專題30三角形綜合練習(xí)（基礎(chǔ)）

I.如圖，在四邊形A8CQ中，AB=CD,AD=BC,。為AC的中點，過點。作直線.

（1）若直線與A。、分別相交于點￡、F,如圖①，則AE與CF有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由.

（25若直線馬AQ、.C8的延長線分別相交于點.￡、F,如圖則（1）,ME與C尸的關(guān)系成立嗎？

（3）若直線與DA、6c的延K線分別相交丁點E,尸，如圖③，貝【J（I）中AE勺C廠的關(guān)系還成立嗎？

請說明理由.

【分析】（1）先判斷出四邊形A8C。是平行四邊形，即可得出NAEO=NCFO,即可判斷出△AOEgA

COF,即可得出結(jié)論：::::

?一（2）同（1）的方法即可得出結(jié)論；'??.

］>小3>同（I）的方法即可得出備論.：二?二二'：1一

［解答］解：（1?,AE=CR,.”，S.?［、

理由：'：AB^CD,AD=RC,

f，???四邊形ABC。是平彳亍四邊形，<cf■'

：,AD//BC,

JZAEO=ZCFO,

?.?。為AC的中點，

二P1r?,j*'yjJ^?，7\JL^，一jVjpw

：.OA=OC,

?—???

4EO=4FO

^AOE=LCOF，

（OA=OC

???△AOEWZXCO尸，,..

：.AE=CFt

（2）（1）中A￡與C『的關(guān)系仍然成立，理由：耳⑴的方法；.，.：，..

--

3

（3）（1）中A瓦與的關(guān)系仍然成立，理由：同（1）的方法；..

【點評】此題是士角形的《合題，主要考孟宇平行四必形的判定和整戢全等三%形的判定和在意解

本?題的關(guān)鍵是判斷出24EO=/C廠0,泥一道簡單的中,?？碱}.，z

2.如圖，在△ABC中，AB=AC,NBAC=90°,5C=m點Z）是BC上一動點（不與點B、C）重合，Z

BDE二NC,BE±DE.

（I）求乙4廠。的度數(shù)；

Dp

（2）在點/）運動過程中，廣;的值是否為定值？說明理由.

DF

1

（3）當(dāng)。。=割。時，連結(jié)AD,△A3。三邊上分別有動點尸、M、N,（點尸在3D上），當(dāng)△PMN的

周長取最小值時，求AP的長.

1

【分析】（1）.先由等腰直角三角形的性質(zhì)得/ABC=NC=45°,貝IJNBDE=3/C=22.5°,再由三角形

’的外角性質(zhì)求解即市＜':-3'''］；='?

，（2）過點。作AC的平行線，交A8于G,交BE的延長線于從先證入4DG是等腰直角三角形，’得BG

=GD,NBDH=45°,再證。8=。從得BE=EH,然后證△3〃G0△OFG（/US）,?得。/=/汨=28，

/*Z//#?

即可得出答案；：：：

（3）分別彳乍點P關(guān)于A。、AB的對稱點尸，片，連接PF,分別交AB、AD于M、N,由對稱的性質(zhì)得：

PM=P-M,PN=PN,4嚴(yán)=AP=4/，ZP'AD=ZPAD,^P-AB=ZPAB,則△尸MN的周長=P'P"，上

匕4P”=2N84D為定值，是頂角為碑值的等腰二角形，當(dāng)”上3C時，“最短，即腰饞型小,

則?產(chǎn)P“最短，即可得出結(jié)論.49??

J尸*Jr，

【解答】解：（1）???AB=AC,NZMC=90。，

???△ABC是等腰直角三角形,

???2ABC=/C=45°,一'

/?,.?"A

???/BDE=1ZC=F22.5°,:、

2.卜???>

：.^AFD=ZABC+^BDE=^50+22.5°=67.5°；

（2）在點O運動過程中，空的值是是值，理由如下;

過點D作AC的乎行線，殳AB于G,交BE的延長線于H,如圖1所示：

',:GDHAC,，?，?

??

：?NBGD=/BAC=9a0,

???△MG是等腰直角三角舷，

；?BG=GD,NBDH=45°,,■,■?

???NEQ”=45：：-NBOE=45°-22.5°=22.5°,

?.ZBDE=ZEDH=22.5°^\t

Vto±DE,#,f...

''F9

:,NH=4DBH=675°,

：.DB=DH,

:.BE=EH,一,■■一

又?：NH=/DBE^75°,,

：.-ZH=ZAFD,??

ii一—s,.Ai/,2,

:.△BHGWMDFG(AAS),

:.DF=BH=2BE,

.BE1

，=—?

DF2'

'⑶當(dāng)CD=hc=L時,‘NABD為銳角4形，

5J

分前作點P關(guān)于AO、“B的前春點P、P”,連接〃尸”，辦別交AB、AO于A/、N,加圖2所示：

￡?■?勵.■?

由對稱的性質(zhì)得：PM=P"M,PN=P'N,AP,=AP=AP\ZP'AD=ZR\D,ZP"AB=ZPAB,

則APMN的周長=PM+MN+QN=P'M+A〃N+PW=P'P"，4PAP'=2ZBAD為定值，AAPP'是頂角為定

值的等腰三角形，'

當(dāng)腰長越小時J謠邊長也越小，?J，?［、,?I、

當(dāng)A/<L8C時，A尸將，即腰長最小，.:「‘，,*/’,

???/尸”最短：.

11.

即APMN的周長最小，此時/y=280=2%

接三角形的判定馬性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、軸對■稱的性質(zhì)、最小值問題等知識；本題綜合性強，有］定難

度，熟練掌握全等三%形的判定與性質(zhì)、等腰三腦形的判定與?性質(zhì)是解題前關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型'

3.將兩個全等的等邊一:角形△ABQ和△BC。按如圖所示放置，AB=2,七是邊4。上的一個動點，將射線

BE繞點8順時針旋轉(zhuǎn)60°,交。。于點立

（1）判斷aBE5的性狀，并說明理由.

（2）設(shè)△BE尸的面積為S,求S的取值范圍.

（3）當(dāng)△8"的面積最小值’，在8￡上是否存在點P,使QP+8P+AP最?。咳舸嬖?，求H；QP+8P+AP

的最小值；若不存在，請說明理由.

【分析】（1）結(jié)論：ABEF是等邊三角形.由AEBD且AFBC,⑥出8E=BF,由NE8F=6（?,推出△

仍少是等邊與布形；

???

??（2））①當(dāng)‘點E與Ar重合時，△4"與AW/S重合，?此時得到△8EF面積的最大值.②當(dāng)BE_L4OH%

'【■得到△BEr面積的最小值，，求出最大值以及最小俏.即可解決問題；.?［、，.）、

gf?j..__

（3）存在.如圖;將AAB。沿A/?翻折得到△ABD',E的對應(yīng)點為&.易知:%+P/）+PB=AP'+PD+PP'

?A-J，酒尸」》ft'，

=P'D'+PP'+PD,屬于當(dāng)。、P、P'、D'共線時，必+PO+PB最小，最小值為線段?！返拈L；

【解答】解：(1)結(jié)論：△8E”是等邊三角形.

理由：:△"Q喻△BCD都是等邊三角形,一

:.AB=BD=BC,NEDB=NC=6U0,

VZEBF=ZDBC=(/)°,

???4EBD=/FBC,.^.

在△EBD和△F8C7，

BD=BC

乙EBD=乙FBC，

ZEBD=乙FBC

??:△EBD@/\FBC,

工BE=BF,

VZE5F=60°,--川

???△EM是等邊壬角形.?；工》r?：【》，；，

(2)①當(dāng)點E與A重合時，ABEF與△AO/3重合，此時得到△8EF面枳的最大值為=x22=翼,

②當(dāng)/雙LAO時，得到△墳溝面積的填小值，因為此時陣字X2=V5,^

所以△陽/面積的垠小值為半?(75)工學(xué)，

4、，?/?，■」

/.—<S<V3,.」/：?J.

4

t?*?ik

(3)存在.如圖，將△AB。沿AB翻折得'到△AB。'，E的對應(yīng)房為6'.

易知：PA+PLHPB=^AP'+PD+PP'=P'D'+PP'+PD,

???當(dāng)。、P、P'、。'.共線時，始+PD+PB最小,最小值為線段。?！拈L，最小值為26.

【點評】本題考套三角形綜合題、等邊三角形的性質(zhì)和劃定、全顰三角形的判定和性質(zhì)、兩點之間線段

’.最短等知識，解題白族鍵顯正確尋找全等三角弦解決徜題，’學(xué)會利用對稱.根加兩種之間線段最短球夬

最值問題，屬于中考壓軸題.IJ（?■:」*?

4.已知在△A8C中，NAC8=90°,CA=CB,CQ_LA8于。.

（I）按要求補全圖1,若點E是線段C。上任意一點（不與端點重合），①過點E作￡7LLCQ交人。于

F;?②連接、8a③取8尸中點.G,連.接EG；?、■

■（2）判斷（1）中EG與8C的位置關(guān)系并證明：

（3）將（1）中的ACE/繞點C旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，其它條件不變，判斷EG與4戶的數(shù)量關(guān)系并證

明、

圖1圖2

【分析】（；）補全的圖如圖1所宗.〈二二"一”'一

.（2）如圖1市，結(jié)論：EG//BC.延長F￡交8c于”.只要證明FE=E從即可利用三角形中位線定理

證明.*:r.?:

\J?^TLX*，:*'ZTX*</1一三L??

（t3）結(jié)論：AF=2EG.延長柱到H,使得EH=￡/,.,連接CH、BH.首先證明4〃=2￡G,再證明△4C7；

〃，推出AFTBII即可解決問題.

￡△〃CJ**/J,*<

【解答】解：。）補全的圖如圖1所示.

a

圖1

,(2)如圖1也%'論：瓦/〃BC..?』‘/,

理由：延長FE交BG于〃.，

I?'

'：CA=CB,NAC8=90°,CDLAB,

???，

N■AC,O=?NBCO/=45°；w

?■VEFlCD,?”

工/CEF=/GEH=90°,>,

???/CFH=NCHF=45°,,?

□_.一,'Jr

：.CF=CH,?：CELFH,

:.EF=EH,"：FG=GB,

/??<**/r?

:?EG〃BC.?,、?一

，°，"，，

??

(3)結(jié)論：AF=2EG.理由如下：

如圖2中,延長尸E到H,使得EH=EF,連接CH、BH.

::EF=EH,FG言GB,

:?BH=2EG,

,J—?一

???△CM是等腰直角三角形,

8

：?CE=EF=EH,CE^FH,

:?CF=CH,N,FCH=NACB=90',

?*??

：./ACF=《BCH,f

容ZVI"和△BCH中，

AC.=CB

乙ACF=^BCH,....t

CF=CH

:：AF=BH,?；BH=2EG,，’f.

：.AF=2EG.

【忘評】本題％查三角形綜合瞿、三角形市位線定理、全等三角形.的加定和性質(zhì)等網(wǎng)識，解題/關(guān)鍵是

二學(xué)會添加常用輔助緋構(gòu)造全等三角形解決問題，屬耳中考?？碱}型.；，?<?/；，

5.在△ABC中，AB=AC,將線段8C繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段8D.

(I)如圖1,若NBAC=40°,則NABD=10°；.

(2)如圖2,NBCE=150°,ZABE=60°,判斷△A3E的形狀并加以證明；

(3)在(2)條件下，連結(jié)OE,若NDEC=45°,設(shè)N8AC=a(00<a<6O0),求a的值.

【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出N.A8C,根據(jù)N4?0=/4〃C-NQ5c計算即可..

?A工?#/1w1*

(2)于△ABDgZ\ACQ(SSS),推出NADB—NAOC=15()0,再證明△AAQgZkE'BC(A4S),推出A/3

=BE即可解決問題.■

，.-，，-，?

(3)只要證明入。EC是等腰直角三角形，即可推出BC=CE,ZCBE=^CEB=\5Q

【解答】解：(1)如圖1中，；A8=AC,NA=40°,,

???ZABC=ZC=70^,

VZDBC=60*,

：?2ABD=NABC-/DBCFC?60：=10°.

?Ir(vat:

故答案為10.

??/?，一jftt

'，'(2)結(jié)論：XABE是等邊2角形，''

理由：連接A。，CD：ED,

???線段BC繞B逆時針旋轉(zhuǎn)60，得到線段BD,

BC=BD,ZDBC=60°,,?

???ZABE=60\,

:??/鉆。=/左改\,且488為等邊三角形；'

f在AAB。與△ACO「I卜.

f/>*,4-

AB=AC

AD=AD，

BD=CD

■，1/1?4J：.

-'???△ABDgZXAC。(^SSSK*

JNAOB-/AQC=150°,，

\,?NBCE=150',.?

，，,，

r.ZADB=2BCE,

在△A8O和中，

—\(ZABD=ZEBC..

\BD=BC、，

U4DB=乙BCE

：.AABD^^EBC(A4S),

：.AB=BE,VZABE=60°,

???△ABE是等邊三角形.?.,一

八/./a丫―

(3)如圖2中，.'由(2)可知,ZBCD=60°,

［、，。、??工、

VZBC￡=150°,

^9.4..一??

/.ZDC/-=90°,

???NOEC=45°,.

???/C￡>E=/OEC=45°,,

：.CD=CE=CB,

Fir(?j,

：?NCBE=NCEB±15。,/,

■：NBAD=NDAC=NBEC,'t

■?

??.N8AO=N/”C=15°,

AZBAC=30°

【點評】本題考查‘了全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形的判定和性

????

質(zhì)的應(yīng)用，注意：全尊三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS，全等老角形的性質(zhì)是全浮三角形的

對應(yīng)邊相等'，對四角相等，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線構(gòu)強基至三角形解決問題，屬'于;I速壓軸

題??

6.等腰△ABC中，AC=BC,ZABC=a.

'(I)如圖1,C7)_LA〃于。，作AC’的垂直平分線交A8于上，若A〃=X,AC=3,求他的值；

(2)如圖2,若BQ平分NAEC,分別過C、。作BC、B。的垂線，相交于尸點，‘當(dāng)a=30°時，試探

究尸Q、BQ、CQ三邊的關(guān)系；

(3)若將圖2中NPCB、ZPQB都改為120°,當(dāng)a=20°時，其他條件不變，試探究PQ、BQ、CQ

.三邊的關(guān)系.

【分析】(1)根據(jù)等微三面形的性質(zhì)得到?。?8。=%3=4,由勾股定理得到CQ=3,由線段垂直平分

線的性質(zhì)得到CE=P￡,根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；，

(2)如圖2,過C餌CDJLC。交BQ于。，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/川石=120°,根據(jù)角平分我

的定義得到NC8Q=15°,推出△CQD是等腰直角三角形，求得'。。=&CQ,根據(jù)全等三達形的性質(zhì)

得到BD=PQ,亍是得到結(jié)論：

(3)如圖3,作NQCQ=120°交〃。手。，過C作C〃J_8。于〃，根據(jù)角的和差得到NQCP=NBC7),

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NACB=140。：,?根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BD=PQ,于是得到結(jié)論：一

【解答】解：(1)VAC=BC=5,CDLAB,

1

：.AD^BD=^AB-4,

L?3f?JrT?.X?

：.CD=3,

?:BC的垂直平分線交AB于E.

:.CE=BE,

：?DE=4-RE,.

?:3+D呼寧C仔,.

.

A32+(4-BE)2=/法2,

(2)如圖3,?理C作CQ_LCQ交BQ午。，

*：AC=BC,ZABC=30°,，

???NAC4=120。；，

14Q平分N/Wc!、

，???'/CBQ=15°，/.,'f.

:?NCQB=45°"

???ACQ。是等腰直角三角形，.

：.DQ=y[2CQ,-*

*：ZPQB=ZBCP=90°,?,

???NP=NCBQ=5,

f^P=ZCBE

在△CQP寫hpQC=Z.BDC=135°-

(3=CD

?*<\"1j1/??<**!_/:?

■'：.XCQP@1XCDB一■..

；?BD=PQ..j.?廣.廣

，：BQ=BD+DQ,

/.BQ=PQ+&CQ；

(3)如圖3,作N0CO=12O°交80于。，過C作C〃_L4。于〃，?

.〈2PCB=/PQB=1200?,'

,?,v./厚,_*?Jr?■

:?/QCP±/BCD,

k?口^"\X>W>G

\'AC=BC,NABC=20°,

??

???N4C8=140°,f，

???3Q平分/ABg

???NC8Q=100.，

:?NCQB=30°,

AZCDe=30°，

：.CQ=CD,

:.DQ=2QH=V3CQ,

a

■I，f2QCP=NDCR

在ACQP與△CQB中，jCQ=CD，

[z-PQC=乙BDC=150?！?/p>

I,

:ACQP沿4CDB,

:,BD=PQ,

，：BQ=BD+DQ,

?"Q=PQ+V5CQ.

/彳三角形的判定和性底，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

7.已知等腰△ABC中，A8=AC,點E是△48C內(nèi)一點,，點。是8C邊的中點，連接A￡,DE.

,，?

(1)如圖1,當(dāng)NBAC=60°.,ZBEC=\2Q°時，求證：AE=2DE；

(2)如圖2,當(dāng)NBAC=90°,ZBEC=135°時，求證：AE=V2DE：

(3)如圖3,當(dāng)NBAC=a,NBEC=90°+,a時，猜想AE、OE的數(shù)量并證明.

【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性.質(zhì)，可得讒且為等邊三角形，根據(jù)三角形外角的性施,

可得NFR4+4/法=120°（N4CE+/EBC）=60—,,根據(jù)全等三角彩的判定與性質(zhì)，可得EC*G,

/ECD=NGBD,再根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得EG=E凡根據(jù)等量代換,.可得答案；.

f??1

（2）同（1）的方法得出'再同（1）的方法得出￡尸/EG=2OE,即可得出結(jié)論；

（3）同（1）的方法彳導(dǎo)出E/=EG=2OE,再用銳角三角函數(shù)即句得出結(jié)論.-

【喊答】解：（1）犯圖1，將AACE繞點A時期針旋轉(zhuǎn)6（5。得到△然凡學(xué)接荏長團至點G：

使OG=￡Q,連琢BG.?二.'?二.-1?

???/VW"'0△ACE且為等邊2角形.

：.AE=AF=EF,CE=BF,NF8A=/ECA,’.

V^FBA^ABE=ZEC/H600-Z.EBC_

=60°-Z^CE+60°-ZEBC=120°.-QBCE+/EBC)=60：，

'，」.?J，9“A9.“

：,ZFBE=ZFBA+ZABE=6^.

*

(ED=GD

在△ECD和△G6￡>中，4CDE=乙BDG」

■CD=BD

:.△ECDgAGBD(SAS),

工E?=BG,WECD=NGBD,.

\\BG=BF,ZGBE=^GBD+ZEBD=ZECB^EBC=600=NFRE.

BE-BE

'在△EBG和△防尸中，乙EBG=乙EBF,

,BG=BF

:AEBG@4EBF(SAS)

:.EG=EF,一

一工."r.?―.?

?:.EF=EG」2ED,--

；,AE=2ED.\'

（2）如圖2,將△ACE繞點A時順針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABF,連接EE延長EZ）至點G,

使。G=￡。，連扳8G.

'MJ"一，,?.3，

???△440△ACE,且△?1￡尸為等腰直角三甭形.

■

：,EF=V2AE,CE=BF,ZFBA=ZECA,

VZFBA+^ABE=ZECA+450-^EBC

=45°-Z^CE+45O-NEBS90°-(NBCE+/EBO=45°；

：.ZFBE=ZFBA+2ABE=45a\

*、(ED=GD.「

在AECD和△GB。中，1/.CDE=乙BDG，

，(CD=BD

?'

.*./\ECD烏叢GBD(SAS),

；?EC=BG,NECD=/GBD,

.-'：.BG=BF,/GBE±NGBD+/EBD=NECB七EBC=45)=/FBE.--

BE=BE.J'，.，.J

,在△E8G和/中，乙ERG=乙EBF,

1(BG工BF

.,?△EBGWAEBF(SAS)

:.EG=EF,

?

.?.：EF=EG=2ED,..w.

\.:?&AE=2ED，.?

jftJ，<,，，■,

：.AE-6DE\

*，-pJr.AJr,1J-

4?r—?..:—一上

a

(3)AE*sin-=DE.

2

；,:理由：如圖3,w..

j.、^AACE繞點A可順針旋轉(zhuǎn)a得到△A8￡,?存接EV.,延長ED至點,G)、，.工

使?。G=EO,連接BG.???

—J，jBn*j?才.

AAABF^AACE,且△AEF為等腰三角形.

:?CE=BF,NFBA=NECA,

??1??

,//FBA+/ABE=N￡04+90°-1a-ZEBC.

二90。一焉a-N8CE+90。一｝-NEBC=l8(r-a-ZBCE+ZEBC)=90°4,

LLL

??：NFBE=NFBA+NABE=9?-^a.

乙,

ED=GD

在△EC。和△G8D中，乙CDE=LBDG，、J*

CD=BD

:.AECDm4GBD(SAS),

:.EC±BG；ZECD=NGBD,

:?BC=BF,NGBE=NGBD+NEBD三NECB+NEBC=90°=NFBE.

-?yzV

(BE=BE

在AEBG和中，LEBG=乙EBF,?JL?

BG=BF

?■.?

???△EBGg△砂產(chǎn)(SAS)

???EG=EF；

：.EF=EG=2EDf?

“?^j|r.，,/?./w0

過點A作AHA.EF,

'：AE=Ab,

'?

111

:.HE=^EF/EAHN左NEAF=尻,

L922??

在RtZ\AE”中,sin/E4”=冬，

..2Er..

..sin-=-----,?

2AE

a1

AAE-sin-=-EF^ED,,

22

??

aff

.*.AE*sin-=DE.

2

【點評】此題是三角形綜合題：主要考直了?旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定

和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，解本題的關(guān)鍵是判斷出EF=DG=2QE.4

8.如圖，/XABC中，AB=AC,ZBAC=90°,BC=4,線段MN在8c邊上沿8c方向運動（運動開始時,

點M與點8重合，點N到達點C時運動終止），MN=1,分別過點M、N分別作3。的垂線，與折線5

->4一。交于P、。兩點，設(shè)線段/3M的長為工

⑴線段MN在運總的過程中，當(dāng)PM=QNH$,求x值；

（2）線段M/V在運動的過程中，尸M+QN=v,請用含x的式子表示），，并與出x的取值范圍.

【分析】（1）先利用等腰直角三角形得出PM=BM,QN=CN,再利府線段的和差和PM=QN即可得出

2,）,TV-，口,，,，二.

.V；

（2）分三種情況討論計算，①點P,Q都在4光E,②kP在43上，點。在AC*Jt，③點P,。都在

ACh,利用等腰直角三角形的性質(zhì)和線段的和差即可得出結(jié)論.

【解答】解：（1）如圖1,在448C中,A8=AC,N84G=90。，

???N48C=/AC8=N5。

*：PMLBC,QNkRC,

：?2PMB=4QNC=*S,.

在RtZ\PMB中，PM=BM,

同理：QN=cZ,

??I,―/e，???丈；?

?：PM=QN,--

:?BM=CN,.?:、

V/?C=4,M/V=l,

.*.BC=BM+MN+CN=2BM+MN=4,

?「（2）①、如圖2,在等腰宣先三角形A8C中，-5C=4,

:,BH=CH=兄=2,

,■:MN=T,,，；*，，

當(dāng)OWxWl時，

■■《JtJ?

二花RlZ\OMB中,；NKBC345。，

在,□△QN8中;QN=BN=BM+MN=x+\,

‘‘/

/.y=PM+QN=x+x+1=2.v+1,

..??②、.如圖3,當(dāng)iq<2時,而①得,PM="M=x，

?.、在RtZ\QNC中，QN=CN,?.、

.?A>[,

IRC=BM+MN+CN,

，?一Sr-,

QN=CN=BC-BM-MN=4-x-1=3-x,

/.},=PM+QNf+3-x=3；

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，???4?..'._1<<

J，下/4>■/?*

?,」>?*t%,

③、如圖4,當(dāng)2WxW3時，.

??

VZ?C=4,BM=x,'?

：.CM=BC-BM=4-x,

VM/V=1,,

，CN=CM?MN=4-x?i=3?x，

在為△PMC中，PM=CM24-x,

人同理：QN=CN=3-x,^,

.\y=m+QN=4-x+3-x=7-2x；

px+l(O<x<l)

?、即：y=3(l<x'<2)，.?：「，?一、，?「

(7-2x(2<x<3)

圖3

圖2

【點評】此題是三角/綜合題.主要考查了等底直角三角形的性質(zhì)，線段向和差，解本題的關(guān)鍵是用1

表示出PM,QN；是一道比較笥單的媒合題目.

9.如圖所示，在△ABC中，ZACB=90°,AC=5cm,BCm12cm,將△ABC繞點8順時針旋轉(zhuǎn)60°,得

到連接OC交AB于點尸.

(I)求NABE的度數(shù)：

9??

(2)求7)。的長；

.-€'1-

(3)求△AC/與△B。/7的周長之和是多少？

【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)角的定義進行解答；:

，，二》??i

'(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到NC80=6O°,BC=BD,然后根據(jù)等邊三角形的判定方法判斷△8C。莫等邊

三?角形，則等邊三角形的三床邊相等；一

(3)先根據(jù)勾股定理計算由AB=13cm,再利用三角該周長定義得到△A。'與&DF的周長之和=