第二輯數(shù)列（解答題）……………………01新定義（解答題）…………………07函數(shù)及其性質(zhì)（選填題）………12三角函數(shù)的圖象及其性質(zhì)（選填題）……………19三角恒等變換（選填題）…………26數(shù)列（解答題）年份題號分值題干2023年新高考I卷2012（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）設(shè)等差數(shù)列的公差為，且．令，記分別為數(shù)列的前項(xiàng)和．(1)若，求的通項(xiàng)公式；(2)若為等差數(shù)列，且，求．等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算；利用等差數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算；等差數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算2023年新高考II卷1812（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．利用定義求等差數(shù)列通項(xiàng)公式；分組（并項(xiàng)）法求和；等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算；求等差數(shù)列前n項(xiàng)和2022年新高考I卷1710（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．裂項(xiàng)相消法求和；累乘法求數(shù)列通項(xiàng)；利用與關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)；利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求數(shù)列中的項(xiàng)2022年新高考II卷1710（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且．(1)證明：；(2)求集合中元素個(gè)數(shù)．等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算；等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算；數(shù)列不等式能成立（有解）問題近三年新高考數(shù)學(xué)數(shù)列解答題考查情況總結(jié)1.考點(diǎn)方面數(shù)列基本量計(jì)算：等差數(shù)列通項(xiàng)公式前項(xiàng)和公式的基本量計(jì)算是核心。如2023年新課標(biāo)I卷、Ⅱ卷，2022年新高考卷均涉及。數(shù)列通頂公式求解：利用定義法（如等差數(shù)列定義）、與的關(guān)系(求通項(xiàng)。如2022年新高考I卷通過為等差數(shù)列求通項(xiàng)。數(shù)列求和與綜合：分組求和（如2023年新課標(biāo)II卷)、裂項(xiàng)相消法（如2022年新高考I卷證明不等式)；數(shù)列與不等式結(jié)合（如證明。2.題目設(shè)置方面通常設(shè)置兩問，第一問求數(shù)列通項(xiàng)公式，第二問求和或證明不等式、比較大?。ㄈ?023年新課標(biāo)卷證明時(shí)整體考點(diǎn)穩(wěn)定，注重對數(shù)列基本公式、方法的理解與運(yùn)用，兼顧計(jì)算能力和邏輯推理能力的考查。題型與分值：預(yù)計(jì)以一道解答題（分值約12-17分）呈現(xiàn)，設(shè)置兩問，梯度分明。?考查方向?數(shù)列基本性質(zhì)：等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式仍是考查重點(diǎn)，可能結(jié)合遞推關(guān)系求通項(xiàng)。?數(shù)列求和方法：裂項(xiàng)相消法、分組求和法、錯位相減法等仍會考查，尤其裂項(xiàng)相消在證明不等式或求和中出現(xiàn)概率高。?綜合應(yīng)用：數(shù)列與不等式的綜合（如證明數(shù)列和的范圍、不等式恒成立求參數(shù)），或與函數(shù)結(jié)合考查數(shù)列的單調(diào)性、最值。?計(jì)算與推理：注重基本概念與公式的靈活運(yùn)用，第二問可能設(shè)置一定計(jì)算量或推理過程，如通過數(shù)列求和證明不等式，考查邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性和運(yùn)算準(zhǔn)確性。等差數(shù)列通項(xiàng)公式：或等比數(shù)列通項(xiàng)公式：通項(xiàng)公式的構(gòu)造（1）已知，我們可以用待定系數(shù)法構(gòu)造，從而轉(zhuǎn)化為我們熟悉的等比數(shù)列求解（2）已知用求通項(xiàng)（3）已知用求通項(xiàng)公式，其本質(zhì)是除以一個(gè)指數(shù)式（4）已知用求通項(xiàng)公式，其本質(zhì)是待定系數(shù)法（5）已知用求通項(xiàng)公式，其本質(zhì)是除以（6）已知用求通項(xiàng)公式，其本質(zhì)是取到數(shù)（7）已知用求通項(xiàng)公式，其本質(zhì)是取對數(shù)的類型，公式數(shù)列求和的常用方法：對于等差、等比數(shù)列，利用公式法可直接求解；等差數(shù)列求和，等比數(shù)列求和對于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，用錯位相減法求和；為公差為d的等差數(shù)列，為公比為q的等比數(shù)列，若數(shù)列滿足，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為（3）對于結(jié)構(gòu)，利用分組求和法；（4）對于結(jié)構(gòu)，其中是等差數(shù)列，公差為，則，利用裂項(xiàng)相消法求和.或通項(xiàng)公式為形式的數(shù)列，利用裂項(xiàng)相消法求和.即常見的裂項(xiàng)技巧：；；指數(shù)型；對數(shù)型.等典例1（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）設(shè)等差數(shù)列的公差為，且．令，記分別為數(shù)列的前項(xiàng)和．(1)若，求的通項(xiàng)公式；(2)若為等差數(shù)列，且，求．典例2（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．典例3（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知是公差為的等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：．典例4（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且．(1)證明：；(2)求集合中元素個(gè)數(shù)．【名校預(yù)測·第一題】（貴州省貴陽市第一中學(xué)2025屆高三下數(shù)學(xué)試卷）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【名校預(yù)測·第二題】（湖北省武漢市華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期數(shù)學(xué)試題）數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列滿足，且數(shù)列的前n項(xiàng)和為．(1)求，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)抽去數(shù)列中點(diǎn)第1項(xiàng)，第4項(xiàng)，第7項(xiàng)，…，第項(xiàng)，余下的項(xiàng)順序不變，組成一個(gè)新數(shù)列，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：．【名校預(yù)測·第三題】（遼寧省本溪市高級中學(xué)2025屆高三下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列滿足為數(shù)列的前n項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)m，，使得?若存在，求出m，k的值；若不存在，請說明理由．【名師押題·第一題】已知數(shù)列滿足，．(1)求證：是等差數(shù)列；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【名師押題·第二題】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)若，求；(2)若，求關(guān)于n的表達(dá)式．【名師押題·第三題】已知數(shù)列滿足，（），記．(1)求證：是等比數(shù)列；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為．若不等式對一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【名師押題·第四題】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列．(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．(3)設(shè)，證明：．【名師押題·第五題】已知數(shù)列滿足．(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)設(shè)，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為．（i）求；（ii）若成立，求m的取值范圍．新定義（解答題）年份題號分值題干2024年新高考I卷1917（2024·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng)和后剩余的項(xiàng)可被平均分為組，且每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列．(1)寫出所有的，，使數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；(2)當(dāng)時(shí)，證明：數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；(3)從中任取兩個(gè)數(shù)和，記數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的概率為，證明：．?dāng)?shù)列新定義；等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算，數(shù)列與概率交匯結(jié)合新高考數(shù)學(xué)新定義解答題考查情況總結(jié)?考點(diǎn)方面：聚焦于對新定義概念的理解與運(yùn)用，如2024年新高考全國I卷“可分?jǐn)?shù)列”的新定義，結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算，以及數(shù)列與概率的交匯考查。注重知識的綜合運(yùn)用，要求考生快速理解新定義，并調(diào)用已有知識（如數(shù)列性質(zhì)、概率計(jì)算）進(jìn)行分析。?題目設(shè)置方面：通常設(shè)置多問，第一問常為具體實(shí)例探索（如寫出滿足條件的所有可分?jǐn)?shù)列），幫助考生初步理解新定義；后續(xù)問題逐步深入（如證明某數(shù)列符合新定義、計(jì)算相關(guān)概率并證明不等式），對數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和運(yùn)算求解能力要求較高。整體強(qiáng)調(diào)對新定義的深度理解與綜合應(yīng)用，考查考生學(xué)習(xí)新知識并解決問題的素養(yǎng)。?2025年新高考新定義解答題高考預(yù)測?題型與考查形式：預(yù)計(jì)2025年新高考仍會以新定義題考查學(xué)生創(chuàng)新思維與綜合能力，可能涉及更多元的知識交匯，如數(shù)列與函數(shù)、幾何、概率統(tǒng)計(jì)等的結(jié)合。題目或設(shè)多問，第一問引導(dǎo)理解新定義，后續(xù)問題增加難度，深入考查應(yīng)用能力。?考點(diǎn)趨勢：除數(shù)列相關(guān)新定義外，函數(shù)、幾何領(lǐng)域的新定義考查概率增加。例如，給出函數(shù)的新性質(zhì)定義，或幾何圖形的新判定規(guī)則，要求考生通過分析、推理、計(jì)算解決問題。注重對數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和創(chuàng)新意識的考查，計(jì)算與證明過程可能更復(fù)雜，強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)知識的靈活運(yùn)用與思維的開放性。一、數(shù)列新定義問題1.考察對定義的理解。2.考查滿足新定義的數(shù)列的簡單應(yīng)用，如在某些條件下，滿足新定義的數(shù)列有某些新的性質(zhì)，這也是在新環(huán)境下研究“舊”性質(zhì)，此時(shí)需要結(jié)合新數(shù)列的新性質(zhì)，探究“舊”性質(zhì).3.考查綜合分析能力，主要是將新性質(zhì)有機(jī)地應(yīng)用在“舊”性質(zhì)上，創(chuàng)造性地證明更新的性質(zhì).遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，轉(zhuǎn)化為已有的知識點(diǎn)是考查的重點(diǎn)，這類思想需要熟練掌握.二、函數(shù)新定義問題涉及函數(shù)新定義問題，理解新定義，找出數(shù)量關(guān)系，聯(lián)想與題意有關(guān)的數(shù)學(xué)知識和方法，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化、抽象為相應(yīng)的函數(shù)問題作答.關(guān)于新定義題的思路有：1.找出新定義有幾個(gè)要素，找出要素分別代表什么意思；2.由已知條件，看所求的是什么問題，進(jìn)行分析，轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語言；3.將已知條件代入新定義的要素中；4.結(jié)合數(shù)學(xué)知識進(jìn)行解答.三、集合新定義問題對于以集合為背景的新定義問題的求解策略：1.緊扣新定義，首先分析新定義的特點(diǎn)，把心定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，應(yīng)用到具體的解題過程中；2.用好集合的性質(zhì)，解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用的集合的性質(zhì)的一些因素.3.涉及有交叉集合的元素個(gè)數(shù)問題往往可采用維恩圖法，基于課標(biāo)要求的，對于集合問題，要熟練基本的概念，數(shù)學(xué)閱讀技能、推理能力，以及數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理能力.4.認(rèn)真歸納類比即可得出結(jié)論，但在推理過程中要嚴(yán)格按照定義的法則或相關(guān)的定理進(jìn)行，同時(shí)運(yùn)用轉(zhuǎn)化化歸思想，將陌生的問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問題，或?qū)?fù)雜的問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單的問題．典例1（2024·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng)和后剩余的項(xiàng)可被平均分為組，且每組的4個(gè)數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列．(1)寫出所有的，，使數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；(2)當(dāng)時(shí)，證明：數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列；(3)從中任取兩個(gè)數(shù)和，記數(shù)列是可分?jǐn)?shù)列的概率為，證明：．【名校預(yù)測·第一題】（山東省泰安第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題）全集，，，若中存在兩個(gè)非空子集，，滿足，，則稱，是的一個(gè)“組合分拆”，用表示集合的所有元素的和．(1)若．①若，，求；②若為偶數(shù)，證明：；(2)若，為給定的偶數(shù)，關(guān)于的方程存在有理數(shù)解，求的最小值，并寫出取得最小值時(shí)的一個(gè)集合．【名校預(yù)測·第二題】（廣東省深圳市高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期數(shù)學(xué)試題）對于一個(gè)給定的數(shù)列，令，則數(shù)列稱為數(shù)列的一階和數(shù)列，再令，則數(shù)列是數(shù)列的二階和數(shù)列，以此類推，可得數(shù)列的階和數(shù)列．(1)若的二階和數(shù)列是等比數(shù)列，且，，，，求；(2)若，求的二階和數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)若是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，是的一階和數(shù)列，且，，求正整數(shù)的最大值，以及取最大值時(shí)的公差．【名校預(yù)測·第三題】（浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題）對于無窮數(shù)列，，，，，我們稱為數(shù)列的生成函數(shù).生成函數(shù)是重要的計(jì)數(shù)工具之一.對于給定的正整數(shù)p，記方程的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)為，則為展開式中前的系數(shù).(1)寫出無窮常數(shù)列1，1，1，…的生成函數(shù)并化簡；(2)證明：；(3)本次測試共分為十一個(gè)大項(xiàng)，前十項(xiàng)各有三個(gè)小項(xiàng)，第十一項(xiàng)僅有兩個(gè)小項(xiàng).學(xué)生需參加所有項(xiàng)目獲取最終分?jǐn)?shù).計(jì)分規(guī)則如下：通過第大項(xiàng)中的每一個(gè)小項(xiàng)，都可獲得分，通過第十一項(xiàng)中的每一個(gè)小項(xiàng)，可獲得1分.記為總分為n分的所有得分組合數(shù)，求．【名校預(yù)測·第四題】（山西大學(xué)附屬中學(xué)校2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期3月模擬數(shù)學(xué)試題）定義可導(dǎo)函數(shù)p（x）在x處的函數(shù)為p（x）的“優(yōu)秀函數(shù)”，其中為p（x）的導(dǎo)函數(shù)．若，都有成立，則稱p（x）在區(qū)間D上具有“優(yōu)秀性質(zhì)”且D為（x）的“優(yōu)秀區(qū)間”．已知．(1)求出f（x）的“優(yōu)秀區(qū)間”；(2)設(shè)f（x）的“優(yōu)秀函數(shù)”為g（x），若方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解、．（?。┣髆的取值范圍；（ⅱ）證明：（參考數(shù)據(jù)：）．【名師押題·第一題】已知集合，集合B滿足．(1)判斷，，，中的哪些元素屬于B；(2)證明：若，，則；(3)證明：若，則．【名師押題·第二題】已知是函數(shù)定義域的子集，若，，成立，則稱為上的“函數(shù)”.(1)判斷是否是上的“函數(shù)”？請說明理由；(2)證明：當(dāng)（是與無關(guān)的實(shí)數(shù)），是上的“函數(shù)”時(shí)，；(3)已知是上的“函數(shù)”，若存在這樣的實(shí)數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，求的最大值.【名師押題·第三題】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，當(dāng)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)大于2時(shí)，將數(shù)列中各項(xiàng)的所有不同排列填入一個(gè)行列的表格中（每個(gè)格中一個(gè)數(shù)字），使每一行均為這個(gè)數(shù)的一個(gè)排列，將第行的數(shù)字構(gòu)成的數(shù)列記作，將數(shù)列中的第項(xiàng)記作．若對，均有，則稱數(shù)列為數(shù)列的“異位數(shù)列”，記表格中“異位數(shù)列”的個(gè)數(shù)為．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)當(dāng)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為時(shí)，求的值；(3)若數(shù)列為數(shù)列的“異位數(shù)列”，試討論的最小值．【名師押題·第四題】設(shè)是項(xiàng)數(shù)為且各項(xiàng)均不相等的正項(xiàng)數(shù)列，滿足下列條件的數(shù)列稱為的“等比關(guān)聯(lián)數(shù)列”：①數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為；②中任意兩項(xiàng)乘積都是中的項(xiàng)；③是公比大于1的等比數(shù)列．(1)已知數(shù)列是的“等比關(guān)聯(lián)數(shù)列”，且，，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知數(shù)列是的“等比關(guān)聯(lián)數(shù)列”，且的前3項(xiàng)成等比數(shù)列的概率為，求的值；(3)證明：不存在“等比關(guān)聯(lián)數(shù)列”．【名師押題·第五題】設(shè)數(shù)列和都有無窮項(xiàng)，已知存在非零常數(shù)，使得，此時(shí)稱數(shù)列是由“-生成”的．(1)如果是等比數(shù)列，滿足的，若數(shù)列是由“-生成”，求的值；(2)已知數(shù)列是由“-生成”的，如果存在非零常數(shù)，使得是由“-生成”的，求數(shù)列的通項(xiàng)；(3)設(shè)，且數(shù)列，，分別是由數(shù)列，，“-生成”的，表示數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知，求的最小值．函數(shù)及其性質(zhì)（選填題）年份題號分值題干2024年新高考I卷65（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（

） B． C． D．判斷指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)；研究對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性2024年新高考I卷85（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，，且當(dāng)時(shí)，則下列結(jié)論中一定正確的是（

）A．B．C．D．求函數(shù)值；比較函數(shù)值的大小關(guān)系2024年新高考II卷65（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）設(shè)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn)，則（

） B．C．1 D．2函數(shù)奇偶性的應(yīng)用；根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍；函數(shù)奇偶性的定義與判斷；求余弦（型）函數(shù)的奇偶性2024年新高考II卷85（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）設(shè)函數(shù)，若，則的最小值為（

） B．C． D．1由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式；函數(shù)不等式恒成立問題2023年新高考I卷45（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A．B．C． D．根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值；判斷指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性；已知二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間求參數(shù)值或范圍2023年新高考I卷115（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，則（

）．A．B．C．是偶函數(shù)D．為的極小值點(diǎn)函數(shù)奇偶性的定義與判斷；函數(shù)極值點(diǎn)的辨析2023年新高考II卷45（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）若為偶函數(shù)，則（

）． B．0C． D．1由奇偶性求參數(shù)；函數(shù)奇偶性的應(yīng)用2022年新高考I卷125（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（

）B．C． D．函數(shù)對稱性的應(yīng)用；函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系；抽象函數(shù)的奇偶性2022年新高考II卷85（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，則（

） B．C．0 D．1函數(shù)奇偶性的應(yīng)用；由抽象函數(shù)的周期性求函數(shù)值近三年新高考數(shù)學(xué)函數(shù)及其性質(zhì)選填題考查情況總結(jié)1.考點(diǎn)方面函數(shù)基本性質(zhì)：單調(diào)性（如根據(jù)分段函數(shù)或復(fù)合函數(shù)單調(diào)求參數(shù)）、奇偶性（由奇偶性求參數(shù)或判斷性質(zhì)）、對稱性（利用函數(shù)對稱性解決問題）是核心考點(diǎn)。例如2024年新課標(biāo)Ⅰ卷第6題考查分段函數(shù)單調(diào)求參數(shù)，2023年新課標(biāo)Ⅱ卷第4題由奇偶性求a值。函數(shù)綜合應(yīng)用：涉及函數(shù)值比較（2024年新課標(biāo)Ⅰ卷第8題）、函數(shù)零點(diǎn)與參數(shù)關(guān)系（2024年新課標(biāo)Ⅱ卷第6題）、不等式恒成立求最值（2024年新課標(biāo)Ⅱ卷第8題）。還考查抽象函數(shù)性質(zhì)（2022年新課標(biāo)Ⅱ卷第8題利用函數(shù)方程求累加和）。導(dǎo)數(shù)與函數(shù)結(jié)合：如2022年新課標(biāo)Ⅰ卷第12題通過導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)對稱性的關(guān)系解題，體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)工具性。2.題目設(shè)置方面以選擇題為主，分值5分，題干簡潔但綜合性強(qiáng)。注重對函數(shù)性質(zhì)的深度理解與靈活運(yùn)用，如根據(jù)單調(diào)性列不等式組、利用奇偶性建立方程、結(jié)合對稱性推導(dǎo)函數(shù)值關(guān)系等。1.題型與分值：預(yù)計(jì)2025年仍以選擇題或填空題形式出現(xiàn)，分值5-6分，保持對函數(shù)核心性質(zhì)的考查。2.考查方向核心性質(zhì)深化：函數(shù)的單調(diào)、奇偶、對稱性質(zhì)仍是重點(diǎn)，可能結(jié)合導(dǎo)數(shù)考查復(fù)雜函數(shù)單調(diào)性，或通過奇偶性與對稱性的綜合推導(dǎo)函數(shù)特征。綜合應(yīng)用拓展：函數(shù)與方程零點(diǎn)、不等式的綜合會更常見，如根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍，或利用函數(shù)單調(diào)性解不等式。也可能出現(xiàn)函數(shù)與數(shù)列的簡單交匯，如通過函數(shù)周期性求數(shù)列和。創(chuàng)新與靈活度：可能引入新情境或新定義（如給定特殊函數(shù)方程），考查對函數(shù)性質(zhì)的遷移應(yīng)用能力，注重思維靈活性與對知識的綜合運(yùn)用。單調(diào)性單調(diào)性的運(yùn)算①增函數(shù)（↗）增函數(shù)（↗）增函數(shù)↗②減函數(shù)（↘）減函數(shù)（↘）減函數(shù)↘③為↗，則為↘，為↘④增函數(shù)（↗）減函數(shù)（↘）增函數(shù)↗⑤減函數(shù)（↘）增函數(shù)（↗）減函數(shù)↘⑥增函數(shù)（↗）減函數(shù)（↘）未知（導(dǎo)數(shù)）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性奇偶性①具有奇偶性的函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱（大前提）②奇偶性的定義：奇函數(shù)：，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱偶函數(shù)：，圖象關(guān)于軸對稱③奇偶性的四則運(yùn)算周期性（差為常數(shù)有周期）①若，則的周期為：②若，則的周期為：③若，則的周期為：（周期擴(kuò)倍問題）④若，則的周期為：（周期擴(kuò)倍問題）對稱性（和為常數(shù)有對稱軸）軸對稱①若，則的對稱軸為②若，則的對稱軸為點(diǎn)對稱①若，則的對稱中心為②若，則的對稱中心為周期性對稱性綜合問題①若，，其中，則的周期為：②若，，其中，則的周期為：③若，，其中，則的周期為：奇偶性對稱性綜合問題①已知為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則的周期為：②已知為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則的周期為：典例1（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．典例2（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，，且當(dāng)時(shí)，則下列結(jié)論中一定正確的是（

）A． B．C． D．典例3（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）設(shè)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn)，則（

）A． B． C．1 D．2典例4（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）（多選）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，則（

）．A． B．C．是偶函數(shù) D．為的極小值點(diǎn)典例5（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）（多選）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【名校預(yù)測·第一題】（山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2025屆高三第五次診斷考試數(shù)學(xué)試題）函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【名校預(yù)測·第二題】（廣東省深圳市高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期數(shù)學(xué)試題）（多選）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，，則（

）A． B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C．的圖象關(guān)于直線對稱 D．【名校預(yù)測·第三題】（重慶市南開中學(xué)校2025屆高三下學(xué)期高考模擬數(shù)學(xué)試題）（多選）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋魹榕己瘮?shù)，且，，則（

）A．2026 B．2025 C．2024 D．2023【名校預(yù)測·第四題】（河南省鄭州外國語學(xué)校2024-2025學(xué)年高三調(diào)研考試）（多選）已知函數(shù)，的定義域?yàn)椋膶?dǎo)函數(shù)為，且，，若為偶函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．B．C．若存在使在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則的極小值點(diǎn)為D．若為偶函數(shù)，則滿足題意的唯一，滿足題意的不唯一【名師押題·第一題】已知是奇函數(shù)，則（

）A． B．0 C．1 D．2【名師押題·第二題】若不等式在上恒成立，且，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【名師押題·第三題】已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且，恒成立，則（

）A． B． C．1 D．【名師押題·第四題】已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，若，則（

）A． B． C．0 D．1【名師押題·第五題】（多選）已知定義在上的函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且滿足當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B．C． D．三角函數(shù)的圖象及其性質(zhì)（選填題）年份題號分值題干2024年新高考I卷75（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）當(dāng)時(shí)，曲線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．3B．4C．6D．8正弦函數(shù)圖象的應(yīng)用；求函數(shù)零點(diǎn)或方程根的個(gè)數(shù)2024年新高考II卷96（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）對于函數(shù)和，下列說法中正確的有（

）與有相同的零點(diǎn)B．與有相同的最大值C．與有相同的最小正周期D．與的圖象有相同的對稱軸求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值；求正弦（型）函數(shù)的最小正周期；求正弦（型）函數(shù)的對稱軸及對稱中心；求函數(shù)零點(diǎn)或方程根的個(gè)數(shù)2023年新高考I卷155（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是．根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍；余弦函數(shù)圖象的應(yīng)用2023年新高考II卷165（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知函數(shù)，如圖A，B是直線與曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，若，則．

由圖象確定正（余）弦型函數(shù)解析式；特殊角的三角函數(shù)值2022年新高考I卷65（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）記函數(shù)的最小正周期為T．若，且的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則（

）A．1B．C．D．3由正（余）弦函數(shù)的性質(zhì)確定圖象（解析式）2022年新高考II卷95（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）已知函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則（

）A．在區(qū)間單調(diào)遞減B．在區(qū)間有兩個(gè)極值點(diǎn)C．直線是曲線的對稱軸D．直線是曲線的切線求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）；求正弦（型）函數(shù)的對稱軸及對稱中心；利用正弦函數(shù)的對稱性求參數(shù)；求sinx型三角函數(shù)的單調(diào)性近三年新高考數(shù)學(xué)三角函數(shù)的圖象及其性質(zhì)選填題考查情況總結(jié)考點(diǎn)：涉及函數(shù)圖象交點(diǎn)（如2024年新課標(biāo)Ⅰ卷）、性質(zhì)比較（2024年新課標(biāo)Ⅱ卷）、性質(zhì)與參數(shù)求解（2023年新課標(biāo)Ⅰ卷）、圖象與特殊點(diǎn)（2023年新課標(biāo)Ⅱ卷）、綜合性質(zhì)判斷（2022年新課標(biāo)Ⅱ卷）。題型：以選擇題為主，分值5或6分，側(cè)重考查對三角函數(shù)圖象和性質(zhì)（周期、對稱軸等）的理解與應(yīng)用。2025年新高考預(yù)測題型與分值：預(yù)計(jì)為選擇題或填空題，分值約5-6分?？疾榉较颍荷罨诵男再|(zhì)（如結(jié)合多性質(zhì)求參數(shù)）；拓展圖象應(yīng)用（如交點(diǎn)問題、求參問題）；綜合創(chuàng)新（與導(dǎo)數(shù)結(jié)合求切線或考查圖象變換）。特殊角的三角函數(shù)值同角三角函數(shù)的基本關(guān)系平方關(guān)系：商數(shù)關(guān)系：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)函函數(shù)性質(zhì)圖象定義域值域最值當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．既無最大值也無最小值周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)．在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)．在上是增函數(shù)．對稱性對稱中心對稱軸對稱中心對稱軸對稱中心無對稱軸三角函數(shù)型函數(shù)的圖象和性質(zhì)正弦型函數(shù)、余弦型函數(shù)性質(zhì)，振幅，決定函數(shù)的值域，值域?yàn)闆Q定函數(shù)的周期，叫做相位，其中叫做初相正切型函數(shù)性質(zhì)的周期公式為：三角函數(shù)的伸縮平移變換伸縮變換（，是伸縮量）振幅，決定函數(shù)的值域，值域?yàn)?；若↗，縱坐標(biāo)伸長；若↘，縱坐標(biāo)縮短；與縱坐標(biāo)的伸縮變換成正比決定函數(shù)的周期，若↗，↘，橫坐標(biāo)縮短；若↘，↗，橫坐標(biāo)伸長；與橫坐標(biāo)的伸縮變換成反比平移變換（，是平移量）平移法則：左右，上下典例1（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）當(dāng)時(shí)，曲線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．6 D．8典例2（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）（多選）對于函數(shù)和，下列說法中正確的有（

）A．與有相同的零點(diǎn) B．與有相同的最大值C．與有相同的最小正周期 D．與的圖象有相同的對稱軸典例3（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是．典例4（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）記函數(shù)的最小正周期為T．若，且的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則（

）A．1 B． C． D．3典例5（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）（多選）已知函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則（

）A．在區(qū)間單調(diào)遞減B．在區(qū)間有兩個(gè)極值點(diǎn)C．直線是曲線的對稱軸D．直線是曲線的切線【名校預(yù)測·第一題】（2025屆湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三模擬考試一數(shù)學(xué)試題）（多選）已知函數(shù)，則（

）A．的圖象關(guān)于直線對稱B．為了得到函數(shù)的圖象，可將的圖象向右平移個(gè)單位長度C．在上的值域?yàn)镈．兩個(gè)相鄰的零點(diǎn)之差的絕對值為【名校預(yù)測·第二題】（重慶市南開中學(xué)校2025屆高三下學(xué)期高考模擬數(shù)學(xué)試題）若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為和，則（

）A． B． C． D．【名校預(yù)測·第三題】（浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)（）在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【名校預(yù)測·第四題】（河南省鄭州外國語學(xué)校2024-2025學(xué)年高三調(diào)研考試）函數(shù)（且在上單調(diào)，且，若在上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值最準(zhǔn)確的范圍是（

）A． B． C． D．【名校預(yù)測·第五題】（廣東省深圳市高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，其中，，其圖象關(guān)于直線對稱，對滿足的，，有，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是A． B．C． D．【名師押題·第一題】已知函數(shù)，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最大值為（

）A． B．C． D．【名師押題·第二題】已知函數(shù)在內(nèi)恰有3個(gè)最值點(diǎn)和3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【名師押題·第三題】下列關(guān)于函數(shù)說法正確的是（

）A．是函數(shù)圖象的一個(gè)對稱中心 B．的值域?yàn)镃．在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸【名師押題·第四題】（多選）已知函數(shù)，則（

）A．的定義域?yàn)?B．的最小正周期為C．在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．在區(qū)間上僅有2個(gè)零點(diǎn)【名師押題·第五題】（多選）已知函數(shù)，為常數(shù)，則下列說法正確的有（

）A．的最小正周期為B．當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)镃．在，上單調(diào)遞增D．若對于任意的，函數(shù)（a為常數(shù)）的圖象均與曲線總有公共點(diǎn)，則三角恒等變換（選填題）年份題號分值題干2024年新高考I卷45（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知，則（

）A． B．C． D．三角函數(shù)的化簡、求值——同角三角函數(shù)基本關(guān)系；用和、差角的余弦公式化簡、求值2024年新高考II卷135（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知為第一象限角，為第三象限角，，，則.用和、差角的正切公式化簡、求值2023年新高考I卷85（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知，則（

）． B．C． D．給值求值型問題；用和、差角的正弦公式化簡、求值；二倍角的余弦公式2023年新高考II卷75（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知為銳角，，則（

）． B． C． D．二倍角的余弦公式；半角公式2022年新高考II卷65（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）若，則（

）A．B．C．D．用和、差角的余弦公式化簡、求值；用和、差角的正弦公式化簡、求值近三年新高考數(shù)學(xué)三角恒等變換選填題考查情況總結(jié)1.考點(diǎn)：聚焦三角函數(shù)化簡求值，涉及和、差角公式（2024年新課標(biāo)Ⅰ卷）、正切公式（2024年新課標(biāo)Ⅱ卷）、二倍角公式（2023年新課標(biāo)Ⅰ卷）、半角公式（2023年新課標(biāo)Ⅱ卷）等。2.題型：以選擇題為主，分值5分，側(cè)重考查公式的靈活運(yùn)用與化簡求值能力。1.題型與分值：預(yù)計(jì)為選擇題或填空題，分值5-6分。2.考查方向：延續(xù)對和差角、二倍角等公式的考查，可能與其他知識結(jié)合，注重公式的靈活運(yùn)用，考查化簡求值問題。正弦的和差公式，余弦的和差公式，正切的和差公式，正弦的倍角公式 余弦的倍角公式升冪公式：，降冪公式：，正切的倍角公式推導(dǎo)公式輔助角公式，，其中，典例1（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．典例2（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知為第一象限角，為第三象限角，，，則.典例3（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知，則（

）．A． B． C． D．典例4（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知為銳角，，則（

）．A． B． C． D．典例5（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）若，則（

）A． B．C． D．【名校預(yù)測·第一題】（河南省鄭州外國語學(xué)校2024-2025學(xué)年高三調(diào)研考試）已知，，則（

）A． B． C． D．【名校預(yù)測·第二題】（浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題）設(shè)是銳角，，則（

）A． B． C． D．【名校預(yù)測·第三題】（貴州省貴陽市第一中學(xué)2025屆高三下學(xué)期數(shù)學(xué)試卷）已知，，，，則（

）A． B． C． D．【名校預(yù)測·第四題】（2025屆湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三模擬考試一數(shù)學(xué)試題）已知，則.【名校預(yù)測·第五題】（重慶市南開中學(xué)校2025屆高三下學(xué)期高考模擬數(shù)學(xué)試題）則（

）A． B． C． D．【名師押題·第一題】已知，都是銳角，，，則．【名師押題·第二題】已知，且滿足，則，則．【名師押題·第三題】已知，且，則（

）A．3 B．2 C． D．【名師押題·第四題】已知，且，則（

）A． B．C． D．【名師押題·第五題】已知，，且滿足，則最小值為（

）A． B． C． D．第三輯導(dǎo)數(shù)（選填題）………………………01立體幾何（選填題）…………………17直線與圓（選填題）…………………41圓錐曲線（選填題）…………………56數(shù)列（選填題）………………………85導(dǎo)數(shù)（選填題）年份題號分值題干考點(diǎn)2024年新高考I卷106（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）設(shè)函數(shù)，則（

）A．是的極小值點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）；求已知函數(shù)的極值點(diǎn)2024年新高考I卷135（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）若曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線，則.兩條切線平行、垂直、重合（公切線）問題；已知切線（斜率）求參數(shù)2024年新高考II卷116（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）設(shè)函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，是的極大值點(diǎn)C．存在a，b，使得為曲線的對稱軸D．存在a，使得點(diǎn)為曲線的對稱中心函數(shù)對稱性的應(yīng)用；函數(shù)單調(diào)性、極值與最值的綜合應(yīng)用；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)；判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間2023年新高考I卷115（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，則（

）．A．B．C．是偶函數(shù) D．為的極小值點(diǎn)函數(shù)奇偶性的定義與判斷；函數(shù)極值點(diǎn)的辨析2023年新高考II卷65（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的最小值為（

）．A． B．eC． D．由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)2023年新高考II卷115（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則（

）．A．B．C． D．根據(jù)二次函數(shù)零點(diǎn)的分布求參數(shù)的范圍；根據(jù)極值求參數(shù)2022年新高考I卷75（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）設(shè)，則（

） B． C． D．用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性；比較指數(shù)冪的大??；比較對數(shù)式的大小2022年新高考I卷105（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）若曲線有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是．求過一點(diǎn)的切線方程；求某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值2022年新高考I卷155（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)，則（

）有兩個(gè)極值點(diǎn)B．有三個(gè)零點(diǎn)C．點(diǎn)是曲線的對稱中心D．直線是曲線的切線求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）；求已知函數(shù)的極值點(diǎn)；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)2022年新高考II卷145（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）曲線過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為，．求過一點(diǎn)的切線方程近三年新高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)選填題考查情況總結(jié)1.考點(diǎn)：涵蓋利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間、極值點(diǎn)（2024年新課標(biāo)Ⅰ卷）；根據(jù)切線求參數(shù)（2024年新課標(biāo)Ⅰ卷）；函數(shù)對稱性、單調(diào)性與極值最值綜合（2024年新課標(biāo)Ⅱ卷）；函數(shù)奇偶性判斷（2023年新課標(biāo)Ⅰ卷）；由單調(diào)性求參數(shù)（2023年新課標(biāo)Ⅱ卷）；根據(jù)極值求參數(shù)范圍（2023年新課標(biāo)Ⅱ卷）；用導(dǎo)數(shù)比較大?。?022年新課標(biāo)Ⅰ卷）；求切線方程（2022年新課標(biāo)Ⅰ卷、Ⅱ卷）等。2.題型：以選擇題為主，分值5-6分，注重考查導(dǎo)數(shù)工具在研究函數(shù)性質(zhì)（單調(diào)性、極值、最值等）及切線問題中的應(yīng)用，對運(yùn)算和邏輯推理能力要求較高。題型與分值：預(yù)計(jì)仍為選擇題或填空題，分值5-6分。2.考查方向：持續(xù)考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)性質(zhì)的結(jié)合，如根據(jù)函數(shù)單調(diào)性、極值情況求參數(shù)；可能增加與函數(shù)圖象（如切線、零點(diǎn)分布）、不等式的綜合；也可能出現(xiàn)新穎的函數(shù)形式，考查對導(dǎo)數(shù)知識的靈活運(yùn)用和創(chuàng)新思維。八大常用函數(shù)的求導(dǎo)公式（為常數(shù)）；例：，，，，，，，導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算和的導(dǎo)數(shù)：差的導(dǎo)數(shù)：積的導(dǎo)數(shù)：（前導(dǎo)后不導(dǎo)前不導(dǎo)后導(dǎo)）商的導(dǎo)數(shù)：，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式函數(shù)中，設(shè)（內(nèi)函數(shù)），則（外函數(shù)）導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在某點(diǎn)處切線的斜率直線的點(diǎn)斜式方程直線的點(diǎn)斜式方程：已知直線過點(diǎn)，斜率為，則直線的點(diǎn)斜式方程為：用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù).判別是極大（?。┲档姆椒ó?dāng)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)時(shí)，（1）如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，則是極大值；（2）如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，則是極小值.常見的指對放縮，，，常見的三角函數(shù)放縮其他放縮，，，，，，常見函數(shù)的泰勒展開式（1），其中；（2），其中；（3），其中；（4），其中；（5）；（6）；（7）；（8）．由泰勒公式，我們得到如下常用的不等式：，，，，，，，，．典例1（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）若曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線，則.【答案】【分析】先求出曲線在的切線方程，再設(shè)曲線的切點(diǎn)為，求出，利用公切線斜率相等求出，表示出切線方程，結(jié)合兩切線方程相同即可求解.【詳解】由得，，故曲線在處的切線方程為；由得，設(shè)切線與曲線相切的切點(diǎn)為，由兩曲線有公切線得，解得，則切點(diǎn)為，切線方程為，根據(jù)兩切線重合,所以，解得.故答案為：典例2（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）（多選）設(shè)函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，是的極大值點(diǎn)C．存在a，b，使得為曲線的對稱軸D．存在a，使得點(diǎn)為曲線的對稱中心【答案】AD【分析】A選項(xiàng)，先分析出函數(shù)的極值點(diǎn)為，根據(jù)零點(diǎn)存在定理和極值的符號判斷出在上各有一個(gè)零點(diǎn)；B選項(xiàng)，根據(jù)極值和導(dǎo)函數(shù)符號的關(guān)系進(jìn)行分析；C選項(xiàng)，假設(shè)存在這樣的，使得為的對稱軸，則為恒等式，據(jù)此計(jì)算判斷；D選項(xiàng)，若存在這樣的，使得為的對稱中心，則，據(jù)此進(jìn)行計(jì)算判斷，亦可利用拐點(diǎn)結(jié)論直接求解.【詳解】A選項(xiàng)，，由于，故時(shí)，故在上單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，則在處取到極大值，在處取到極小值，由，，則，根據(jù)零點(diǎn)存在定理在上有一個(gè)零點(diǎn)，又，，則，則在上各有一個(gè)零點(diǎn)，于是時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，此時(shí)在處取到極小值，B選項(xiàng)錯誤；C選項(xiàng)，假設(shè)存在這樣的，使得為的對稱軸，即存在這樣的使得，即，根據(jù)二項(xiàng)式定理，等式右邊展開式含有的項(xiàng)為，于是等式左右兩邊的系數(shù)都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在這樣的，使得為的對稱軸，C選項(xiàng)錯誤；D選項(xiàng)，方法一：利用對稱中心的表達(dá)式化簡，若存在這樣的，使得為的對稱中心，則，事實(shí)上，，于是即，解得，即存在使得是的對稱中心，D選項(xiàng)正確.方法二：直接利用拐點(diǎn)結(jié)論任何三次函數(shù)都有對稱中心，對稱中心的橫坐標(biāo)是二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，，，，由，于是該三次函數(shù)的對稱中心為，由題意也是對稱中心，故，即存在使得是的對稱中心，D選項(xiàng)正確.故選：AD【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：（1）的對稱軸為；（2）關(guān)于對稱；（3）任何三次函數(shù)都有對稱中心，對稱中心是三次函數(shù)的拐點(diǎn)，對稱中心的橫坐標(biāo)是的解，即是三次函數(shù)的對稱中心典例3（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的最小值為（

）．A． B．e C． D．【答案】C【分析】根據(jù)在上恒成立，再根據(jù)分參求最值即可求出．【詳解】依題可知，在上恒成立，顯然，所以，設(shè)，所以，所以在上單調(diào)遞增，，故，即，即a的最小值為．故選：C．典例4（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）（多選）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則（

）．A． B． C． D．【答案】BCD【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由已知可得在上有兩個(gè)變號零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為一元二次方程有兩個(gè)不等的正根判斷作答.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，因?yàn)楹瘮?shù)既有極大值也有極小值，則函數(shù)在上有兩個(gè)變號零點(diǎn)，而，因此方程有兩個(gè)不等的正根，于是，即有，，，顯然，即，A錯誤，BCD正確.故選：BCD典例5（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)，導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定的大小.【詳解】方法一：構(gòu)造法設(shè)，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，設(shè)，則,令，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，所以故選：C.方法二：比較法解：，，，①，令則，故在上單調(diào)遞減，可得，即，所以；②，令則，令，所以，所以在上單調(diào)遞增，可得，即，所以在上單調(diào)遞增，可得，即，所以故典例6（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）（多選）已知函數(shù)，則（

）A．有兩個(gè)極值點(diǎn) B．有三個(gè)零點(diǎn)C．點(diǎn)是曲線的對稱中心 D．直線是曲線的切線【答案】AC【分析】利用極值點(diǎn)的定義可判斷A，結(jié)合的單調(diào)性、極值可判斷B，利用平移可判斷C；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷D.【詳解】由題，，令得或，令得，所以在，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以是極值點(diǎn)，故A正確；因，，，所以，函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上無零點(diǎn)，綜上所述，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，故B錯誤；令，該函數(shù)的定義域?yàn)?，，則是奇函數(shù)，是的對稱中心，將的圖象向上移動一個(gè)單位得到的圖象，所以點(diǎn)是曲線的對稱中心，故C正確；令，可得，又，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線方程為，故D錯誤.故選：AC.【名校預(yù)測·第一題】（山東省泰安第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)記為，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】D【來源】山東省泰安第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題【分析】化簡，令，判斷該函數(shù)的奇偶性，結(jié)合奇偶性以及，求得，根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得，進(jìn)而得，即，即可得解.【詳解】因?yàn)?，令，則，又因?yàn)椋院瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，所以；因?yàn)?，所以，即，又，所以，所以，所以．故選：D【名校預(yù)測·第二題】（廣東省深圳市高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期試題）已知曲線的切線與曲線也相切，若該切線過原點(diǎn)，則．【答案】【來源】廣東省深圳市高級中學(xué)高中園2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得曲線在點(diǎn)處的切線方程過原點(diǎn)得出切線方程為，再次利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得的切點(diǎn)，再帶入點(diǎn)計(jì)算求參.【詳解】因?yàn)榈膶?dǎo)數(shù)為，設(shè)切點(diǎn)為，所以切線斜率為，所以曲線在處的切線過原點(diǎn)，所以，即，所以，切線為，又切線與曲線相切，設(shè)切點(diǎn)為，因?yàn)?，所以切線斜率為，解得，所以，則，解得.故答案為：.【名校預(yù)測·第三題】（吉林省東北師范大學(xué)附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期試題）已知函數(shù)，若經(jīng)過點(diǎn)且與曲線相切的直線有三條，則的取值范圍是．【答案】【來源】吉林省長春市東北師范大學(xué)附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期期初考試數(shù)學(xué)試題【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，然后將經(jīng)過且與曲線相切的直線有三條轉(zhuǎn)化為與的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，求導(dǎo)，利用函數(shù)單調(diào)性畫出大致圖象，然后列不等式求解.【詳解】，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為，當(dāng)時(shí)，明顯只有一條切線，故，則，整理得，經(jīng)過且與曲線相切的直線有三條，即方程有三個(gè)解，即與的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，，當(dāng)或時(shí)，，所以在，上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，又，，所以的大致圖象如下：所以，解得.故答案為：.【名校預(yù)測·第四題】（2025屆湖南省長沙市雅禮中學(xué)高三4月試題）當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【來源】2025屆湖南省長沙市雅禮中學(xué)高三4月綜合自主測試（提升卷）數(shù)學(xué)試題【分析】由已知得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出的單調(diào)性，可得在時(shí)恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值可得答案.【詳解】由得，即，令，則，所以在上單調(diào)遞增，由，可得，，即在時(shí)恒成立，令，則，令得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，所以.故選：D.【名校預(yù)測·第五題】（遼寧省本溪市高級中學(xué)2025屆高三下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題）（多選）已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則下列命題正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)， B．函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)C．的解集為 D．，都有【答案】BCD【來源】遼寧省本溪市高級中學(xué)2025屆高三下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性求解析判斷A；解方程求零點(diǎn)判斷B；解不等式可判斷C；利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值，可得函數(shù)值域，即可判斷D.【詳解】對于A，函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，故，A錯誤；對于B，函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，故；當(dāng)時(shí)，令，解得；當(dāng)時(shí)，令，解得；故函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，B正確；對于C，當(dāng)時(shí)，令，解得；當(dāng)時(shí)，令，解得，則，故的解集為，C正確；對于D，當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，所以時(shí)，取最小值為，且時(shí)，，所以，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以時(shí)，取極大值為，且時(shí)，，時(shí)，，所以，所以，綜合以上，的值域?yàn)?，所以，都有，故D正確；故選：BCD【名師押題·第一題】已知函數(shù)，若與曲線相切，則實(shí)數(shù)．【答案】【分析】設(shè)切點(diǎn)為，得出過該點(diǎn)的切線方程結(jié)合已知即可求解．【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，又，則，所以切線方程為，即，所以，解得，故答案為：．【名師押題·第二題】已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可得恒成立，進(jìn)而分，兩種情況討論求解即可.【詳解】由，得，因?yàn)槭巧系脑龊瘮?shù)，則恒成立，即恒成立，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不恒成立，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，等價(jià)于對恒成立，則，即，則，設(shè)，，則，令，得；令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，即的最小值是.故選：C.【名師押題·第三題】已知函數(shù)恰有2個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【答案】【分析】由題可得有兩個(gè)不同正根，利用分離參數(shù)法得到.令，，只需與有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性與極值，利用數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，由，可得，要使函?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，只需有兩個(gè)不同正根，并且在的兩側(cè)的單調(diào)性相反，由得，，所以，由題意可知與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，，作出圖形如圖所示：由圖象可得實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故答案為：.【名師押題·第四題】（多選）已知函數(shù)，則（

）A．有三個(gè)零點(diǎn)B．，使得點(diǎn)為曲線的對稱中心C．既有極大值又有極小值D．，，【答案】CD【分析】結(jié)合零點(diǎn)的定義分析可得當(dāng)時(shí)，函數(shù)只有2個(gè)零點(diǎn)，即可判斷A；利用檢驗(yàn)判斷B；求導(dǎo)，分析函數(shù)的單調(diào)性即可判斷C；舉特例判斷D.【詳解】對于B，對于A，令，解得或，當(dāng)時(shí)，函數(shù)只有2個(gè)零點(diǎn)，故A錯誤；對于B，，則，又，要使點(diǎn)為曲線的對稱中心，則對，，此時(shí)，但，所以不存在，使得點(diǎn)為曲線的對稱中心，故B錯誤；對于C，由，則，由于，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，設(shè)，則或時(shí)，；時(shí)，，則函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則函數(shù)在取得極大值，在取得極小值，故C正確；對于D，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，故D正確.故選：CD.【名師押題·第五題】（多選）函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，的極小值為0B．若有3個(gè)零點(diǎn)，，，則C．若，則為奇函數(shù)D．當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】BD【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出的極小值，即可判斷A；利用韋達(dá)定理求出的零點(diǎn)之和判斷B；利用奇函數(shù)的定義判斷C；利用的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上的正負(fù)判斷D.【詳解】對于A，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；所以為的極小值，故A錯誤；對于B，由可知是其一個(gè)零點(diǎn)，令，令，設(shè)是的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理得，所以，若函數(shù)的3個(gè)零點(diǎn)為，，，則，故B正確；對于C，令，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)不是奇函數(shù)，故C錯誤；對于D，，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D正確.故選：BD.立體幾何（選填題）年份題號分值題干考點(diǎn)2024年新高考I卷55（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為，則圓錐的體積為（

）A． B．C． D．圓錐表面積的有關(guān)計(jì)算、錐體體積的有關(guān)計(jì)算、圓柱表面積的有關(guān)計(jì)算2024年新高考II卷75（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知正三棱臺的體積為，，，則與平面ABC所成角的正切值為（

）A．B．1C．2D．3求線面角錐體體積的有關(guān)計(jì)算臺體體積的有關(guān)計(jì)算2023年新高考I卷125（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)的有（

）A．直徑為的球體B．所有棱長均為的四面體C．底面直徑為，高為的圓柱體D．底面直徑為，高為的圓柱體正棱錐及基有關(guān)計(jì)算多面體與球體內(nèi)切外接問題2023年新高考I卷145（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）在正四棱臺中，則該棱臺的體積為．臺體體積的有關(guān)計(jì)算2023年新高考II卷95（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，，點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角為45°，則（

）．該圓錐的體積為B．該圓錐的側(cè)面積為C．D．的面積為錐體體積的有關(guān)計(jì)算由二面角大小求線段長度或距離圓錐表面積的有關(guān)計(jì)算二面角的概念及辨析2023年新高考II卷145（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為．正棱臺及基有關(guān)計(jì)算錐體體積的有關(guān)計(jì)算臺體體積的有關(guān)計(jì)算2022年新高考I卷85（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

）B．C． D．由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(不含參)多面體與球體內(nèi)切外接問題錐體體積的有關(guān)計(jì)算球的體積的有關(guān)計(jì)算2022年新高考I卷95（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）已知正方體，則（

）A．直線與所成的角為B．直線與所成的角為C．直線與平面所成的角為D．直線與平面ABCD所成的角為求異面直線所成的角求線面角2022年新高考II卷75（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（

）A． B．C． D．球的表面積的有關(guān)計(jì)算多面體與球體內(nèi)切外接問題2022年新高考II卷115（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）如圖，四邊形為正方形，平面，，記三棱錐，，的體積分別為，則（

）A．B．C．D．錐體體積的有關(guān)計(jì)算證明線面垂直近三年新高考數(shù)學(xué)立體幾何選填題考查情況總結(jié)?考點(diǎn)：涵蓋幾何體體積（圓柱、圓錐、棱臺、棱錐等，如2024年新課標(biāo)Ⅰ卷圓錐體積、2023年新課標(biāo)Ⅰ卷正四棱臺體積）、表面積（圓錐側(cè)面積等，如2023年新課標(biāo)Ⅱ卷）、空間角（線面角，如2024年新課標(biāo)Ⅱ卷）、球的表面積（2022年新課標(biāo)Ⅱ卷）及幾何體性質(zhì)綜合（如2022年新課標(biāo)Ⅰ卷正四棱錐體積范圍）。?題型：以選擇題為主，分值5分，側(cè)重考查空間想象能力、公式運(yùn)用及計(jì)算能力。2025年新高考立體幾何選填題高考預(yù)測?題型與分值：預(yù)計(jì)為選擇題或填空題，分值5-6分。?考查方向：延續(xù)對幾何體體積、表面積的考查，可能涉及空間角（如線面角、二面角）、球與幾何體的切接問題，或出現(xiàn)新穎幾何體，強(qiáng)化空間想象與運(yùn)算求解能力的考查。平面初等幾何基礎(chǔ)三角形的面積公式：正方形的面積公式：長方形的面積公式：平行四邊形的面積公式：菱形的面積公式：（，為菱形的對角線）梯形的面積公式：（為上底，為下底，為高）圓的周長和面積公式：，立體幾何基礎(chǔ)公式所有椎體體積公式：所有柱體體積公式：球體體積公式：球體表面積公式：圓柱：圓錐：長方體（正方體、正四棱柱）的體對角線的公式已知長寬高求體對角線：已知三條面對角線求體對角線：球體問題球體體積公式：，球體表面積公式：正方體、長方體、正四棱錐的外接球問題（類型Ⅰ）球心體心，直徑體對角線已知長寬高，，求體對角線，公式為：，直棱柱的外接球問題（類型Ⅱ），其中為直棱柱的高，為底面外接圓半徑（可用正弦定理求解）墻角問題可轉(zhuǎn)化為類型Ⅰ側(cè)棱底面問題可轉(zhuǎn)化為類型Ⅱ異面直線所成角=（其中（）為異面直線所成角，分別表示異面直線的方向向量）線面角直線與平面所成角，(為平面的法向量).二面角的平面角（，為平面，的法向量）.點(diǎn)到平面的距離（為平面的法向量，是經(jīng)過面的一條斜線，）.典例1（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為，則圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為，根據(jù)圓錐和圓柱的側(cè)面積相等可得半徑的方程，求出解后可求圓錐的體積.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，則圓錐的母線長為，而它們的側(cè)面積相等，所以即，故，故圓錐的體積為.故選：B.典例2（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知正三棱臺的體積為，，，則與平面ABC所成角的正切值為（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】解法一：根據(jù)臺體的體積公式可得三棱臺的高，做輔助線，結(jié)合正三棱臺的結(jié)構(gòu)特征求得，進(jìn)而根據(jù)線面夾角的定義分析求解；解法二：將正三棱臺補(bǔ)成正三棱錐，與平面ABC所成角即為與平面ABC所成角，根據(jù)比例關(guān)系可得，進(jìn)而可求正三棱錐的高，即可得結(jié)果.【詳解】解法一：分別取的中點(diǎn)，則，可知，設(shè)正三棱臺的為，則，解得，如圖，分別過作底面垂線，垂足為，設(shè)，則，，可得，結(jié)合等腰梯形可得,即，解得，所以與平面ABC所成角的正切值為；解法二：將正三棱臺補(bǔ)成正三棱錐，則與平面ABC所成角即為與平面ABC所成角，因?yàn)椋瑒t，可知，則，設(shè)正三棱錐的高為，則，解得，取底面ABC的中心為，則底面ABC，且，所以與平面ABC所成角的正切值.故選：B.典例3（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）在正四棱臺中，，則該棱臺的體積為．【答案】/【分析】結(jié)合圖像，依次求得，從而利用棱臺的體積公式即可得解.【詳解】如圖，過作，垂足為，易知為四棱臺的高，

因?yàn)?，則，故，則，所以所求體積為.故答案為：.典例4（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，，點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角為45°，則（

）．A．該圓錐的體積為 B．該圓錐的側(cè)面積為C． D．的面積為【答案】AC【分析】根據(jù)圓錐的體積、側(cè)面積判斷A、B選項(xiàng)的正確性，利用二面角的知識判斷C、D選項(xiàng)的正確性.【詳解】依題意，，，所以，A選項(xiàng)，圓錐的體積為，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，圓錐的側(cè)面積為，B選項(xiàng)錯誤；C選項(xiàng)，設(shè)是的中點(diǎn)，連接，則，所以是二面角的平面角，則，所以，故，則，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，，所以，D選項(xiàng)錯誤.故選：AC.

典例5（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)正四棱錐的高為，由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長與高的關(guān)系，由此確定正四棱錐體積的取值范圍.【詳解】∵球的體積為，所以球的半徑,[方法一]：導(dǎo)數(shù)法設(shè)正四棱錐的底面邊長為，高為，則，,所以，所以正四棱錐的體積，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，正四棱錐的體積取最大值，最大值為，又時(shí)，，時(shí)，,所以正四棱錐的體積的最小值為，所以該正四棱錐體積的取值范圍是.故選：C.[方法二]：基本不等式法由方法一故所以當(dāng)且僅當(dāng)取到，當(dāng)時(shí)，得，則當(dāng)時(shí)，球心在正四棱錐高線上，此時(shí)，，正四棱錐體積，故該正四棱錐體積的取值范圍是典例6（2022·新高考全國Ⅱ卷·高考真題）已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可求出正三棱臺上下底面所在圓面的半徑，再根據(jù)球心距，圓面半徑，以及球的半徑之間的關(guān)系，即可解出球的半徑，從而得出球的表面積．【詳解】設(shè)正三棱臺上下底面所在圓面的半徑，所以，即，設(shè)球心到上下底面的距離分別為，球的半徑為，所以，，故或，即或，解得符合題意，所以球的表面積為．故選：A．

【名校預(yù)測·第一題】（廣東省深圳市高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期第三次模擬試題）底面半徑為3的圓錐被平行底面的平面所截，截去一個(gè)底面半徑為1、高為2的圓錐，所得圓臺的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【來源】廣東省深圳市高級中學(xué)高中園2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題【分析】畫出圖形，由三角形相似比得到，再由兩圓錐的側(cè)面積之差計(jì)算可得.【詳解】如圖，設(shè)截面圓的圓心為，截面圓的半徑，底面圓半徑，，由于，所以，所以，所以原圓臺的側(cè)面積為，故選：A.【名校預(yù)測·第二題】（湖南省長沙市湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)2025屆高三下學(xué)期模擬試卷）一個(gè)圓錐的底面圓和頂點(diǎn)都恰好在同一個(gè)球面上，且該球的半徑為1，當(dāng)圓錐的體積取最大值時(shí)，圓錐的底面半徑為（

）A． B． C． D．【答案】B【來源】湖南省長沙市湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)2025屆高三下學(xué)期模擬（一）數(shù)學(xué)試卷【分析】根據(jù)給定條件，利用球的截面圓性質(zhì)及圓錐的體積公式列出函數(shù)關(guān)系，再利用導(dǎo)數(shù)求解.【詳解】如圖，根據(jù)題意，圓錐高為，底面圓半徑，外接球球心為，半徑，則球心到圓錐底面圓心距離，由，得，圓錐的體積，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞減，則當(dāng)時(shí)，圓錐的體積最大，此時(shí)底面圓半徑.故選：B【名校預(yù)測·第三題】（山東省泰安第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題）已知兩個(gè)正四棱錐組合成的簡單幾何體中，頂點(diǎn)，分別位于平面的兩側(cè)．其中正方形的邊長為2，兩個(gè)正四棱錐的側(cè)棱長均為3．則四棱錐的外接球的表面積為．【答案】【來源】山東省泰安第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題【分析】建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間中兩點(diǎn)距離公式即可得到球的半徑，從而利用球的表面積公式得到結(jié)果.【詳解】連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)，由正四棱錐性質(zhì)可知平面，平面，所以三點(diǎn)共線，又四邊形是正方形，可得兩兩垂直，且交于點(diǎn).以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，由，在中，，則，設(shè)四棱錐的外接球球心為，連接，則，得，解得，所以四棱錐的外接球的半徑的平方為，故四棱錐的外接球的表面積為.故答案為：.【名校預(yù)測·第四題】（吉林省東北師范大學(xué)附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期試題）（多選）已知邊長為2的等邊三角形，點(diǎn)均在平面的上方，，且與平面所成角分別為，則下列說法中正確的是（

）A．四面體的體積為定值B．面積的最小值為C．四面體體積的最大值為1D．當(dāng)四面體的體積最大時(shí)，其外接球的表面積為【答案】BCD【來源】吉林省長春市東北師范大學(xué)附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期期初考試數(shù)學(xué)試題【分析】由三棱錐體積公式計(jì)算即可判斷A項(xiàng)，由三角形面積公式及范圍計(jì)算即可判斷B項(xiàng)，當(dāng)取最大值且面時(shí)四面體體積取得最大值即可判斷C項(xiàng)，當(dāng)四面體體積最大時(shí)，，，兩兩垂直，進(jìn)而借助模型（長方體外接球直徑為其體對角線長）即可求得半徑，進(jìn)而可求得外接球表面積即可判斷D項(xiàng).【詳解】由題意知，與是共軸的圓錐母線，如圖所示，對于A項(xiàng)，由題意知，因?yàn)榍遗c平面所成角為，所以點(diǎn)到平面的距離為定值，所以四面體ABCM的體積為定值，故A項(xiàng)錯誤；對于B項(xiàng)，與是共軸的圓錐母線，所以，即，當(dāng)時(shí)，的面積最小，最小值為，故B項(xiàng)正確；對于C項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，的面積最大，最大值為，當(dāng)所在平面旋轉(zhuǎn)至與垂直時(shí)，四面體ABMN的高最長，最長值為2，所以體積的最大值為，故C項(xiàng)正確；對于D項(xiàng)，當(dāng)四面體體積最大時(shí)，線段，，兩兩垂直，所以其外接球直徑，所以外接球的表面積為，故D項(xiàng)正確．故選：BCD．【名校預(yù)測·第五題】（湖北省武漢市華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)試題）如圖，在直四棱柱中，底面為菱形，，P為的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則四面體的體積為定值B．若，則點(diǎn)的軌跡為一段圓弧C．若的外心為O，則為定值2D．若且，則存在點(diǎn)E在線段上，使得的最小值為【答案】ABD【來源】湖北省武漢市華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期開學(xué)檢測數(shù)學(xué)試題【分析】利用平行線的性質(zhì)結(jié)合給定條件判斷底面積和高都是定值來處理A，利用圓的定義結(jié)合夾角求解軌跡來處理B，利用三角形外心和向量數(shù)量積的性質(zhì)判斷C，將三角形翻折后，利用勾股定理和余弦定理判斷D即可.【詳解】對于A，如圖，取靠近的三等分點(diǎn)為，靠近的三等分點(diǎn)為，連接，因?yàn)椋?，令，而，則，得到，因?yàn)榭拷娜确贮c(diǎn)為，靠近的三等分點(diǎn)為，所以，而由直四棱柱性質(zhì)得，而，由勾股定理得，在直四棱柱中，，，得到四邊形是平行四邊形，故，則，由題意得為的中點(diǎn)，則的面積是定值，而面，面，所以面，結(jié)合，由線面平行性質(zhì)得到面的距離為定值，即四面體的體積為定值，故A正確，對于B，如圖，在面中，過作，連接，由直四棱柱性質(zhì)得面，則，而，面，故面，則，而面為菱形，則面為菱形，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，則，由銳角三角函數(shù)定義得，解得，由勾股定理得，因?yàn)椋杂晒垂啥ɡ淼?，則在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動，設(shè)該圓與交于，與交于，由三角函數(shù)定義得，則，即點(diǎn)的軌跡為一段圓弧，故B正確，對于C，如圖，作，由題意得的外心為，故是的中點(diǎn)，由已知得，因?yàn)椋?，而，，故C錯誤，對于D，若且，此時(shí)，因?yàn)镻為的中點(diǎn)，所以，由向量加法法則得，故，則點(diǎn)與點(diǎn)重合，此時(shí)把沿著翻折，如圖，使得四點(diǎn)共面，此時(shí)有最小值，此時(shí)的點(diǎn)均為翻折過的點(diǎn)，因?yàn)镻為的中點(diǎn)，所以，由勾股定理得，如圖，連接，由已知得，則，由余弦定理得，解得，由直四棱柱性質(zhì)得面，則，則由勾股定理得，則，故，而，則，得到，由余弦定理得，解得，故D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于根據(jù)所給條件結(jié)合線面位置關(guān)系確定點(diǎn)的軌跡，再結(jié)合錐體體積公式，空間圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)化解決問題即可.【名師押題·第一題】如圖所示，一個(gè)正四棱臺的上底邊長與側(cè)棱長相等，且為下底邊長的一半，一個(gè)側(cè)面的面積為，則該正四棱臺的體積為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】檢驗(yàn)所給定條件，結(jié)合正四棱臺的結(jié)構(gòu)特征求出正四棱臺的高擴(kuò)底面邊長，再利用臺體的體積公式計(jì)算得解.【詳解】設(shè)，則，正四棱臺的各個(gè)側(cè)面都為等腰梯形，上?下底面為正方形，在四邊形中，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，則，，解得，在平面中，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則為正四棱臺的高，且，因此，該正四棱臺的體積為.故選：D【名師押題·第二題】如圖，已知圓臺形水杯盛有水（不計(jì)厚度），杯口的半徑為，杯底的半徑為，高為，當(dāng)杯底水平放置時(shí)，水面的高度為水杯高度的一半，若放入一個(gè)半徑為的球（球被完全浸沒），水恰好充滿水杯，則（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】求出圓臺上面部分的體積，根據(jù)小球的體積恰好等于的體積求出球的半徑.【詳解】如圖，，又放入的球的半徑為，由于圓臺的體積，由題可知：，則，此時(shí)小球恰好與上下底面相切；下面考慮當(dāng)小球與側(cè)棱相切時(shí)，設(shè)球心為，球的半徑為，則，由于，則，則，那么，則，那么在上方，即該小球先與上下底面相切．

故選：D.【名師押題·第三題】已知正四棱臺的上底面的邊長為2，現(xiàn)有一個(gè)半球，球心為正方形的中心，且正四棱臺的上底面、四條側(cè)棱和下底面的四條邊均與球相切，則該半球的表面積為.【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用正四棱臺及半球的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合切線的性質(zhì)列式求出半球的半徑，進(jìn)而求出其表面積.【詳解】如圖，記正四棱臺的上底面的中心為，過作平面于，則點(diǎn)在上，記半球與分別相切于點(diǎn)，由正四棱臺和球的結(jié)構(gòu)特征知，為的中點(diǎn)，由，得，記半球半徑為，則，于是，在中，，解得，所以半球的表面積為.故答案為：【名師押題·第四題】（多選）如圖，在直棱柱中，底面是邊長為2的菱形，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，動點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)（包含邊界），則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．平面與平面所成角的余弦值為C．若，則點(diǎn)軌跡的長度為D．若點(diǎn)在直線上，則的最小值為【答案】ABC【分析】通過線面垂直可判斷線線垂直，判斷A的真假；利用投影面積法求二面角的余弦，判斷B的真假；弄清點(diǎn)的軌跡，再求其長度，可判斷C的真假；利用表面展開，轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間，直線段最短求的最小值，判斷D的真假.【詳解】如圖1，連接，由菱形可得．再由直棱柱，可得底面．又因?yàn)榈酌妫?，而平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，故A正確；，，，所以為直角三角形，且，其在底面投影的三角形的面積為，由投影面積法可得平面和平面所成角的余弦值為，故B正確；如圖2，動點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)（包含邊界），過作，垂足為，由直棱柱，所以平面平面，平面平面，平面，且，所以平面.而側(cè)面，即有，由菱形邊長為2，，可得，再由勾股定理得：，則點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓弧（如圖3中），則由側(cè)面正方形，可知，，可得，所以點(diǎn)軌跡的長度為，故C正確；由為直角三角形，且為等腰直角三角形，將與展開成一個(gè)平面圖，如圖4，則；由余弦定理得：，即，故的最小值為，故D錯誤．故選：ABC【名師押題·第五題】（多選）如圖，棱長為2的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱上，且，，其中，點(diǎn)是平面內(nèi)的一個(gè)動點(diǎn)（異于點(diǎn)），且，則（

）A．B．直線與平面所成的角的余弦值為C．當(dāng)變化時(shí)，平面截正方體所得的截面周長為定值D．點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為【答案】ACD【分析】以為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由結(jié)合空間向量的數(shù)量積即可判斷A；由線面夾角的向量公式即可判斷B；作出平面截正方體所得的截面，結(jié)合，，即可判斷；根據(jù)球的表面積公式即可判斷D．【詳解】以為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，設(shè)，則，所以，，所以，，，，，，因?yàn)椋?，所以，故A正確；因?yàn)?，，平面，所以平面，所以平面的法向量為，則直線與平面所成的角的正弦值為，所以直線與平面所成的角的余弦值為，故B錯誤；取上一點(diǎn)，滿足，則，因?yàn)?，且有公共點(diǎn)，所以平面，又平面，平面平面，所以共線，作出平面截正方體所得的截面，由，得為等腰直角三角形，同理可得均為等腰直角三角形，，所以截面周長為為定值，故C正確；當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，，所以，，，則，所以，所以三棱錐的外接球的球心在過中點(diǎn)，垂直于平面的直線上，連接，因?yàn)?，所以，所以四邊形為平行四邊形，則共面，設(shè)交點(diǎn)為，則，設(shè)球心為，，則，則，即，解得，半徑為，表面積為，故D正確；故選：ACD．直線與圓（選填題）年份題號分值題干考點(diǎn)2023年新高考I卷65（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）過點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則（

）A．1 B．C． D．切線長；給值求值型問題；余弦定理解三角形；已知點(diǎn)到直線距離求參數(shù)2023年新高考II卷155（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知直線與交于A，B兩點(diǎn)，寫出滿足“面積為”的m的一個(gè)值．圓的弦長與中點(diǎn)弦2022年新高考I卷145（2022·新高考全國Ⅰ卷·高考真題）寫出與圓和都相切的一條直線