jffcfw-------

輻二w導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)川

導(dǎo)數(shù)的概念及其意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

［考試要求］

1.通過實(shí)例分析，了解平均變化率、瞬時(shí)變化率.了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景.

2.通過函數(shù)圖象，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

3.了解利用導(dǎo)數(shù)定義，求基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

4.能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)

數(shù).

5.能求簡單的復(fù)合函數(shù)(形如人"+與)的導(dǎo)數(shù).

［走進(jìn)教材?夯實(shí)必礎(chǔ)］回顧如識(shí)?激活技能

◎梳理?必備知識(shí)

1.導(dǎo)數(shù)的概念

(1)如果當(dāng)AxfO時(shí)，平均變化率*無限趨近于一個(gè)確定的值，即討有極

根，則稱y=/(x)在x=xo處可導(dǎo)，并把這個(gè)確定的值叫做)，=於)在x=xo處的曼

Av

數(shù)(也稱為瞬時(shí)變化率),記作，皿或)小=燉,即/'由)=則)-^=lim

J(xo+Ax)—/(XO)

Ax,

(2)當(dāng)x=/o時(shí)，/(燦)是一個(gè)唯一確定的數(shù)，當(dāng)x變化時(shí)，y=/(x)就是工的

函數(shù)，我們稱它為)，=段)的導(dǎo)函數(shù)(簡稱導(dǎo)數(shù))，記為「(幻(或V),B|Jf(x)=y'=lim

AX-0

于(x+Ax)—/(x)

Ax,

提醒：了(工0)代表函數(shù)yw在x=xo處的導(dǎo)數(shù)值；(/Uo))'是函數(shù)值?ro)的導(dǎo)數(shù)，

且(/(回))'=0.

2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)y=/(x)在x=xo處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線y=/(x)在點(diǎn)P*o,/xo))

處的切線的斜率，相應(yīng)的切線方程為y—?o)=/Yw)a—人0).

提醒：求曲線的切線時(shí)，要分清在點(diǎn)P處的切線與過點(diǎn)P的切線的區(qū)別,

前者只有一條，而后者包括了前者.

3.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

於）=c（c為常數(shù)）/W=Q

7U)=K(a￡Q,。/0)f(x)=axa~]

7U)=sinxf(x)=cos_x

/(x)=cosxf'a)=-sin_A-

#/)=,尸3>0,且aW1)f(x)=ax\n_a

Ax)=ef?=el

J(x)=\ogax(a>0f且。W1)/(xfno

/U)=lnx/a)=±

4.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

若了⑴，g'存在，則有

（1）伏犬）土ga）］'=H型3；

（2）［/（%）噌（切'=1&收⑴+"記⑴；

"（X）］r（x）乂（X）（X）0（%）

（“黃d=:…笠（*）工°）；

（4）k/u）y=必a

5.復(fù)合函數(shù)的定義及其導(dǎo)數(shù)

⑴一般地，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y=A〃）和〃=g（x）,如果通過中間變量〃，），可以表

示成x的函數(shù)，那么稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)與〃=g（x）的復(fù)合函數(shù)，記作丁=

⑵復(fù)合函數(shù)），=加（幻）的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=A〃），〃=g（x）的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為必

=vi?〃'入,即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積.

［常用結(jié)論］

函數(shù)），=/&）的導(dǎo)數(shù)一）反映了函數(shù)於）的舞時(shí)變化趨勢(shì)，其正負(fù)號(hào)反映了變

化的方向，其大小ira）i反映了變化的快慢，ir（初越大，曲線在這點(diǎn)處的切線越

“陡”.

2

◎激活?基本技能

一、易錯(cuò)易誤辨析(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”)

(1Wo)是函數(shù)y=/&)在x=xo附近的平均變化率.()

(2)求/(xo)時(shí)，可先求外0),再求/(xo).

()

(3)與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線一定是曲線的切線.()

(4)函數(shù)y(x)=sin(—x)的導(dǎo)數(shù)是(x)=cosx.()

[答案](1)X(2)X(3)X(4)X

二、教材習(xí)題衍生

1.某跳水運(yùn)動(dòng)員離開跳板后，他達(dá)到的高度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式是〃")=

1()-4.9尸+8](距離單位：米，時(shí)間單位：秒)，則他在().5秒時(shí)的瞬時(shí)速度為()

A.9.1米/秒B.6.75米/秒

C.3.1米/秒D.2.75米/秒

C[/?")=一9.8-8,

：.hr(0.5)=-9.8X0.5+8=3.1.1

2.已知函數(shù)兀0的圖象如圖，，(X)是/u)的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確

的是()

A.0</(2)</(3)<7(3)-/2)

B.0</(3)</(2)</3)-/2)

C.0</(3)</3)-/(2)</(2)

D.0</3)-/2)</(2)</(3)

C［由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，0V/(3)vy(3)-A2)V，(2),故選C.］

3.若)，=ln(2x+5),則)/=.

2v'2

年［令。=公+5,則看/年」

4.函數(shù)代￥)=。'+=在x=l處的切線方程為.

3

y=(e—l)x+2|/(x)=e'—"，

"(l)=e-l,

又人l)=e+l,

，切點(diǎn)為(1,e+1),切線斜率女=/(l)=e—1,

即切線方程為y-(e+l)=(e-l)(A—1),

即y=(e—l)x+2.］

［細(xì)研考點(diǎn)?突破題型］重難解惑■直擊高考

□考點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算梅組通關(guān)

1.設(shè)/(x)是函數(shù)式此=竽+工的導(dǎo)函數(shù)，則/(0)的值為

C

(—sinx)e'-cosx?e'

01

\fM=(ev)2

—sinx-cosx,

=+1，

：.f(0)=-1+1=0.]

2.若函數(shù)兀￥)=呼,+111(x+1),/(0)=4,則〃=

3[/'。)=優(yōu)依+七，：.f(0)=〃+|=4,

人I1

/.t7=3.]

3.己知函數(shù)yu)的導(dǎo)函數(shù)為/。)，人幻=*-3劃，(1),則yu)=

-1「??/&)=2^-3M(1),

：.f。)=4%—"⑴,將x=l代入，

得/(1)=4-3/(1),得/(1)=1.

2

.\fix)=2x—3xf

?"U)=T.]

4.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

(l)y—^sinx；

(2)y=lnx+p

(3)y=xsin(2x+：)cos(2x+\；

4

(4M.r)=^/2r+l.

［解］(1))/=(x2)5nx+M(sinx)f

=2xsinx+.&os尤

(2)y=(lnx+1)=(ln%)'+(?=”

(3)Vj=xsin(2x+］)cos(2x+目

=5sin(4x+兀)=一5sin4x,

二)/=一；sin4x-^x-4cos4.r=-^sin4x-2/cos4x.

②+D'

_1_42x+l

=V^+T=〃+i,

令反思領(lǐng)悟?qū)?shù)的運(yùn)算方法

(1)乘積形式：先展開化為多項(xiàng)式的形式，再求導(dǎo)或利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求

解(乘積形式).

(2)分式形式：觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，先化為整式函數(shù)或較為簡單的分式函

數(shù)，再求導(dǎo).

(3)指數(shù)或?qū)?shù)形式：先化為和或差的形式，再求導(dǎo).

(4)根式形式：先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)暴的形式，再求導(dǎo).

(5)三角形式：先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求導(dǎo).

""U考點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)的幾何意義修維保究

＞考向1導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象

［典例1—1］已知函數(shù)y=?x)的圖象是下列四個(gè)圖象之一，且其導(dǎo)函數(shù))，=

AB

5

CD

B［由)，=/(x)的圖象是先上升后下降可知，函數(shù)y=/(幻圖象的切線的斜率

先增大后減小，故選B.］

，考向2求切線方程

9r-1

［典例1一2］(1)(2021?全國甲卷)曲線)，=—在點(diǎn)(一1,一3)處的切線方程

I4

為.

［真題衍生1

若直線x—2y+c=()是函數(shù)府)的圖象的一條切線，則函數(shù)/㈤不可能是

()

A.於)一廿B.於)二/

C.火x)=sinxD./＜力=:

D［直線x—2y+c=0的斜率為k=；.

由yU)=e'的導(dǎo)數(shù)為，(1)=6\而e'=g,解得?x=-ln2,故A不滿足題意；

由j{x)=x4的導(dǎo)數(shù)為/(x)=4x3,而4X3=T,解得x=故B不滿足題意；

由7U)=sinx的導(dǎo)數(shù)為/(x)=cosx,而cos有解，故C不滿足題意；

由/u)=:的導(dǎo)數(shù)為/(x)=-A,即所有切線的斜率均小于。，故D滿足題

意.故選D.］

(2)已知函數(shù)/(x)=xInx,若直線/過點(diǎn)(0,—1),并且與曲線)，=/(外相切，

則直線/的方程為.

2(x+2)—(2t—1)

⑴y=5x+2⑵工一廠1=0[(1)/=

-G+2)2-

(；)2,所以)％=t=(_］；o)2=5,所以切線方程為y+3=5。+1),即)

=5x+2.

(2).??點(diǎn)(0,-1)不在曲線/(x)=xlnx上,

6

?,.設(shè)切點(diǎn)為(X0,沖).又??了㈤=l+lnx,

???直線/的方程為y+1=(1+Inxo)x.

yo=xolnxo,xo=1,

由“解得，

yo+1=(1+lnxo)xo,,州=()?

?,?直線/的方程為y=x—1,即x—y—1=0.］

，考向3求參數(shù)的值(范圍)

［典例1-3］若曲線./U)=xlnx+2〃?上點(diǎn)P處的切線方程為/一)，=0.

(1)求實(shí)數(shù)〃，的值；

(2)若過點(diǎn)Q(1,。存在兩條直線與曲線y=/U)相切，求實(shí)數(shù)，的取值范圍.

［解］(1)設(shè)點(diǎn)—坐標(biāo)為(〃,n).J(x)=xInx+2m的導(dǎo)數(shù)為f(x)=1+Inx,點(diǎn)P(n,

〃)處的切線斜率為1+ln〃=1,可得〃=1,即切點(diǎn)為(1,1),則1=2"?,解得加

=1

~2'

(2)J(x)=xInx+1.

設(shè)切點(diǎn)為(小。)，則切線的斜率為/(〃)=l+ln〃，即有切線的方程為In

w—l=(l+lnu)(x—u).

代入點(diǎn)Q(l,。，

即有t-uInu—1=(1+lnw)(l—M).

即為L2=ln〃一”在(0,+8)上有兩實(shí)數(shù)解，記g(〃)=ln〃一〃，導(dǎo)數(shù)為g\u)

=--1.

當(dāng)?>1時(shí),g(〃)單調(diào)遞減,當(dāng)0<?<1時(shí)，g(〃)單調(diào)遞增,可得當(dāng)u=\時(shí)，取

得最大值g(l)=-1,即有f—2<—1,解得f<l.

故實(shí)數(shù)7的取值范圍為(一8,1).

〉考向4兩曲線的公切線問題

［典例1—4］若直線是曲線丁=ln工+2的切線，也是曲線y=ln(x

+1)的切線，則b=.

1—In2［設(shè)y=h+b與y=\nx+2和y=ln(x+1)的切點(diǎn)分別為(xi,Inx\

In3+1)).則切線方程分別為y—Inxi—2=5(x—.口),

+2)和。2,y—In(12+1)=

Jrr(x—x2)，化簡得)，=5x+inK+i,產(chǎn)一式r+ins+D，依題意,

7

F_1

XIJV2+1'

X2

lnxi+l=In（也+1）,

X2+I

解得X2=-2?

從而/7=lnxi+l=l-ln2.]

~"w反思領(lǐng)悟與曲線切線有關(guān)問題的求解策略

(1)處理與切線有關(guān)的參數(shù)問題，關(guān)鍵是根據(jù)曲線、切線、切點(diǎn)的三個(gè)關(guān)系

列出參數(shù)的方程：

①切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率；②切點(diǎn)在切線上；③切點(diǎn)在曲線上.

(2)注意區(qū)分“在點(diǎn)尸處的切線”與“過點(diǎn)尸處的切線”：在“點(diǎn)P處的切

線”，說明點(diǎn)尸為切點(diǎn)，點(diǎn)P既在曲線上，又在切線上；“過點(diǎn)P處的切線”，

說明點(diǎn)P不一定是切點(diǎn)，點(diǎn)P一定在切線上，不一定在曲線上.

(3)同時(shí)和曲線y=fix).)，=g(x)都相切的直線稱為兩曲線的公共切線.設(shè)直

線與曲線y=/U)切于(不，#?)),與曲線y=g(x)切于(X2,g(x2)),則切線方程為y

即丁=/(?就+411)一「(")制，同理y=g'a2)x+g(X2)—g'Q2)X2.

f(XI)=g'(X2),

所以;、；,、，、，/、解出.，X2,從而可得切線方

\J(XI)—f(XI)XI=g(X2)-g(X2)X2，

程.由此可知兩曲線公切線的條數(shù)即為上述方程組解的個(gè)數(shù).

[跟進(jìn)訓(xùn)練]

⑴己知y=/Cr)是可導(dǎo)函數(shù)，如圖，直線尸上x+2是曲線y=/&)在工=3處的

切線，令四)=燈2,屋㈤是雙幻的導(dǎo)函數(shù)，則/(3)=.

(2)若函數(shù)段)=lnx+2x2-^的圖象上存在與直線2x—?=0平行的切線，

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

(3)已知yU)=eYe為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，g(x)=lnx+2,直線/是兀丫)與g(x)的

公切線，則直線/的方程為.

(1)()(2)[2,+8)(3?=ex或)，=x+l[⑴由題圖可知曲線)，=人工)在1=

8

3處切線的斜率等于一斗：.f(3)=-1.

f

g(x)=xf(x)f：.g(x)=flx)+xf(x)f

???g‘(3)=?+牙(3),

又由題圖可知人3)=1,

"(3)=1+3X[T)=0.

(2)直線2x-y=0的斜率k=2,

又曲線y(x)上存在與直線2%—)*=()平行的切淺，

：.f(幻=1+4工一。=2在(0,+8)內(nèi)有解，

?A

則

r/=4x4X---2,,r>0.

又/4x--=4,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”.

A\lXZ

???心4-2=2.

???實(shí)數(shù)。的取值范圍是[2,4-oo).

(3)設(shè)I與危)=鏟的切點(diǎn)為(xi,eri),與g(x)=lnx+2的切點(diǎn)為(九2,In12+

2).

因?yàn)?(x)=e,/(<)=1,

所以/:y=ex\?X-Xi?e^i+e.n

y=~?x+ln%2+1.

1

exi=—，

???X2

.(1—xi)exi=lnX2+1,

_八fxi=1,

xi=0,

解得?或1

lX2=h

切線方程為y=x+1或》=&￥.]

9

導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用

第1課時(shí)函數(shù)的單調(diào)性

I考試要求］

1.結(jié)合實(shí)例，借助幾何直觀了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.

2.能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（其中多項(xiàng)式函數(shù)一般

不超過三次）.

［走進(jìn)教材?夯實(shí)應(yīng)礎(chǔ)］回顧加識(shí)?激活技能

◎梳理?必備知識(shí)

函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

條件結(jié)論

f(x)>0兀0在（a,〃上雅調(diào)遞增

函數(shù)y=/U）在

/(x)<0於）在m，〃上單調(diào)遞減

區(qū)間m，6）上可導(dǎo)

f(x)=0人幻在m，〃內(nèi)是常數(shù)函數(shù)

提醒：討論函數(shù)的單調(diào)性或求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的實(shí)質(zhì)是解不等式，求解時(shí)，

要堅(jiān)持“定義域優(yōu)先”原則.

［常用結(jié)論］

1.在某區(qū)間內(nèi)八力＞。（/（幻vo）是函數(shù)yu）在此區(qū)間上為增（減）函數(shù)的充合丕

必要條件.

2.可導(dǎo)函數(shù)/U）在（。，6）上是增（減）函數(shù)的充要條件是對(duì)丫工且也,也）,…都有

f（x）》O（gr）WO）且尸（x）在S,加上的任何子區(qū)間內(nèi)都不恒為零.

?激活-基本技能

一、易錯(cuò)易誤辨析（正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”）

（1）如果函數(shù)/U）在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有/（%）=（）,則犬工）在此區(qū)間內(nèi)沒有單調(diào)性.

（）

（2）在（歷與內(nèi)/a）或。且/a）=o的根有有限個(gè)，則人幻在m，份內(nèi)單調(diào)遞減.

（）

（3）若函數(shù)7U）在定義域上都有/（x）＞0,則7U）在定義域上一定單調(diào)遞增.

10

)

(4)函數(shù)7U)=x—sinx在R上是增函數(shù).

()

［答案］(1)V(2)J⑶X(4)V

二、教材習(xí)題衍生

1.如圖是函數(shù)y=/U)的導(dǎo)函數(shù))，=〃幻的圖象，則下面判斷正確的是()

A.在區(qū)間(一3,1)上加)是增函數(shù)

B.在區(qū)間(1,3)上兀0是減函數(shù)

C.在區(qū)間(4,5)上7U)是增函數(shù)

D.在區(qū)間(3,5)上./U)是增函數(shù)

C［由圖象可知，當(dāng)x￡(4,5)時(shí)，，(x)>0,故/U)在(4,5)上是增函數(shù).］

2.函數(shù)*x)=cosx—x在(0,兀)上的單調(diào)性是()

A.先增后減B.先減后增

C.增函數(shù)D.減函數(shù)

D［因?yàn)?(x)=—sinx—lV0在(()，兀)上恒成立，

所以/U)在(0，兀)上是減函數(shù)，故選D.］

3.函數(shù)兀0=X一Inx的單調(diào)遞減區(qū)間為.

(0,1)［函數(shù)/U)的定義域?yàn)閧.很>0},由/(無)=1一1V0,得0<xVl,

所以函數(shù)火X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1).］

4.已知人用二%3-or在［1,+8)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的最大值是.

1

3［f(x)=3x—a^0f即

又因?yàn)閤￡［l,+?>),所以aW3,

即。的最大值是3」

［細(xì)研考點(diǎn)?突破題型］重難解惑?直擊高考

□考點(diǎn)一不含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性悔組通關(guān)

1.函數(shù)人］)=『一21nx的遞減區(qū)間是()

A.(0,1)B.(1,+8)c.(-8,］)D.(一1,1)

11

22Cr+1)a-l)

[V/(x)=2xx=xQ>0),

???當(dāng)x￡(0,1)時(shí)，ff(x)<0,/)為減函數(shù);

當(dāng)X0(1,+8)時(shí)，f(x)>0,./U)為增函數(shù).故選A.］

2.函數(shù)火1)=。一3貯的遞增區(qū)間是()

A.(一8,2)B.(0,3)

C.(1,4)D.(2,+8)

D［f(x)=(x-3)V+(x-3)(e》=(x-2)ev,

令了a)>o,解得x>2,故選D」

3.已知定義在區(qū)間(0,兀)上的函數(shù)?x)=x+2cosX,則7U)的單調(diào)遞增區(qū)間

為.

(。，如借")\f(x)=1—2sinx,x￡(0,兀)，

令/a)=o,得1=看或產(chǎn)"，

當(dāng)0<Y時(shí),f(x)>0,

當(dāng)*VxV器時(shí)，f(x)<0,

當(dāng)時(shí)，f(x)>0,

.7/)在(o,部口修兀)上單調(diào)遞增，在京引上單調(diào)遞減.］

~~令反思騙悟利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟

第1步，確定函數(shù)的定義域；

第2步，求出導(dǎo)數(shù)/(x)的零點(diǎn)；

第3步,用/(.v)的零點(diǎn)將人力的定義域劃分為若干個(gè)區(qū)間，判斷了(X)在各區(qū)

間上的正負(fù)，由此得出函數(shù))，=/5)在定義域內(nèi)的單調(diào)性.

?？键c(diǎn)二含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性《師生共研

［典例1］已知函數(shù)/COngar2—(〃+l)x+lnX,試討論函數(shù)y=#x)的單

調(diào)性.

［解］函數(shù)的定義域?yàn)?0,+8),

12

1ax1—(。+1)x+1

f(x)=ar—(〃+l)T

xx

{ax-1)(x—1)

x

①當(dāng)0<〃vl時(shí)，%,

???x￡(0,1)和g+°°}H+,f(x)>0；

x￡(l,J)時(shí)，f(x)<0,

，函數(shù)次x)在(0,1)和&+8)上單調(diào)遞增，

在(1,5)上單調(diào)遞減；

②當(dāng)。=1時(shí)，；=1,

：.f(x)N0在(0,+8)上恒成立，

???函數(shù)/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

③當(dāng)a>\時(shí)，o2〈l,

Cl

.?.x￡((),0和(1,+8)時(shí)，ff(x)>0;

i)時(shí),ra)<o,

???函數(shù)7U)在(o,0和(1,+8)上單調(diào)遞增，

在&1)上單調(diào)遞減.

綜上，當(dāng)0<〃<1時(shí)，函數(shù)人幻在(()，1)和(十,+8)上單調(diào)遞增，在(1,J)上

單調(diào)遞減；

當(dāng)〃=1時(shí)，函數(shù)/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)公>1時(shí)，函數(shù)/(X)在(0,0和(1，+8)上單調(diào)遞增，在(：，I)上單調(diào)遞減.

［母題變遷］

若將本例中參數(shù)。的范圍改為。WR,其他條件不變，試討論/(x)的單調(diào)性.

13

［解］當(dāng)a>0時(shí)，討論同例題解析；

當(dāng)時(shí)，ax^1<0,

Axe(o,1)時(shí)，f(x)>0：%e(i,+8)時(shí)，f(x)<o,

，函數(shù)人x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減.

綜上，當(dāng)aWO時(shí)，函數(shù)兀丫)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減；

當(dāng)0<4<1時(shí)，函數(shù)?￥)在(0,1)和(｝，+8)上單調(diào)遞增，在(1,J)上率調(diào)遞

減；

當(dāng)。=1時(shí)，函數(shù)?x)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)心1時(shí)，函數(shù)段)在(。，0和(1,+8)上單調(diào)遞增，在$1)上單調(diào)遞減.

金反思領(lǐng)悟?qū)τ诤瑓?shù)的函數(shù)的單調(diào)性，常見的分類討論點(diǎn)按討論的先后

順序有以下三個(gè)：

分類討論點(diǎn)1：求導(dǎo)后，考慮/(幻=0是否有實(shí)數(shù)根，從而引起分類討論；

分類討論點(diǎn)2：求導(dǎo)后，/0)=0有實(shí)數(shù)根，但不清楚/(工)=0的實(shí)數(shù)根

是否落在定義域內(nèi)，從而引起分類討論；

分類討論點(diǎn)3：求導(dǎo)后，/。)=0有實(shí)數(shù)根，/。)=0的實(shí)數(shù)根也落在定義

域內(nèi)，但不清楚這些實(shí)數(shù)根的大小關(guān)系，從而引起分類討論.

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

1.(2021?新高考II卷節(jié)選)已知函數(shù)/(x)=(九一De'一加+b,討論函數(shù)J(x)

的單調(diào)性.

［解］J\x)=xev—lax=x(ev—2tz),

①當(dāng)時(shí)，令/a)=o，=o,

且當(dāng)xVO時(shí)，(x)<0,/(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x>0時(shí)，(x)>0,,/U)單調(diào)遞增；

②當(dāng)OVaV：時(shí)，令［a)=0=>K=0,x2=\n2a<0,

且當(dāng)xVln2〃時(shí)，f(x)>0,?r)單調(diào)遞增，當(dāng)ln2〃VxV0時(shí)，f(x)<0,

單調(diào)遞減；

當(dāng)火>o時(shí)，r(幻>0,./U)單調(diào)遞增：

14

③當(dāng)。=2時(shí)，，㈤=/?-1)20,人犬)在R上單調(diào)遞增；

④當(dāng)。時(shí)，令/(X)=O=JVI=O,X2=ln2a>0,

且當(dāng)xvo時(shí)，f(x)>o,y(x)單調(diào)遞增：

當(dāng)OVxVln2a時(shí)，f(x)<0,/(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x>ln2〃時(shí)，f(x)>0,共幻單調(diào)遞增.

□考點(diǎn)三根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的值(范圍H師生共研

［典例2］若函數(shù))*)=如—以2+1在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)。的取

值范圍.m>百3

［四字解題］

讀想算思

函數(shù)的最值分離變量

J0)在［1,2］上單調(diào)/”)W0對(duì)\/問1,/(1)W0,

<數(shù)形結(jié)合

遞減2］恒成立/(2)W0,

解不等式/a)〈o子集思想

［解］法一(分離變量法)：

f(x)=3.F—2QX.

由於)在［1,2］上單調(diào)遞減知了(x)WO,

即3f—2"W0在［1,2］上恒成立,

即心會(huì)在［1,2］上恒成立.

故只需心閡max

故。23.

所以。的取值范圍是［3,+8).

法二(數(shù)形結(jié)合法)：

f(x)=3/一2QX.

由於)在［1,2］上單調(diào)遞減知了(x)WO對(duì)x￡［l,2］恒成立.

［/(1)=3—2慮0,

所以L/、一解得。23.

［ff(2)=12-46/^0,

所以〃的取值范圍是［3,4-oo).

15

法三（集合關(guān)系法）：

f（x）=3,F—2數(shù).

當(dāng)。=（）時(shí)，/'。）20,故y=/U）在（-8,+8）上單調(diào)遞增，與）,="）在

區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞減不符，舍去.

當(dāng)。＜0時(shí)，由/&）W0,得予WxWO,即./U）的單調(diào)遞減區(qū)間為［|〃，0,與

凡r）在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞減不符，舍去.

2「2一

當(dāng)心0時(shí)，由/（x）WO得OWxWga,即凡1）的單調(diào)遞減區(qū)間為0,貴.

2

由風(fēng)不在［1,2］上單調(diào)遞減得予?22,得。23.

綜上可知，4的取值范圍是［3,+°°）.

"令反思領(lǐng)悟利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)取值范圍的兩類熱點(diǎn)問題的處理方法~~

（1）函數(shù)、/U）在區(qū)間。上存在單調(diào)遞增（減）區(qū)間.

方法一：轉(zhuǎn)化為了a）＞o（vo）在區(qū)間。上有解”；

方法二：轉(zhuǎn)化為“存在區(qū)間。的一個(gè)子區(qū)間使/a）＞o（或了“）＜o(jì)）成立”.

（2）函數(shù)7U）在區(qū)間。上單調(diào)遞增（減）.

方法一：轉(zhuǎn)化為“/a）》o（wo）在區(qū)間。上恒成立”；

方法二：轉(zhuǎn)化為“區(qū)間。是函數(shù)兀勵(lì)的單調(diào)遞增（減）區(qū)間的子集”.

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

2.⑴已知函數(shù)./O）=2cosx〃〃一sin戈）一3x在（一8,十8）上單調(diào)遞減，則實(shí)

數(shù)〃?的取值范圍是（）

r1r

A.［-1,1］B.—2?2

c.-1,￡|D.（一g,鄉(xiāng)

（2）已知函數(shù)7U）=V—日在（一3,1）上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范闈

是________.冊(cè)

（1）B（2）（0,27）［（1=-2sinx（m—sinx）+2cosx《一cos幻一3.因?yàn)?（x）

在（一8,十8）上單調(diào)遞減，所以/（x）W（）恒成立，整理得4sin“-2〃?sinx—5W0.

設(shè)sin犬=/（-1WW1）,則不等式以。=4尸一2〃”一5W0在區(qū)間［―1,1］上恒成

16

h(-1)=4+2〃2—5W0,

立.于是有</、一

g⑴=4—2〃L5W(),

rv_i

"'5'rii-i

即j故實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是一2,].故選B.

-5.

(2)法一(間接法)：若於)=??一日在(-3,1)上是單調(diào)遞增函數(shù)，則/(幻=3『

—Z20在(-3,1)上恒成立，

即左W31在(一3,1)上恒成立，故女W0.

若/U)=V一履在(-3,1)上是單調(diào)遞減函數(shù)，則/(x)=3f—ZWO在(-3,

1)上恒成立，

即Z23『在(一3,1)上恒成立，故攵227.

所以當(dāng)函數(shù)人幻=/一日在(一3,1)上是單調(diào)函數(shù)時(shí)，實(shí)數(shù)攵的取值范圍是

ZWO或Z227,

當(dāng)函數(shù)一履在(-3,1)上不是單調(diào)函數(shù)時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值范圍是

0*27.

法二(直接法)：由奇函數(shù)於)=9一履得/(x)=3/一k.當(dāng)ZW0時(shí)，(x)=3f

要滿足函數(shù)於)=.F—丘在(一3,1)上不是單調(diào)函數(shù)，由對(duì)稱性得，一^\ly>

-3,所以％<27.

綜上所述，實(shí)數(shù)Z的取值范圍是(0,27).]

□考點(diǎn)四函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，多維東究

，考向1比較大小

[典例3-1J⑴已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)》=段)的導(dǎo)函數(shù)為y=/(x),當(dāng)x

17

u.~?/(e)f(In2)/(-3)

>0時(shí)，xf(x)-/U)V0,若a=~~~,b——而i一,c————，貝M1IJ〃，b,

c的大小關(guān)系正確的是()

A.a<h<cB.h<c<a

C.a<c<bD.c<a<b

⑵已知函數(shù)y=./U)對(duì)于任意的龍￡(0,目滿足/(x)?cosx+/(x)sinx=l+lnx,

其中了(x)是函數(shù)7U)的導(dǎo)函數(shù)，則下列不等式成立的是()

A.物倒停)B.物倒〉北)

C.物。>折5D.巾f§)>/倒

(1)D(2)B[(1)設(shè)苧"，則g'(x)X(幻7G),當(dāng)x>0時(shí)，

xf(x)-^x)<0,則g\x)=Xf(V)Cv)<0,

?*v

即函數(shù)g(x)在x￡(0,+8)時(shí)為減函數(shù).

由函數(shù))，=/3)為奇函數(shù)知"一3)=-#3),則c」_；」a.

1/(e)、,f(In2)…f(3)、

?4=--=g(e)，b=-j^2-=g(ln2),c=~=g(3),

且3>e>ln2,.?.g(3)Vg(e)Vg(ln2),

即cVaV/2,故選D.

(2)設(shè)g(x)=1,則

f(x)cosx+/(x)sinx1+lnxxco,g.

cos2^—cos2x

令g'(x)=0得X=；，當(dāng)x￡(0，時(shí)，g'(x)vo,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)習(xí)時(shí)，g'(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增.

..7t717T

?：戶尸尸？

，蜀〈劇Vg

18

周

福

-/

正>

即>

PT

22

故選B.l

，考向2解不等式

[典例3—2](1)(2021?沈陽模擬)已知函數(shù)用)的定義域?yàn)镽,八-1)=2,且

對(duì)任意x￡R，f(x)>2,則/U)>2x+4的解集為()

A.(-1,1)B.(-1,+8)

C.(—8,—1)D.(—8,+8)

(2)已知函數(shù)段)=/—Zr+e*—白,其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).若貝1)+或2片)

W0,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是________.

(1)B(21一1,|[(1)由./U)>2t+4,得加:)一21一4>0.設(shè)/(X)=/(犬)一1￥

-4,則廣(幻=/(幻一2.因?yàn)?。)>2,所以F(x)>0在R上恒成立，所以尸⑶在

R上單調(diào)遞增.又F(—1)=人一1)-2X(-1)—4=2+2—4=0,故不等式九丫)一

2r-4>0等價(jià)于F(x)>尸(-1),所以工〉一1,故選B.

(2)因?yàn)镴(~x)=—^+級(jí)+^—e'=—/(X),所以函數(shù)/U)是奇函數(shù).因?yàn)?(%)

=3f—2+e'+er，3f—2+2#*?-0,所以函數(shù)41)在R上單調(diào)遞增.

又l)+/(2.2)W0,所以一〃)，所以2Q2W1—〃，即24+〃一

1W0,解得一iWaW1

乙

故實(shí)數(shù)。的取值范圍為一1,I.]

令反思領(lǐng)悟

利用導(dǎo)數(shù)比較大小或解不等式的常用技巧

利用題目條件，構(gòu)造輔助函數(shù)，把比較大小或求解不等式的問題轉(zhuǎn)化為先利

用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題，再由單調(diào)性比較大小或解不等式.

常見構(gòu)造的輔助函數(shù)形式有：

(1)/5)>g(x)f尸(萬=/*)-g(x)；

19

(2)9(x)+段)一[確打丫；

17(x)1

(3)9(#—/U)-J——'；

?V

(4獷(x)+7U)f[eyU)]';

““17(工)I

(5?。)一兀尸卜門.

[跟進(jìn)訓(xùn)練]

3.⑴已知函數(shù)兀i)(x￡R)滿足川)=1,府)的導(dǎo)數(shù)/Q)V；,則不等式/那)

的解集為.

(2)設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)/W滿足則不等式1”)勺(2x-1)的解集

為.

(1)卜僅>1或xV—1}(2)(1,+8)[(1)設(shè)"x)=/(x)—上,所以k(x)=/(x)

1

2-

因?yàn)閒Mv*所以尸(幻=fM-1<0,

乙乙

即函數(shù)尸(外在R上單調(diào)遞減.

因?yàn)榇蟀?)=1，

X21

所以K^—5V/u)一,

所以產(chǎn)(/)〈尸(1),所以解得人>1或xV-l.

⑵設(shè)尸(的=*，則尸,(/(，丁「

?"'(x)》U)，，尸(x)>0，即函數(shù)網(wǎng)外在定義域上單調(diào)遞增.

Ve'-,/(x)</(2x-l),管P，即尸(x)vF(2x—l),

：.x<2x-1,即Ql,???不等式匕「玄外勺(2x-l)的解集為(1,+8).]

技法戰(zhàn)高考

3.構(gòu)建模型求解危)與/(工)

20

共存的不等式問題

以抽象函數(shù)為背景，題設(shè)條件或所求結(jié)論中具有“外)土g(x),K0g(x)，

f(E)

SL7V”等特征式，解答這類問題的有效策略是將前述式子的外形結(jié)構(gòu)特征與導(dǎo)

數(shù)運(yùn)算法則結(jié)合起來，合理構(gòu)造出相關(guān)的可導(dǎo)函數(shù)，然后利用該函數(shù)的性質(zhì)解決

問題.

>模型1/a)g(?號(hào)u)g'a)型

[典例4](1)(2021.泰安模擬)設(shè)/(x)是奇函數(shù)/U)(x￡R)的導(dǎo)函數(shù),/(-1)=0,

當(dāng)心>0時(shí)，M。)一/(.。<0,則使得火幻>0成立的工的取值范圍是()

A.(-8,-1)U(O,1)B.(-1,0)U(l,4-oo)

C.(-8,-1)U(-1,0)D.(0,1)U(1,+8)

(2)設(shè)/U),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，/(x)g(x)

+_/U)g'Q)>0,且g(-3)=0,則不等式式x)g(x)<0的解集是.

.「(x).

(1)A(2)(-co,-3)u(0,3)[⑴令g(x)=1——,則g'Q)=

xf(x)-f(x)

由題意知，當(dāng)x>0時(shí)，(x)<0,??.g(x)在(0,+8)上是減函數(shù).

??VU)是奇函數(shù)，/-1)=0,

.,./i)=-X-D=o,

f(1)

???g⑴=J^=()，

???當(dāng)\￡(0,1)時(shí)，g(x)>0,從而段)>0;

當(dāng)工￡(1,+8)時(shí)，飄幻<0,從而“r)<0.

又；/U)是奇函數(shù)，

???當(dāng)?￡(-8,-1)時(shí)，段)>0；

當(dāng)不￡(-1,0)時(shí)，

綜上，所求x的取值范圍是(一8,-1)U(O,1).

(2)借助導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，[。皿⑴+加力。)〉。㈡[/u)ga)r>o,所以函數(shù)》

=yix)g(x)在(一8，0)上單調(diào)遞增.又由題意知函數(shù)y=/(x)g(x)為奇函數(shù)，所以其

圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且過點(diǎn)(一3,0),(0,0),(3,0).數(shù)形結(jié)合可求得不等式加)ga)vO

21

的解集是(一8,-3)U((),3).]

令素養(yǎng)提能⑴對(duì)于不等式/(工)±以?>0(或V0),構(gòu)造函數(shù)F(M=O0±g(?；-

特別地，對(duì)于不等式/(X)>歐或<攵)(%=0),構(gòu)造函數(shù)尸(工)=/(1)一心.

(2)對(duì)于不等式/。力⑴+yu)g，a)>o(或<o),構(gòu)造函數(shù)尸⑴=/a)ga)；

(3)對(duì)于不等式/(?趴幻一/(九)/(幻>0(或v()),構(gòu)造函數(shù)2幻=jb(g(x)W0).

丁模型2切(犬)士班>)型

[典例5](1)已知偶函數(shù)兀取九#0)的導(dǎo)函數(shù)為/(x),且滿足|-1)=0,當(dāng)工

〉()時(shí)，2/(%)則使得yu)>()成立的x的取值范圍是_______.

(2)設(shè)/")是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)xV()時(shí)，JW+，da)V。，且/(-4)=0,

則不等式狀外>。的解集為.

(1)(-1,0)U(0,1)(2)(—8,-4)U(0,4)[(1)

構(gòu)造尸(x)J.),

則F(x)~

當(dāng)x>()時(shí)，xf(x)-2/(x)<(),可以推出當(dāng)心>()時(shí)，F(xiàn)'(x)<(),P(x)在(()，

+8)上單調(diào)遞減.?.?火幻為偶函數(shù)，),=?為偶函數(shù)，,?.p(x)為偶函數(shù)，??.尸(幻在(一

8,0)上單調(diào)遞增.根據(jù)八-1)=0可得尸(-1)=0,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性

可得函數(shù)圖象如圖所示，根據(jù)圖象可知/)>0的解集為(-1,0)U(0,1).

(2)構(gòu)造尸(不)=狀加，則尸(工)=?￥)+0X幻，當(dāng)xvo時(shí)，y(x)+MXv)vo,可以

推出當(dāng)XV0時(shí)，F(xiàn)’(A)<0,

???尸(工)在(一8,0)上單調(diào)遞減.???犬幻為偶函數(shù)，X為奇函數(shù)，

???「(?為奇函數(shù)，；.2(工)在(0,+8)上也單調(diào)遞減.根據(jù)火一4)=0可得網(wǎng)一

4)=0,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性可得函數(shù)圖象如圖所示，根據(jù)圖象可知獷㈤

>0的解集為(一8,-4)U(0,4).1

22

ll

令素養(yǎng)提能⑴對(duì)于不等式磯T)+〃(X)>0(或〈0),構(gòu)造函數(shù)F(x)=xJ(x)］

f(x)

(2)對(duì)于不等式久了⑴一哦丫)>0(或<0),構(gòu)造函數(shù)FU)————.

人

下模型3/。)+0+)型

［典例6］(2021?海南省一模)已知函數(shù)式工)的導(dǎo)函數(shù)為/(x),且對(duì)任意x￡R,

f⑴一/U)V(),/2)=e2,若々)Ve。則，的取值范圍為()

A.(0,2)B.(2,一8)

C.(0,e2)D.(e2,4-^)

f(/)f(o)

B［構(gòu)造函數(shù)g⑺=/一―1,則g(2)=以廿一1=0.

???/")=/⑺J⑺<0,???函數(shù)8⑺在R上單調(diào)遞減，

ZAD<eSA2-^-KO,口弋?l7g(2),即g(/)〈g(2),：.t>2,故

選BJ

令素養(yǎng)提能⑴對(duì)于不等式/(x)+Mx)>0(或〈0),構(gòu)造函數(shù)底幻=e/x)；

f(犬)

(2)對(duì)于不等式/(x)—/次x)>0(或<0),構(gòu)造函數(shù)F(x)=,.

utL

，模型4/(x)、貝幻與sinx,cosx的組合型

［典例7］(2021?重慶模擬)若函數(shù)?r)的導(dǎo)函數(shù)為，(力,對(duì)任意x￡(—兀，0),

/(x)sinx勺(x)cosX恒成立，貝心)

A.物(一髀(-T)

B/(-等舊局

心我(一引4(-竽)

DJ(一普卜H-平)

C［因?yàn)閷?duì)任意xe(-7i,0),f(x)sinA<AA:)COSX恒成立，即對(duì)任意

x￡(一兀，0),/(x)sinx—J(x)cosx<0恒成立，

又(一兀，0)時(shí)，sinxvO,

23

f(x)sinx-f(x)cosx

所以-----<0,

sin-x

所以在（一加0）上單調(diào)遞減,

:然聽/（爺心引

571

因?yàn)椋家欢。?7~~-7~~rr

6山(由sin(d

sin|

即崢,綽