高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1河南省馬店市重點(diǎn)高中聯(lián)考2025屆高三下學(xué)期第三次考試（3月月考）數(shù)學(xué)試題一.選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，則在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】設(shè)，則，解得，則，則在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限.故選：D.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】不等式，即或，解得或，不等式，即，解得，所以，，有.故選：C3.下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又是定義域上的增函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】A：，定義域?yàn)镽，是偶函數(shù)，不符；B：，定義域?yàn)?，是奇函?shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，易知在上單調(diào)遞減，不符；C：，定義域?yàn)镽，是偶函數(shù)，不符；D：，定義域?yàn)镽，是奇函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，易知在R上單調(diào)遞增，符合.故選：D4.有5輛車停放6個(gè)并排車位，貨車甲車體較寬，停靠時(shí)需要占兩個(gè)車位，并且乙車不與貨車甲相鄰?fù)７?，則共有（）種停放方法．A.72 B.144 C.108 D.96【答案】A【解析】先停入貨車甲，若貨車甲不靠邊，共有種停法，則乙車有種停法，除甲、乙外的其它三輛車共有種停法；若貨車甲靠邊，共有種停法，則乙車有種停法，除甲、乙外的其它三輛車的排法共有種，故共有種停放方法.

故選：A.5.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，點(diǎn)，若圓上存在點(diǎn)，滿足，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)，則，.因?yàn)椋?，即，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以1為半徑的圓.又因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以圓與圓有公共點(diǎn)，所以，即，解得.故選：B.6.某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量（單位：）與時(shí)間（單位：）間的關(guān)系為，其中是正的常數(shù)，如果前消除了的污染物，那么從消除的污染物到消除的污染物大約需要經(jīng)歷（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可知：，即，即，設(shè)消除的污染物對(duì)應(yīng)事件為，即，設(shè)消除的污染物對(duì)應(yīng)事件為，即，兩式相除可得：，即，所以：，即從消除的污染物到消除的污染物大約需要經(jīng)歷，故選：A7.已知函數(shù)和的圖象的對(duì)稱軸完全相同，令，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.的一個(gè)周期為 B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.的一個(gè)零點(diǎn)為 D.在單調(diào)遞減【答案】D【解析】令，則為的對(duì)稱軸方程，令，則為的對(duì)稱軸方程，由與的對(duì)稱軸完全相同，則，即對(duì)稱軸為，所以且，則，所以，其最小正周期，故也是一個(gè)周期，A對(duì)；，故的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，B對(duì)；，當(dāng)有，所以的一個(gè)零點(diǎn)為，C對(duì)；，則，顯然在給定區(qū)間內(nèi)不單調(diào)，D錯(cuò).故選：D8.如圖，已知是圓錐的軸截面，分別為的中點(diǎn)，過點(diǎn)且與直線垂直的平面截圓錐，截口曲線是拋物線的一部分．若在上，則的最大值為（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】過點(diǎn)作，交底面圓于兩點(diǎn)，連接，，，設(shè)，則，所以當(dāng)最大時(shí)，最大，由圓錐的性質(zhì)得底面，因?yàn)榈酌?，所以，又，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，則，因?yàn)椋矫?，所以平面，則平面為截面，因?yàn)橹悬c(diǎn)，所以，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以，則當(dāng)最大時(shí)，最大，如圖為截面的平面圖，以為原點(diǎn)，為軸，過點(diǎn)垂直向上的方向?yàn)檩S正方向建系，，，，則拋物線方程為，設(shè)，，則，所以，則此時(shí)，.故選：C.二?多選題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法正確的是（）A.已知一組各不相同的數(shù)據(jù)，去掉其中最大和最小兩個(gè)數(shù)據(jù)后，剩下的28個(gè)數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)不等于原來數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)B.若事件A，B滿足，，且，則事件A，B獨(dú)立C.若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則D.已知具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y，其經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，若樣本點(diǎn)中心為，則【答案】AB【解析】對(duì)于A，將原來30個(gè)數(shù)從小到大排列，，則30個(gè)數(shù)的22%分位數(shù)為30個(gè)數(shù)中的第7個(gè)數(shù)，去掉其中最大和最小兩個(gè)數(shù)據(jù)后，，故剩下的28個(gè)數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)為28個(gè)數(shù)中的第7個(gè)數(shù)字，也是30個(gè)數(shù)中的第8個(gè)數(shù)，故兩者不相等，A正確，對(duì)于B，，所以相互獨(dú)立，因此也相互獨(dú)立，B正確，對(duì)于C，由于，則，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，將代入可得，故，D錯(cuò)誤，故選：AB10.柏拉圖實(shí)體，也稱為柏拉圖多面體，是一組具有高度對(duì)稱性的幾何體．它們的特點(diǎn)是每個(gè)面都是相同的正多邊形，每個(gè)頂點(diǎn)處的面的排列也完全相同．正八面體就是柏拉圖實(shí)體的一種．如圖是一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正八面體．甲、乙二人使用它作游戲：甲任選三個(gè)頂點(diǎn)，乙任選三個(gè)面的中心點(diǎn)，構(gòu)成三角形．甲、乙選擇互不影響，下列說法正確的是（）A.該正八面體的外接球的體積為B.平面截該正八面體的外接球所得截面的面積為C.甲能構(gòu)成正三角形的概率為D.甲與乙均能構(gòu)成正三角形的概率為【答案】ABD【解析】A：由棱長(zhǎng)為2，得正八面體上半部分的斜高為，高為，則正八面體的體積為．則正八面體外接球的球心為，半徑為，所以外接球的體積為，故A正確；B：由于到平面的距離等于到平面的距離，在中，過作的垂線，垂足為，則平面．由，得，平面截正八面體的外接球所得截面是圓，半徑，所以所得截面的面積為，故B正確；C：甲隨機(jī)選擇的情況有種，甲選擇的三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成正三角形，只有一種情況：甲從上下兩個(gè)點(diǎn)中選一個(gè)，從中間四個(gè)點(diǎn)中選相鄰兩個(gè)，共有種，甲構(gòu)成正三角形的概率為，故C錯(cuò)誤；D：乙隨機(jī)選擇的情況有種，乙構(gòu)成正三角形，只有一種情況：上面四個(gè)面的中心中選一個(gè)點(diǎn)且從下面四個(gè)面的中心選相對(duì)的兩個(gè)點(diǎn)，或下面四個(gè)面的中心中選一個(gè)點(diǎn)且從上面四個(gè)面的中心選相對(duì)的兩個(gè)點(diǎn)，共有種，概率為；又甲能構(gòu)成正三角形的概率為，所以甲與乙均能構(gòu)成正三角形的概率為，故D正確.故選：ABD．11.已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列，其前項(xiàng)和是，且.下列說法正確的是（）A.B.若為遞增數(shù)列，則的取值范圍是C.存在實(shí)數(shù)，使得為等比數(shù)列D.，使得當(dāng)時(shí)，總有【答案】ABD【解析】由得，相減可得，，由于各項(xiàng)均不為零，所以，所以的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別為公差為1的等差數(shù)列，對(duì)于A，，，故正確；對(duì)于B，由于的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別為公差為1的等差數(shù)列，所以，若?n∈N*，an+1對(duì)于C，，若為等比數(shù)列，則為常數(shù)，則，此時(shí)，故，進(jìn)而可得數(shù)列的項(xiàng)為顯然這不是等比數(shù)列，故錯(cuò)誤，對(duì)于D，若，只要足夠大，一定會(huì)有，則，只要足夠的大，趨近于0，而，顯然能滿足，故，當(dāng)時(shí)，總有，故正確，故選：ABD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.某人從甲地到乙地，乘火車、輪船、飛機(jī)的概率分別為0.2，0.4，0.4，乘火車遲到的概率為0.4，乘輪船遲到的概率為0.3，乘飛機(jī)遲到的概率為0.5，則這個(gè)人遲到的概率是______；如果這個(gè)人遲到了，他乘船遲到的概率是______．【答案】①.0.4②.0.3【解析】設(shè)事件A表示“乘火車”，事件B表示“乘輪船”，事件C表示“乘飛機(jī)”，事件D表示“遲到”，則，，，，，，，由全概率公式得：；如果這個(gè)人遲到了，由貝葉斯公式得到他乘船遲到的概率為：.故答案為：0.4；0.313.已知過拋物線C：的焦點(diǎn)F作斜率為正數(shù)的直線n交拋物線的準(zhǔn)線l于點(diǎn)P，交拋物線于A，B（A在線段PF上），，則以線段AB為直徑的圓被y軸截得弦長(zhǎng)為________【答案】【解析】由題意，可得如下示意圖，，令，，聯(lián)立，則，顯然，則，，聯(lián)立，則，可得，結(jié)合，則，即，所以，可得，又，故圓的半徑為4，若中點(diǎn)為，則，所以以線段AB為直徑的圓被y軸截得弦長(zhǎng)為.故答案為：14.設(shè)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若函數(shù)存在三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】設(shè)，故0，即對(duì)函數(shù)，其函數(shù)圖象如下所示：令，故要滿足題意，只需在內(nèi)有一個(gè)實(shí)數(shù)根，且另一個(gè)根為；或在內(nèi)有一個(gè)實(shí)數(shù)根，且在內(nèi)也有一個(gè)實(shí)數(shù)根.所以或或即或或解得.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且.（1）求；（2）若，求的值.解：（1）因?yàn)?，所以，即，可得，所?又因?yàn)?，所以，即，所?（2）由（1）可知，.因?yàn)?，所以，?由正弦定理可得.由余弦定理可得，即，整理得，而，所以.16.如圖1，已知為等邊三角形，四邊形為平行四邊形，.把沿向上折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)位置，使得平面平面，如圖2所示.（1）證明：；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）當(dāng)點(diǎn)在線段（包括端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)直線與平面所成角為，求的取值范圍.證明：（1）如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，連接.因?yàn)闉榈冗吶切?，所?又因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，所以平?因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)?，所以，所?因?yàn)槠矫?，所以平?又因?yàn)槠矫?，所?（2）由（1）知平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則.又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面，所以平?設(shè)的中點(diǎn)為，連接.因?yàn)椋?，以為坐?biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，可得.設(shè)平面的法向量，則，即，取，則平面的一個(gè)法向量.設(shè)平面的法向量，則，即，取，則平面的一個(gè)法向量，因?yàn)?，所以平面與平面夾角的余弦值為.（3）由（1）知平面，平面，所以，，而，故的取值范圍為.17.某科研團(tuán)隊(duì)研發(fā)了一款快速檢測(cè)某種疾病的試劑盒.為了解該試劑盒檢測(cè)的準(zhǔn)確性，科研團(tuán)隊(duì)從某地區(qū)（人數(shù)眾多）隨機(jī)選取了40位患者和60位非患者，用該試劑盒分別對(duì)他們進(jìn)行了一次檢測(cè)，結(jié)果如下：抽樣人群陽性人數(shù)陰性人數(shù)患者364非患者258（1）試估計(jì)使用該試劑盒進(jìn)行一次檢測(cè)結(jié)果正確的概率；（2）若從該地區(qū)的患者和非患者中分別抽取2人進(jìn)行一次檢測(cè)，求恰有一人檢測(cè)結(jié)果錯(cuò)誤的概率；（3）假設(shè)該地區(qū)有10萬人，患病率為0.01.從該地區(qū)隨機(jī)選取一人，用該試劑盒對(duì)其檢測(cè)一次.若檢測(cè)結(jié)果為陽性，能否判斷此人患該疾病的概率超過0.2？并說明理由.解：（1）由題意知，使用該試劑盒進(jìn)行一次檢測(cè)共有100人，其中檢測(cè)結(jié)果正確的共有94人，所以使用該試劑盒進(jìn)行一次檢測(cè)結(jié)果正確的概率估計(jì)為.（2）設(shè)事件：患者檢測(cè)結(jié)果正確，事件：非患者檢測(cè)結(jié)果正確“，事件：該地區(qū)的患者和非患者中分別抽取2人進(jìn)行一次檢測(cè)，恰有一人檢測(cè)結(jié)果錯(cuò)誤；根據(jù)題中數(shù)據(jù)，可估計(jì)為可估計(jì)為該地區(qū)的患者中抽取2人進(jìn)行一次檢測(cè)，恰有一人檢測(cè)結(jié)果錯(cuò)誤的概率為該地區(qū)的非患者中抽取2人進(jìn)行一次檢測(cè)，恰有一人檢測(cè)結(jié)果錯(cuò)誤的概率為所以，所以.因此恰有一人檢測(cè)結(jié)果錯(cuò)誤的概率為（3）此人患該疾病的概率超過0.2.理由如下：由題意得，如果該地區(qū)所有人用該試劑盒檢測(cè)一次，那么結(jié)果為陽性的人數(shù)為，其中患者人數(shù)為900.若某人檢測(cè)結(jié)果為陽性，那么他患該疾病的概率為.18.已知橢圓（）的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率，橢圓的短軸長(zhǎng)為2.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線，過右焦點(diǎn)，且它們的斜率乘積為，設(shè)，分別與橢圓交于點(diǎn)A，B和C，D.①求的值；②設(shè)的中點(diǎn)M，的中點(diǎn)為N，求面積的最大值.解：（1）依題意可得解得，故橢圓的方程為；（2）①設(shè)的方程為，，聯(lián)立消去并整理得到，于是同理可得②由①知，，，，所以，所以的中點(diǎn)所以當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，所以面積的最大值為19.帕德近似是法國(guó)數(shù)學(xué)家亨利?帕德發(fā)明的，用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法.給定兩個(gè)正整數(shù)，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，其中和分別是和次多項(xiàng)式，且滿足.其中為的導(dǎo)數(shù).已知在處的階帕德近似為.（1）求實(shí)數(shù)的值，利用的階帕德近似估計(jì)的近似值（結(jié)果保留3位有效數(shù)字）；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）證明：當(dāng)時(shí)，.（1）解：，因?yàn)?，所以，解得?（2）解法1：設(shè)，則在上恒成立.若，則顯然成立；若，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，因此，即在上單調(diào)遞增，時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以存在唯一的，使得，?dāng)時(shí)，，即在單調(diào)遞減，時(shí)，，與已知矛盾，舍去.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.解法2：設(shè)，則在上恒成立.因?yàn)?，，所以，解得，?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，時(shí)，恒成立.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.（3）證明：要證時(shí)，，即證，設(shè)，則，令得，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，因此，因此只需證，即證.設(shè)，則在上單調(diào)遞增，，即，令，則，因此原不等式成立.河南省馬店市重點(diǎn)高中聯(lián)考2025屆高三下學(xué)期第三次考試（3月月考）數(shù)學(xué)試題一.選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，則在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】設(shè)，則，解得，則，則在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限.故選：D.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】不等式，即或，解得或，不等式，即，解得，所以，，有.故選：C3.下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又是定義域上的增函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】A：，定義域?yàn)镽，是偶函數(shù)，不符；B：，定義域?yàn)?，是奇函?shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，易知在上單調(diào)遞減，不符；C：，定義域?yàn)镽，是偶函數(shù)，不符；D：，定義域?yàn)镽，是奇函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，易知在R上單調(diào)遞增，符合.故選：D4.有5輛車停放6個(gè)并排車位，貨車甲車體較寬，停靠時(shí)需要占兩個(gè)車位，并且乙車不與貨車甲相鄰?fù)７牛瑒t共有（）種停放方法．A.72 B.144 C.108 D.96【答案】A【解析】先停入貨車甲，若貨車甲不靠邊，共有種停法，則乙車有種停法，除甲、乙外的其它三輛車共有種停法；若貨車甲靠邊，共有種停法，則乙車有種停法，除甲、乙外的其它三輛車的排法共有種，故共有種停放方法.

故選：A.5.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，點(diǎn)，若圓上存在點(diǎn)，滿足，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)，則，.因?yàn)椋?，即，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以1為半徑的圓.又因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以圓與圓有公共點(diǎn)，所以，即，解得.故選：B.6.某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量（單位：）與時(shí)間（單位：）間的關(guān)系為，其中是正的常數(shù)，如果前消除了的污染物，那么從消除的污染物到消除的污染物大約需要經(jīng)歷（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可知：，即，即，設(shè)消除的污染物對(duì)應(yīng)事件為，即，設(shè)消除的污染物對(duì)應(yīng)事件為，即，兩式相除可得：，即，所以：，即從消除的污染物到消除的污染物大約需要經(jīng)歷，故選：A7.已知函數(shù)和的圖象的對(duì)稱軸完全相同，令，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.的一個(gè)周期為 B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.的一個(gè)零點(diǎn)為 D.在單調(diào)遞減【答案】D【解析】令，則為的對(duì)稱軸方程，令，則為的對(duì)稱軸方程，由與的對(duì)稱軸完全相同，則，即對(duì)稱軸為，所以且，則，所以，其最小正周期，故也是一個(gè)周期，A對(duì)；，故的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，B對(duì)；，當(dāng)有，所以的一個(gè)零點(diǎn)為，C對(duì)；，則，顯然在給定區(qū)間內(nèi)不單調(diào)，D錯(cuò).故選：D8.如圖，已知是圓錐的軸截面，分別為的中點(diǎn)，過點(diǎn)且與直線垂直的平面截圓錐，截口曲線是拋物線的一部分．若在上，則的最大值為（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】過點(diǎn)作，交底面圓于兩點(diǎn)，連接，，，設(shè)，則，所以當(dāng)最大時(shí)，最大，由圓錐的性質(zhì)得底面，因?yàn)榈酌?，所以，又，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，則，因?yàn)?，平面，所以平面，則平面為截面，因?yàn)橹悬c(diǎn)，所以，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以，則當(dāng)最大時(shí)，最大，如圖為截面的平面圖，以為原點(diǎn)，為軸，過點(diǎn)垂直向上的方向?yàn)檩S正方向建系，，，，則拋物線方程為，設(shè)，，則，所以，則此時(shí)，.故選：C.二?多選題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法正確的是（）A.已知一組各不相同的數(shù)據(jù)，去掉其中最大和最小兩個(gè)數(shù)據(jù)后，剩下的28個(gè)數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)不等于原來數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)B.若事件A，B滿足，，且，則事件A，B獨(dú)立C.若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則D.已知具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y，其經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，若樣本點(diǎn)中心為，則【答案】AB【解析】對(duì)于A，將原來30個(gè)數(shù)從小到大排列，，則30個(gè)數(shù)的22%分位數(shù)為30個(gè)數(shù)中的第7個(gè)數(shù)，去掉其中最大和最小兩個(gè)數(shù)據(jù)后，，故剩下的28個(gè)數(shù)據(jù)的22%分位數(shù)為28個(gè)數(shù)中的第7個(gè)數(shù)字，也是30個(gè)數(shù)中的第8個(gè)數(shù)，故兩者不相等，A正確，對(duì)于B，，所以相互獨(dú)立，因此也相互獨(dú)立，B正確，對(duì)于C，由于，則，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，將代入可得，故，D錯(cuò)誤，故選：AB10.柏拉圖實(shí)體，也稱為柏拉圖多面體，是一組具有高度對(duì)稱性的幾何體．它們的特點(diǎn)是每個(gè)面都是相同的正多邊形，每個(gè)頂點(diǎn)處的面的排列也完全相同．正八面體就是柏拉圖實(shí)體的一種．如圖是一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正八面體．甲、乙二人使用它作游戲：甲任選三個(gè)頂點(diǎn)，乙任選三個(gè)面的中心點(diǎn)，構(gòu)成三角形．甲、乙選擇互不影響，下列說法正確的是（）A.該正八面體的外接球的體積為B.平面截該正八面體的外接球所得截面的面積為C.甲能構(gòu)成正三角形的概率為D.甲與乙均能構(gòu)成正三角形的概率為【答案】ABD【解析】A：由棱長(zhǎng)為2，得正八面體上半部分的斜高為，高為，則正八面體的體積為．則正八面體外接球的球心為，半徑為，所以外接球的體積為，故A正確；B：由于到平面的距離等于到平面的距離，在中，過作的垂線，垂足為，則平面．由，得，平面截正八面體的外接球所得截面是圓，半徑，所以所得截面的面積為，故B正確；C：甲隨機(jī)選擇的情況有種，甲選擇的三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成正三角形，只有一種情況：甲從上下兩個(gè)點(diǎn)中選一個(gè)，從中間四個(gè)點(diǎn)中選相鄰兩個(gè)，共有種，甲構(gòu)成正三角形的概率為，故C錯(cuò)誤；D：乙隨機(jī)選擇的情況有種，乙構(gòu)成正三角形，只有一種情況：上面四個(gè)面的中心中選一個(gè)點(diǎn)且從下面四個(gè)面的中心選相對(duì)的兩個(gè)點(diǎn)，或下面四個(gè)面的中心中選一個(gè)點(diǎn)且從上面四個(gè)面的中心選相對(duì)的兩個(gè)點(diǎn)，共有種，概率為；又甲能構(gòu)成正三角形的概率為，所以甲與乙均能構(gòu)成正三角形的概率為，故D正確.故選：ABD．11.已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列，其前項(xiàng)和是，且.下列說法正確的是（）A.B.若為遞增數(shù)列，則的取值范圍是C.存在實(shí)數(shù)，使得為等比數(shù)列D.，使得當(dāng)時(shí)，總有【答案】ABD【解析】由得，相減可得，，由于各項(xiàng)均不為零，所以，所以的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別為公差為1的等差數(shù)列，對(duì)于A，，，故正確；對(duì)于B，由于的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別為公差為1的等差數(shù)列，所以，若?n∈N*，an+1對(duì)于C，，若為等比數(shù)列，則為常數(shù)，則，此時(shí)，故，進(jìn)而可得數(shù)列的項(xiàng)為顯然這不是等比數(shù)列，故錯(cuò)誤，對(duì)于D，若，只要足夠大，一定會(huì)有，則，只要足夠的大，趨近于0，而，顯然能滿足，故，當(dāng)時(shí)，總有，故正確，故選：ABD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.某人從甲地到乙地，乘火車、輪船、飛機(jī)的概率分別為0.2，0.4，0.4，乘火車遲到的概率為0.4，乘輪船遲到的概率為0.3，乘飛機(jī)遲到的概率為0.5，則這個(gè)人遲到的概率是______；如果這個(gè)人遲到了，他乘船遲到的概率是______．【答案】①.0.4②.0.3【解析】設(shè)事件A表示“乘火車”，事件B表示“乘輪船”，事件C表示“乘飛機(jī)”，事件D表示“遲到”，則，，，，，，，由全概率公式得：；如果這個(gè)人遲到了，由貝葉斯公式得到他乘船遲到的概率為：.故答案為：0.4；0.313.已知過拋物線C：的焦點(diǎn)F作斜率為正數(shù)的直線n交拋物線的準(zhǔn)線l于點(diǎn)P，交拋物線于A，B（A在線段PF上），，則以線段AB為直徑的圓被y軸截得弦長(zhǎng)為________【答案】【解析】由題意，可得如下示意圖，，令，，聯(lián)立，則，顯然，則，，聯(lián)立，則，可得，結(jié)合，則，即，所以，可得，又，故圓的半徑為4，若中點(diǎn)為，則，所以以線段AB為直徑的圓被y軸截得弦長(zhǎng)為.故答案為：14.設(shè)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若函數(shù)存在三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】設(shè)，故0，即對(duì)函數(shù)，其函數(shù)圖象如下所示：令，故要滿足題意，只需在內(nèi)有一個(gè)實(shí)數(shù)根，且另一個(gè)根為；或在內(nèi)有一個(gè)實(shí)數(shù)根，且在內(nèi)也有一個(gè)實(shí)數(shù)根.所以或或即或或解得.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且.（1）求；（2）若，求的值.解：（1）因?yàn)?，所以，即，可得，所?又因?yàn)?，所以，即，所?（2）由（1）可知，.因?yàn)?，所以，?由正弦定理可得.由余弦定理可得，即，整理得，而，所以.16.如圖1，已知為等邊三角形，四邊形為平行四邊形，.把沿向上折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)位置，使得平面平面，如圖2所示.（1）證明：；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）當(dāng)點(diǎn)在線段（包括端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)直線與平面所成角為，求的取值范圍.證明：（1）如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，連接.因?yàn)闉榈冗吶切危?又因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，所以平?因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)椋?，所?因?yàn)槠矫妫云矫?又因?yàn)槠矫?，所?（2）由（1）知平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則.又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面，所以平?設(shè)的中點(diǎn)為，連接.因?yàn)?，所以，以為坐?biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，可得.設(shè)平面的法向量，則，即，取，則平面的一個(gè)法向量.設(shè)平面的法向量，則，即，取，則平面的一個(gè)法向量，因?yàn)?，所以平面與平面夾角的余弦值為.（3）由（1）知平面，平面，所以，，而，故的取值范圍為.17.某科研團(tuán)隊(duì)研發(fā)了一款快速檢測(cè)某種疾病的試劑盒.為了解該試劑盒檢測(cè)的準(zhǔn)確性，科研團(tuán)隊(duì)從某地區(qū)（人數(shù)眾多）隨機(jī)選取了40位患者和60位非患者，用該試劑盒分別對(duì)他們進(jìn)行了一次檢測(cè)，結(jié)果如下：抽樣人群陽性人數(shù)陰性人數(shù)患者364非患者258（1）試估計(jì)使用該試劑盒進(jìn)行一次檢測(cè)結(jié)果正確的概率；（2）若從該地區(qū)的患者和非患者中分別抽取2人進(jìn)行一次檢測(cè)，求恰有一人檢測(cè)結(jié)果錯(cuò)誤的概率；（3）假