第28頁（共28頁）2025年中考數(shù)學復習難題速遞之相交線與平行線（2025年4月）一．選擇題（共10小題）1．（2025春?江津區(qū)校級月考）如圖，Rt△ABC的直角頂點A在直線a上，斜邊BC在直線b上，若a∥|b，∠1＝40°，則∠2＝（）A．50° B．40° C．30° D．45°2．（2025春?西湖區(qū)校級月考）下列說法正確的是（）A．過任意一點可作已知直線的一條平行線 B．兩條不相交的直線是平行線 C．過直線上一點只能畫一條直線與已知直線垂直 D．平行于同一直線的兩直線平行3．（2025?衡陽模擬）如圖所示，a∥b，∠1＝65°，則∠2的大小是（）A．135° B．115° C．105° D．65°4．（2025?碧江區(qū)一模）如圖，直線AB、CD相交于點O，過點O作OE⊥AB，若∠DOB＝43°，則∠EOD的度數(shù)是（）A．143° B．133° C．47° D．43°5．（2025?合肥一模）某物體靜止在斜面上，其受力分析如圖所示，重力G的方向豎直向下，支持力F1的方向與斜面垂直，摩擦力F2的方向與斜面平行．若斜面的坡角α＝31.5°，則摩擦力F2與重力G方向的夾角β的度數(shù)為（）A．148.5° B．131.5° C．121.5° D．58.5°6．（2025?凱里市校級一模）如圖，在空氣中平行的兩條入射光線，在水中的兩條折射光線也是平行的．若水面和杯底互相平行，且∠1＝100°，則∠2的度數(shù)為（）A．60° B．70° C．80° D．100°7．（2025?伊川縣一模）如圖，是一款吸管杯的截面示意圖，已知AB∥CD，吸管看作一條直線，若∠1＝64°，則∠2的度數(shù)為（）A．128° B．64° C．106° D．116°8．（2025?祥云縣模擬）如圖，直線a、b被直線c所截，且a∥b，若∠2＝3∠1，則∠2的度數(shù)為（）A．150° B．135° C．120° D．105°9．（2025?新鄉(xiāng)一模）如圖，已知AB∥CD，∠D＝81°，∠E＝43°，則∠B的度數(shù)是（）A．81° B．43° C．28° D．38°10．（2025?石家莊模擬）如圖1是一輛豎直放在地面上的自行車，圖2是其示意圖，其中a∥b，c∥d，∠1＝115°，則∠2＝（）A．55° B．60° C．65° D．70°二．填空題（共5小題）11．（2025春?小店區(qū)校級月考）如圖，已知∠AOB，OC平分∠AOB，將直角尺DEMN如圖所示擺放，使EM邊在OB上，DN邊與OA交于點P，與OC交于點Q，則OP的長度為cm．12．（2025春?翔安區(qū)校級月考）如圖，給出下列結論：①∠1與∠2是同旁內角；②∠1與∠3是同位角；③∠1與∠4是內錯角；④∠1與∠5是同位角；⑤∠2與∠3是對頂角．其中說法正確的是．（填序號）13．（2025春?臨平區(qū)月考）如圖1是一輛寶寶的推車，其示意圖如圖2所示，點A，B，C，O在同一直線上，該直線與水平地面MN的夾角是30°，CE⊥AO于點C，BD平行水平地面MN交CE于點D，∠CBF=43∠BDC，AO'∥BF，則∠BAO′＝度；前面有一向下的斜坡PN，當推車前后輪都推到斜坡上時，AO′所在的直線垂直水平地面MN，則∠PNM的度數(shù)是14．（2025春?九龍坡區(qū)校級月考）如圖，直線AB∥CD，點E，P在直線AB上，點G，F(xiàn)在直線CD上，連接PF，EG，∠PFC的平分線與∠AEG的平分線交于點H，F(xiàn)H與EG交于點I，點J，K為平面內的兩點，連接IJ，IK，KJ，直線FI與線段KJ交于點M，直線EH與直線PF交于點Q，若∠FIG：∠GIJ＝1：2，∠JKI=∠KIJ=32∠CFI，∠JMI15．（2025?鋼城區(qū)一模）已知直線m∥n，將一塊含30°角的直角三角板ABC按如圖方式放置（∠ABC＝30°），其中A，B兩點分別落在直線m，n上，若∠1＝20°，則∠2的度數(shù)為°．三．解答題（共5小題）16．（2025春?九龍坡區(qū)校級月考）如圖，已知線段AB，CD相交于點O，OE平分∠AOC交AC于點E，∠EOC＝∠B．（1）求證：OE∥BC；（2）若∠AEO＝70°，∠B＝55°，求∠ACD的度數(shù)．17．（2025春?西湖區(qū)校級月考）如圖，直線AB，CD分別與直線AC相交于點A，C，與直線BD相交于點B，D．若∠1＝69°，∠2＝68°，∠3＝111°．求∠4的度數(shù)．18．（2025春?沈陽月考）直線AB∥CD，∠ABC與∠DCB的角平分線交于點E，BE的延長線交CD于點F，過點F作FG⊥BF，交BC延長線于點G．（1）如圖1，求證：EC∥FG；（2）如圖2，點M在線段BC上，點N在線段FG上，且EM平分∠BEN，連接EG．若∠NEG＝∠NGE，求∠MEG的度數(shù)；（3）在（2）的條件下，以點G為頂點，GM為邊，在GM下方作∠MGP＝∠MEG，交EM的延長線于點P，請直接寫出∠EGM與∠MPG的關系．19．（2025春?禪城區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD∥BC，求證：∠1＝∠2．20．（2025春?九龍坡區(qū)校級月考）如圖，已知AE⊥FC于點E，∠3＝∠4，∠1+∠2＝90°，求證：∠F+∠BAF＝180°．（把下列推理過程補充完整，并在括號里填上推理依據）證明：∵AE⊥FC，∴∠AEC＝90°，（），∴∠1+∠AEB＝90°，∵∠1+∠2＝90°．∴∠2＝∠AEB，（），∴∥（），∴∠4+＝180°（），∵∠3＝∠4，∴∠3+＝180°，∴∥，∴∠F+∠BAF＝180°．

2025年中考數(shù)學復習難題速遞之相交線與平行線（2025年4月）參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案ADBBCCDBDC一．選擇題（共10小題）1．（2025春?江津區(qū)校級月考）如圖，Rt△ABC的直角頂點A在直線a上，斜邊BC在直線b上，若a∥|b，∠1＝40°，則∠2＝（）A．50° B．40° C．30° D．45°【考點】平行線的性質．【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．【答案】A【分析】利用平行線的性質及三角形內角和定理即可得解．【解答】解：由平行線性質可知∠1＝∠ABC＝40°，∴∠2＝50°．故選：A．【點評】本題主要考查利用平行線的性質求三角形中角的度數(shù)，熟練掌握該知識點是關鍵．2．（2025春?西湖區(qū)校級月考）下列說法正確的是（）A．過任意一點可作已知直線的一條平行線 B．兩條不相交的直線是平行線 C．過直線上一點只能畫一條直線與已知直線垂直 D．平行于同一直線的兩直線平行【考點】平行線的判定與性質；平行線；平行公理及推論．【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力．【答案】D【分析】根據平行線和垂線的定義及平行公理進行判斷．【解答】解：根據平行線和垂線的定義及平行公理逐項分析判定如下：A．過不在直線上一點可作已知直線的一條平行線，故選項錯誤，不符合題意；B．同一平面內兩條不相交的直線是平行線，故選項錯誤，不符合題意；C．同一平面內過直線上一點只能畫一條直線與已知直線垂直，故選項錯誤，不符合題意；D．平行于同一直線的兩直線平行，故選項正確，符合題意；故選：D．【點評】本題主要考查平行線和垂線的定義及平行公理，熟練掌握公理、定理是解決本題的關鍵．3．（2025?衡陽模擬）如圖所示，a∥b，∠1＝65°，則∠2的大小是（）A．135° B．115° C．105° D．65°【考點】平行線的性質．【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．【答案】B【分析】首先根據兩直線平行內錯角相等，可得：∠3＝∠1＝65°，再根據鄰補角的定義求出∠2的度數(shù)即可．【解答】解：如下圖所示，∵a∥b，∠1＝65°，∴∠3＝∠1＝65°（兩直線平行，內錯角相等），∵∠2+∠3＝180°，∴∠2＝180°﹣65°＝115°，所以∠2的大小是115°．故選：B．【點評】本題考查平行線的性質，關鍵是平行線性質的熟練掌握．4．（2025?碧江區(qū)一模）如圖，直線AB、CD相交于點O，過點O作OE⊥AB，若∠DOB＝43°，則∠EOD的度數(shù)是（）A．143° B．133° C．47° D．43°【考點】垂線；對頂角、鄰補角．【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．【答案】B【分析】根據垂直定義可得：∠BOE＝90°，然后根據∠EOD＝∠BOE+∠DOB＝133°，即可求解．【解答】解：由條件可知∠BOE＝90°，∴∠EOD＝∠BOE+∠DOB＝133°，故選：B．【點評】本題考查了垂線，平角的知識，根據題目的已知條件并結合圖形進行分析是解題的關鍵．5．（2025?合肥一模）某物體靜止在斜面上，其受力分析如圖所示，重力G的方向豎直向下，支持力F1的方向與斜面垂直，摩擦力F2的方向與斜面平行．若斜面的坡角α＝31.5°，則摩擦力F2與重力G方向的夾角β的度數(shù)為（）A．148.5° B．131.5° C．121.5° D．58.5°【考點】平行線的性質；垂線．【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力．【答案】C【分析】根據題意結合圖形可知β是重力G與斜面形成的三角形的外角，從而可求得β的度數(shù)．【解答】解：∵重力G的方向豎直向下，∴重力G與水平方向夾角為90°，∵摩擦力F2的方向與斜面平行，α＝31.5°，∴β＝∠1＝α+90°＝31.5°+90°＝121.5°，所以摩擦力F2與重力G方向的夾角β的度數(shù)為121.5°，故選：C．【點評】本題考查了平行線的性質，垂線，關鍵是平行線性質的熟練掌握．6．（2025?凱里市校級一模）如圖，在空氣中平行的兩條入射光線，在水中的兩條折射光線也是平行的．若水面和杯底互相平行，且∠1＝100°，則∠2的度數(shù)為（）A．60° B．70° C．80° D．100°【考點】平行線的性質．【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力．【答案】C【分析】根據平行線的性質解答即可．【解答】解：如圖，∵兩條入射光線平行，∴∠1＝∠3＝100°，∵∠2+∠3＝180°，∴∠2＝80°，故選：C．【點評】本題考查平行線的性質應用，熟練掌握平行線的性質是解答的關鍵．7．（2025?伊川縣一模）如圖，是一款吸管杯的截面示意圖，已知AB∥CD，吸管看作一條直線，若∠1＝64°，則∠2的度數(shù)為（）A．128° B．64° C．106° D．116°【考點】平行線的性質；對頂角、鄰補角．【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．【答案】D【分析】先根據平行線的性質得出∠3的度數(shù)，再根據鄰補角的定義得出∠2的度數(shù)即可．【解答】解：∵∠1＝64°，AB∥CD，∴∠3＝∠1＝64°，∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣64°＝116°，故選：D．【點評】本題考查了平行線的性質及對頂角、鄰補角，掌握兩直線平行，內錯角相等是解題的關鍵．8．（2025?祥云縣模擬）如圖，直線a、b被直線c所截，且a∥b，若∠2＝3∠1，則∠2的度數(shù)為（）A．150° B．135° C．120° D．105°【考點】平行線的性質．【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力．【答案】B【分析】根據平行線的性質，求出3∠1+∠1＝180°，據此解答．【解答】解：如圖，由題意可知：∠1＝∠3，∵a∥b，∴∠2+∠3＝180°，∵∠2＝3∠1，∴3∠1+∠1＝180°，∴∠1＝45°，∴∠2＝135°，故選：B．【點評】本題考查了平行線的性質，解題的關鍵是求出3∠1+∠1＝180°．9．（2025?新鄉(xiāng)一模）如圖，已知AB∥CD，∠D＝81°，∠E＝43°，則∠B的度數(shù)是（）A．81° B．43° C．28° D．38°【考點】平行線的性質．【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．【答案】D【分析】由平行線的性質得到∠AFE＝∠D＝81°，再根據三角形外角的性質即可求解．【解答】解：∵AB∥CD，∠D＝81°，∴∠AFE＝∠D＝81°（兩直線平行，同位角相等），∵∠E＝43°，∴∠B＝∠AFE﹣∠E＝81°﹣43°＝38°，所以∠B的度數(shù)是38°，故選：D．【點評】本題考查了平行線的性質，掌握相關知識是解題的關鍵．10．（2025?石家莊模擬）如圖1是一輛豎直放在地面上的自行車，圖2是其示意圖，其中a∥b，c∥d，∠1＝115°，則∠2＝（）A．55° B．60° C．65° D．70°【考點】平行線的性質．【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力．【答案】C【分析】先求∠3，再根據平行線的性質可得∠2＝∠3．【解答】解：如圖，∵c∥d，∠1＝115°，∴∠3＝180°﹣∠1＝65°，由平行線性質可知∠2＝∠3＝65°，故選：C．【點評】本題考查了平行線的性質．熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵．二．填空題（共5小題）11．（2025春?小店區(qū)校級月考）如圖，已知∠AOB，OC平分∠AOB，將直角尺DEMN如圖所示擺放，使EM邊在OB上，DN邊與OA交于點P，與OC交于點Q，則OP的長度為2cm．【考點】平行線的性質；角平分線的定義．【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．【答案】2．【分析】先由平行的性質得∠PQO＝∠QOM，再由角平分線的性質得∠POQ＝∠QOM，進而得∠PQO＝∠POQ，即可得OP＝PQ＝2cm．【解答】解：由題意可知，DN∥EM，∴∠PQO＝∠QOM（兩直線平行，內錯角相等），∵OC平分∠AOB，∴∠POQ＝∠QOM=12∠∴∠PQO＝∠POQ，∴OP＝PQ＝2cm．故答案為：2．【點評】本題考查了平行線的性質，角平分線的定義，關鍵是角平分線定義的熟練掌握．12．（2025春?翔安區(qū)校級月考）如圖，給出下列結論：①∠1與∠2是同旁內角；②∠1與∠3是同位角；③∠1與∠4是內錯角；④∠1與∠5是同位角；⑤∠2與∠3是對頂角．其中說法正確的是①②．（填序號）【考點】同位角、內錯角、同旁內角；對頂角、鄰補角．【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．【答案】①②．【分析】根據定義，一一判斷即可．【解答】解：逐項分析判斷如下：①∠1與∠2是同旁內角，該說法符合題意；②∠1與∠3是同位角，該說法符合題意；③∠1與∠4不是內錯角，該說法不符合題意；④∠1與∠5不是同位角，該說法不符合題意；⑤∠2與∠3是鄰補角，該說法不符合題意；．①②符合題意，故答案為：①②．【點評】本題考查了同旁內角，同位角，內錯角，對頂角，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．13．（2025春?臨平區(qū)月考）如圖1是一輛寶寶的推車，其示意圖如圖2所示，點A，B，C，O在同一直線上，該直線與水平地面MN的夾角是30°，CE⊥AO于點C，BD平行水平地面MN交CE于點D，∠CBF=43∠BDC，AO'∥BF，則∠BAO′＝80度；前面有一向下的斜坡PN，當推車前后輪都推到斜坡上時，AO′所在的直線垂直水平地面MN，則∠PNM的度數(shù)是160【考點】平行線的性質；三角形內角和定理；三角形的外角性質．【專題】線段、角、相交線與平行線；幾何直觀；推理能力．【答案】80；160．【分析】延長AC交MN于點G，由平行線的性質可得∠DBC＝∠AGN＝30°，再由三角形內角和定理得出\angBDC=90°-30°=60°，再求得∠CBF＝80°，再根據平行線的性質求得∠BAO′＝80°，延長MN交AO′于點H，延長AO′交NP于點G，先求得∠HGN＝70°，再由垂直的定義可得∠NHG【解答】解：直線點AB與水平地面MN的夾角是30°，BD平行水平地面MN交CE于點D，如圖2，延長AC交MN于點G，∴∠AGN＝30°，BD∥MN，∴∠DBC＝∠AGN＝30°，∵CE⊥AO于點C，∴∠BDC＝90°﹣30°＝60°，∴∠CBF∵AO′∥BF，∴∠BAO′＝∠CBF＝80°，如圖，延長MN交AO′于點H，延長AO′交NP于點G，∵∠BAO′＝80°，AO與NP的夾角為30°，∴∠HGN＝70°，由題意得：AO′⊥NH，∴∠NHG＝90°，∴∠MNP＝90°+70°＝160°，故答案為：80；160．【點評】本題考查了平行線的性質，三角形內角和定理及垂直的定義，三角形外角的性質，解決本題的關鍵是熟練掌握平行線的性質及垂直的定義．14．（2025春?九龍坡區(qū)校級月考）如圖，直線AB∥CD，點E，P在直線AB上，點G，F(xiàn)在直線CD上，連接PF，EG，∠PFC的平分線與∠AEG的平分線交于點H，F(xiàn)H與EG交于點I，點J，K為平面內的兩點，連接IJ，IK，KJ，直線FI與線段KJ交于點M，直線EH與直線PF交于點Q，若∠FIG：∠GIJ＝1：2，∠JKI=∠KIJ=32∠CFI，∠JMI【考點】平行線的性質；三角形內角和定理；角平分線的定義．【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．【答案】78．【分析】設∠CFI＝2x，則∠JKI＝∠KIJ＝3x，求出∠JIM＝6x﹣48°，設∠FIG＝y(tǒng)，則∠GIJ＝2y，進一步得到y(tǒng)＝76°﹣2x，利用外角的定義得到∠NGI＝76°，根據平行線的性質和角平分線的性質得到∠PEQ＝52°，進一步得到∠HFN＝∠PFH＝26°，即可求解．【解答】解：設∠CFI＝2x，由條件可知∠JKI＝∠KIJ＝3x，∠KJI＝180°﹣6x，∵∠JMI＝48°，∴∠JIM＝180°﹣∠JMI﹣∠KJM＝6x﹣48°，設∠FIG＝y(tǒng)，∵∠FIG：∠GIJ＝1：2，∴∠GIJ＝2y，∴∠FIJ＝∠FIG+∠GIJ＝y(tǒng)+2y＝3y，∵∠FIJ＝180°﹣∠JIM，即3y＝180°﹣（6x﹣48°），∴y＝76°﹣2x，即∠FIG＝76°﹣2x，∴∠NGI＝∠FIG+∠CFI＝76°﹣2x+2x＝76°，∵AB∥CD，∴∠AEN＝∠GNE，∠PEQ＝∠GNE，∠NFP＝∠QPE，∵EN是∠AEG的角平分線，∴∠GEN＝∠AEN，∴∠GEN∴∠PEQ＝52°，∵∠HQF＝76°，∴∠NFP＝∠QPE＝180°﹣∠PEQ﹣∠HQF＝180°﹣52°﹣76°＝52°，∵FH是∠PFC的角平分線，∴∠HFN∴∠EHF＝∠HFN+∠GNE＝26°+52°＝78°，故答案為：78．【點評】本題考查了平行線的性質，三角形內角和定理，角平分線的性質等知識，掌握相關知識是解題的關鍵．15．（2025?鋼城區(qū)一模）已知直線m∥n，將一塊含30°角的直角三角板ABC按如圖方式放置（∠ABC＝30°），其中A，B兩點分別落在直線m，n上，若∠1＝20°，則∠2的度數(shù)為50°．【考點】平行線的性質．【專題】線段、角、相交線與平行線．【答案】見試題解答內容【分析】根據平行線的性質即可得到結論．【解答】解：∵直線m∥n，∴∠2＝∠ABC+∠1＝30°+20°＝50°，故答案為：50【點評】本題考查了平行線的性質，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵．三．解答題（共5小題）16．（2025春?九龍坡區(qū)校級月考）如圖，已知線段AB，CD相交于點O，OE平分∠AOC交AC于點E，∠EOC＝∠B．（1）求證：OE∥BC；（2）若∠AEO＝70°，∠B＝55°，求∠ACD的度數(shù)．【考點】平行線的判定與性質．【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．【答案】（1）見詳解；（2）15°．【分析】（1）由角平分線的定義得出∠EOC=∠AOE=12∠AOC（2）由平行線的性質得出∠AEO＝∠ACB＝70°，∠EOC＝∠OCB，由已知條件可得出∠EOC＝∠OCB＝55°，最后根據角的和差關系即可得出答案．【解答】（1）證明：由條件可知∠EOC∵∠EOC＝∠B，∴∠AOE＝∠B，∴OE∥BC．（2）解：由條件可知∠AEO＝∠ACB＝70°，∠EOC＝∠OCB，∵∠AOE＝∠EOC＝∠B＝55°，∴∠EOC＝∠OCB＝55°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠OCB＝70°﹣55°＝15°．【點評】本題主要考查了角平分線的定義，平行線的判定以及性質等知識．熟練掌握以上知識點是關鍵．17．（2025春?西湖區(qū)校級月考）如圖，直線AB，CD分別與直線AC相交于點A，C，與直線BD相交于點B，D．若∠1＝69°，∠2＝68°，∠3＝111°．求∠4的度數(shù)．【考點】對頂角、鄰補角．【專題】運算能力．【答案】112°．【分析】根據鄰補角的定義得到∠BAC＝180°﹣∠1＝180°﹣69°＝111°＝∠3，根據平行線的判定得到AC∥BD，根據平行線的性質，可得∠2+∠CDB＝180°，即可求解．【解答】解：∵∠1＝69°，∴∠BAC＝180°﹣∠1＝180°﹣69°＝111°＝∠3，∴AC∥BD（同位角相等，兩直線平行），∴∠2+∠CDB＝180°（兩直線平行，同旁內角互補），∴∠CDB＝180°﹣∠2＝112°，∴∠4＝∠CDB＝112°．【點評】本題考查了平行線的性質與判定，解題的關鍵是：熟練掌握平行線的性質與判定．18．（2025春?沈陽月考）直線AB∥CD，∠ABC與∠DCB的角平分線交于點E，BE的延長線交CD于點F，過點F作FG⊥BF，交BC延長線于點G．（1）如圖1，求證：EC∥FG；（2）如圖2，點M在線段BC上，點N在線段FG上，且EM平分∠BEN，連接EG．若∠NEG＝∠NGE，求∠MEG的度數(shù)；（3）在（2）的條件下，以點G為頂點，GM為邊，在GM下方作∠MGP＝∠MEG，交EM的延長線于點P，請直接寫出∠EGM與∠MPG的關系．【考點】平行線的判定與性質．【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力．【答案】（1）證明過程見解析部分；（2）∠MEG＝45°；（3）∠EGM與∠MPG的關系是互為余角．【分析】（1）根據角平分線，得到∠BEC＝90°，結合FG⊥BF，證得結論；（2）設∠MEC＝α，表示∠CEG＝45°﹣α，利用∠MEG＝∠MEC+∠CEG，得到結果；（3）根據題意，作出圖形，利用∠EMB＝∠GMP，得到∠EGM+∠MPG＝90°，得到結果．【解答】（1）證明：∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，∴∠EBC=1∴∠EBC∴∠BEC＝90°，∵FG⊥BF，∴∠BFG＝90°，∴∠BEC＝∠BFG，∴EC∥FG；（2）解：設∠MEC＝α，∵EM平分∠BEN，∴∠BEM＝∠MEN＝90°﹣α，∴∠CEN＝∠MEN﹣∠MEC＝90°﹣2α，由（1）知EC∥FG，∴∠CEG＝∠NGE，∵∠NEG＝∠NGE，∴∠NEG＝∠CEG，∴∠CEG＝（90°﹣2α）÷2＝45°﹣α，∴∠MEG＝∠MEC+∠CEG＝α+（45°﹣α）＝45°；（3）解：∠EGM與∠MPG的關系是互為余角，理由如下：如圖3，∵∠EMB是△EMG的外角，∴∠EMB＝∠MEG+∠EGM，∵∠EMB＝∠GMP，在△MGP中，∠GMP＝180°﹣∠MGP﹣∠MPG，∴∠MEG+∠EGM＝180°﹣∠MGP﹣∠MPG，∵∠MGP＝∠MEG＝45°，∴45°+∠EGM＝180°﹣45°﹣∠MPG，∴∠EGM+∠MPG＝90°，∴∠EGM與∠MPG的關系是互為余角．【點評】本題考查了平行線的判定和性質的應用，角的計算，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵．19．（2025春?禪城區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD∥BC，求證：∠1＝∠2．【考點】平行線的性質；等腰三角形的性質．【專題】線段、角、相交線與平行線；等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】見解析．【分析】根據AB＝AC得出∠B＝∠C，進而根據平行線的性質，得出∠1＝∠B，∠2＝∠C，等量代換，即可得證．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C（等邊對等角），∵AD∥BC，∴∠1＝∠B（兩直線平行，同位角相等），∠2＝∠C（兩直線平行，內錯角相等），∴∠1＝∠2．【點評】本題考查了平行線的性質，等腰三角形的性質，關鍵是相關性質的熟練掌握．20．（2025春?九龍坡區(qū)校級月考）如圖，已知AE⊥FC于點E，∠3＝∠4，∠1+∠2＝90°，求證：∠F+∠BAF＝180°．（把下列推理過程補充完整，并在括號里填上推理依據）證明：∵AE⊥FC，∴∠AEC＝90°，（垂直的定義），∴∠1+∠AEB＝90°，∵∠1+∠2＝90°．∴∠2＝∠AEB，（等量代換）），∴AD∥BE（內錯角相等，兩直線平行），∴∠4+∠BAD＝180°（兩直線平行，同旁內角互補），∵∠3＝∠4，∴∠3+∠BAD＝180°，∴AB∥CF，∴∠F+∠BAF＝180°．【考點】平行線的判定與性質；垂線．【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力．【答案】垂直的定義；等量代換；AD、BE；內錯角相等，兩直線平行；∠BAD；兩直線平行，同旁內角互補；∠BAD；AB、CF．【分析】根據題意得到∠AEC＝90°（垂直的定義），得到∠2＝∠AEB，（等量代換），可證明AD∥BE（內錯角相等，兩直線平行），得到∠4+∠BAD＝180°（兩直線平行，同旁內角互補），即可得到結論．【解答】證明：∵AE⊥FC，∴∠AEC＝90°，（垂直的定義），∴∠1+∠AEB＝90°．∵∠1+∠2＝90°，∴∠2＝∠AEB，（等量代換）．∴AD∥BE（內錯角相等，兩直線平行）．∴∠4+∠BAD＝180°（兩直線平行，同旁內角互補），∵∠3＝∠4，∴∠3+∠BAD＝180°．∴AB∥CF．∴∠F+∠BAF＝180°．故答案為：垂直的定義；等量代換；AD、BE；內錯角相等，兩直線平行；∠BAD；兩直線平行，同旁內角互補；∠BAD；AB、CF．【點評】本題考查了垂直的定義，平行線的判定和性質，熟練掌握平行線的判定和性質是解題的關鍵．

考點卡片1．角平分線的定義（1）角平分線的定義從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線叫做這個角的平分線．（2）性質：若OC是∠AOB的平分線則∠AOC＝∠BOC=12∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠（3）平分角的方法有很多，如度量法、折疊法、尺規(guī)作圖法等，要注意積累，多動手實踐．2．對頂角、鄰補角（1）對頂角：有一個公共頂點，并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，具有這種位置關系的兩個角，互為對頂角．（2）鄰補角：只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關系的兩個角，互為鄰補角．（3）對頂角的性質：對頂角相等．（4）鄰補角的性質：鄰補角互補，即和為180°．（5）鄰補角、對頂角成對出現(xiàn)，在相交直線中，一個角的鄰補角有兩個．鄰補角、對頂角都是相對與兩個角而言，是指的兩個角的一種位置關系．它們都是在兩直線相交的前提下形成的．3．垂線（1）垂線的定義當兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足．（2）垂線的性質在平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直．注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”“過一點”的點在直線上或直線外都可以．4．同位角、內錯角、同旁內角（1）同位角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的同側，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同位角．（2）內錯角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，則這樣一對角叫做內錯角．（3）同旁內角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對角叫做同旁內角．（4）三線八角中的某兩個角是不是同位角、內錯角或同旁內角，完全由那兩個角在圖形中的相對位置決定．在復雜的圖形中判別三類角時，應從角的兩邊入手，具有上述關系的角必有兩邊在同一直線上，此直線即為截線，而另外不在同一直線上的兩邊，它們所在的直線即為被截的線．同位角的邊構成“F“形，內錯角的邊構成“Z“形，同旁內角的邊構成“U”形．5．平行線在同一平面內，兩條直線的位置關系有兩種：平行和相交（重合除外）．（1）平行線的定義：在同一平面內，不相交的兩條直線叫平行線．記作：a∥b；讀作：直線a平行于直線b．（2