答案】BC【詳解】對于A，能被5整除的整數(shù)，個位為0或5，個位為0的六位數(shù)有個；個位為5的六位數(shù)有個，共有（個），A錯誤；對于B，個位為0的六位偶數(shù)有個，個位為2，4之一的六位偶數(shù)有個，共有（個），B正確；對于C，視2，4為1個數(shù)，相當于5個元素的排列，0不能排首位，有（個），C正確；對于D，由選項C知，1，3相鄰的數(shù)有192個，符合條件的六位數(shù)有個，因此1，3不相鄰的數(shù)有（個），D錯誤.故選BC.12．【答案】0【詳解】展開式通項為，所以.13．【答案】【解析】先根據(jù)點的坐標得到，的坐標表示，再根據(jù)向量垂直對應的數(shù)量積為零計算出的值即可.【詳解】由題意，所以，解得.14．【答案】8【詳解】設(shè)切點為，因為，所以，得，所以，即，所以，，當且僅當，即時，取最小值，所以的最小值為8.15．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）設(shè)的公比為，依題意得，解得或，又因為等比數(shù)列中的所有項均為整數(shù)，則，因此，.（2）由（1）知，則所以.16．【答案】(1)(2)證明見解析(3)【詳解】（1）設(shè)該二項式展開式通項為，則，由題意可得：或，顯然不符題意，舍去，故.令，即含x的一次項為：；（2）由（1）展開式通項為，則，所以不滿足，所以展開式中沒有常數(shù)項；（3）由（1）知二項式展開式通項，由題意知，令得為展開式中所有的有理項.17．【答案】(1)2160；(2)1320；(3)720.【詳解】（1）排體育課有種方法，從余下6門學科中任取5門排入課表有種方法，所以不同的課表種數(shù)是（種）.（2）數(shù)學排在前3節(jié)，有種方法；數(shù)學排在第4節(jié)，有種方法，所以不同的課表有（種）.（3）上午不排體育課，有種方法；上午排體育課，有種方法，所以不同的課表有（種）.18．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）由已知，，，則，即，又三棱柱為直三棱柱，則平面，如圖所示，以點為坐標原點，建立空間直角坐標系，則，，，又為中點，所以，，易知平面的一個法向量為，則，所以直線與平面夾角的正弦值為，即直線與平面的夾角為；（2）由空間直角坐標系可知，，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，所以點到平面的距離；（3）由空間直角坐標系可知，又為中點，則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，則，所以二面角的正弦值為.19．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）解：當時，，其定義域，可得，可得，即切線的斜率為，切點坐標為，所以切線方程為，即.（2）解：由（1）知：當時，，令，可得，當時，；當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即又由函數(shù)