高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1河北省邯鄲市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單選題.1.若，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C.或 D.【答案】A【解析】因?yàn)?，則，解得.故選：A.2.如圖，已知為平行四邊形內(nèi)一點(diǎn)，，則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵，∴.故選：A.3.已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，且，則，所以.故選：D.4.已知非零向量，滿(mǎn)足，若，則在方向上的投影向量坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】首先，向量的坐標(biāo)為(2，0)，其模長(zhǎng)為2，因此，根據(jù)條件，即它們的數(shù)量積為零：，展開(kāi)數(shù)量積：，即：，因此：，代入已知條件：，因此，在方向上的投影向量坐標(biāo)為(2，0).故選：B.5.的直觀圖如圖所示，其中軸，軸，且，則的面積為（）A. B.4 C. D.8【答案】B【解析】將直觀圖還原為原圖，如圖所示，則是直角三角形，其中，，故的面積為.故選：B．6.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.充要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】充分性：若，則；必要性：若則，則，得，或，故不滿(mǎn)足必要性，綜上“”是“”充分不必要條件.故選：A.7.已知與均為單位向量，其夾角為，若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)榕c均為單位向量，其夾角為，由，可得，所以，所以，所以，由，，所以，所以，所以，所以，又，所以，所以的取值范圍是.故選：D.8.刻畫(huà)空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容．用曲率刻畫(huà)空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和.例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是，所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為，故其總曲率為，則正十二面體的總曲率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】正十二面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是，所以正十二面體在各頂點(diǎn)的曲率為，由于正十二面體有20個(gè)頂點(diǎn)，故其總曲率為.故選：B.二、多選題.9.下列說(shuō)法中正確的是（）A.各側(cè)棱都相等的棱錐為正棱錐B.長(zhǎng)方體是直四棱柱C.用一個(gè)平面去截圓錐，圓錐底面和截面之間的部分為圓臺(tái)D.球面可以看作一個(gè)半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面【答案】BD【解析】對(duì)于A，各側(cè)棱都相等，但無(wú)法保證底面為正多邊形，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，易知長(zhǎng)方體的側(cè)棱和底面垂直，所以是直四棱柱，故B正確；對(duì)于C，根據(jù)圓臺(tái)的定義，用一個(gè)平行于底面的平面去截圓錐，圓錐底面和截面之間的部分為圓臺(tái)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，球面可以看作一個(gè)半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面，故D正確．故選：BD.10.已知為復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.C.若，則為純虛數(shù)D.若，則的最小值為1【答案】ABD【解析】A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，故A正確；B選項(xiàng)，設(shè)，，則，又，，所以成立，故B正確；C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，有成立，但此時(shí)為實(shí)數(shù)，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，設(shè)，，由于，則，即，故，由，得，則，故當(dāng)時(shí)，的最小值為1，故D正確．故選：ABD.11.已知中，所對(duì)的邊分別為，且滿(mǎn)足，則下列說(shuō)法正確的是（）A.為等腰三角形 B.C.的面積是 D.的周長(zhǎng)是【答案】AC【解析】由正弦定理，知，又，則，將代入，得，，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．因?yàn)闉槿切蔚膬?nèi)角，所以，可得，故A正確，B錯(cuò)誤．又由正弦定理知，則三角形的面積，周長(zhǎng)為，故C正確，D錯(cuò)誤．故選：AC.三、填空題.12.若是關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，則__________.【答案】【解析】因?yàn)槭顷P(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，所以是關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的另一個(gè)復(fù)數(shù)根，因此.13.在中，若，，三角形的面積，則外接圓的直徑為_(kāi)_________．【答案】【解析】根據(jù)題意可得，解得；則，即；所以外接圓的直徑為.14.在邊長(zhǎng)為4的正方形中，，以F為圓心，1為半徑作半圓與交于M，N兩點(diǎn)，如圖所示．點(diǎn)P為弧上任意一點(diǎn)，向量最大值為_(kāi)_____．【答案】【解析】過(guò)作交于點(diǎn)，根據(jù)投影向量的概念可得，設(shè)，所以，當(dāng)與半圓相切時(shí)，取得最大值，此時(shí)最大，過(guò)作交于點(diǎn)，連接，當(dāng)取得最大值時(shí)，且，因?yàn)?，正方形邊長(zhǎng)為4，則，，所以，所以，則，所以，得，所以的最大值為.所以最大值為.四、解答題.15.（1）在中，已知，，．求．（2）在中，已知，，．求．（3）銳角中，角所對(duì)應(yīng)的邊分別為，，，，求.解：（1）在中，由余弦定理，可得，所以.（2）在中，由正弦定理得，因此.（3）在中，由正弦定理得，即，解得，又為銳角三角形，所以，所以.16.已知是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的非零向量，，，，且三點(diǎn)共線．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若，，求的坐標(biāo)；（3）已知點(diǎn)，在（2）的條件下，若四點(diǎn)按逆時(shí)針順序構(gòu)成平行四邊形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．解：（1）因?yàn)?，，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)使得，即，又因?yàn)槭瞧矫鎯?nèi)兩個(gè)不共線的非零向量，所以，解得.（2）由（1）可知，，所以，若，，則.（3）由四點(diǎn)按逆時(shí)針順序構(gòu)成平行四邊形可得，設(shè)，則，由（2）得，所以，解得，所以.17.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，且．（1）求角的大小；（2）若，且這樣的有兩解，求的取值范圍．解：（1）因?yàn)?，所以，所以，，因?yàn)?，所以．?）由正弦定理得，所以，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)檫@樣的有兩解，即關(guān)于的三角方程在時(shí)有兩解，所以，所以．18.在中，角所對(duì)的邊分別為.（1）若，求的面積S；解：（1）由，得.由正弦定理得.所以，因?yàn)椋?在中，，由余弦定理，得，解得.所以.即的面積S為.（2）因?yàn)闉榻荂平分線，，所以.在中，，所以，由，得，所以.因?yàn)?，所以由基本不等式，得，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以的最小值為.19.三角形在數(shù)學(xué)中是十分常用的圖形，將向量運(yùn)用在三角形中同時(shí)會(huì)迸發(fā)出火花!（1）如圖1，在中，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足：，以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑作圓交于點(diǎn)，交于點(diǎn).若，求的值.（2）如圖2，在中，點(diǎn)分所成的比為，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，若，求的最小值.解：（1）設(shè)，則，，又，所以，又，所以，所以，所以．（2）因?yàn)?，又點(diǎn)分所成的比為，即，所以，則，設(shè)，則，當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．即的最小值為．河北省邯鄲市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單選題.1.若，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C.或 D.【答案】A【解析】因?yàn)?，則，解得.故選：A.2.如圖，已知為平行四邊形內(nèi)一點(diǎn)，，則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵，∴.故選：A.3.已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，且，則，所以.故選：D.4.已知非零向量，滿(mǎn)足，若，則在方向上的投影向量坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】首先，向量的坐標(biāo)為(2，0)，其模長(zhǎng)為2，因此，根據(jù)條件，即它們的數(shù)量積為零：，展開(kāi)數(shù)量積：，即：，因此：，代入已知條件：，因此，在方向上的投影向量坐標(biāo)為(2，0).故選：B.5.的直觀圖如圖所示，其中軸，軸，且，則的面積為（）A. B.4 C. D.8【答案】B【解析】將直觀圖還原為原圖，如圖所示，則是直角三角形，其中，，故的面積為.故選：B．6.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.充要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】充分性：若，則；必要性：若則，則，得，或，故不滿(mǎn)足必要性，綜上“”是“”充分不必要條件.故選：A.7.已知與均為單位向量，其夾角為，若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)榕c均為單位向量，其夾角為，由，可得，所以，所以，所以，由，，所以，所以，所以，所以，又，所以，所以的取值范圍是.故選：D.8.刻畫(huà)空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容．用曲率刻畫(huà)空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和.例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是，所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為，故其總曲率為，則正十二面體的總曲率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】正十二面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是，所以正十二面體在各頂點(diǎn)的曲率為，由于正十二面體有20個(gè)頂點(diǎn)，故其總曲率為.故選：B.二、多選題.9.下列說(shuō)法中正確的是（）A.各側(cè)棱都相等的棱錐為正棱錐B.長(zhǎng)方體是直四棱柱C.用一個(gè)平面去截圓錐，圓錐底面和截面之間的部分為圓臺(tái)D.球面可以看作一個(gè)半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面【答案】BD【解析】對(duì)于A，各側(cè)棱都相等，但無(wú)法保證底面為正多邊形，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，易知長(zhǎng)方體的側(cè)棱和底面垂直，所以是直四棱柱，故B正確；對(duì)于C，根據(jù)圓臺(tái)的定義，用一個(gè)平行于底面的平面去截圓錐，圓錐底面和截面之間的部分為圓臺(tái)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，球面可以看作一個(gè)半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面，故D正確．故選：BD.10.已知為復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.C.若，則為純虛數(shù)D.若，則的最小值為1【答案】ABD【解析】A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，故A正確；B選項(xiàng)，設(shè)，，則，又，，所以成立，故B正確；C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，有成立，但此時(shí)為實(shí)數(shù)，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，設(shè)，，由于，則，即，故，由，得，則，故當(dāng)時(shí)，的最小值為1，故D正確．故選：ABD.11.已知中，所對(duì)的邊分別為，且滿(mǎn)足，則下列說(shuō)法正確的是（）A.為等腰三角形 B.C.的面積是 D.的周長(zhǎng)是【答案】AC【解析】由正弦定理，知，又，則，將代入，得，，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．因?yàn)闉槿切蔚膬?nèi)角，所以，可得，故A正確，B錯(cuò)誤．又由正弦定理知，則三角形的面積，周長(zhǎng)為，故C正確，D錯(cuò)誤．故選：AC.三、填空題.12.若是關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，則__________.【答案】【解析】因?yàn)槭顷P(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，所以是關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的另一個(gè)復(fù)數(shù)根，因此.13.在中，若，，三角形的面積，則外接圓的直徑為_(kāi)_________．【答案】【解析】根據(jù)題意可得，解得；則，即；所以外接圓的直徑為.14.在邊長(zhǎng)為4的正方形中，，以F為圓心，1為半徑作半圓與交于M，N兩點(diǎn)，如圖所示．點(diǎn)P為弧上任意一點(diǎn)，向量最大值為_(kāi)_____．【答案】【解析】過(guò)作交于點(diǎn)，根據(jù)投影向量的概念可得，設(shè)，所以，當(dāng)與半圓相切時(shí)，取得最大值，此時(shí)最大，過(guò)作交于點(diǎn)，連接，當(dāng)取得最大值時(shí)，且，因?yàn)?，正方形邊長(zhǎng)為4，則，，所以，所以，則，所以，得，所以的最大值為.所以最大值為.四、解答題.15.（1）在中，已知，，．求．（2）在中，已知，，．求．（3）銳角中，角所對(duì)應(yīng)的邊分別為，，，，求.解：（1）在中，由余弦定理，可得，所以.（2）在中，由正弦定理得，因此.（3）在中，由正弦定理得，即，解得，又為銳角三角形，所以，所以.16.已知是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的非零向量，，，，且三點(diǎn)共線．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若，，求的坐標(biāo)；（3）已知點(diǎn)，在（2）的條件下，若四點(diǎn)按逆時(shí)針順序構(gòu)成平行四邊形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．解：（1）因?yàn)椋?，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)使得，即，又因?yàn)槭瞧矫鎯?nèi)兩個(gè)不共線的非零向量，所以，解得.（2）由（1）可知，，所以，若，，則.（3）由四點(diǎn)按逆時(shí)針順序構(gòu)成平行四邊形可得，設(shè)，則，由（2）得，所以，解得，所以.17.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，且．（1）求角的大??；（2）若，且這樣的有兩解，求的取值范圍．解：（1）因?yàn)?，所以，所以，，因?yàn)?，所以．?）由正弦定理得，所以，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)檫@樣的有兩解，即關(guān)于的三角方程在時(shí)有兩解，所以，所以．18.在中，角所對(duì)的邊分別為.（1）若，求的面積S；解：（1）由，得.由正弦定理得.所以，因?yàn)?，所?在中，，由余弦定理，得，解得.所以.