2024-2025學(xué)年遼寧省沈陽市高二數(shù)學(xué)下學(xué)期7月期末考試（含答案）（滿分：150分考試時(shí)間：120分鐘）注意事項(xiàng)：1.答題時(shí)，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡規(guī)定的位置上.2.答選擇題時(shí)，必須使用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).3.答非選擇題時(shí)，必須使用黑色墨水筆或黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上，寫在試題卷、草稿紙上無效.4.考試結(jié)束后，將試題卷和答題卡一并交回.第Ⅰ卷（選擇題，共58分）一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則“是等差數(shù)列”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)任意都有，當(dāng)時(shí)，則（）A. B.1 C.2 D.4.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則（）A. B. C. D.5已知隨機(jī)變量，若，，則（）A.15 B. C. D.6.某工廠生產(chǎn)零件的尺寸指標(biāo)，若尺寸指標(biāo)在內(nèi)的零件為優(yōu)等品，從該廠生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取10000件，則抽取到的優(yōu)等品的件數(shù)約為（）（參考數(shù)據(jù)：若，則，，）A.6827 B.8186 C.8400 D.95457.已知函數(shù)的圖象如圖所示，經(jīng)過點(diǎn)，.則函數(shù)的解析式可能是（）A.. B.C. D.8.林業(yè)部門規(guī)定：樹齡500年以上的古樹為一級(jí)，樹齡300~500年之間的古樹為二級(jí)，樹齡100~299年的古樹為三級(jí)，樹齡低于100年不稱為古樹．林業(yè)工作者為研究樹木年齡，多用年輪推測(cè)法，先用樹木測(cè)量生長(zhǎng)錐在樹干上打孔，抽取一段樹干計(jì)算年輪個(gè)數(shù)，由經(jīng)驗(yàn)知樹干截面近似圓形，年輪寬度依次構(gòu)成等差數(shù)列．現(xiàn)為了評(píng)估某棵大樹的級(jí)別，特測(cè)量數(shù)據(jù)如下：樹干周長(zhǎng)為3.14米，靠近樹芯的第5個(gè)年輪寬度為0.4cm，靠近樹皮的第5個(gè)年輪寬度為0.2cm，則估計(jì)該大樹屬于（）A.一級(jí) B.二級(jí) C.三級(jí) D.不是古樹二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分，有選錯(cuò)的得0分）9.如圖，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，和，對(duì)于函數(shù)，下列說法正確的是（）A.在上單調(diào)遞增 B.在上單調(diào)遞增C.處取得極小值 D.在處取得極小值10.已知，且，則下列說法正確的是（）A.有最小值4 B.有最小值C.有最小值 D.的最小值為11.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，為奇函?shù)，為偶函數(shù)，且對(duì)任意的，，都有，則（）A.是奇函數(shù) B.C.的圖象關(guān)于對(duì)稱 D.第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.若命題“，”為假命題，則的取值范圍是______.13.端午節(jié)期間，小王、小李、小張和小劉四人分別計(jì)劃去游玩，現(xiàn)有三個(gè)出游的景點(diǎn)：沈陽故宮、張學(xué)良舊居、遼寧大劇院，假設(shè)每人隨機(jī)選擇一處景點(diǎn)，在至少有兩人去沈陽故宮的條件下有人去遼寧大劇院的概率為______.14.已知數(shù)列各項(xiàng)均為，在其第項(xiàng)和第項(xiàng)之間插入個(gè)，得到新數(shù)列，記新數(shù)列的前項(xiàng)和為，則______，______.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）令，證明：16.甲?乙兩人準(zhǔn)備進(jìn)行臺(tái)球比賽，比賽規(guī)定：一局中贏球一方作為下一局的開球方.若甲開球，則本局甲贏的概率為，若乙開球，則本局甲贏的概率為，每局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，且沒有平局，經(jīng)抽簽決定，第1局由甲開球.（1）求第3局甲開球概率；（2）設(shè)前4局中，甲開球的次數(shù)為，求的分布列及期望.17.已知數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，．（1）求證：為等差數(shù)列，并求通項(xiàng)公式；（2）若，記前n項(xiàng)和為，對(duì)任意的正自然數(shù)n，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍．18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；（2）當(dāng)時(shí)，求在上的最小值；（3）當(dāng)時(shí)，若在上存在零點(diǎn)，求的取值范圍.19.函數(shù)的定義域?yàn)?，若存在正?shí)數(shù)，對(duì)任意的，總有，則稱函數(shù)具有性質(zhì).（1）判斷下列函數(shù)是否具有性質(zhì)，并說明理由.①；②.（2）已知，為給定的正實(shí)數(shù)，若函數(shù)具有性質(zhì)，求的取值范圍.（用含字母的式子表示）數(shù)學(xué)答案（滿分：150分考試時(shí)間：120分鐘）注意事項(xiàng)：1.答題時(shí)，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡規(guī)定的位置上.2.答選擇題時(shí)，必須使用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).3.答非選擇題時(shí)，必須使用黑色墨水筆或黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上，寫在試題卷、草稿紙上無效.4.考試結(jié)束后，將試題卷和答題卡一并交回.第Ⅰ卷（選擇題，共58分）一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出函數(shù)的值域化簡(jiǎn)集合A，解不等式化簡(jiǎn)集合B，再利用交集的定義求解即得.【詳解】集合，，所以.故選：B2.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則“是等差數(shù)列”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用等差數(shù)列求和性質(zhì)及定義結(jié)合充分、必要條件的定義判定選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，充分性得證；反之，，只需，得不到是等差數(shù)列，不滿足必要性，所以“是等差數(shù)列”是“”的充分不必要條件.故選：A.3.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)任意都有，當(dāng)時(shí)，則（）A. B.1 C.2 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)周期性把轉(zhuǎn)化成計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，?duì)任意都有，所以，故選：C.4.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】對(duì)求導(dǎo)，再令即可求解.【詳解】因?yàn)?，所?令，則，解得.故選：.5.已知隨機(jī)變量，若，，則（）A15 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由隨機(jī)變量的期望和方差公式解方程組計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，即，所以，所以．故選：A．6.某工廠生產(chǎn)零件的尺寸指標(biāo)，若尺寸指標(biāo)在內(nèi)的零件為優(yōu)等品，從該廠生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取10000件，則抽取到的優(yōu)等品的件數(shù)約為（）（參考數(shù)據(jù)：若，則，，）A6827 B.8186 C.8400 D.9545【答案】B【解析】【分析】先應(yīng)用正態(tài)分布的性質(zhì)及概率，再應(yīng)用概率求出優(yōu)等品的件數(shù).【詳解】由題意可得，即優(yōu)等品的概率為0.8186，所以從該廠生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取10000件，抽取到的優(yōu)等品的件數(shù)約為（件）.故選：B.7.已知函數(shù)的圖象如圖所示，經(jīng)過點(diǎn)，.則函數(shù)的解析式可能是（）A.. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】對(duì)于A，通過奇偶性判斷即可；對(duì)于BC，通過導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性即可；對(duì)于D，有，不符合題意.【詳解】對(duì)于A，，其定義域?yàn)?，有，函?shù)為偶函數(shù)，不符合題意，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，有，，當(dāng)時(shí)，，其導(dǎo)數(shù)，在區(qū)間上，，函數(shù)為減函數(shù)，在區(qū)間上，，函數(shù)為增函數(shù)，符合題意，故B正確；對(duì)于C，，有，，當(dāng)時(shí)，，其導(dǎo)數(shù)，在區(qū)間上，，函數(shù)為減函數(shù)，在區(qū)間上，，函數(shù)為增函數(shù)，不符合題意，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，有，不符合題意，故D錯(cuò)誤.故選：B.8.林業(yè)部門規(guī)定：樹齡500年以上的古樹為一級(jí)，樹齡300~500年之間的古樹為二級(jí)，樹齡100~299年的古樹為三級(jí)，樹齡低于100年不稱為古樹．林業(yè)工作者為研究樹木年齡，多用年輪推測(cè)法，先用樹木測(cè)量生長(zhǎng)錐在樹干上打孔，抽取一段樹干計(jì)算年輪個(gè)數(shù)，由經(jīng)驗(yàn)知樹干截面近似圓形，年輪寬度依次構(gòu)成等差數(shù)列．現(xiàn)為了評(píng)估某棵大樹的級(jí)別，特測(cè)量數(shù)據(jù)如下：樹干周長(zhǎng)為3.14米，靠近樹芯的第5個(gè)年輪寬度為0.4cm，靠近樹皮的第5個(gè)年輪寬度為0.2cm，則估計(jì)該大樹屬于（）A.一級(jí) B.二級(jí) C.三級(jí) D.不是古樹【答案】C【解析】【分析】由條件抽象出等差數(shù)列基本量，再結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和，求.【詳解】設(shè)樹干的截面圓的半徑為，樹干周長(zhǎng)，，從內(nèi)向外數(shù)：，，，∴年，所以為三級(jí).故選:C二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分，有選錯(cuò)的得0分）9.如圖，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，和，對(duì)于函數(shù)，下列說法正確的是（）A.在上單調(diào)遞增 B.在上單調(diào)遞增C.在處取得極小值 D.在處取得極小值【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象的正負(fù)得出函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而得出函數(shù)的極值即可判斷各個(gè)選項(xiàng).【詳解】由導(dǎo)函數(shù)圖象可知，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，，所以在和上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，B正確；所以在和處取得極小值，在處取得極大值，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：BD.10.已知，且，則下列說法正確的是（）A.有最小值4 B.有最小值C.有最小值 D.的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】利用基本不等式可判斷各選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)：由，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，故A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)：，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，故B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：由，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：由A的分析知且，時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，故D選項(xiàng)正確；故選：ABD．11.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，為奇函?shù)，為偶函數(shù)，且對(duì)任意的，，都有，則（）A.是奇函數(shù) B.C.的圖象關(guān)于對(duì)稱 D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和題設(shè)條件，推得是周期為4的周期函數(shù)，結(jié)合周期函數(shù)的性質(zhì)求值，利用單調(diào)性比較大小，逐項(xiàng)判定即可求解.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以,即函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，C正確;由函數(shù)關(guān)于對(duì)稱可知,又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，即函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，則,所以,即,所以,所以是周期為4的周期函數(shù)，所以,又,所以,所以,所以,B正確;是偶函數(shù)，A錯(cuò)誤;對(duì)任意的,且,都有,不妨設(shè),則,由單調(diào)性的定義可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，又由函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，所以在上單調(diào)遞增又,,所以,得，D錯(cuò)誤.故選：BC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查抽象函數(shù)，解題關(guān)鍵是合理利用抽象函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性周期性分析題意，然后逐個(gè)選項(xiàng)分析即可．第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.若命題“，”為假命題，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】由題意知，命題的否定為真命題，再結(jié)合一元二次不等式恒成立求得的取值范圍.【詳解】因?yàn)槊}“，”為假命題，所以命題“，”真命題，所以，解得，所以的取值范圍是.故答案為：.13.端午節(jié)期間，小王、小李、小張和小劉四人分別計(jì)劃去游玩，現(xiàn)有三個(gè)出游的景點(diǎn)：沈陽故宮、張學(xué)良舊居、遼寧大劇院，假設(shè)每人隨機(jī)選擇一處景點(diǎn)，在至少有兩人去沈陽故宮的條件下有人去遼寧大劇院的概率為______.【答案】【解析】【分析】先應(yīng)用古典概型求出概率，再應(yīng)用條件概率求解即可.【詳解】設(shè)至少有兩人去沈陽故宮為事件A至少有兩人去沈陽故宮的情況有三種：兩人去、三人去、四人去，其概率為，設(shè)至少有兩人去沈陽故宮且有人去遼寧大劇院為事件B至少有兩人去沈陽故宮且有人去遼寧大劇院的概率為，所以在至少有兩人去沈陽故宮的條件下有人去遼寧大劇院的概率為.故答案為：.14.已知數(shù)列各項(xiàng)均為，在其第項(xiàng)和第項(xiàng)之間插入個(gè)，得到新數(shù)列，記新數(shù)列的前項(xiàng)和為，則______，______.【答案】①.②.【解析】【分析】將數(shù)列各項(xiàng)排成三角數(shù)陣，確定的位置，可得出的值，確定數(shù)列的前項(xiàng)中，項(xiàng)的值為、的項(xiàng)數(shù)，即可求得的值.【詳解】由題意，將數(shù)列各項(xiàng)按如下數(shù)陣排列：其中第行有項(xiàng)，則該數(shù)陣中第行最后一項(xiàng)對(duì)應(yīng)數(shù)列中的對(duì)應(yīng)的第項(xiàng)，因?yàn)?，且，所以，位于?shù)陣的第行第項(xiàng)，故，數(shù)列的前項(xiàng)中，項(xiàng)的值為的共項(xiàng)，項(xiàng)的值為的項(xiàng)共項(xiàng)，因此，.故答案為：；.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列求和與求某項(xiàng)的問題，解題的關(guān)鍵就是確定各項(xiàng)的位置，以及數(shù)列中各項(xiàng)的值，對(duì)于這種有規(guī)律性的數(shù)列問題，可以將其轉(zhuǎn)化為三角數(shù)陣，確定相應(yīng)項(xiàng)的位置即可.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）令，證明：.【答案】（1）（）；（）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）先根據(jù)計(jì)算得出通項(xiàng)公式,結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算得出即可；（2）應(yīng)用等差數(shù)列先求出,再應(yīng)用裂項(xiàng)相消求和即可證明.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，又，兩式相減，得，化簡(jiǎn)得.因?yàn)?，所以?shù)列是首項(xiàng)為4，公比為16的等比數(shù)列，所以（），所以（）.【小問2詳解】由（1）知，所以.當(dāng)時(shí)，成立；當(dāng)時(shí)，，故成立.綜上所述，（）均成立.16.甲?乙兩人準(zhǔn)備進(jìn)行臺(tái)球比賽，比賽規(guī)定：一局中贏球的一方作為下一局的開球方.若甲開球，則本局甲贏的概率為，若乙開球，則本局甲贏的概率為，每局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，且沒有平局，經(jīng)抽簽決定，第1局由甲開球.（1）求第3局甲開球的概率；（2）設(shè)前4局中，甲開球的次數(shù)為，求的分布列及期望.【答案】（1）（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）設(shè)第局甲勝為事件，則第3局甲開球?yàn)槭录?，結(jié)合條件概率公式計(jì)算即可.（2）由的取值，根據(jù)對(duì)應(yīng)的事件，求相應(yīng)的概率，得分布列，由公式求解期望.【小問1詳解】設(shè)第局甲勝為事件，則第局乙勝為事件，其中則“第3局甲開球”為事件，.【小問2詳解】依題意，，，，，的分布列為1234則.17.已知數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，．（1）求證：為等差數(shù)列，并求通項(xiàng)公式；（2）若，記前n項(xiàng)和為，對(duì)任意的正自然數(shù)n，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）證明為常數(shù)即可證明為等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可求的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)累乘法求出，再求出，根據(jù)通項(xiàng)公式特征，采用裂項(xiàng)法求其前項(xiàng)和，求單調(diào)性并求其范圍即可求出的范圍．【小問1詳解】因?yàn)?，，兩邊同時(shí)除以可得：，從而，，所以是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以，則；【小問2詳解】由，，所以，則，所以，所以則，因?yàn)橹械拿恳豁?xiàng)，所以為遞增數(shù)列，所以，因?yàn)椋?，即?shí)數(shù)的取值范圍為.18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；（2）當(dāng)時(shí)，求在上的最小值；（3）當(dāng)時(shí)，若在上存在零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1），沒有極小值（2）（3）【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的極值；（2）利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的最值；（3）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造新的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對(duì)進(jìn)行分類，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)存在定理和極值即可求解