2.4平面向量基本定理及坐標(biāo)表示6種常見考法歸類課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)(1)理解平面向量基本定理及其意義．能推導(dǎo)平面向量基本定理和運(yùn)用平面向量基本定理解決某些數(shù)學(xué)問題．(2)借助平面直角坐標(biāo)系，掌握平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示．(3)會用坐標(biāo)表示平面向量的加、減運(yùn)算與數(shù)乘運(yùn)算．(4)能用坐標(biāo)表示平面向量的共線條件．1.掌握平面向量基本定理，會用基底表示平面向量；2.能夠靈活應(yīng)用向量定理解決平面幾何問題.3.掌握平面向量的坐標(biāo)表示，理解點(diǎn)坐標(biāo)與向量坐標(biāo)的區(qū)別與聯(lián)系.4.平面上向量的和、差及數(shù)乘運(yùn)算，會用坐標(biāo)表示中點(diǎn)坐標(biāo).5.掌握向量平行的坐標(biāo)表示.知識點(diǎn)01平面向量基本定理1．定理：如果e1，e2(如圖①所示)是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，存在唯一一對實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2(如圖②所示)，其中不共線的向量e1，e2叫作表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基，記為{e1，e2}．2．正交分解：若基中的兩個(gè)向量互相垂直，則稱這組基為正交基，在正交基下向量的線性表示稱為正交分解．若基中的兩個(gè)向量是互相垂直的單位向量，則稱這組基為標(biāo)準(zhǔn)正交基．【即學(xué)即練1】下列關(guān)于基底的說法正確的序號是()①平面內(nèi)不共線的任意兩個(gè)向量都可作為一組基底；②基底中的向量可以是零向量；③平面內(nèi)的基底一旦確定，該平面內(nèi)的向量關(guān)于基底的線性分解形式也是唯一確定的．A．①② B．①③C．②③ D．①②③【即學(xué)即練2】若是平面內(nèi)向量的一組基，則下面的向量中不能作為一組基的是（）A．和 B．和C．和 D．和【即學(xué)即練3】如果e1，e2是平面內(nèi)一組不共線的向量，那么下列四組向量中，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是()A．e1與e1＋e2 B．e1－2e2與e1＋2e2C．e1＋e2與e1－e2 D．e1－2e2與－e1＋2e2【即學(xué)即練4】在△ABC中，eq\o(AB,\s\up7(―→))＝c，eq\o(AC,\s\up7(―→))＝b，若點(diǎn)D滿足eq\o(BD,\s\up7(―→))＝2eq\o(DC,\s\up7(―→))，以b與c作為基底，則eq\o(AD,\s\up7(―→))＝()A.eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)cB.eq\f(5,3)c－eq\f(2,3)bC.eq\f(2,3)b－eq\f(1,3)c D.eq\f(1,3)b＋eq\f(2,3)c知識點(diǎn)02平面向量的坐標(biāo)表示 在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸，y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j作為標(biāo)準(zhǔn)正交基．對于坐標(biāo)平面內(nèi)的任意向量a，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為起點(diǎn)作OP＝a(通常稱OP為位置向量)．由平面向量基本定理可知，有且僅有一對實(shí)數(shù)x，y，使OP＝xi＋yj.因此a＝xi＋yj，把(x，y)稱為向量a在標(biāo)準(zhǔn)正交基{i，j}下的坐標(biāo)，記作a＝(x，y)．注：1.對平面向量坐標(biāo)的幾點(diǎn)認(rèn)識(1)設(shè)OA＝xi＋yj(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則向量OA的坐標(biāo)(x，y)就是終點(diǎn)A的坐標(biāo)；反過來，終點(diǎn)A的坐標(biāo)就是向量OA的坐標(biāo)(x，y).因此，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個(gè)平面向量都可以用一個(gè)有序?qū)崝?shù)對唯一表示，即以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量與實(shí)數(shù)對是一一對應(yīng)的．(2)兩向量相等的等價(jià)條件是它們對應(yīng)的坐標(biāo)相等．(3)要把點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)區(qū)別開來，相等的向量的坐標(biāo)是相同的，但起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)卻可以不同．2．符號(x，y)的意義符號(x，y)在直角坐標(biāo)系中有兩重意義，它既可以表示一個(gè)固定的點(diǎn)，又可以表示一個(gè)向量，為了加以區(qū)分，在敘述中，就常說點(diǎn)(x，y)或向量(x，y)．【即學(xué)即練5】下列說法正確的有()①向量的坐標(biāo)即此向量終點(diǎn)的坐標(biāo)；②位置不同的向量其坐標(biāo)可能相同；③一個(gè)向量的坐標(biāo)等于它的終點(diǎn)坐標(biāo)減去它的起點(diǎn)坐標(biāo)；④相等向量的坐標(biāo)一定相同．A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)【即學(xué)即練6】如圖，向量a，b，c的坐標(biāo)分別是________，________，________.【即學(xué)即練7】已知，若的終點(diǎn)坐標(biāo)為（3，-6），則的起點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．（-4，-8） B．（-4，8） C．（4，-8） D．（4，8）【即學(xué)即練8】已知，，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（3，2） B．（3，-1） C．（7，0） D．（1，0）知識點(diǎn)03平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示文字?jǐn)⑹龇柋硎炯臃▋蓚€(gè)向量和的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)減法兩個(gè)向量差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的差若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a－b＝(x1－x2，y1－y2)數(shù)乘向量實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)若a＝(x，y)，λ∈R，則λa＝(λx，λy)向量的坐標(biāo)一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB＝(x2－x1，y2－y1)注：(1)向量的坐標(biāo)與表示向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置沒有關(guān)系，只與其相對位置有關(guān)系，即兩向量的坐標(biāo)相同時(shí)，兩個(gè)向量相等，但它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)卻不一定相同．例如，若A(3，5)，B(6，8)，C(－5，3)，D(－2，6)，則AB＝(3，3)，CD＝(3，3)，顯然AB＝CD，但A，B，C，D各點(diǎn)的坐標(biāo)都不相同．(2)運(yùn)算時(shí)，注意向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)的順序不要顛倒．【即學(xué)即練9】已知向量，，則向量（）A． B． C． D．【即學(xué)即練10】設(shè)，，，，則（）.A． B． C． D．【即學(xué)即練11】已知向量，則____________【即學(xué)即練12】已知平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)，，的坐標(biāo)分別是,,,，則向量的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．知識點(diǎn)04中點(diǎn)坐標(biāo)公式設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M是線段AB的中點(diǎn)，則x=【即學(xué)即練13】已知，，M是線段的中點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．【即學(xué)即練14】已知，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為_______.知識點(diǎn)05平面向量平行的坐標(biāo)表示a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)向量a，b(b≠0)共線的充要條件是x1y2－x2y1＝0．注：已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，(1)當(dāng)b≠0時(shí)，a＝λb.這是幾何運(yùn)算，體現(xiàn)了向量a與b的長度及方向之間的關(guān)系．(2)x1y2－x2y1＝0.這是代數(shù)運(yùn)算，用它解決向量共線問題的優(yōu)點(diǎn)在于不需要引入?yún)?shù)“λ”，從而減少未知數(shù)個(gè)數(shù)，而且使問題的解決具有代數(shù)化的特點(diǎn)、程序化的特征．(3)當(dāng)x2y2≠0時(shí)，x1x2【即學(xué)即練15】下列各組向量是平行向量的有________．(填序號)①a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,4)))，b＝(－2，－3)；②a＝(0.5,4)，b＝(－8,64)；③a＝(2,3)，b＝(3,4)；④a＝(2,3)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，2)).【即學(xué)即練16】已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)．若(a－c)∥b，則k＝________.【即學(xué)即練17】若點(diǎn)，，三點(diǎn)共線，則的值為（）A．3 B．4 C．5 D．6題型一：對平面向量基本定理的理解例1．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）下列三種說法：①一個(gè)平面內(nèi)只有一組不共線的向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底；②一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)組不共線向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底；③平面內(nèi)的基底一旦確定，該平面內(nèi)的向量關(guān)于基底的線性分解形式也是唯一確定的．其中，說法正確的為（

）A．①② B．②③C．①③ D．①②③變式1．【多選】（2024高一·江蘇·專題練習(xí)）設(shè)，是不共線的兩個(gè)向量，則下列各組向量能作為一組基底的是（

）A．與 B．與C．與 D．與變式2．【多選】（2024高一下·福建福州·階段練習(xí)）若是平面內(nèi)的一個(gè)基底，則下列四組向量中不能作為平面向量的基底的是（

）A． B．C． D．變式3．（2024高一下·福建福州·期末）如圖所示，點(diǎn)O為正六邊形ABCDEF的中心，則可作為基底的一對向量是（

）A． B．C． D．【方法技巧與總結(jié)】對基的理解(1)兩個(gè)向量能否作為一組基，關(guān)鍵是看這兩個(gè)向量是否共線．若共線，則不能作基，反之，則可作基．(2)一個(gè)平面的基一旦確定，那么平面上任意一個(gè)向量都可以由這組基唯一線性表示出來．設(shè)向量a與b是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，則x提醒：一個(gè)平面的基不是唯一的，同一個(gè)向量用不同的基表示，表達(dá)式不一樣．題型二：用基表示平面向量例2．（2024高三下·山東德州·開學(xué)考試）在中，點(diǎn)在直線上，且滿足，則（

）A． B．C． D．變式1．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）在中，，若，線段與交于點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．變式2．（2024·山西運(yùn)城·一模）已知所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，則（

）A． B．C． D．變式3．（2024·福建漳州·模擬預(yù)測）在中，是邊上一點(diǎn)，且是的中點(diǎn)，記，則（

）A． B． C． D．變式4．（2024·全國·模擬預(yù)測）在等腰梯形中，，，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【方法技巧與總結(jié)】用基表示向量的兩種基本方法用基表示向量的基本方法有兩種：一種是運(yùn)用向量的線性運(yùn)算對待求向量不斷地進(jìn)行轉(zhuǎn)化，直至用基表示為止；另一種是通過列向量方程(組)，利用基表示向量的唯一性求解．題型三平面向量基本定理的應(yīng)用（一）利用平面向量基本定理求參數(shù)例3．（2024·湖南·模擬預(yù)測）在中，，點(diǎn)滿足，若，則的值為.變式1．（2024高三下·全國·專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，，，，則.

變式2．（2024高三下·全國·專題練習(xí)）已知平面四邊形滿足，平面內(nèi)點(diǎn)E滿足，CD與AE交于點(diǎn)M，若，則.變式3．（2024高二下·湖南岳陽·開學(xué)考試）在平行四邊形中，、分別為邊、的中點(diǎn)，連接、，交于點(diǎn).若（），則.變式4．（2024高三上·河南·專題練習(xí)）已知D，E分別為的邊AB，BC上的點(diǎn)，且，，CD與AE相交于點(diǎn)O，若，則．（二）確定兩直線交點(diǎn)的位置問題例4．（2024高一下·江蘇·專題練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在AC上，且，AM與BN相交于點(diǎn)P，求與.變式1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在中，若，，過點(diǎn)的直線交直線分別于兩點(diǎn)，且，探究之間的關(guān)系.

變式2．（2024高一上·遼寧大連·期末）如圖，在中，，，AD與BC相交于點(diǎn)M.設(shè)，.

(1)試用基底表示向量；(2)在線段AC上取一點(diǎn)E，在線段BD上取一點(diǎn)F，使EF過點(diǎn)M，若，，求的值.變式3．（2024高一上·遼寧·期末）如圖，在中，是上一點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且，過點(diǎn)作直線分別交于點(diǎn).(1)用向量與表示；(2)若，求和的值.【方法技巧與總結(jié)】1．利用平面向量基本定理求參數(shù)值的基本思路是利用定理的唯一性，對某一向量用基表示兩次然后利用系數(shù)相等列方程(組)求解，即對于基{e1，e2}，若a＝xe1＋ye2，且a＝me1＋ne2(x，y，m，n∈R)，則有x=m2．充分利用平面幾何知識對圖中的有關(guān)點(diǎn)進(jìn)行精確定位，往往可使問題更便于解決．3.用向量解決平面幾何問題的一般步驟(1)選取不共線的兩個(gè)平面向量作為基．(2)將相關(guān)的向量用基向量表示，將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題．(3)利用向量知識進(jìn)行向量運(yùn)算，得向量問題的解．(4)再將向量問題的解轉(zhuǎn)化為平面幾何問題的解．題型四平面向量的坐標(biāo)表示例5．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，，分別為與兩個(gè)坐標(biāo)軸正方向同向的單位向量，，是平面內(nèi)的向量，且A點(diǎn)坐標(biāo)為，則下列說法正確的是．(填序號)

①向量可以表示為；②只有當(dāng)?shù)钠瘘c(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)；③若，則終點(diǎn)A的坐標(biāo)就是向量的坐標(biāo)．變式1．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）如圖，分別取與x軸，y軸正方向相同的兩個(gè)單位向量作為基底，若，，則向量的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．變式2．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，向量的方向如圖所示，且，，，分別計(jì)算出它們的坐標(biāo)．變式3．（2024高三上·江蘇常州·期末）已知扇形的半徑為5，以為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，，，弧的中點(diǎn)為，則（

）A． B． C． D．【方法技巧與總結(jié)】在向量的坐標(biāo)表示中，一定要分清表示向量的有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)的坐標(biāo)，同時(shí)注意區(qū)分點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)寫法的不同．題型五平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算例6．【多選】（2024高一下·全國·專題練習(xí)）下列各式不正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，則變式1．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）已知，，求：(1)；(2)；(3).變式2．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）已知，若，，求的坐標(biāo)．變式3．【多選】（2024高一下·全國·專題練習(xí)）已知平面內(nèi)平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)則第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B．C． D．變式4．（2024高一下·全國·課后作業(yè)）已知向量，，若滿足，則（）A． B．C． D．變式5．（2024高一下·四川自貢·期中）已知點(diǎn)，點(diǎn)在線段的延長線上，且，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是.【方法技巧與總結(jié)】1．向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行的，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，然后再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算，另外，解題過程中要注意方程思想的運(yùn)用．2．利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題，主要根據(jù)相等的向量坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程(組)進(jìn)行求解．題型六平面向量共線的坐標(biāo)表示（一）向量共線的判定與證明例7．（2024高三上·上海浦東新·階段練習(xí)）設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分非必要條件B．必要非充分條件 C．充分必要條件D．非充分非必要條件變式1．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）下列各組向量中，共線的是（）A．，B．，C．，D．，變式2．【多選】（2024高一·全國·課后作業(yè)）下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是（

）A． B．C． D．變式3．（2024高一下·河南·期中）下列向量中與共線的是（

）A． B．C． D．（二）利用向量共線的坐標(biāo)表示求參數(shù)例8．（2024高一下·河南洛陽·階段練習(xí)）已知向量，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件變式1．（2024高一·江蘇·專題練習(xí)）已知向量，.若與平行，則（）A． B．C．7 D．變式2．（2024高一·江蘇·專題練習(xí)）已知向量，.若，則．變式3．（2024高二上·浙江·期末）已知平面向量，，且，則（

）A． B．0 C．1 D．變式4．（2024高一·全國·專題練習(xí)）平面內(nèi)給定三個(gè)向量，且，求實(shí)數(shù)關(guān)于的表達(dá)式.變式5．（2024高三上·江西贛州·階段練習(xí)）已知向量，若與共線且同向，則實(shí)數(shù)λ的值為（

）A．2 B．4 C． D．或4變式6．（2024高一下·湖南岳陽·期末）設(shè)，向量，，且，則（

）A． B． C．10 D．（三）三點(diǎn)共線問題例9．（2024高一·全國·隨堂練習(xí)）判斷下列各組三點(diǎn)是否共線：(1)，，；(2)，，；(3)，，.變式1．（2024高三上·上海黃浦·開學(xué)考試）若三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形，則.變式2．（2024高二上·北京豐臺·期中）已知，，三點(diǎn)共線，則.變式3．（2024高一下·河北邯鄲·期中）已知向量，，，若B，C，D三點(diǎn)共線，則（

）A．－16 B．16 C． D．變式4．（2024高一下·江蘇無錫·期末）已知點(diǎn)，，，若A，B，C三點(diǎn)共線，則的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．變式5．（2024高一下·福建漳州·期中）已知向量，.(1)若與共線，求的值；(2)若，，且三點(diǎn)共線，求的值.變式6．（2024高三上·天津河北·期中）設(shè)，，，其中，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，，三點(diǎn)共線，則，的最小值為.【方法技巧與總結(jié)】1.向量共線的判定方法(1)利用向量共線定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b.(2)利用向量共線的坐標(biāo)表達(dá)式x1y2－x2y1＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))直接判斷a與b是否平行．2.根據(jù)向量共線的條件求參數(shù)問題的兩種思路(1)利用向量共線定理，由a＝λb(b≠0)列方程組求解．(2)利用向量共線的坐標(biāo)表達(dá)式x1y2－x2y1＝0求解．3.利用向量解決三點(diǎn)共線問題的一般思路：(1)利用三點(diǎn)構(gòu)造出兩個(gè)向量，求出唯一確定的實(shí)數(shù)λ；(2)利用向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示得出兩向量共線，再結(jié)合兩向量過同一點(diǎn)，可得兩向量所在的直線必重合，即三點(diǎn)共線．一、單選題1．（2024高一下·河南·期中）設(shè)、是不共線的兩個(gè)非零向量，則下列四組向量不能作為基底的是（）A．和 B．與C．與 D．與2．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，在中，為的中點(diǎn)，，與交于點(diǎn)，若，，則（

）A． B． C． D．3．（2024高三上·全國·競賽）平面向量，則（

）A．3 B．5 C．7 D．114．（2024高一·江蘇·專題練習(xí)）已知，，三點(diǎn)共線，且，，若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（）A． B．C． D．5．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）已知向量，，則等于（）A． B．C． D．6．（2024高一下·江蘇連云港·階段練習(xí)）如圖所示的矩形中，，滿足，，G為EF的中點(diǎn)，若，則的值為（

）A． B．3 C． D．27．（2024高三上·全國·階段練習(xí)）在平行四邊形中，，，若，則（

）A．1 B．2 C．4 D．88．（2024·全國·模擬預(yù)測）在中，，是的中線，若，，則（

）A． B．C． D．二、多選題9．（2024高一上·湖南長沙·期末）下列各組向量中，不能作為基底的是（

）A．，B．，C．，D．，10．（2024高一下·江蘇連云港·期中）如圖，中，，點(diǎn)E在線段AC上，AD與BE交于點(diǎn)F，，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．11．（2024高一上·浙江·期末）下列命題中錯(cuò)誤的是（

）A．已知為平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，則可作為平面的一組基底B．長度不等且方向相反的兩個(gè)向量不一定是共線向量C．方向相同的兩個(gè)向量，向量的模越大，則向量越大D．若，則存在唯一實(shí)數(shù)使得12．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）若，是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，則下列說法不正確的是（

）A．可以表示平面內(nèi)的所有向量B．對于平面中的任一向量，使的實(shí)數(shù)，有無數(shù)多對C．，，，均為實(shí)數(shù)，且向量與共線，則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使D．若存在實(shí)數(shù)，，使，則三、填空題13．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知點(diǎn)，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．14．（2024高一下·遼寧·期末）已知四邊形的對角線交于點(diǎn)為的中點(diǎn)，若，則.15．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）已知、是兩個(gè)不共線的向量，，，若與是共線向量，則實(shí)數(shù).16．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）已知向量．若非零實(shí)數(shù)滿足，則.17．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）已知向量是一個(gè)基底，實(shí)數(shù)x，y滿足，則.四、解答題18．（2024高二上·廣東·學(xué)業(yè)考試）已知向量，，點(diǎn)．(1)求線段BD的中點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)滿足點(diǎn)P，B，D三點(diǎn)共線，求y的值．19．（2024高一·全國·單元測試）在平行四邊形中，．

(1)如圖1，如果分別是的中點(diǎn)，試用分別表示.(2)如圖2，如果是與的交點(diǎn)，是的中點(diǎn)，試用表示.20．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在平行四邊形中，，為的中點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，若，求的值.

21．（2024高三上·陜西銅川·期末）如圖，在直角梯形中，為上靠近的三等分點(diǎn)，交于．(1)用和表示；(2)求證：．22．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)是邊長為1的正三角形的中心，線段經(jīng)過點(diǎn)，并繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動，分別交邊于點(diǎn)，設(shè)，其中．(1)求的值；(2)求面積的最小值，并指出相應(yīng)的的值．2.4平面向量基本定理及坐標(biāo)表示6種常見考法歸類課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)(1)理解平面向量基本定理及其意義．能推導(dǎo)平面向量基本定理和運(yùn)用平面向量基本定理解決某些數(shù)學(xué)問題．(2)借助平面直角坐標(biāo)系，掌握平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示．(3)會用坐標(biāo)表示平面向量的加、減運(yùn)算與數(shù)乘運(yùn)算．(4)能用坐標(biāo)表示平面向量的共線條件．1.掌握平面向量基本定理，會用基底表示平面向量；2.能夠靈活應(yīng)用向量定理解決平面幾何問題.3.掌握平面向量的坐標(biāo)表示，理解點(diǎn)坐標(biāo)與向量坐標(biāo)的區(qū)別與聯(lián)系.4.平面上向量的和、差及數(shù)乘運(yùn)算，會用坐標(biāo)表示中點(diǎn)坐標(biāo).5.掌握向量平行的坐標(biāo)表示.知識點(diǎn)01平面向量基本定理1．定理：如果e1，e2(如圖①所示)是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，存在唯一一對實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2(如圖②所示)，其中不共線的向量e1，e2叫作表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基，記為{e1，e2}．2．正交分解：若基中的兩個(gè)向量互相垂直，則稱這組基為正交基，在正交基下向量的線性表示稱為正交分解．若基中的兩個(gè)向量是互相垂直的單位向量，則稱這組基為標(biāo)準(zhǔn)正交基．【即學(xué)即練1】下列關(guān)于基底的說法正確的序號是()①平面內(nèi)不共線的任意兩個(gè)向量都可作為一組基底；②基底中的向量可以是零向量；③平面內(nèi)的基底一旦確定，該平面內(nèi)的向量關(guān)于基底的線性分解形式也是唯一確定的．A．①② B．①③C．②③ D．①②③【解析】由基底的定義可知①③正確.故選B.【即學(xué)即練2】若是平面內(nèi)向量的一組基，則下面的向量中不能作為一組基的是（）A．和 B．和C．和 D．和【解析】對于A，，能作為基底；對于B，，不能作為基底；對于C，，能作為基底；對于D，，能作為基底；故選：B.【即學(xué)即練3】如果e1，e2是平面內(nèi)一組不共線的向量，那么下列四組向量中，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是()A．e1與e1＋e2 B．e1－2e2與e1＋2e2C．e1＋e2與e1－e2 D．e1－2e2與－e1＋2e2【解析】由e1，e2為不共線向量，可知e1與e1＋e2，e1－2e2與e1＋2e2，e1＋e2與e1－e2必不共線，都可作為平面向量的基底，而e1－2e2＝－(－e1＋2e2)，故e1－2e2與－e1＋2e2共線，不能作為該平面所有向量的基底．故選D.【即學(xué)即練4】在△ABC中，eq\o(AB,\s\up7(―→))＝c，eq\o(AC,\s\up7(―→))＝b，若點(diǎn)D滿足eq\o(BD,\s\up7(―→))＝2eq\o(DC,\s\up7(―→))，以b與c作為基底，則eq\o(AD,\s\up7(―→))＝()A.eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)cB.eq\f(5,3)c－eq\f(2,3)bC.eq\f(2,3)b－eq\f(1,3)c D.eq\f(1,3)b＋eq\f(2,3)c【解析】∵eq\o(BD,\s\up7(―→))＝2eq\o(DC,\s\up7(―→))，∴eq\o(AD,\s\up7(―→))－eq\o(AB,\s\up7(―→))＝2(eq\o(AC,\s\up7(―→))－eq\o(AD,\s\up7(―→)))，∴eq\o(AD,\s\up7(―→))－c＝2(b－eq\o(AD,\s\up7(―→)))，∴eq\o(AD,\s\up7(―→))＝eq\f(1,3)c＋eq\f(2,3)b.故選A.知識點(diǎn)02平面向量的坐標(biāo)表示 在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸，y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j作為標(biāo)準(zhǔn)正交基．對于坐標(biāo)平面內(nèi)的任意向量a，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為起點(diǎn)作OP＝a(通常稱OP為位置向量)．由平面向量基本定理可知，有且僅有一對實(shí)數(shù)x，y，使OP＝xi＋yj.因此a＝xi＋yj，把(x，y)稱為向量a在標(biāo)準(zhǔn)正交基{i，j}下的坐標(biāo)，記作a＝(x，y)．注：1.對平面向量坐標(biāo)的幾點(diǎn)認(rèn)識(1)設(shè)OA＝xi＋yj(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則向量OA的坐標(biāo)(x，y)就是終點(diǎn)A的坐標(biāo)；反過來，終點(diǎn)A的坐標(biāo)就是向量OA的坐標(biāo)(x，y).因此，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個(gè)平面向量都可以用一個(gè)有序?qū)崝?shù)對唯一表示，即以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量與實(shí)數(shù)對是一一對應(yīng)的．(2)兩向量相等的等價(jià)條件是它們對應(yīng)的坐標(biāo)相等．(3)要把點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)區(qū)別開來，相等的向量的坐標(biāo)是相同的，但起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)卻可以不同．2．符號(x，y)的意義符號(x，y)在直角坐標(biāo)系中有兩重意義，它既可以表示一個(gè)固定的點(diǎn)，又可以表示一個(gè)向量，為了加以區(qū)分，在敘述中，就常說點(diǎn)(x，y)或向量(x，y)．【即學(xué)即練5】下列說法正確的有()①向量的坐標(biāo)即此向量終點(diǎn)的坐標(biāo)；②位置不同的向量其坐標(biāo)可能相同；③一個(gè)向量的坐標(biāo)等于它的終點(diǎn)坐標(biāo)減去它的起點(diǎn)坐標(biāo)；④相等向量的坐標(biāo)一定相同．A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)【解析】向量的坐標(biāo)是其終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)，故①錯(cuò)誤，②③④正確．故選C.【即學(xué)即練6】如圖，向量a，b，c的坐標(biāo)分別是________，________，________.【解析】將各向量分別向基底i，j所在直線分解，則a＝－4i＋0j，∴a＝(－4,0)，b＝0i＋6j，∴b＝(0,6)，c＝－2i－5j，∴c＝(－2，－5)．答案：(－4,0)(0,6)(－2，－5)【即學(xué)即練7】已知，若的終點(diǎn)坐標(biāo)為（3，-6），則的起點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．（-4，-8） B．（-4，8） C．（4，-8） D．（4，8）【解析】設(shè)的起點(diǎn)坐標(biāo)為，的終點(diǎn)坐標(biāo)為（3，-6），，又，，解得，的起點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：C.【即學(xué)即練8】已知，，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．（3，2） B．（3，-1） C．（7，0） D．（1，0）【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，因?yàn)?，即，所以，解得，所?故選：C.知識點(diǎn)03平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示文字?jǐn)⑹龇柋硎炯臃▋蓚€(gè)向量和的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)減法兩個(gè)向量差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的差若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a－b＝(x1－x2，y1－y2)數(shù)乘向量實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)若a＝(x，y)，λ∈R，則λa＝(λx，λy)向量的坐標(biāo)一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB＝(x2－x1，y2－y1)注：(1)向量的坐標(biāo)與表示向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置沒有關(guān)系，只與其相對位置有關(guān)系，即兩向量的坐標(biāo)相同時(shí)，兩個(gè)向量相等，但它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)卻不一定相同．例如，若A(3，5)，B(6，8)，C(－5，3)，D(－2，6)，則AB＝(3，3)，CD＝(3，3)，顯然AB＝CD，但A，B，C，D各點(diǎn)的坐標(biāo)都不相同．(2)運(yùn)算時(shí)，注意向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)的順序不要顛倒．【即學(xué)即練9】已知向量，，則向量（）A． B． C． D．【解析】因?yàn)橄蛄?，，所以故選：A.【即學(xué)即練10】設(shè)，，，，則（）.A． B． C． D．【解析】設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以，解得，即，所以，所以，故選：B【即學(xué)即練11】已知向量，則____________【解析】由題意，又因?yàn)?，所以，故答案為：【即學(xué)即練12】已知平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)，，的坐標(biāo)分別是,,,，則向量的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．【解析】平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)，，的坐標(biāo)分別是,,,，∴，,,,，,,,．,,,．故選：B．知識點(diǎn)04中點(diǎn)坐標(biāo)公式設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M是線段AB的中點(diǎn)，則x=【即學(xué)即練13】已知，，M是線段的中點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．【解析】由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，即，所以.故選：A.【即學(xué)即練14】已知，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為_______.【解析】設(shè)，則，所以，解得：，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，即，故答案為：知識點(diǎn)05平面向量平行的坐標(biāo)表示a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)向量a，b(b≠0)共線的充要條件是x1y2－x2y1＝0．注：已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，(1)當(dāng)b≠0時(shí)，a＝λb.這是幾何運(yùn)算，體現(xiàn)了向量a與b的長度及方向之間的關(guān)系．(2)x1y2－x2y1＝0.這是代數(shù)運(yùn)算，用它解決向量共線問題的優(yōu)點(diǎn)在于不需要引入?yún)?shù)“λ”，從而減少未知數(shù)個(gè)數(shù)，而且使問題的解決具有代數(shù)化的特點(diǎn)、程序化的特征．(3)當(dāng)x2y2≠0時(shí)，x1x2【即學(xué)即練15】下列各組向量是平行向量的有________．(填序號)①a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,4)))，b＝(－2，－3)；②a＝(0.5,4)，b＝(－8,64)；③a＝(2,3)，b＝(3,4)；④a＝(2,3)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，2)).【解析】①eq\f(1,2)(－3)－eq\f(3,4)(－2)＝－eq\f(3,2)＋eq\f(3,2)＝0，∴a∥b.②0.5×64－4(－8)＝32＋32＝64≠0，∴a，b不平行．③2×4－3×3＝8－9＝－1≠0，∴a，b不平行．④2×2－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))＝4＋4＝8≠0，∴a，b不平行．【即學(xué)即練16】已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)．若(a－c)∥b，則k＝________.【解析】a－c＝(3－k，－6)，∵(a－c)∥b，∴3(3－k)＋6＝0，解得k＝5.答案：5【即學(xué)即練17】若點(diǎn)，，三點(diǎn)共線，則的值為（）A．3 B．4 C．5 D．6【解析】因?yàn)辄c(diǎn)，，，所以，因?yàn)辄c(diǎn)，，三點(diǎn)共線，所以共線，則，解得，故選：B題型一：對平面向量基本定理的理解例1．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）下列三種說法：①一個(gè)平面內(nèi)只有一組不共線的向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底；②一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)組不共線向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底；③平面內(nèi)的基底一旦確定，該平面內(nèi)的向量關(guān)于基底的線性分解形式也是唯一確定的．其中，說法正確的為（

）A．①② B．②③C．①③ D．①②③【答案】B【分析】由基底的概念及平面向量基本定理逐一判斷即可.【詳解】平面內(nèi)只要不共線的向量均可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底，有無數(shù)組，①錯(cuò)誤，②正確；由平面向量基本定理可得，平面內(nèi)的基底一旦確定，該平面內(nèi)的向量關(guān)于基底的線性分解形式也是唯一確定的，③正確.故選：B.變式1．【多選】（2024高一·江蘇·專題練習(xí)）設(shè)，是不共線的兩個(gè)向量，則下列各組向量能作為一組基底的是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】ABD【分析】先判斷與，與，與不共線，即可判斷此三組向量可以分別作為一組基底；與共線，故此組向量不能作為一組基底.【詳解】A．設(shè)，則無解，所以與不共線，即與能作為一組基底．B．設(shè)，則無解，所以與不共線，即與能作為一組基底．C．因?yàn)?，所以與共線，即與不能作為一組基底．D．設(shè)，則無解，所以與不共線，即與能作為一組基底．故選：ABD變式2．【多選】（2024高一下·福建福州·階段練習(xí)）若是平面內(nèi)的一個(gè)基底，則下列四組向量中不能作為平面向量的基底的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根據(jù)平面向量共線定理以及基底的概念逐一判斷即可.【詳解】對于A，，則為共線向量，不能作為平面向量的基底；對于B，，則為共線向量，不能作為平面向量的基底；對于C，，則為共線向量，不能作為平面向量的基底；對于D，明顯不存在實(shí)數(shù)使，則不共線，可以作為平面向量的基底.故選：ABC.變式3．（2024高一下·福建福州·期末）如圖所示，點(diǎn)O為正六邊形ABCDEF的中心，則可作為基底的一對向量是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用基底的定義求解.【詳解】由題中圖形可知：與，與，與共線，不能作為基底向量，與不共線，可作為基底向量．故選：B.【方法技巧與總結(jié)】對基的理解(1)兩個(gè)向量能否作為一組基，關(guān)鍵是看這兩個(gè)向量是否共線．若共線，則不能作基，反之，則可作基．(2)一個(gè)平面的基一旦確定，那么平面上任意一個(gè)向量都可以由這組基唯一線性表示出來．設(shè)向量a與b是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，則x提醒：一個(gè)平面的基不是唯一的，同一個(gè)向量用不同的基表示，表達(dá)式不一樣．題型二：用基表示平面向量例2．（2024高三下·山東德州·開學(xué)考試）在中，點(diǎn)在直線上，且滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)畫出及點(diǎn)D的位置，再由向量的線性運(yùn)算即可由表示出.【詳解】因?yàn)?，所?/p>

故選：A.變式1．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）在中，，若，線段與交于點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)中線性質(zhì)得出，再由平面向量線性運(yùn)算即可求得結(jié)果.【詳解】如下圖所示：

由可得分別為的中點(diǎn)，由中線性質(zhì)可得，又，所以，因此.故選：B變式2．（2024·山西運(yùn)城·一模）已知所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由已知條件結(jié)合平面向量的加法可得出關(guān)于、的表達(dá)式.【詳解】因?yàn)?，即，即，解得，故選：B.變式3．（2024·福建漳州·模擬預(yù)測）在中，是邊上一點(diǎn)，且是的中點(diǎn)，記，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算即可.【詳解】，故選：D．

變式4．（2024·全國·模擬預(yù)測）在等腰梯形中，，，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】通過添設(shè)輔助線，借助于三角形和等腰梯形，利用平面向量的加減法將進(jìn)行轉(zhuǎn)化，最終用來表示即得.【詳解】如圖等腰梯形中，取中點(diǎn)，連接，則,,于是，.故選:D.【方法技巧與總結(jié)】用基表示向量的兩種基本方法用基表示向量的基本方法有兩種：一種是運(yùn)用向量的線性運(yùn)算對待求向量不斷地進(jìn)行轉(zhuǎn)化，直至用基表示為止；另一種是通過列向量方程(組)，利用基表示向量的唯一性求解．題型三平面向量基本定理的應(yīng)用（一）利用平面向量基本定理求參數(shù)例3．（2024·湖南·模擬預(yù)測）在中，，點(diǎn)滿足，若，則的值為.【答案】【分析】根據(jù)向量的加減運(yùn)算即可得出答案.【詳解】由題意可得：.所以.故答案為：.變式1．（2024高三下·全國·專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，，，，則.

【答案】【分析】利用向量的線性運(yùn)算將用表示，然后根據(jù)系數(shù)相等求解即可.【詳解】由題意可得，，所以，所以.故答案為：.變式2．（2024高三下·全國·專題練習(xí)）已知平面四邊形滿足，平面內(nèi)點(diǎn)E滿足，CD與AE交于點(diǎn)M，若，則.【答案】/【分析】根據(jù)給定條件，利用向量表示結(jié)合平面向量基本定理不解即得.【詳解】平面四邊形中，，則，又，則，因此，即，，而不共線，所以，.故答案為：

變式3．（2024高二下·湖南岳陽·開學(xué)考試）在平行四邊形中，、分別為邊、的中點(diǎn)，連接、，交于點(diǎn).若（），則.【答案】/【分析】延長、相交于點(diǎn)，可得是的中點(diǎn)，由得，根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則計(jì)算得到，可求得的值，即可得解.【詳解】延長、相交于點(diǎn)，因?yàn)?，，所以是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，又，所以，故故答案為?變式4．（2024高三上·河南·專題練習(xí)）已知D，E分別為的邊AB，BC上的點(diǎn)，且，，CD與AE相交于點(diǎn)O，若，則．【答案】/【分析】取DB的中點(diǎn)F，連接EF，則，，然后利用平面向量基本定理將用表示，再結(jié)合可求出，從而可求得結(jié)果.【詳解】由題意，為邊AB的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，為邊的中點(diǎn)，如圖，取DB的中點(diǎn)F，連接EF，則，，所以，因?yàn)椋?，，所以．故答案為：（二）確定兩直線交點(diǎn)的位置問題例4．（2024高一下·江蘇·專題練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在AC上，且，AM與BN相交于點(diǎn)P，求與.【答案】，【分析】設(shè)，，則，根據(jù)A，P，M和B，P，N分別共線，所以存在實(shí)數(shù)使得，．根據(jù)．解出即可.【詳解】設(shè)，則，∵，，和，，分別共線，∴存在實(shí)數(shù)使得，．故．而，由平面向量基本定理，得解得∴，．故，．變式1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在中，若，，過點(diǎn)的直線交直線分別于兩點(diǎn)，且，探究之間的關(guān)系.

【答案】【分析】根據(jù)平面向量的運(yùn)算可得，又有三點(diǎn)共線知，，根據(jù)平面向量的基本定理可得，消去即可求解.【詳解】一方面，,故.另一方面，由三點(diǎn)共線知，.所以，可變?yōu)?消去，得，即.變式2．（2024高一上·遼寧大連·期末）如圖，在中，，，AD與BC相交于點(diǎn)M.設(shè)，.

(1)試用基底表示向量；(2)在線段AC上取一點(diǎn)E，在線段BD上取一點(diǎn)F，使EF過點(diǎn)M，若，，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由D，M，A三點(diǎn)共線，設(shè)，由C，M，B三點(diǎn)共線，可設(shè)，列出方程組，即可求解的值，得到結(jié)論；（2）由E，M，F(xiàn)共線，設(shè)，由（1）可求得，化簡即可求解.【詳解】（1）因?yàn)镃，M，B三點(diǎn)共線，D，M，A三點(diǎn)共線，所以設(shè)，，則，，所以，解得，所以；（2）因?yàn)镋，M，F(xiàn)三點(diǎn)共線，所以設(shè)，則，由（1）知，所以，所以.變式3．（2024高一上·遼寧·期末）如圖，在中，是上一點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且，過點(diǎn)作直線分別交于點(diǎn).(1)用向量與表示；(2)若，求和的值.【答案】(1)(2)，.【分析】（1）利用向量的線性運(yùn)算求解；（2）設(shè)，利用向量的線性運(yùn)算和平面向量基本定理求解.【詳解】（1）.（2）因?yàn)?，所以．設(shè)，，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，解得，所以.因?yàn)?，，所以，?【方法技巧與總結(jié)】1．利用平面向量基本定理求參數(shù)值的基本思路是利用定理的唯一性，對某一向量用基表示兩次然后利用系數(shù)相等列方程(組)求解，即對于基{e1，e2}，若a＝xe1＋ye2，且a＝me1＋ne2(x，y，m，n∈R)，則有x=m2．充分利用平面幾何知識對圖中的有關(guān)點(diǎn)進(jìn)行精確定位，往往可使問題更便于解決．3.用向量解決平面幾何問題的一般步驟(1)選取不共線的兩個(gè)平面向量作為基．(2)將相關(guān)的向量用基向量表示，將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題．(3)利用向量知識進(jìn)行向量運(yùn)算，得向量問題的解．(4)再將向量問題的解轉(zhuǎn)化為平面幾何問題的解．題型四平面向量的坐標(biāo)表示例5．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，，分別為與兩個(gè)坐標(biāo)軸正方向同向的單位向量，，是平面內(nèi)的向量，且A點(diǎn)坐標(biāo)為，則下列說法正確的是．(填序號)

①向量可以表示為；②只有當(dāng)?shù)钠瘘c(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)；③若，則終點(diǎn)A的坐標(biāo)就是向量的坐標(biāo)．【答案】①③【分析】根據(jù)向量基本定義和向量坐標(biāo)化知識一一分析即可.【詳解】由平面向量的基本定理知，有且只有一對實(shí)數(shù)，，使得，所以①正確．此時(shí)為的坐標(biāo)，記作，只有當(dāng)時(shí)，，故②錯(cuò)，③正確．故答案為：①③.變式1．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）如圖，分別取與x軸，y軸正方向相同的兩個(gè)單位向量作為基底，若，，則向量的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用基底法分解向量，再表示成坐標(biāo)即可.【詳解】由題意得，.故選：A變式2．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，向量的方向如圖所示，且，，，分別計(jì)算出它們的坐標(biāo)．【答案】，，．【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)的定義，以及向量的模和三角函數(shù)，即可求解向量的坐標(biāo).【詳解】設(shè)，，，則，，，，，，因此，，．變式3．（2024高三上·江蘇常州·期末）已知扇形的半徑為5，以為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，，，弧的中點(diǎn)為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，則，求出，利用同角三角函數(shù)關(guān)系得到，，求出答案.【詳解】令，則，，解得，即，又，又，解得，，，即，所以.故選：B．【方法技巧與總結(jié)】在向量的坐標(biāo)表示中，一定要分清表示向量的有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)的坐標(biāo)，同時(shí)注意區(qū)分點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)寫法的不同．題型五平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算例6．【多選】（2024高一下·全國·專題練習(xí)）下列各式不正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，則【答案】ACD【分析】向量加、減法的坐標(biāo)運(yùn)算逐項(xiàng)排除可得答案．【詳解】對于A，若，，則，A錯(cuò)誤；對于B，若，，則，B正確；對于C，若，，則，C錯(cuò)誤；對于D，若，，則，D錯(cuò)誤.故選：ACD變式1．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）已知，，求：(1)；(2)；(3).【答案】(1)(2)(3)【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)的線性運(yùn)算可得.【詳解】（1）（2）（3）變式2．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）已知，若，，求的坐標(biāo)．【答案】【分析】通過兩個(gè)向量等式求得兩點(diǎn)坐標(biāo)，即得的坐標(biāo).【詳解】設(shè)由可得：即得：，即．由可得：即得：，即.于是.變式3．【多選】（2024高一下·全國·專題練習(xí)）已知平面內(nèi)平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)則第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B．C． D．【答案】BC【分析】分類討論構(gòu)成平行四邊形的對角線，根據(jù)平行四邊形對角線互相平分，設(shè)，利用線段的中點(diǎn)公式計(jì)算即可得的坐標(biāo)．【詳解】設(shè)，若構(gòu)成的平行四邊形為，即為一條對角線，則由中點(diǎn)也是中點(diǎn)，可得，解得，所以；同理可得，若構(gòu)成以為對角線的平行四邊形，則，即；若構(gòu)成以為對角線的平行四邊形，則，即；所以第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為可以為：或或．故選：BC．變式4．（2024高一下·全國·課后作業(yè)）已知向量，，若滿足，則（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)運(yùn)算直接得解.【詳解】因?yàn)?，，且滿足，所以，故選：A.變式5．（2024高一下·四川自貢·期中）已知點(diǎn)，點(diǎn)在線段的延長線上，且，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是.【答案】【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為，設(shè)，結(jié)合向量的坐標(biāo)表示，列出方程組，即可求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)，點(diǎn)在線段的延長線上，且，可得，設(shè)，則，即，解得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】1．向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行的，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，然后再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算，另外，解題過程中要注意方程思想的運(yùn)用．2．利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題，主要根據(jù)相等的向量坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程(組)進(jìn)行求解．題型六平面向量共線的坐標(biāo)表示（一）向量共線的判定與證明例7．（2024高三上·上海浦東新·階段練習(xí)）設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分非必要條件B．必要非充分條件 C．充分必要條件D．非充分非必要條件【答案】A【分析】先得到充分性成立，再舉出反例得到必要性不成立，得到答案.【詳解】若，則，即，故，充分性成立，不妨設(shè)，此時(shí)，但不滿足，故必要性不成立，所以“”是“”的充分非必要條件.故選：A變式1．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）下列各組向量中，共線的是（）A．，B．，C．，D．，【答案】B【分析】根據(jù)向量共線的充要條件，即可判斷選項(xiàng).【詳解】若兩個(gè)向量共線，則，其中只有B選項(xiàng)，滿足條件.故選：B變式2．【多選】（2024高一·全國·課后作業(yè)）下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】判斷兩個(gè)平面向量能否構(gòu)成平面的基底，只需判斷它們是否共線即可，不共線才能作為平面的基底.【詳解】能作為平面內(nèi)的基底，須使兩向量與不平行，若，則，故只需判斷選項(xiàng)中的兩向量的坐標(biāo)是否滿足即得.對于A選項(xiàng)，因，∴與不平行，故A項(xiàng)正確；對于B選項(xiàng)，，∴與不平行，故B項(xiàng)正確；對于C選項(xiàng)，，∴與不平行，故C項(xiàng)正確；對于D選項(xiàng)，，∴，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC.變式3．（2024高一下·河南·期中）下列向量中與共線的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)共線向量定理判斷即可.【詳解】因?yàn)?，由共線向量定理可知向量與共線.故選：C.（二）利用向量共線的坐標(biāo)表示求參數(shù)例8．（2024高一下·河南洛陽·階段練習(xí)）已知向量，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】利用向量共線的坐標(biāo)表示，結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷即得.【詳解】向量，，解得，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A變式1．（2024高一·江蘇·專題練習(xí)）已知向量，.若與平行，則（）A． B．C．7 D．【答案】D【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量共線的充要條件得到方程，解出即可.【詳解】，由與平行，可得，解得.故選：D.變式2．（2024高一·江蘇·專題練習(xí)）已知向量，.若，則．【答案】【分析】利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量共線得到方程，解出即可.【詳解】，，因?yàn)?，所以，所?故答案為：.變式3．（2024高二上·浙江·期末）已知平面向量，，且，則（

）A． B．0 C．1 D．【答案】A【分析】首先求出、的坐標(biāo)，再根據(jù)平面向量共線的坐標(biāo)表示得到方程，解得即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，，因?yàn)?，所以，解?故選：A變式4．（2024高一·全國·專題練習(xí)）平面內(nèi)給定三個(gè)向量，且，求實(shí)數(shù)關(guān)于的表達(dá)式.【答案】【分析】由向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算以及向量平行的充要條件即可列式求解.【詳解】因?yàn)椋?所以，即.變式5．（2024高三上·江西贛州·階段練習(xí)）已知向量，若與共線且同向，則實(shí)數(shù)λ的值為（

）A．2 B．4 C． D．或4【答案】C【分析】通過向量共線且同向，即可求出實(shí)數(shù)的值并檢驗(yàn)即可得解.【詳解】因?yàn)?，，且與共線且同向，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，，則，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，則，不滿足題意；綜上，.故選：C．變式6．（2024高一下·湖南岳陽·期末）設(shè)，向量，，且，則（

）A． B． C．10 D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，列出方程求得，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求解.【詳解】由向量，，因?yàn)?，可得，解得，所以，所?故選：D.（三）三點(diǎn)共線問題例9．（2024高一·全國·隨堂練習(xí)）判斷下列各組三點(diǎn)是否共線：(1)，，；(2)，，；(3)，，.【答案】(1)A，B，C三點(diǎn)不共線.(2)D，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線(3)G，H，L三點(diǎn)共線【分析】根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)確定向量的坐標(biāo)，再根據(jù)向量共線定理即可判斷.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以與不共線，所以A，B，C三點(diǎn)不共線.（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)橹本€DE與DF有公共點(diǎn)D，所以D，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線.（3）因?yàn)椋?，因?yàn)橹本€GH與GL有公共點(diǎn)G，所以G，H，L三點(diǎn)共線.變式1．（2024高三上·上海黃浦·開學(xué)考試）若三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形，則.【答案】【分析】三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線，利用向量共線的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】當(dāng)三點(diǎn)共線，即時(shí)，三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形.由已知得，，由得，，解得.故答案為：.變式2．（2024高二上·北京豐臺·期中）已知，，三點(diǎn)共線，則.【答案】/【分析】由平面向量基本定理可知，若三點(diǎn)共線，則存在唯一的實(shí)數(shù)使得，利用等量關(guān)系計(jì)算的值.【詳解】若三點(diǎn)共線，則存在唯一的實(shí)數(shù)使得，所以，則，即，則.故答案為：變式3．（2024高一下·河北邯鄲·期中）已知向量，，，若B，C，D三點(diǎn)共線，則（

）A．－16 B．16 C． D．【答案】A【分析】先求出和，根據(jù)B，C，D三點(diǎn)共線得到，進(jìn)而列出方程求解.【詳解】由題意得，，因?yàn)锽，C，D三點(diǎn)共線，所以，則，得.故選：A.變式4．（2024高一下·江蘇無錫·期末）已知點(diǎn)，，，若A，B，C三點(diǎn)共線，則的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算的坐標(biāo)關(guān)系即可求解.【詳解】由題意可知由于A，B，C三點(diǎn)共線，所以與共線，所以，所以,故選：D變式5．（2024高一下·福建漳州·期中）已知向量，.(1)若與共線，求的值；(2)若，，且三點(diǎn)共線，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)共線向量的坐標(biāo)表示可構(gòu)造方程求得結(jié)果；（2）由三點(diǎn)共線可知共線，由此可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】（1），，又與共線，，解得：.（2），，又三點(diǎn)共線，，解得：.變式6．（2024高三上·天津河北·期中）設(shè)，，，其中，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，，三點(diǎn)共線，則，的最小值為.【答案】2【分析】由題意求得，根據(jù)三點(diǎn)共線可得向量共線，利用向量共線的條件可得的值，將化為，展開后利用基本不等式即可求得答案.【詳解】由，，可得，由于，，三點(diǎn)共線，故共線，所以，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時(shí)取等號，故答案為：2；【方法技巧與總結(jié)】1.向量共線的判定方法(1)利用向量共線定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b.(2)利用向量共線的坐標(biāo)表達(dá)式x1y2－x2y1＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))直接判斷a與b是否平行．2.根據(jù)向量共線的條件求參數(shù)問題的兩種思路(1)利用向量共線定理，由a＝λb(b≠0)列方程組求解．(2)利用向量共線的坐標(biāo)表達(dá)式x1y2－x2y1＝0求解．3.利用向量解決三點(diǎn)共線問題的一般思路：(1)利用三點(diǎn)構(gòu)造出兩個(gè)向量，求出唯一確定的實(shí)數(shù)λ；(2)利用向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示得出兩向量共線，再結(jié)合兩向量過同一點(diǎn)，可得兩向量所在的直線必重合，即三點(diǎn)共線．一、單選題1．（2024高一下·河南·期中）設(shè)、是不共線的兩個(gè)非零向量，則下列四組向量不能作為基底的是（）A．和 B．與C．與 D．與【答案】C【分析】判斷出哪個(gè)選項(xiàng)的兩個(gè)向量共線即可.【詳解】對于C，共線，不能作為基底，對于ABD，兩組向量都不共線，故選：C.2．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖，在中，為的中點(diǎn)，，與交于點(diǎn)，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由向量共線的性質(zhì)分別設(shè)，，結(jié)合條件依次表示出，，對應(yīng)解出，即可求解.【詳解】設(shè)，，則，而與不共線，∴，解得，∴.故選：A.3．（2024高三上·全國·競賽）平面向量，則（

）A．3 B．5 C．7 D．11【答案】B【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及模的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：B4．（2024高一·江蘇·專題練習(xí)）已知，，三點(diǎn)共線，且，，若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量共線定理可得解.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，所以，又，，所以，所以，故選：A.5．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）已知向量，，則等于（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)的加減可得.【詳解】故選：A6．（2024高一下·江蘇連云港·階段練習(xí)）如圖所示的矩形中，，滿足，，G為EF的中點(diǎn)，若，則的值為（

）A． B．3 C． D．2【答案】A【分析】以為基底，根據(jù)平面向量線性運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)?，，G為EF的中點(diǎn)，所以，所以，所以.故選：A7．（2024高三上·全國·階段練習(xí)）在平行四邊形中，，，若，則（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】D【分析】根據(jù)向量的加減運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算可得，從而得解.【詳解】，，，，，，，．故選：D．8．（2024·全國·模擬預(yù)測）在中，，是的中線，若，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用平面向量的減法可得出關(guān)于、的表達(dá)式.【詳解】如下圖所示：

因?yàn)?，則，可得，因?yàn)闉榈闹芯€，即點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，.故選：B.二、多選題9．（2024高一上·湖南長沙·期末）下列各組向量中，不能作為基底的是（

）A．，B．，C．，D．，【答案】ACD【分析】分別判斷四個(gè)選項(xiàng)中的兩個(gè)向量是否共線得到答案.【詳解】對于A，，，由零向量與任意向量共線，可知兩個(gè)向量不能作為基底；對于B，因?yàn)?，，所以，所以兩個(gè)向量不共線，可以作為基底；對于C，因?yàn)?，，所以，可知兩個(gè)向量共線，故不可以作為基底；對于D，由，，得：，可知兩個(gè)向量共線，故不能作為基底；故選：ACD10．（2024高一下·江蘇連云港·期中）如圖，中，，點(diǎn)E在線段AC上，AD與BE交于點(diǎn)F，，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】由已知可得，進(jìn)而可得，判斷A；設(shè)，利用，，共線可求，進(jìn)而可判斷B；根據(jù)，利用三角形面積比可判斷