專題02圓錐曲線中的中點弦問題（點差法+聯(lián)立法）目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一：求直線方程 2題型二：求離心率 3題型三：求弦中點的軌跡方程 4題型四：求曲線方程 6題型五：處理存在性問題 7題型六：確定參數(shù)的取值范圍 9題型七：定值問題 11三、專項訓練 13一、必備秘籍1、相交弦中點（點差法）直線與曲線相交，涉及到交線中點的題型，多數(shù)用點差法。按下面方法整理出式子，然后根據(jù)實際情況處理該式子。主要有以下幾種問題：（1）求中點坐標；（2）求中點軌跡方程；（3）求直線方程；（4）求曲線；中點，，2、點差法設(shè)直線和曲線的兩個交點，，代入橢圓方程，得；；將兩式相減，可得；；最后整理得：同理，雙曲線用點差法，式子可以整理成：設(shè)直線和曲線的兩個交點，，代入拋物線方程，得；；將兩式相減，可得；整理得：二、典型題型題型一：求直線方程1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點，為坐標原點，以，為鄰邊作平行四邊形，點恰好在上．若線段的中點在直線上，則直線的方程為（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·山東·期中）已知中心在原點，半焦距為4的橢圓（，，）被直線方程截得的弦的中點橫坐標為，則橢圓的標準方程為（

）A． B．C．或 D．或3．（23-24高二上·廣東深圳·期中）已知橢圓方程為，其右焦點為，過點的直線交橢圓與，兩點．若的中點坐標為，則橢圓的方程為（

）A． B． C． D．4．（23-24高二上·重慶·期中）已知直線與雙曲線交于、兩點，若弦的中點為，則直線的方程為.5．（2024高三·全國·專題練習）以為中點的雙曲線的弦所在直線的方程為.6．（23-24高二上·江蘇連云港·階段練習）已知拋物線，過點的直線交拋物線于兩點，若為的中點，則直線的方程為.題型二：求離心率1．（2023高三·全國·專題練習）設(shè)是橢圓上不關(guān)于坐標軸對稱的兩點，是線段的中點，是坐標原點，若直線與直線的斜率之積為，則橢圓的離心率為.2．（23-24高二上·云南昭通·期末）斜率為的直線與橢圓交于A，B兩點，為線段的中點，則橢圓的離心率為．3．（23-24高二上·黑龍江哈爾濱·期中）已知直線與橢圓相交于兩點，且線段的中點在直線上，則此橢圓的離心率為．4．（2024·福建廈門·二模）不與x軸重合的直線l過點N（,0）（xN≠0），雙曲線C：（a＞0，b＞0）上存在兩點A、B關(guān)于l對稱，AB中點M的橫坐標為．若，則C的離心率為．5．（23-24高三·重慶渝中·階段練習）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過作直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于A，B兩點，設(shè)P為線段AB的中點，若，則雙曲線的離心率為．6．（23-24高三下·江蘇南京·開學考試）已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C:的左右焦點，過點F1且斜率存在的直線L與雙曲線C的漸近線相交于AB兩點，且點AB在x軸的上方，AB兩個點到x軸的距離之和為，若，則雙曲線的離心率題型三：求弦中點的軌跡方程1．（2024高三下·全國·專題練習）求證：橢圓中斜率為的平行弦的中點軌跡必過橢圓中心.2．（2024高三·全國·專題練習）設(shè)橢圓方程為，過點的直線交橢圓于點A、B，O是坐標原點，點P滿足，當l繞點M旋轉(zhuǎn)時，求動點P的軌跡方程．3．（2024高三·全國·專題練習）已知曲線上一動點到兩定點，的距離之和為，過點的直線與曲線相交于點，．(1)求曲線的方程；(2)動弦滿足：，求點的軌跡方程；4．（23-24高二·全國·課后作業(yè)）已知橢圓．(1)過橢圓的左焦點引橢圓的割線，求截得的弦的中點的軌跡方程；(2)求斜率為2的平行弦的中點的軌跡方程；5．（23-24高三上·上海寶山·開學考試）已知曲線上一動點到兩定點，的距離之和為，過點的直線與曲線相交于點，．(1)求曲線的方程；(2)動弦滿足：，求點的軌跡方程；6．（2024高三下·全國·專題練習）已知為拋物線的焦點，點在該拋物線上且位于軸的兩側(cè)，（其中為坐標原點）.直線在繞著定點轉(zhuǎn)動的過程中，求弦中點的軌跡方程.7．（23-24高二上·全國·課前預(yù)習）已知拋物線，過點作一條直線交拋物線于，兩點，試求弦的中點軌跡方程.題型四：求曲線方程1．（23-24高二上·云南玉溪·期末）已知橢圓C的中心為坐標原點，一個焦點為，過F的直線l與橢圓C交于A，B兩點．若的中點為，則橢圓C的方程為（

）A． B． C． D．2．（23-24高三上·天津西青·階段練習）已知雙曲線的中心為原點，是的焦點，過的直線與相交于，兩點，且的中點為，則的方程為（

）A． B．C． D．3．（23-24高二下·河北滄州·階段練習）已知雙曲線的中心在原點且一個焦點為，直線與其相交于M，N兩點，若MN中點的橫坐標為，則此雙曲線的方程是（

）A． B． C． D．4．（2024高三下·江蘇·專題練習）已知O為坐標原點，點在橢圓C：上，直線l：與C交于A，B兩點，且線段AB的中點為M，直線OM的斜率為，則C的方程為.5．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）已知橢圓與直線交于兩點，且線段的中點為，則橢圓的方程為.6．（2024·上海楊浦·一模）已知拋物線的焦點為，第一象限的、兩點在拋物線上，且滿足，.若線段中點的縱坐標為4，則拋物線的方程為.題型五：處理存在性問題1．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知，直線不過原點且不平行于坐標軸，與有兩個交點，線段中點為.（1）若，點在橢圓上，分別為橢圓的兩個焦點，求的取值范圍；（2）若過點，射線與橢圓交于點，四邊形能否為平行四邊形？若能，求出此時直線的斜率；若不能，請說明理由.2．（23-24高二下·安徽宿州·期末）已知橢圓：的左、右焦點為，，點在橢圓上，且面積的最大值為，周長為6.（1）求橢圓的方程，并求橢圓的離心率；（2）已知直線：與橢圓交于不同的兩點，若在軸上存在點，使得與中點的連線與直線垂直，求實數(shù)的取值范圍3．（23-24高二下·上海浦東新·期中）已知雙曲線.(1)若離心率為，求b的值，的頂點坐標、漸近線方程；(2)若，是否存在被點平分的弦?如果存在，求弦所在的直線方程；如不存在，請說明理由．4．（23-24高二上·河南洛陽·階段練習）已知雙曲線M與橢圓有相同的焦點，且M與圓相切．(1)求M的虛軸長．(2)是否存在直線l，使得l與M交于A，B兩點，且弦AB的中點為？若存在，求l的斜率；若不存在，請說明理由.題型六：確定參數(shù)的取值范圍1．（23-24高二上·安徽合肥·期末）設(shè)圓與兩圓中的一個內(nèi)切，另一個外切．(1)求圓心的軌跡的方程；(2)已知直線與軌跡交于不同的兩點，且線段的中點在圓上，求實數(shù)的值．2．（23-24高二上·山東菏澤·期中）在平面直角坐標系xOy中，動圓P和圓：內(nèi)切，且與圓：外切，記動圓P的圓心軌跡為E．(1)求軌跡E的方程；(2)若直線l：與E交于不同的兩點M、N，線段MN的中點記為A，且線段MN的垂直平分線過定點，求k的取值范圍．3．（23-24高二上·河南·階段練習）已知橢圓的離心率為，點在橢圓C上.(1)求橢圓C的標準方程；(2)已知直線與橢圓C交于P，Q兩點，點M是線段PQ的中點，直線過點M，且與直線l垂直.記直線與y軸的交點為N，求的取值范圍.4．（23-24高二上·廣東·階段練習）已知中心在原點的雙曲線的右焦點為，右頂點為．（）求雙曲線的方程；（）若直線與雙曲線交于不同的兩點，，且線段的垂直平分線過點，求實數(shù)的取值范圍．題型七：定值問題1．（23-24高二上·陜西西安·期末）已知橢圓的一個頂點為，橢圓上任一點到兩個焦點的距離之和．(1)求橢圓C的方程；(2)是否存在實數(shù)m，使直線與橢圓有兩個不同的交點M、N，并使，若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．2．（23-24高二上·遼寧盤錦·期中）已知橢圓的焦距為4，且離心率為．(1)求橢圓C的方程；(2)若直線與橢圓C交于不同的兩點M，N，且線段MN的中點P在圓上，求m的值．3．（2024·云南·模擬預(yù)測）設(shè)圓與兩圓中的一個內(nèi)切，另一個外切.(1)求圓心的軌跡的方程；(2)已知直線與軌跡交于不同的兩點，且線段的中點在圓上，求實數(shù)的值.4．（2024高三·全國·專題練習）已知傾斜角為45°的直線l過點A(1,-2)和點B，B在第一象限，.（1）求點B的坐標；（2）若直線與雙曲線相交于E,F兩點，且線段EF的中點坐標為，求a的值.5．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知長為的線段的中點為原點，圓經(jīng)過兩點且與直線相切，圓心的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)過點且互相垂直的直線分別與曲線交于點和點，且，四邊形的面積為，求實數(shù)的值.三、專項訓練一、單選題1．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知橢圓的右焦點為，過點的直線交橢圓于兩點，若的中點坐標為，則橢圓的方程為（

）A． B．C． D．2．（23-24高二上·河北石家莊·期末）已知橢圓，是橢圓的一條弦的中點，點在直線上，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．3．（23-24高二上·山西太原·期末）在橢圓中，以點為中點的弦所在的直線方程為（

）A． B． C． D．4．（23-24高二上·湖南衡陽·期末）已知斜率為2的直線與橢圓交于兩點，為線段的中點，為坐標原點，若的斜率為，則的離心率為（

）A． B． C． D．5．（2024·陜西寶雞·模擬預(yù)測）已知直線與雙曲線交于兩點，點是弦的中點，則雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．36．（23-24高三下·全國·階段練習）設(shè)直線與雙曲線分別交于兩點，若線段的中點橫坐標是，則該雙曲線的離心率是（

）A． B． C．2 D．7．（23-24高二上·天津和平·期末）直線l與雙曲線交于A，B兩點，線段AB的中點為點，則直線l的斜率為（

）A． B． C． D．二、填空題8．（23-24高二上·福建福州·期末）已知橢圓的右焦點為，離心率為，過點的直線交橢圓于兩點，若的中點為，則直線的斜率為．9．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知圓內(nèi)有一點，經(jīng)過點的直線與圓交于兩點，當弦恰被點平分時，直線的方程為.10．（2024高二·全國）與的左支交于兩點，直線過及中點，則在軸上截距范圍為．11．（23-24高二上·廣西河池·階段練習）過點的直線l與雙曲線交于A、B兩點，若M恰好是線段AB的中點，則直線l的斜率為．三、解答題12．（23-24高二下·北京·開學考試）已知橢圓的離心率，橢圓上任意一點到橢圓的兩個焦點的距離