2025年中考數(shù)學二輪復習考前預測：三角形一．選擇題（共10小題）1．（2025?雁塔區(qū)校級模擬）如圖，在△ABC中，∠B＝45°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AC，垂足為點E．若DE＝2，則BD的長為（）A．4 B． C．2 D．2．（2025?雁塔區(qū)校級一模）如圖，在△ABC中，∠B＝∠C，∠BAC＝∠B+15°，∠DAC是△ABC的外角，則∠DAC的度數(shù)是（）A．100° B．105° C．110° D．115°3．（2025?秦都區(qū)校級一模）如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，BD＝AD＝6，DF⊥AC于F，DF＝4，則AB的長為（）A．8 B．10 C． D．4．（2025?碑林區(qū)校級一模）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD，AE分別是邊BC上的中線和高，若AE＝2，S△ABD＝，則AD的長為（）A． B． C．1 D．5．（2025?安徽模擬）如圖，AD是△ABC的中線，BE是△ABD的中線，延長BE交AC于點F，已知AF＝2，則AC的長為（）A．6 B．8 C．10 D．126．（2025?瀘縣一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，⊙O是Rt△ABC的內切圓，則⊙O的半徑為（）A．1 B． C．2 D．7．（2025?楊浦區(qū)一模）對一個三角形進行放縮運動時，下列結論中正確的是（）A．各個內角的大小始終保持不變 B．各條邊的長度始終保持不變 C．三角形的面積始終保持不變 D．三角形的周長始終保持不變8．（2025?普陀區(qū)一模）如圖，在四邊形ABCD中，AC為對角線，AB＝DC，如果要證得△ABC與△CDA全等，那么可以添加的條件是（）A．AD∥BC B．∠B＝∠D C．∠B＝∠ACD D．∠ACB＝∠CAD＝90°9．（2024?南安市模擬）如圖，在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC的垂直平分線分別交BC、AC于點D、E，則△ABD的周長為（）A．8 B．11 C．16 D．1710．（2024?溫州二模）尺規(guī)作圖源于古希臘的數(shù)學課題，蘊含著豐富的幾何原理．如圖，在△ABC中，按如下步驟尺規(guī)作圖：①以點B為圓心，BC為半徑作弧交邊AB于點D；②以點A為圓心，AD為半徑作弧交AC于點E；③連結CD與DE．若要求∠CDE的度數(shù)，則只需知道（）A．∠A的度數(shù) B．∠B的度數(shù) C．∠ACB的度數(shù) D．∠DCE的度數(shù)二．填空題（共5小題）11．（2025?鹿城區(qū)校級一模）如圖，點D、E分別為AB，AC的中點，BF平分∠ABC交DE于點F，若AB＝4，BC＝6，則EF＝．12．（2025?十堰校級模擬）如圖是可調躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），AE與BD的交點為C，且∠A，∠B，∠E保持不變．為了舒適，需調整∠D的大小，使∠EFD＝110°，則圖中∠D應（填“增加”或“減少”）度．13．（2025?雁塔區(qū)校級一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，AD是BC邊上的中線，E是AC邊上一點．若DE＝DC，則∠ADE的度數(shù)為．14．（2025?永壽縣校級一模）如圖，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠BAC的平分線AD交BC于點D，點O在AD上，OA的垂直平分線分別交AC、AB于點E、F，連接OC，若OC＝AF＝4，則△AOC的面積為．15．（2025?晉安區(qū)校級模擬）如圖，動點P在等邊△ABC的邊AC（不包括端點）上，，連接PB，AD⊥PB于D，以AD為一邊在AD右側作等邊△ADE，ED的延長線交BC于F，若∠EFC＝45°，則EF＝．三．解答題（共5小題）16．（2025?鼓樓區(qū)校級模擬）如圖AB＝AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE與CD相交于點O．求證：AD＝AE．17．（2025?汕頭模擬）如圖，四邊形ABCD中，AB＝DC，AB∥DC，E，F(xiàn)是對角線AC上兩點，且AE＝CF．求證：△ABE≌△CDF．18．（2025?河北模擬）如圖1和圖2，Rt△ABC和Rt△DEF中，∠B＝∠DEF＝90°，AB＝20，BC＝15，DF＝15，DE＝12．點D，E分別在AB，AC邊上滑動，點F在DE的右側，當DF與AC相交時，交點記為P．（1）EF的長為，EP的最小值為；（2）如圖1，當DP＝12時，請證明AP＝AD；（3）如圖2，①尺規(guī)作圖：過點A做直線DF的垂線AN，垂足為點N（保留作圖痕跡，不寫作圖過程）；②若AM垂直平分DE，求AN的長；（4）直接寫出點A與點F的最大距離．19．（2025?黃石一模）已知：如圖，AD，BC相交于點O，且AD＝BC，∠C＝∠D＝90°．求證：CO＝DO．20．（2025?山東一模）【情境知識技能】學校數(shù)學興趣小組活動時，小紅給小波出了一道題：（1）如圖1，在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點D，E在邊BC上，且∠DAE＝45°，小紅對小波說：“圖中線段BD、DE和EC有一定的數(shù)量關系，你知道嗎？”小波毫不思索的回答道：“太簡單了，把△ABD繞點A逆時針轉90°得到△ACF，連接EF，就能證出BD2+EC2＝DE2．小紅微笑著點了點頭，并給小波豎起了大拇指．【解決問題】①若，則BD＝；②請你幫助小波證明他的結論．【情境理解應用】（2）小波接著對小紅說：“如圖2，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90度，AB＝AD，∠ACD＝45°，若，你知道AC的長嗎？”，小紅會意點了頭．小紅的答案是AC＝．

2025年中考數(shù)學二輪復習考前預測：三角形參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2025?雁塔區(qū)校級模擬）如圖，在△ABC中，∠B＝45°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AC，垂足為點E．若DE＝2，則BD的長為（）A．4 B． C．2 D．【考點】角平分線的性質．【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．【答案】D【分析】過點D作DF⊥AB，根據(jù)角平分線的性質得出DF＝DE＝2，再由等角對等邊得出DF＝BF＝2，由勾股定理即可求解．【解答】解：過點D作DF⊥AB，如圖所示：∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AC，DE＝2，∴DF＝DE＝2，∵∠B＝45°，∴∠BDF＝∠B＝45°，∴DF＝BF＝2，∴，故選：D．【點評】題目主要考查角平分線的性質，等角對等邊及勾股定理解三角形，作出輔助線，綜合運用這些知識點是解題關鍵．2．（2025?雁塔區(qū)校級一模）如圖，在△ABC中，∠B＝∠C，∠BAC＝∠B+15°，∠DAC是△ABC的外角，則∠DAC的度數(shù)是（）A．100° B．105° C．110° D．115°【考點】三角形的外角性質．【專題】三角形；運算能力；推理能力．【答案】C【分析】根據(jù)三角形外角的性質，求出∠B，即可解答．【解答】解：∵∠DAC是△ABC的外角，∴∠DAC＝∠B+∠C，∵∠B+∠C＝180°﹣∠BAC，∵∠B＝∠C，∠BAC＝∠B+15°，∴∠B+∠C＝180°﹣∠B﹣15°，∴3∠B＝165°，∴∠B＝55°，∴∠DAC＝2×55°＝110°，故選：C．【點評】本題考查三角形的外角性質，掌握三角形的外角性質是解題的關鍵．3．（2025?秦都區(qū)校級一模）如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，BD＝AD＝6，DF⊥AC于F，DF＝4，則AB的長為（）A．8 B．10 C． D．【考點】角平分線的性質．【專題】等腰三角形與直角三角形；運算能力．【答案】C【分析】過點D作DE⊥AB于E，則由角平分線的性質可得DE＝DF＝4，由三線合一定理得到AB＝2AE，利用勾股定理求出，則．【解答】解：如圖所示，過點D作DE⊥AB于E，∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，DE⊥AB，∴DE＝DF＝4，∵BD＝AD＝6，∴AB＝2AE，在Rt△ADE中，由勾股定理得，∴，故選：C．【點評】本題主要考查了角平分線的性質，等腰三角形的三線合一定理，勾股定理等知識，解題的關鍵是掌握角平分線性質定理．4．（2025?碑林區(qū)校級一模）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD，AE分別是邊BC上的中線和高，若AE＝2，S△ABD＝，則AD的長為（）A． B． C．1 D．【考點】直角三角形斜邊上的中線；三角形的角平分線、中線和高；三角形的面積．【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】A【分析】根據(jù)三角形面積公式求出BD＝，再根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”求解即可．【解答】解：∵AE是△ABC中BC邊上的高，S△ABD＝，∴S△ABD＝×BD×AE＝，∵AE＝2，∴BD＝，∵AD是Rt△ABC中BC邊上的中線，∴DC＝BD＝AD＝，故選：A．【點評】此題主要考查了三角形斜邊上的中線的性質以及三角形的面積，解題的關鍵是掌握直角三角形斜邊上中線的性質．5．（2025?安徽模擬）如圖，AD是△ABC的中線，BE是△ABD的中線，延長BE交AC于點F，已知AF＝2，則AC的長為（）A．6 B．8 C．10 D．12【考點】全等三角形的判定與性質；相似三角形的判定與性質．【專題】圖形的全等；推理能力．【答案】A【分析】過點D作DG∥AC交BF于點G，根據(jù)平行線的性質得出∠EDG＝∠EAF，∠DGE＝∠AFE．證明△AEF≌△DEG，根據(jù)全等三角形的性質可得DG＝AF＝2，由DG∥AF可證△BGD∽△BFC，再根據(jù)AD是△ABC的中線，結合相似三角形的性質即可得CF＝2DG＝4，即可求解【解答】解：如圖，過點D作DG∥AC交BF于點G，則∠EDG＝∠EAF，∠DGE＝∠AFE．∵BE是△ABD的中線，∴AE＝DE，∴△AEF≌△DEG，∴DG＝AF＝2．∵DG∥AF，∴△BGD∽△BFC，∴，∵AD是△ABC的中線，∴2BD＝BC，∴CF＝2DG＝4，∴AC＝AF+CF＝2+4＝6．故選：A．【點評】該題主要考查了全等三角形的性質和判定，相似三角形的性質和判定，平行線的性質和判定等知識點，解題的關鍵是掌握以上知識點．6．（2025?瀘縣一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，⊙O是Rt△ABC的內切圓，則⊙O的半徑為（）A．1 B． C．2 D．【考點】勾股定理；三角形的內切圓與內心．【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理求出BC的長，設⊙O的半徑為r，再根據(jù)三角形的面積公式將三角形ABC的面積分成△AOB+△AOC+△BOC得出方程求解即可．【解答】解：如圖，連接OA、OB、OC，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，∴BC＝，設⊙O的半徑為r，則S＝＝6，即（5+4+3）?r＝6，∴r＝1，故選：A．【點評】本題考查了勾股定理，三角形的面積公式，熟記勾股定理，三角形的面積公式是解題的關鍵．7．（2025?楊浦區(qū)一模）對一個三角形進行放縮運動時，下列結論中正確的是（）A．各個內角的大小始終保持不變 B．各條邊的長度始終保持不變 C．三角形的面積始終保持不變 D．三角形的周長始終保持不變【考點】三角形內角和定理；三角形的面積．【專題】三角形；幾何直觀．【答案】A【分析】根據(jù)相似三角形的對應角相等、對應邊成比例的性質來判斷．【解答】解：一個三角形進行放縮運動，各個內角的大小始終保持不變，故A符合題意；一個三角形進行放縮運動，各條邊的長度也進行變化，故B選項不符合題意；一個三角形進行放縮運動，各條邊的長度也進行變化，面積也進行變化，故C選項不符合題意；一個三角形進行放縮運動，各條邊的長度也進行變化，周長也進行變化，故D選項不符合題意，故選：A．【點評】本題考查了三角形的面積，解題的關鍵是根據(jù)相似三角形的性質來判斷．8．（2025?普陀區(qū)一模）如圖，在四邊形ABCD中，AC為對角線，AB＝DC，如果要證得△ABC與△CDA全等，那么可以添加的條件是（）A．AD∥BC B．∠B＝∠D C．∠B＝∠ACD D．∠ACB＝∠CAD＝90°【考點】全等三角形的判定．【專題】三角形；圖形的全等；幾何直觀；推理能力．【答案】D【分析】對于選項A，根據(jù)AD∥BC得∠ACB＝∠CAD，由于AB＝DC，AC＝CA，∠ACB＝∠CAD不符合全等三角形的判定條件，進而可對該選項進行判斷；對于選項B，由于AB＝DC，AC＝CA，∠B＝∠D不符合全等三角形的判定條件，進而可對該選項進行判斷；對于選項C，由于AB＝DC，AC＝CA，∠B＝∠ACD不符合全等三角形的判定條件，進而可對該選項進行判斷；對于選項D，根據(jù)∠ACB＝∠CAD＝90°得△ABC和△CDA均為直角三角形，由于AB＝DC，AC＝CA符合全等三角形的判定條件，進而可對該選項進行判斷，綜上所述即可得出答案．【解答】解：對于選項A，∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠CAD，根據(jù)AB＝DC，AC＝CA，∠ACB＝∠CAD，不能判定△ABC與△CDA全等，故選項A不符合題意；對于選項B，根據(jù)AB＝DC，AC＝CA，∠B＝∠D，不能判定△ABC與△CDA全等，故選項B不符合題意；對于選項C，根據(jù)AB＝DC，AC＝CA，∠B＝∠ACD，不能判定△ABC與△CDA全等，故選項C不符合題意；對于選項D，∵∠ACB＝∠CAD＝90°，∴△ABC和△CDA均為直角三角形，在Rt△ABC和Rt△CDA中，，∴Rt△ABC≌Rt△CDA（HL），故選D符合題意，故選：D．【點評】此題主要考查了全等三角形的判定，準確識圖，熟練掌握全等三角形的判定方法是解決問題的關鍵．9．（2024?南安市模擬）如圖，在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC的垂直平分線分別交BC、AC于點D、E，則△ABD的周長為（）A．8 B．11 C．16 D．17【考點】線段垂直平分線的性質．【專題】三角形；推理能力．【答案】B【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質得到DA＝DC，根據(jù)三角形的周長公式計算，得到答案．【解答】解：∵DE是線段AC的垂直平分線，∴DA＝DC，∴△ABD的周長＝AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝11，故選：B．【點評】本題考查的是線段的垂直平分線的性質，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．10．（2024?溫州二模）尺規(guī)作圖源于古希臘的數(shù)學課題，蘊含著豐富的幾何原理．如圖，在△ABC中，按如下步驟尺規(guī)作圖：①以點B為圓心，BC為半徑作弧交邊AB于點D；②以點A為圓心，AD為半徑作弧交AC于點E；③連結CD與DE．若要求∠CDE的度數(shù)，則只需知道（）A．∠A的度數(shù) B．∠B的度數(shù) C．∠ACB的度數(shù) D．∠DCE的度數(shù)【考點】三角形內角和定理．【專題】三角形；推理能力．【答案】C【分析】由作圖得到BD＝BC，AD＝AE，根據(jù)等腰三角形的性質得出∠BDC＝∠BCD，∠ADE＝∠AED，在△ADE和△BDC中根據(jù)三角形內角和定理分別求出∠A、∠B的度數(shù)，繼而求出∠A+∠B的度數(shù)，從可求出∠CDE與∠ACB的關系，即可得出答案．【解答】解：由題意得，BD＝BC，AD＝AE，∴∠BDC＝∠BCD，∠ADE＝∠AED，在△ADE中，∠A+∠ADE+∠AED＝180°，即∠A＝180°﹣2∠ADE，在△BDC中，∠B+∠BDC+∠BCD＝180°，即∠B＝180°﹣2∠BDC，∴∠A+∠B＝180°﹣2∠ADE+180°﹣2∠BDC＝360°﹣2（∠ADE+∠BDC），∵∠ADE+∠BDC＝180°﹣∠CDE，∴∠A+∠B＝360°﹣2（180°﹣∠CDE）＝2∠CDE，在△ABC中，∠A+∠B＝180°﹣∠ACB，∴2∠CDE＝180°﹣∠ACB，即∠CDE＝90°﹣，∴若要求∠CDE的度數(shù)，則只需知道∠ACB的度數(shù)，故選：C．【點評】本題考查了三角形內角和定理，等腰三角形的性質，熟練掌握三角形內角和定理是解題的關鍵．二．填空題（共5小題）11．（2025?鹿城區(qū)校級一模）如圖，點D、E分別為AB，AC的中點，BF平分∠ABC交DE于點F，若AB＝4，BC＝6，則EF＝1．【考點】三角形中位線定理．【專題】三角形；推理能力．【答案】見試題解答內容【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到DE＝BC＝3，DE∥BC，根據(jù)角平分線的定義、平行線的性質得到∠DBF＝∠DFB，得到DF＝BD＝2，計算即可．【解答】解：∵點D、E分別為AB，AC的中點，AB＝4，∴DE是△ABC的中位線，BD＝AB＝2，∴DE＝BC＝3，DE∥BC，∴∠DFB＝∠FBC，∵BF平分∠ABC，∴∠DFB＝∠FBC，∴∠DBF＝∠DFB，∴DF＝BD＝2，∴EF＝DE﹣DF＝3﹣2＝1，故答案為：1．【點評】本題主要考查三角形中位線定理，三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．12．（2025?十堰校級模擬）如圖是可調躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），AE與BD的交點為C，且∠A，∠B，∠E保持不變．為了舒適，需調整∠D的大小，使∠EFD＝110°，則圖中∠D應減少（填“增加”或“減少”）10度．【考點】三角形內角和定理；三角形的外角性質．【專題】三角形；運算能力．【答案】減少；10．【分析】連接CF，并延長至點M，在△ABC中，利用三角形內角和定理，可得出∠ACB的度數(shù)，結合對頂角相等，可得出∠DCE的度數(shù)，利用三角形外角的性質，可得出∠DFM＝∠DCF+∠D，∠EFM＝∠ECF+∠E，二者相加后，可求出∠D的度數(shù)，再結合∠D的原度數(shù)，即可求出結論．【解答】解：連接CF，并延長至點M，如圖所示．在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝60°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣50°﹣60°＝70°，∴∠DCE＝∠ACB＝70°．∵∠DFM＝∠DCF+∠D，∠EFM＝∠ECF+∠E，∴∠EFD＝∠DCF+∠ECF+∠D+∠E＝∠DCE+∠D+∠E，即110°＝70°+∠D+30°，∴∠D＝10°，∴20°﹣10°＝10°，∴圖中∠D應減少（填“增加”或“減少”）10度．故答案為：減少；10．【點評】本題考查了三角形內角和定理以及三角形的外角性質，根據(jù)各角之間的關系，找出∠EFD與∠D之間的關系是解題的關鍵．13．（2025?雁塔區(qū)校級一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，AD是BC邊上的中線，E是AC邊上一點．若DE＝DC，則∠ADE的度數(shù)為50°．【考點】等腰三角形的性質；三角形的角平分線、中線和高．【專題】線段、角、相交線與平行線；等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】50°．【分析】由等腰三角形的性質得到∠B＝∠C＝70°，由三角形內角和定理求出∠BAC＝40°，由等腰三角形的性質推出∠DAC＝∠BAC＝20°，∠DEC＝∠C＝70°，由三角形的外角性質即可求出∠ADE的度數(shù)．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝70°，∴∠BAC＝180°﹣70°×2＝40°，∵AD是BC邊的中線，∴AD平分∠BAC，∴∠DAC＝∠BAC＝20°，∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠C＝70°，∴∠ADE＝∠DEC﹣∠DAC＝50°．故答案為：50°．【點評】本題考查等腰三角形的性質，三角形的中線、角平分線和高線，關鍵是掌握等腰三角形的性質．14．（2025?永壽縣校級一模）如圖，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠BAC的平分線AD交BC于點D，點O在AD上，OA的垂直平分線分別交AC、AB于點E、F，連接OC，若OC＝AF＝4，則△AOC的面積為．【考點】勾股定理；菱形的判定與性質；角平分線的定義；三角形的面積；線段垂直平分線的性質；含30度角的直角三角形．【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；推理能力．【答案】．【分析】連接OE、OF，作OH⊥AC于點H．由EF垂直平分OA可得AE＝OE，AF＝OF，結合AD平分∠BAC可知四邊形AEOF是菱形，則AE＝OE＝AF＝OC＝4，CH＝HE．由菱形的性質及∠BAC＝30°可得∠CEO＝30°，則，則，進而可求面積．【解答】解：如圖，連接OE、OF，作OH⊥AC于點H．∵EF垂直平分OA，∴AE＝OE，AF＝OF，∴∠EAO＝∠EOA，∵AD平分∠BAC，∴∠EAO＝∠FAO，∴∠FAO＝∠EOA，∴OE∥AF，同理可證明AE∥OF，∴四邊形AEOF是平行四邊形，∵AE＝OE，∴四邊形AEOF是菱形，∴AE＝OE＝AF＝OC＝4，∵OH⊥AC，∴CH＝HE．∵∠BAC＝30°，OE∥AF，∴∠CEO＝30°，∴OH＝OE＝×4＝2，∴，∴，∴，∴，所以△AOC的面積為．故答案為：．【點評】本題考查了線段垂直平分線的性質，菱形的判定與性質，30度角直角三角形的性質，勾股定理，等腰三角形的性質，角平分線的定義，三角形面積，熟知相關知識點，正確作出輔助線是解題的關鍵．15．（2025?晉安區(qū)校級模擬）如圖，動點P在等邊△ABC的邊AC（不包括端點）上，，連接PB，AD⊥PB于D，以AD為一邊在AD右側作等邊△ADE，ED的延長線交BC于F，若∠EFC＝45°，則EF＝．【考點】等邊三角形的性質；直角三角形的性質；勾股定理；等腰直角三角形；全等三角形的判定與性質．【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】【分析】分別連接AF，EC，作CG∥BD，交EF的延長線于G，利用等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質得到∠AEC＝∠ADB＝90°，CE＝BD；證明△BDF≌△CGF，則BF＝FC，作CH⊥EF于點H，證明△EHC是等腰直角三角形，利用直角三角形的性質結合勾股定理即可求得結論．【解答】解：如圖，分別連接AF，EC，作CG∥BD，交EF的延長線于G，∵△ABC和△ADE是等邊三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝60°，∠DAE＝60°，∠AED＝60°，∴∠BAD＝∠EAC．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ADB＝∠AEC，BD＝CE，∵AD⊥PB，∴∠ADB＝90°，∴∠AEC＝90°．∵∠AED＝∠ADE＝60°，∴∠CED＝∠PDE＝∠FDB＝∠AEC﹣∠AED＝90°﹣60°＝30°，∵CG∥BD，∴∠G＝∠FDB＝30°，∴∠G＝∠CEG＝30°，∴CG＝CE，∴BD＝CG．在△BDF和△CGF中，，∴△BDF≌△CGF（AAS），∴BF＝FC，∵AB＝AC，∴點F為BC中點，∴AF⊥BC，CF＝BF＝BC＝AB＝（2+2）＝+1，作CH⊥EF于點H，如圖，∵∠EFC＝45°，∴△FHC是等腰直角三角形，∴，∵∠CEH＝30°，∴CE＝2CH＝2×（+）＝+，∴，∴，所以EF的長為．故答案為：．【點評】本題主要考查了等邊三角形的性質，等腰直角三角形，全等三角形的判定與性質，勾股定理，直角三角形的性質，利用全等三角形的判定定理準確找出圖中的全等三角形是解題的關鍵．三．解答題（共5小題）16．（2025?鼓樓區(qū)校級模擬）如圖AB＝AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE與CD相交于點O．求證：AD＝AE．【考點】全等三角形的判定與性質．【專題】三角形；圖形的全等；幾何直觀；推理能力．【答案】證明見解答過程．【分析】根據(jù)CD⊥AB，BE⊥AC得∠AEB＝∠ADC＝90°，進而可依據(jù)“AAS”判定△ABE和△ACD全等，然后根據(jù)全等三角形的性質即可得出結論．【解答】證明：∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，∴∠AEB＝∠ADC＝90°，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（AAS），∴AE＝AD，即AD＝AE．【點評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解決問題的關鍵．17．（2025?汕頭模擬）如圖，四邊形ABCD中，AB＝DC，AB∥DC，E，F(xiàn)是對角線AC上兩點，且AE＝CF．求證：△ABE≌△CDF．【考點】全等三角形的判定與性質；平行四邊形的判定與性質．【專題】線段、角、相交線與平行線；圖形的全等；推理能力．【答案】證明見解析．【分析】由平行線的性質得∠BAE＝∠DCF，再由SAS證明△ABE≌△CDF即可．【解答】證明：∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠DCF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質以及平行線的性質等知識，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．18．（2025?河北模擬）如圖1和圖2，Rt△ABC和Rt△DEF中，∠B＝∠DEF＝90°，AB＝20，BC＝15，DF＝15，DE＝12．點D，E分別在AB，AC邊上滑動，點F在DE的右側，當DF與AC相交時，交點記為P．（1）EF的長為9，EP的最小值為；（2）如圖1，當DP＝12時，請證明AP＝AD；（3）如圖2，①尺規(guī)作圖：過點A做直線DF的垂線AN，垂足為點N（保留作圖痕跡，不寫作圖過程）；②若AM垂直平分DE，求AN的長；（4）直接寫出點A與點F的最大距離．【考點】三角形綜合題．【專題】代數(shù)幾何綜合題；幾何直觀；運算能力；推理能力．【答案】（1）9；；（2）見解析；（3）①見解析；②AN的長為18；（4）．【分析】（1）利用勾股定理求出EF的長，再由垂線段最短得到當EP⊥DF時，EP有最小值，即可解答；（2）先證明△DEF∽△ABC得到∠EDF＝∠BAC，再推出△PDE∽△PAD即可得出結論；（3）①按照要求用尺規(guī)作圖作出直線DF的垂線AN即可；②延長ED交AN延長線于點G，先利用全等三角形AAS判定定理推出△AME≌△AND，得到AM＝AN，再利用△DEF∽△DNG求出MG、NG的長，最后利用△DGN∽△AGM求出AM的長即可；（4）作△ADE的外接圓，記圓心為O，作OP⊥DE交DE于點P，連接OA、OE、OD，利用外接圓的性質及相似三角形的性質求出圓的半徑，再作FH⊥OP交OP延長線于H，連接OF，利用矩形的性質和勾股定理求出OF的長，最后利用兩點之間線段最短性質即可求出點A與點F的最大距離．【解答】（1）解：在Rt△DEF中，由勾股定理得：DE2+EF2＝DF2，∴，∵當DF與AC相交時，交點記為P，∴由垂線段最短得，當EP⊥DF時，EP有最小值，∴此時EP為△DEF的高，∵，∴．故答案為：9；；（2）證明：∵AB＝20，BC＝15，DE＝12，EF＝9，∴，，∴，又∵∠DEF＝∠B＝90°，∴△DEF∽△ABC，∴∠EDF＝∠BAC，又∵∠EPD＝∠DPA，∴△PDE∽△PAD，∴，∴，∵DP＝12，DE＝12，∴DP＝DE，∴，∴AP＝AD．（3）解：①如圖2，垂線AN即為所求；②如圖，延長ED交AN延長線于點G，∵AM垂直平分DE，∴，∠AMD＝90°，AE＝AD，由作圖可得，AN⊥DF，∴∠AND＝90°，∵∠MAN+∠AND+∠MDN+∠AMD＝360°，∴∠MAN+∠MDN＝360°﹣2×90°＝180°，∵∠EDF+∠MDN＝180°，∴∠MAN+∠MDN＝∠EDF+∠MDN，∴∠MAN＝∠EDF，由（2）中的結論有，∠EDF＝∠BAC，∴∠BAC＝∠MAN，即∠EAM+∠MAD＝∠DAN+∠MAD，∴∠EAM＝∠DAN，在△AME和△AND中，，∴△AME≌△AND（AAS），∴AM＝AN，DN＝EM＝6，∵∠DNG＝∠DEF＝90°，∠EDF＝∠NDG，∴△DEF∽△DNG，∴，∴，，∴，∵∠DNG＝∠AMG＝90°，∠DGN＝∠AGM，∴△DGN∽△AGM，∴，即，解得：AM＝18，∴AN＝AM＝18，∴AN的長為18；（4）解：點A與點F的最大距離為．理由如下：作△ADE的外接圓，記圓心為O，作OP⊥DE交DE于點P，連接OA、OE、OD，∵圓O是△ADE的外接圓，∴OA＝OD＝OE，，∵OP⊥DE，∴，OP平分∠DOE，∴，又∵∠OPE＝∠ABC＝90°，∴△OPE∽△ABC，∴，即，解得：OP＝8，在直角三角形OPE中，由勾股定理得：，即圓O的半徑為10，作FH⊥OP交OP延長線于H，連接OF，則∠H＝90°，又∵∠DEF＝90°，∠EPH＝90°，∴四邊形EFHP是矩形，∴FH＝EP＝6，PH＝EF＝9，∴OH＝OP+PH＝8+9＝17，在Rt△OFH中，由勾股定理得：，由兩點之間線段最短性質得，AF≤OA+OF，∴，∴點A與點F的最大距離為．【點評】本題屬于三角形綜合題，考查了相似三角形的性質與判定、尺規(guī)作圖、三角形的外接圓、勾股定理、全等三角形的判定與性質、矩形的判定與性質，熟練掌握以上知識點，學會添加適當?shù)妮o助線構造相似三角形，利用勾股定理求線段長度，利用三角形外接圓的性質求最值是解題的關鍵，本題屬于幾何綜合題，適合幾何知識儲備較強，有能力解決幾何難題的學生．19．（2025?黃石一模）已知：如圖，AD，BC相交于點O，且AD＝BC，∠C＝∠D＝90°．求證：CO＝DO．【考點】全等三角形的判定與性質．【專題】圖形的全等．【答案】見試題解答內容【分析】根據(jù)HL證明Rt△ABC≌Rt△BAD，利用全等三角形的性質證明即可．【解答】證明：∵∠D＝∠C＝90°，∴△ABC和△BAD都是Rt△，在Rt△ABC和Rt△BAD中，，∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），∴∠BAD＝∠A