/一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，，則（）A． B． C． D．2．若復(fù)數(shù)滿足，則可以為（）A． B． C． D．3．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，，則（）A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.84．已知直線：，圓：，則“”是“直線上存在點(diǎn)，使點(diǎn)在圓內(nèi)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．在平行四邊形中，，點(diǎn)為該平行四邊形所在平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，則的最小值為（）A．6 B．8 C．10 D．126．地震震級(jí)通常是用來衡量地震釋放能量大小的數(shù)值，里氏震級(jí)最早是由查爾斯·里克特提出的，其計(jì)算基于地震波的振幅，計(jì)算公式為，其中表示某地地震的里氏震級(jí)，表示該地地震臺(tái)測振儀記錄的地震波的最大振幅，表示這次地震中的標(biāo)準(zhǔn)地震振幅．假設(shè)在一次地震中，某地地震臺(tái)測振儀記錄的地震波的最大振幅為5000，且這次地震的標(biāo)準(zhǔn)地震振幅為0．002，則該地這次地震的里氏震級(jí)約為（）（參考數(shù)據(jù)：）A．6.3級(jí) B．6.4級(jí) C．7.4級(jí) D．7.6級(jí)7．已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，為的漸近線上一點(diǎn)．若的面積為，，則的離心率為（）A． B．2 C． D．8．已知正方體的棱長為2，是棱的中點(diǎn)，空間中的動(dòng)點(diǎn)滿足，且，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長度為（）A． B．3 C． D．二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．已知函數(shù)，，則下列說法正確的是（）A．的最大值為2B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．不等式的解集為D．若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是10．某校在運(yùn)動(dòng)會(huì)期間進(jìn)行了一場“不服來戰(zhàn)”對(duì)抗賽，由籃球?qū)I(yè)的1名體育生組成甲組，3名非體育生的籃球愛好者組成乙組，兩組進(jìn)行對(duì)抗比賽．具體規(guī)則為甲組的同學(xué)連續(xù)投球3次，乙組的同學(xué)每人各投球1次．若甲組同學(xué)和乙組3名同學(xué)的命中率依次分別為，，，，則（）A．乙組同學(xué)恰好命中2次的概率為B．甲組同學(xué)恰好命中2次的概率小于乙組同學(xué)恰好命中2次的概率C．甲組同學(xué)命中次數(shù)的方差為D．乙組同學(xué)命中次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為11．設(shè)無窮數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．若存在，使成立，則（）A．B．C．不等式的解集為D．對(duì)任意給定的實(shí)數(shù)，總存在，當(dāng)時(shí)，三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知函數(shù)則不等式的解集為__________．13．已知橢圓：的離心率為，過的左焦點(diǎn)且斜率為1的直線與交于，兩點(diǎn)．若，則的焦距為__________．14．在直三棱柱中，，，，是棱上一點(diǎn)，平面將直三棱柱分成體積相等的兩部分．若，，，四點(diǎn)均在球的球面上，則球的體積為__________．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15．（本小題13分）記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，．（1）若，求的值；（2）若是邊上的一點(diǎn)，且平分，，求的長．16．（本小題15分）若各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足（，為常數(shù)），則稱為“比差等數(shù)列”．已知為“比差等數(shù)列”，且，，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．17．（本小題15分）如圖，在四棱臺(tái)中，，，，，，．（1）證明：平面平面；（2）若，四棱臺(tái)的體積為，，求平面與平面夾角的余弦值．18．（本小題17分）已知拋物線：，過點(diǎn)的直線與交于不同的兩點(diǎn)，．當(dāng)直線的傾斜角為135°時(shí)，．（1）求的方程；（2）在線段上取異于點(diǎn)，的點(diǎn)，且滿足，試問是否存在一條定直線，使得點(diǎn)恒在這條定直線上？若存在，求出該直線；若不存在，請(qǐng)說明理由．19．（本小題17分）已知函數(shù)，，．（1）求的最小值；（2）設(shè)函數(shù)，討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

答案和解析1．【答案】D【解析】解：集合，，故．故選：D．先求出集合，，再結(jié)合交集的定義，即可求解．本題主要考查交集及其運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．2．【答案】A【解析】解：設(shè)（，為實(shí)數(shù)），因?yàn)椋?，所以，結(jié)合選項(xiàng)可知，A符合題意．故選：A．結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及復(fù)數(shù)相等條件即可求解．本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，復(fù)數(shù)相等條件的應(yīng)用及共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題．3．【答案】A【解析】解：∵，∴，∴，∴．故選：A．利用正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性求解．本題主要考查了正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題．4．【答案】B【解析】解：由直線上存在點(diǎn)，使點(diǎn)在圓內(nèi)，得直線與圓相交，即圓心到直線的距離，解得，即，又，所以“”是“直線上存在點(diǎn)，使點(diǎn)在圓內(nèi)”的必要不充分條件．故選B．直線上存在點(diǎn)，使點(diǎn)在圓內(nèi)，可得直線與圓相交，求得的范圍，再結(jié)合充要條件判斷即可．本題考查了直線與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．5．【答案】C【解析】解：設(shè)與的交點(diǎn)為，則，由，得，同理可得，，，所以，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，等號(hào)成立．故選：C．根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算，即可求得結(jié)論．本題考查平面向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算，屬中檔題．6．【答案】B【解析】解：由題意可知，，，所以．故選：B．利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解．本題主要考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．7．【答案】B【解析】解：已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，為的漸近線上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)在第一象限內(nèi)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，由，得，由的面積為，得點(diǎn)到軸的距離為，所以的一條漸近線的傾斜角為60°，其斜率為，因此的離心率．故選：B．設(shè)點(diǎn)在第一象限內(nèi)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，利用平面向量數(shù)量積公式得到，根據(jù)的面積得點(diǎn)到軸的距離為，即可得到的一條漸近線的傾斜角為60°，其斜率為，代入離心率公式即可求解．本題考查了雙曲線的性質(zhì)，屬于中檔題．8．【答案】D【解析】解：正方體的棱長為2，是棱的中點(diǎn)，空間中的動(dòng)點(diǎn)滿足，且，如圖，分別取，的中點(diǎn)，，連接，，．由題意知，，且，∴平面，由，得點(diǎn)在平面內(nèi)，由，得點(diǎn)在以為球心，半徑為1的球面上，∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡為平面與球的球面的交線，即在平面內(nèi)的圓，連接，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，平面截球所得截面圓的半徑為，則由，得，且，∴，則，∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡長度為．故選：D．分別取，的中點(diǎn)，，連接，，，推導(dǎo)出平面，由，得點(diǎn)在平面內(nèi)，由，得點(diǎn)在以為球心，半徑為1的球面上，從而動(dòng)點(diǎn)的軌跡為平面與球的球面的交線，即在平面內(nèi)的圓，連接，由，求出點(diǎn)到平面的距離和平面截球所得截面圓的半徑，由此能求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡長度．本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)、點(diǎn)到平面的距離、動(dòng)點(diǎn)軌跡、球面等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．9．【答案】BCD【解析】解：由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，的最大值為，故A錯(cuò)誤；令，，得，，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故B正確；原不等式可化為，則，，解得，，故C正確；由，，解得，，由在區(qū)間上單調(diào)遞增，可得，解得，故D正確．故選：BCD．由已知結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷．本題主要考查了正弦函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查了分析問題的能力，屬于中檔題．10．【答案】BCD【解析】解：對(duì)于，設(shè)“乙組同學(xué)恰好命中2次”為事件，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)“甲組同學(xué)恰好命中2次”為事件，則，因?yàn)?，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)榧捉M同學(xué)每次命中的概率都為，設(shè)甲組同學(xué)命中次數(shù)為，則，故，故C正確；對(duì)于D，設(shè)乙組同學(xué)命中次數(shù)為，則的所有可能取值為0，1，2，3，所以，，，，故，故D正確．故選：BCD．由題直接計(jì)算兩位同學(xué)“恰好命中2次“的概率即可判斷A，B；由甲組同學(xué)命中次數(shù)即可判斷C；由題計(jì)算出乙組同學(xué)命中次數(shù)的期望即可判斷D．本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，屬于中檔題．11．【答案】BCD【解析】解：由，得，，，又，則是等差數(shù)列，公差，所以是遞減數(shù)列，所以是最大項(xiàng)，且隨著的增加，無限減小，故A錯(cuò)誤、D正確；因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的最大值為，故B正確；因?yàn)椋?，則，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即不等式的解集為，故C正確．故選：BCD．由等差數(shù)列的定義，結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)逐一判斷即可．本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，重點(diǎn)考查了等差數(shù)列前項(xiàng)和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)，屬中檔題．12．【答案】【解析】解：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，且當(dāng)趨于1時(shí)，趨于2；所以在上單調(diào)遞增．設(shè)，則在上也單調(diào)遞增．又，所以原不等式可化為，所以原不等式的解集為．故答案為：．利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)在上單調(diào)遞增，由冪函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)在也單調(diào)遞增，從而可得在上單調(diào)遞增，令，則有，利用的單調(diào)性求解即可．本題考查了導(dǎo)數(shù)綜合運(yùn)用、轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．13．【答案】7【解析】解：已知橢圓：的離心率為，過的左焦點(diǎn)且斜率為1的直線與交于，兩點(diǎn)，由，得，又，從而，所以橢圓的方程可化為，直線的方程為，聯(lián)立得，則，設(shè)，，則，，所以，得，所以的焦距為．故答案為：7．由題意得，從而，則橢圓的方程可化為，直線的方程為，直線與橢圓方程聯(lián)立得，設(shè)，，利用韋達(dá)定理和弦長公式即可求解．本題考查了橢圓的性質(zhì)，屬于中檔題．14．【答案】【解析】解：在直三棱柱中，，，，是棱上一點(diǎn)，平面將直三棱柱分成體積相等的兩部分，如圖，連接，，因?yàn)?，所以，所以，所以，因此，即為的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，，則，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)?，所以，所以平面，則平面，因?yàn)槭堑耐庑?，且的外接圓半徑，三棱錐的高，設(shè)球的半徑為，則，則，所以球的體積．故答案為：．連接，，由題意得，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，，利用線面垂直的判定和性質(zhì)得的外接圓半徑和三棱錐的高，設(shè)球的半徑為，利用勾股定理和球的體積公式即可求解．本題考查了三棱錐外接球的體積計(jì)算，屬于中檔題．15．【答案】解：（1）由題意得，所以，由正弦定理，得，即，又，所以．又，所以．因?yàn)?，所以；?）由，得，解得．由，即，而，，可得．【解析】（1）由題意及正弦定理可得，再由三角形內(nèi)角和定理及的符號(hào)可得的值，由角的范圍，可得角的大?。唬?）由等面積法可得的表達(dá)式，進(jìn)而求出它的值．本題考查正弦定理及角平分線的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．16．【答案】解：（1）由為“比差等數(shù)列”，得，從而．設(shè)，則，所以數(shù)列為等差數(shù)列．因?yàn)?，，所以為常?shù)列，因此，，即，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，因此．（2）由，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，．綜上，【解析】（1）由“比差等數(shù)列”的定義，設(shè)，則，由等差數(shù)列的定義可得，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得所求；（2）討論為偶數(shù)和奇數(shù)，結(jié)合數(shù)列的分組求和，等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算可得所求和．本題考查數(shù)列的新定義和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式，以及數(shù)列的分組求和，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．17．【答案】（1）證明：因?yàn)?，所以，在中，由余弦定理知，，所以，解得，在中，由余弦定理知，，所以，即，又，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面．?）解：由（1）知，，所以四邊形是直角梯形，其面積，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，平面平面，平面平面，平面，所以平面，因?yàn)樗睦馀_(tái)的體積為，所以，解得，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，，所以，由平面知，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面夾角為，則，故平面與平面夾角的余弦值為．【解析】（1）分別在和中，運(yùn)用余弦定理求得，，再利用勾股定理可得，結(jié)合，由線面垂直、面面垂直的判定定理，即可得證；（2）先根據(jù)棱臺(tái)的體積公式求得，再以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求平面與平面的夾角，即可得解．本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，熟練掌握線面垂直、面面垂直的判定定理，利用向量法求平面與平面夾角是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感，邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．18．【答案】解：（1）由直線的傾斜角為135°，可得直線的斜率為-1，則直線的方程為，聯(lián)立得，設(shè)，，則，且，，可得，解得，故的方程為．（2）存在，定直線為．由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得．由，，得且，，．不妨設(shè)，，則，過點(diǎn)，，向軸作垂線，垂足分別為點(diǎn)，，，如圖，則，．因?yàn)椋?，整理得，所以．代入直線的方程得．因?yàn)?，所以點(diǎn)恒在直線上．【解析】（1）求得直線的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，解方程可得，可得所求方程；（2）設(shè)直線的方程為，與拋物線的方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，結(jié)合平行線的性質(zhì)，解方程可得所在的定直線．本題考查拋