/湖南省名校聯(lián)考聯(lián)合體2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（A卷）一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．2．復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則的共軛復(fù)數(shù)為（

）A． B．C． D．3．已知，，若，則（

）A． B． C． D．4．已知函數(shù)的最小正周期為，則（

）A．2 B．3 C．1 D．5．小李一家打算去張家界或長沙旅游，去張家界與長沙的概率分別為0.6，0.4，在張家界去徒步爬山的概率為0.5，在長沙去徒步爬山的概率為0.6，則小李一家旅游時去徒步爬山的概率為（

）A．0.54 B．0.56 C．0.58 D．0.66．已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，若，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．7．棱長為3的正方體中，為棱靠近的三等分點(diǎn)，為棱靠近的三等分點(diǎn)，則三棱錐的外接球表面積為（

）A． B． C． D．8．已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且.下列結(jié)論中錯誤的是（

）A．B．不存在實(shí)數(shù)，使為遞減數(shù)列C．存在實(shí)數(shù)，使得為等比數(shù)列D．，使得當(dāng)時，總有二、多選題（本大題共3小題）9．下列說法正確的是（

）A．相關(guān)變量的線性回歸方程為，若樣本點(diǎn)中心為，則B．的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為32C．在獨(dú)立性檢驗(yàn)中，隨機(jī)變量的觀測值越小，“認(rèn)為兩個變量有關(guān)”這種判斷犯錯誤的概率越小D．甲、乙兩個模型的決定系數(shù)分別約為0.95和0.8，則模型甲的擬合效果更好10．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第二象限），則（

）A．可能為等邊三角形B．C．若直線的傾斜角為，則D．若直線的傾斜角為，則的面積為11．已知函數(shù)，其中為正整數(shù)，且為常數(shù)，是函數(shù)大于的零點(diǎn)，其構(gòu)成數(shù)列，則（

）A．函數(shù)不可能有三個零點(diǎn)B．函數(shù)的減區(qū)間為C．對于任意的，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)均存在零點(diǎn)，則D．存在實(shí)數(shù)使得數(shù)列的部分項(xiàng)構(gòu)成無窮等比數(shù)列三、填空題（本大題共3小題）12．已知離散型隨機(jī)變量，，則.13．某班一天上午有4節(jié)課，下午有3節(jié)課，現(xiàn)要安排該班一天中語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)、政治，體育7堂課的課程表，要求數(shù)學(xué)課、物理課都排在上午，且數(shù)學(xué)課、物理課不連排，體育課排在下午，不同排法種數(shù)是.用數(shù)字作答）14．已知在平面直角坐標(biāo)系中，，動點(diǎn)滿足，則的取值范圍是.四、解答題（本大題共5小題）15．人工智能（簡稱）的相關(guān)技術(shù)首先在互聯(lián)網(wǎng)開始應(yīng)用，然后陸續(xù)普及到其他行業(yè).某公司推出的軟件主要有四項(xiàng)功能：“視頻創(chuàng)作”“圖像修復(fù)”“語言翻譯”“智繪設(shè)計(jì)”.為了解某地區(qū)大學(xué)生對這款軟件的使用情況，從該地區(qū)隨機(jī)抽取了100名大學(xué)生，統(tǒng)計(jì)他們最喜愛使用的軟件功能（每人只能選一項(xiàng)），統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：軟件功能視頻創(chuàng)作圖像修復(fù)語言翻譯智繪設(shè)計(jì)大學(xué)生人數(shù)30203020假設(shè)大學(xué)生對軟件的喜愛傾向互不影響.(1)從該地區(qū)的大學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，試估計(jì)此人最喜愛“視頻創(chuàng)作”的概率；(2)采用按比例分配的分層抽樣的方式從最喜愛“視頻創(chuàng)作”和“圖像修復(fù)”的大學(xué)生中隨機(jī)抽取5人，再從這5人中隨機(jī)抽取2人，其中最喜愛“視頻創(chuàng)作”的人數(shù)為，求的分布列，數(shù)學(xué)期望以及方差.16．在中，分別為角的對邊，.(1)求角的大??；(2)若為的中點(diǎn)，，的面積為，求的周長.17．已知函數(shù)，為實(shí)數(shù).(1)若函數(shù)在處的切線經(jīng)過點(diǎn)，求的值；(2)若有極小值，且極小值大于2，求的取值范圍；(3)若對任意的，且恒成立，求的取值范圍.（為自然常數(shù)）18．如圖，矩形中為中點(diǎn)，將沿著折疊至.

(1)證明：平面；(2)設(shè)平面平面，點(diǎn).（i）當(dāng)為何值時，直線與平面所成角的正弦值為；（ii）在滿足條件（i）的情況下，過作一截面，與棱分別交于點(diǎn)，且平面，記四棱錐的體積為，四棱錐的體積為，求.19．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)分別是橢圓的右頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)、左頂點(diǎn)，若的離心率為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在線段上運(yùn)動（不含端點(diǎn)），與關(guān)于點(diǎn)對稱，直線與橢圓的另一交點(diǎn)為點(diǎn)，直線與橢圓的另一交點(diǎn)為點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，直線的斜率分別為.（i）求的面積的最大值；（ii）求證：為定值，并求出該定值.

參考答案1．【答案】B【詳解】由已知當(dāng)或時，，當(dāng)時，無意義，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以.故選.2．【答案】A【詳解】因?yàn)椋?故選.3．【答案】B【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，可得，所以，故選B.4．【答案】C【詳解】由題意得，解得.故選C.5．【答案】A【詳解】記小李一家去張家界為事件，去長沙為事件，去徒步爬山為事件，則、、、，所以，即小李一家旅游時去徒步爬山的概率為.故選A.6．【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，，又，，所以，所以，所以，所?故選.7．【答案】D【詳解】依題意可得，，在中由余弦定理，所以，則外接圓的半徑，又且平面，設(shè)三棱錐的外接球的半徑為，則，所以外接球的表面積.故選D.8．【答案】C【詳解】由得，相減可得，，由于各項(xiàng)均不為零，所以，所以的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別為公差為的等差數(shù)列，對于A，因?yàn)?，所以，故A正確；對于B，由于的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別為公差為的等差數(shù)列，且，，所以，，所以，所以不可能為遞減數(shù)列，即不存在實(shí)數(shù)，使為遞減數(shù)列，故B正確；對于C，因?yàn)椋?，若為等比?shù)列，則為常數(shù)，則，此時，故，，進(jìn)而可得數(shù)列的項(xiàng)為顯然這不是等比數(shù)列，故C錯誤，對于D，若，只要足夠大，一定會有，則，只要足夠的大，趨近于0，而，顯然能滿足，故，當(dāng)時，總有，故D正確，故選C.9．【答案】ABD【詳解】對于A中，將樣本點(diǎn)中心點(diǎn)代入回歸方程為，可得，解得，所以A正確；對于B中，二項(xiàng)式的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為，所以B正確；對于C中，在獨(dú)立性檢驗(yàn)中，隨機(jī)變量的觀測值越大，“認(rèn)為兩個變量有關(guān)”這種判斷犯錯誤的概率越小，所以C錯誤；對于D中，根據(jù)決定系數(shù)的含義知：決定系數(shù)越大，模型擬合效果越好，由，所以模型甲的擬合效果更好，所以D正確.故選ABD.10．【答案】BC【詳解】

由已知可得，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，由得，所以，，對于，若為等邊三角形，則，根據(jù)拋物線的對稱性可得此時直線與軸垂直，且，，所以，，所以不可能為等邊三角形，故錯誤；對于，因?yàn)?，，所以，因?yàn)閮牲c(diǎn)在拋物線上，所以，，所以，所以，故正確；對于，若直線的傾斜角為，所以，所以，，所以，故正確；對于，若直線的傾斜角為，直線的方程為，即，所以到直線的距離為，所以，故錯誤.故選.11．【答案】ACD【詳解】對于A：因?yàn)椋?，所以在定義域上單調(diào)遞增，所以函數(shù)不可能有三個零點(diǎn)，故A正確；對于B：因?yàn)椋?，令，解得，所以函?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故B錯誤；對于C：當(dāng)時，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以函數(shù)在內(nèi)均存在零點(diǎn)只需滿足即可，即，所以，所以且，又為正整數(shù)，所以，即，故C錯誤；對于D：令，解得，當(dāng)時，，則當(dāng)時，，所以是上的嚴(yán)格增函數(shù)，所以．所以．所以是恒為的常數(shù)列，故存在實(shí)數(shù)使得數(shù)列的部分項(xiàng)構(gòu)成無窮等比數(shù)列，故D正確．故選ACD.12．【答案】【詳解】因?yàn)椋?，又，所?13．【答案】432【詳解】數(shù)學(xué)課、物理課都排在上午，且不連排的排法數(shù)為；體育課排在下午的排法數(shù)為；將余下4門課程排入課程表有種方法，所以所求不同排法種數(shù)是.14．【答案】【詳解】設(shè)點(diǎn)，依題意可得，即，則，所以，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時取等號，由，解得，所以，則，所以.15．【答案】(1)(2)分布列見解析；期望為；方差為.【詳解】（1）解：由表格中的數(shù)據(jù)，可得該地區(qū)的100名大學(xué)生中“視頻創(chuàng)作”的人生為30人，所以該地區(qū)的大學(xué)生最喜愛“視頻創(chuàng)作”的概率為.（2）解：在該地區(qū)的100名大學(xué)生中“視頻創(chuàng)作”和“圖象修復(fù)”的人數(shù)分別為30人和20人，采用分層抽樣的方式從最喜愛“視頻創(chuàng)作”和“圖像修復(fù)”的大學(xué)生中隨機(jī)抽取5人，可得“視頻創(chuàng)作”和“圖象修復(fù)”的人數(shù)分別為3人和2人，從這5人中隨機(jī)抽取2人，其中“視頻創(chuàng)作”的人數(shù)為，可得的可能取值為，則，所以隨機(jī)變量的分布列為：012則期望為，方差為.16．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，因?yàn)椋?，即；?）因?yàn)榈拿娣e為，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，，由余弦定理可得，解得，所以，所以的周長為.17．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，又，所以函?shù)在處的切線方程為，因?yàn)榍芯€經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得；（2）由（1）知，函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，無極值，當(dāng)時，令，得，所以當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)有極小值，極小值為，由，所以，所以的取值范圍為；（3）由得，令，所以對任意的，且，恒成立，所以在單調(diào)遞減，所以在上恒成立，所以在上恒成立，因?yàn)槎魏瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上的最小值為，所以.18．【答案】(1)證明見解析；(2)（i）；（ii）.【詳解】（1）由題意得，，，所以，即，∵，所以，即，又平面，所以平面；（2）（i）∵,平面,平面,所以平面,又平面,平面平面，所以

以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、為軸和軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則∵，∴,∴，設(shè)平面的法向量為，則

即令得,∴，記直線與平面所成角為,則，化簡得，解得，所以.（ii）由（i）知，，,即(三等分點(diǎn))，又∵平面，∴，∴(三等分點(diǎn))，∵，，∴四邊形為平行四邊形，∴即(四等分點(diǎn))，∴又∵∴.19．【答案