2024—2025學(xué)年（上）高三年級第一次模擬考試A數(shù)學(xué)考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題紙上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題紙上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.寫在本試卷上無效.回答非選擇題時，將答案寫在答題紙上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷與答題卡一并由監(jiān)考人員收回.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求.1.已知集合，，則中元素的個數(shù)為（）A.5 B.4 C.3 D.22.從某班所有同學(xué)中隨機(jī)抽取10人，獲得他們某學(xué)年參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)的數(shù)據(jù)如下：4，4，4，7，7，8，8，9，9，10，根據(jù)這組數(shù)據(jù)，下列說法正確的是（）A.眾數(shù)是7 B.平均數(shù)是7C.第75百分位數(shù)是8.5 D.中位數(shù)是83.已知向量，若，則（）A. B.2 C. D.－24.已知，則（）A. B.3 C. D.5.設(shè)函數(shù)的圖象與軸相交于點(diǎn)，則該曲線在點(diǎn)處的切線方程是（）A B.C. D.6.北宋大科學(xué)家沈括在《夢溪筆談》中首創(chuàng)的“隙積術(shù)”，就是關(guān)于高階等差數(shù)列求和的問題．現(xiàn)有一貨物堆，從上向下查，第一層有1個貨物，第二層比第一層多2個，第三層比第二層多3個，以此類推，記第n層貨物的個數(shù)為，則使得成立的n的最小值是（）A.3 B.4 C.5 D.67.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，為拋物線上一點(diǎn)，且在第一象限，當(dāng)取得最小值時，點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A B. C. D.8.已知實數(shù)，滿足，則函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是()A. B. C. D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.的展開式中，下列結(jié)論正確的是（）A.展開式共7項 B.所有項的系數(shù)之和為2187C.項系數(shù)為280 D.所有項的二項式系數(shù)之和為12810.定義在上的函數(shù)滿足，，則（）A. B.C. D.2為的一個周期11.已知某平面圖形由如圖所示四個全等的等腰，，，拼成，其中線段，，的中點(diǎn)均為點(diǎn)，且．若將該平面圖形繞著直線旋轉(zhuǎn)半周所圍成的幾何體記為，將該平面圖形繞著直線旋轉(zhuǎn)半周所圍成的幾何體記為，直線直線，則（）A.的體積為B.的表面積為C.經(jīng)過兩次旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)所有的運(yùn)動軌跡總長為D.體積為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，，，，成等比數(shù)列，則______，______．13.若復(fù)數(shù)，則z的虛部為__________，_________．14.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知，，則的最小值為______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在中，分別是內(nèi)角的對邊，已知.（1）求的大??；（2）若，求的面積.16.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上的動點(diǎn)，的面積的最大值為，且點(diǎn)到點(diǎn)的最短距離是2.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)作斜率為的直線，交橢圓于，兩點(diǎn)，交拋物線：于，兩點(diǎn)，且，求直線的方程.17.中俄廣場舞健身操大賽作為中俄文化年活動內(nèi)容的一部分，以“民相親、增友誼、促交流、共發(fā)展”為宗旨，續(xù)寫中俄友誼的新篇章.某城市通過微信端對100支參賽隊伍進(jìn)行投票海選，下面是根據(jù)投票結(jié)果繪制的票數(shù)頻率分布直方圖，且得票總數(shù)不低于40百張的隊伍晉級全省復(fù)賽.（1）根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否認(rèn)為隊伍“晉級復(fù)賽”與平均年齡有關(guān)？

未晉級復(fù)賽晉級復(fù)賽合計平均年齡不超過50歲

平均年齡超過50歲

1055合計

k（2）將上述城市投票所得到的頻率視為概率．現(xiàn)從全國所有參賽隊伍中，采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1支隊伍，抽取3次，記被抽取的3支隊伍中“晉級復(fù)賽”的隊伍數(shù)為若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求X的分布列，期望和方差附：18.用數(shù)學(xué)的眼光看世界就能發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)之“美”.現(xiàn)代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇，衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的曲率.（1）求曲線在處的曲率的平方；（2）求正弦曲線曲率的平方的最大值.（3）正弦曲線，若，判斷在區(qū)間上零點(diǎn)的個數(shù)，并寫出證明過程.19.空間直角坐標(biāo)系中，任何一個平面的方程都能表示成（其中均為常數(shù)，），為該平面的一個法向量.已知球的半徑為4，點(diǎn)均在球的球面上，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.平面內(nèi)的點(diǎn)在球面上，點(diǎn)在軸上的投影在軸的正半軸上，，過直線作球的截面，使得平面平面，設(shè)截面與球球面的交線為圓（為線段的中點(diǎn)）.（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)