專題19銳角三角形函數(shù)【母題來源】2021年中考廣東深圳卷【母題題文1】（2021·廣東深圳·中考真題）計算的值為（）A． B．0 C． D．【答案】C【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值、絕對值的性質(zhì)分別化簡得出答案．【解析】故選C．【點睛】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，絕對值的性質(zhì)等知識，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．【母題來源】2021年中考廣東卷【母題題文2】（2021·廣東·中考真題）如圖，在中，，作的垂直平分線交于點D，延長至點E，使．（1）若，求的周長；（2）若，求的值．【答案】（1）1；（2）【分析】(1)作出BC的垂直平分線，連接BD，由垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等得到DB=DC，由此即可求出△ABD的周長；(2)設，，進而求出，在Rt△ABD中使用勾股定理求得，由此即可求出的值．【解析】解：(1)如圖，連接，設垂直平分線交于點F，∵為垂直平分線，∴，∵，∴．(2)設，∴，又∵，∴，在中，．∴．【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三角函數(shù)的定義及勾股定理等知識，熟練掌握垂直平分線上的點到線段的兩個端點距離相等是解決本題的關(guān)鍵．【母題來源】2021年中考廣東廣州卷【母題題文3】（2021·廣東廣州·中考真題）如圖，在中，，，，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，使點落在AB邊上，連結(jié)，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由勾股定理求出，并利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得出，，，則可求得，再根據(jù)勾股定理求出，最后由三角形函數(shù)的定義即可求得結(jié)果．【解析】解：在中，，，，由勾股定理得：．∵繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，．∴．∴在中，由勾股定理得．∴．故選：C．【點睛】本題考查了求角的三角形函數(shù)值，掌握三角形函數(shù)的概念并利用勾股定理及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解是解題的關(guān)鍵．【母題來源】2021年中考廣東深圳卷【母題題文4】（2021·廣東深圳·中考真題）如圖，在點F處，看建筑物頂端D的仰角為32°，向前走了15米到達點E即米，在點E處看點D的仰角為64°，則的長用三角函數(shù)表示為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根據(jù)題目條件，利用外角的性質(zhì)，得出△DEF是等腰三角形，在Rt△DEC中，利用∠DEC的正弦即可表示出CD的長度．【解析】∵∠F=32°，∠DEC=64°，∴∠DEF=,∴,由題可知，△DCE為直角三角形，在Rt△DEC中，即：,∴,故選：C【點睛】本題考查三角形的外角，等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形的運算，解題關(guān)鍵是利用三角形的外角得出等腰三角形．【母題來源】2021年中考廣東廣州卷【母題題文5】（2021·廣東廣州·中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E是邊BC上一點，且，以點A為圓心，3為半徑的圓分別交AB、AD于點F、G，DF與AE交于點H．并與交于點K，連結(jié)HG、CH．給出下列四個結(jié)論．（1）H是FK的中點；（2）；（3）；（4），其中正確的結(jié)論有________（填寫所有正確結(jié)論的序號）．【答案】（1）（3）（4）．【分析】由正方形的性質(zhì)可證明，則可推出，利用垂徑定理即可證明結(jié)論（1）正確；過點H作交BC于N，交AD于M，由三角形面積計算公式求出，再利用矩形的判定與性質(zhì)證得，并根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)分別求出，，則最后利用銳角三角函數(shù)證明，即可證明結(jié)論（2）錯誤；根據(jù)（2）中結(jié)論并利用相似三角形的性質(zhì)求得，即可證明結(jié)論（3）正確；利用（1）所得結(jié)論并由勾股定理求出FH，再求得DK，即可證明結(jié)論（4）正確．【解析】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴，．又∵，∴．∴．∵，∴，∴，∴，∴，即H是FK的中點；故結(jié)論（1）正確；（2）過點H作交BC于N，交AD于M，由（1）得，則．∵，∴．∵四邊形ABCD是正方形，，∴．∴四邊形ABNM是矩形．∴，．∵，∴．即．∵，∴．∵，∴．∴．即．解得．則．∵，．∵，，∴．∴．∴．∴與不全等，故結(jié)論（2）錯誤；（3）∵，∴．即．解得．由（2）得，．∴；故結(jié)論（3）正確；（4）由（1）得，H是FK的中點，∴．由勾股定理得．∴；故結(jié)論（4）正確．故答案為：（1）（3）（4）．【點睛】本題考查了正方形的綜合問題，掌握特殊四邊形、相似三角形的判定與性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．1.直角三角形的邊角關(guān)系（如圖）（1）邊的關(guān)系（勾股定理）：AC2+BC2=AB2；（2）角的關(guān)系：∠A+∠B=∠C=900；（3）邊角關(guān)系：①：②：銳角三角函數(shù)：∠A的正弦=；∠A的余弦=,∠A的正切=注：三角函數(shù)值是一個比值．2.特殊角的三角函數(shù)值．3.三角函數(shù)的關(guān)系(1)互為余角的三角函數(shù)關(guān)系．sin（90○－A）=cosA，cos（90○－A）=sinAtan（90○－A）=cotAcot（90○－A）=tanA(2)同角的三角函數(shù)關(guān)系．①平方關(guān)系：sin2A+cos2A=l②倒數(shù)關(guān)系：tanA×cotA=1③商數(shù)關(guān)系：4.三角函數(shù)的大小比較(1)同名三角函數(shù)的大小比較①正弦、正切是增函數(shù)．三角函數(shù)值隨角的增大而增大，隨角的減小而減?。谟嘞?、余切是減函數(shù)．三角函數(shù)值隨角的增大而減小，隨角的減小而增大。(2)異名三角函數(shù)的大小比較①tanA＞SinA，由定義，知tanA=，sinA=；因為b＜c，所以tanA＞sinA②cotA＞cosA．由定義，知cosA=，cotA=；因為a＜c，所以cotA＞cosA．③若0○＜A＜45○，則cosA＞sinA，cotA＞tanA；若45○＜A＜90○，則cosA＜sinA，cotA＜tanA。5.解直角三角形

在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的過程，叫做解直角三角形.

在直角三角形中，除直角外，一共有5個元素，即三條邊和兩個銳角.

設在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，則有：

①三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2(勾股定理).

②銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=90°.

③邊角之間的關(guān)系：

，，，

，，.

④，h為斜邊上的高.

知識要點：

(1)直角三角形中有一個元素為定值(直角為90°)，是已知的值.

(2)這里講的直角三角形的邊角關(guān)系指的是等式，沒有包括其他關(guān)系(如不等關(guān)系).

(3)對這些式子的理解和記憶要結(jié)合圖形，可以更加清楚、直觀地理解解直角三角形的常見類型及解法已知條件解法步驟Rt△ABC

兩

邊兩直角邊(a，b)由求∠A，

∠B=90°－∠A，

斜邊，一直角邊(如c，a)由求∠A，

∠B=90°－∠A，

一

邊

一

角一直角邊

和一銳角銳角、鄰邊

(如∠A，b)∠B=90°－∠A，

，銳角、對邊

(如∠A，a)∠B=90°－∠A，

，斜邊、銳角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，

，知識要點：

1．在遇到解直角三角形的實際問題時，最好是先畫出一個直角三角形的草圖，按題意標明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先確定銳角、再確定它的對邊和鄰邊的順序進行計算.

2．若題中無特殊說明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知條件中至少有一個條件為邊.7.解直角三角形的應用解直角三角形的知識應用很廣泛，關(guān)鍵是把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型，善于將某些實際問題中的數(shù)量關(guān)系化歸為直角三角形中的邊角關(guān)系是解決實際應用問題的關(guān)鍵.

解這類問題的一般過程是：

(1)弄清題中名詞、術(shù)語的意義，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根據(jù)題意畫出幾何圖形，建立數(shù)學模型.

(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題.

(3)根據(jù)直角三角形(或通過作垂線構(gòu)造直角三角形)元素(邊、角)之間的關(guān)系解有關(guān)的直角三角形.

(4)得出數(shù)學問題的答案并檢驗答案是否符合實際意義，得出實際問題的解.

拓展：

在用直角三角形知識解決實際問題時，經(jīng)常會用到以下概念：

(1)坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的鉛直高度h和水平距離的比叫做坡度，用字母表示，則，如圖，坡度通常寫成=∶的形式.

(2)仰角、俯角：視線與水平線所成的角中，視線中水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角，如圖.

(3)方位角：從某點的指北方向線按順時針轉(zhuǎn)到目標方向的水平角叫做方位角，如圖①中，目標方向PA，PB，PC的方位角分別為是40°，135°，245°.

(4)方向角：指北或指南方向線與目標方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如圖②中的目標方向線OA，OB，OC，OD的方向角分別表示北偏東30°，南偏東45°，南偏西80°，北偏西60°.特別如：東南方向指的是南偏東45°，東北方向指的是北偏東45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.

知識要點：

1．解直角三角形實際是用三角知識，通過數(shù)值計算，去求出圖形中的某些邊的長或角的大小，最好畫出它的示意圖.

2．非直接解直角三角形的問題，要觀察圖形特點，恰當引輔助線，使其轉(zhuǎn)化為直角三角形或矩形來解.例如：

3．解直角三角形的應用題時，首先弄清題意(關(guān)鍵弄清其中名詞術(shù)語的意義)，然后正確畫出示意圖，進而根據(jù)條件選擇合適的方法求解.一、單選題1．（2021·上?！ひ荒＃┰赗t△ABC中，∠C=90o，那么等于（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)銳角A的鄰邊a與對邊b的比叫做∠A的余切，記作cotA．【解析】解：∵∠C=90°，∴=，故選：A．【點睛】此題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，關(guān)鍵是掌握余切定義．2．（2021·黑龍江建華·二模）如圖所示，某游樂場一山頂滑梯的高為h，滑梯的坡角為，那么滑梯長為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題，角α的正弦等于對邊比斜邊求出滑梯長l．【解析】解：由已知得：，∴，故選A．【點睛】此題考查的知識點是解直角三角形的應用-坡度較問題，關(guān)鍵是把實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形．3．（2021·安徽·合肥一六八中學模擬預測）在中，，，，則的正切值為（）A．3 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義直接求解即可．【解析】解：在中，，，，如圖：則，故選：B．【點睛】此題考查了銳角三角函數(shù)的定義，掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．4．（2021·廣東·廣州市第二中學二模）江堤的橫斷面如圖，堤高米，迎水坡的坡比是，則堤腳的長是（）米A．20 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)坡度的定義即可得．【解析】解：由題意得：，即，解得（米），故選：B．【點睛】本題考查了坡度，熟記坡度的定義是解題關(guān)鍵．5．（2021·廣東·中山一中模擬預測）如圖，在菱形ABCD中，，，過點A作于點E，現(xiàn)將△ABE沿直線AE翻折至△AFE的位置，AF與CD交于點G，則△CFG的面積為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用三角函數(shù)設出AE=3,BE=4,根據(jù)勾股定理，求出，根據(jù)四邊形ABCD為菱形，可得AD=AB=BC=5，AD∥BC，根據(jù)△ABE沿直線AE翻折至△AFE，可得EF=BE=4，可求CF=3，再證△ADG∽△FCG，結(jié)合平行線間的距離相等可得HM=AE=3，求出高GM，利用面積公式求即可．【解析】解：過G作GH⊥AD于H，延長HG交CF于M，∵，，設AE=3，BE=4,根據(jù)勾股定理即，解得∴BE=4，AE=3，∵四邊形ABCD為菱形，∴AD=AB=BC=5，AD∥BC，∵△ABE沿直線AE翻折至△AFE，∴EF=BE=4，∴EC=BC-AE=5-4=1，∴CF=EF-EC=4-1=3，∵AD∥CF，∴∠D=∠GCF，∠DAG=∠F，∴△ADG∽△FCG，∴又∵HM⊥AD，AE⊥AD，AD∥BF，∴HM=AE=3，設HG=5n，MG=3n，∴5n+3n=3,解得,∴MG=，∴△CFG的面積=．故選：B．．【點睛】本題考查菱形性質(zhì)，折疊性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理，三角形相似的判定與性質(zhì)，三角形面積，掌握菱形性質(zhì)，折疊性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理，三角形相似的判定與性質(zhì)，三角形面積是解題關(guān)鍵．6．（2021·廣東·廣州市第十六中學二模）如圖，由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，點A，B，C都在格點上，以AB為直徑的圓經(jīng)過點C、D，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)圓周角定理可知，∠ABC＝，在Rt△ACB中，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出∠ABC的正弦值．【解析】∵和∠ABC所對的弧長都是，∴根據(jù)圓周角定理知，∠ABC＝，∴在Rt△ACB中，AB=根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義知，sin∠ABC＝，∴=，故選A．【點睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)的定義和圓周角的知識點，解答本題的關(guān)鍵是利用圓周角定理把求的正弦值轉(zhuǎn)化成求∠ABC的正弦值，本題是一道比較不錯的習題．7．（2021·陜西·西安市鐵一中學模擬預測）如圖，在中，，，，將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定的角度得到，使得點恰好落在上，則線段的長為（）A． B．5 C． D．【答案】C【分析】由銳角三角函數(shù)可求，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求，，，，，，可證是等邊三角形，由勾股定理可求解．【解析】解：如圖，連接，∵，，，∴，，∴，∴，∵將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定的角度得到，∴，，，，，，∴是等邊三角形，∴，∴是等邊三角形，∴，，∴，∴，故選：C．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、勾股定理等知識點，解題的關(guān)鍵是靈活運用這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2021·廣東南?！ざ＃┤鐖D，等邊，邊長為8，點為邊上一點，以為邊在右側(cè)作等邊，連接，當周長最小時，的長度為（）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【分析】由等邊三角形的性質(zhì)得C△ADE=3AD，當△ADE周長最小時，AD⊥BC時，AD最小，利用全等三角形的判定邊角邊得△ABD和△ACE全等，即得CE的長度．【解析】解：∵△ADE是等邊三角形，∴AD=DE=AE，∴C△ADE=3AD，當△ADE周長最小時，即AD最小，當AD⊥BC時，AD最小，此時，BD=AB?sin30°=4，∵△ABC是等邊三角形，∴∠1+∠2=60°，又∵∠2+∠3=60°，∴∠1=∠3，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE=4，故選：C．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理、直角三角形的性質(zhì)，靈活運用這些性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．9．（2021·廣東高明·一模）如圖，在矩形中，，，E是的中點，將沿直線翻折，點B落在點F處，連結(jié)，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠AEB=∠AEF，再根據(jù)點E是BC中點可得EF=EC，可得∠EFC=∠ECF，從而推出∠ECF=∠AEB，求出即可得到結(jié)果.【解析】解：由折疊可得：AB=AF=2，BE=EF，∠AEB=∠AEF，∵點E是BC中點，，∴BE=CE=EF=，∴∠EFC=∠ECF，AE=，∵∠BEF=∠AEB+∠AEF=∠EFC+∠ECF，∴∠ECF=∠AEB，∴==，故選C.【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，以及余弦的定義，解題的關(guān)鍵是利用折疊的性質(zhì)得到∠ECF=∠AEB.10．（2019·廣東海珠·中考模擬）某測量隊在山腳A處測得山上樹頂仰角為45°（如圖），測量隊在山坡上前進600米到D處，再測得樹頂?shù)难鼋菫?0°，已知這段山坡的坡角為30°，如果樹高為15米，則山高為（）（精確到1米，＝1.732）．A．585米 B．1014米 C．805米 D．820米【答案】C【解析】過點D作DF⊥AC于F,在直角△ADF中,AF=AD?cos30°=300米,DF=AD=300米,設FC=x,則AC=300+x,在直角△BDE中,BE=DE=x,則BC=300+x,在直角△ACB中,∠BAC=45°,∴這個三角形是等腰直角三角形,∴AC=BC,∴300+x=300+x,解得:x=300,∴BC=AC=300+300,∴山高是300+300-15=285+300≈805（米）,故選C．11．（2021·廣東深圳·模擬預測）如圖，在矩形中，，對角線，交于點，，為上一動點，于點，于點，分別以，為邊向外作正方形和，面積分別為，．則下列結(jié)論：①；②點在運動過程中，的值始終保持不變，為；③的最小值為6；④當時，則．其中正確的結(jié)論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】①由矩形的性質(zhì)和特殊角三角函數(shù)可得和是等邊三角形，進而可以判斷；②連接．由求得答案；③利用完全平方公式變形，當且僅當時，等號成立，即可判斷；④根據(jù)已知條件證明，對應邊成比例即可判斷．【解析】解：①∵，∴，∵四邊形是矩形，∴OA=OC=OD=OB，∴和是等邊三角形，∴BD=2OA=2AB=8，故①正確；②連接，由①知，∵矩形的兩邊，，∴，∴，，∴．∴，故②正確；③∵，∴，∴，當且僅當時，等號成立，故③正確；④∵∠AEP=∠DFP，∠PAE=∠PDF，∴，∴AE：DF=PE：PF=EG：FM=PH：PN=5：6,∵AE:DF=(AG+GE):（DM+FM）,∴AG：DM=5：6,，故④錯誤．綜上所述，其中正確的結(jié)論有①②③，3個．故選：C．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，特殊角的三角形，三角形的相似，完全平方公式，等邊三角形的判定與性質(zhì)，靈活運用矩形的性質(zhì)，特殊角的函數(shù)值，相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2021·浙江·杭州市十三中教育集團（總校）二模）如圖，已知中，，，分別為，的中點，連結(jié)，過作的平行線與的角平分線交于點，連結(jié)，若，，則的正弦值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意延長DF交AB于H，過F作FT⊥AB于T，連接CF，設DF=x，運用三角形中位線定理、全等三角形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)定義構(gòu)建方程，求出x即可得出答案．【解析】解：延長DF交AB于H，過F作FT⊥AB于T，連接CF，設DF=x，∵DH∥AC，D為BC的中點，∴H為AB的中點，∴BH=AH，∴DH是△ABC的中位線，∴DH=AC=1，∴FH=1-x，∵FA平分∠CAB，F(xiàn)E⊥AC，F(xiàn)T⊥AB，∴FE=FT，∵E為AC的中點，F(xiàn)E⊥AC，∴CF=AF，在Rt△CFE和Rt△AFT中，，∴Rt△CFE≌Rt△AFT（HL），∴AE=AT=1，∵∠FAE=∠AFH=∠FAH，∴FH=AH=BH=1-x，∴TH=1-（1-x）=x，∵∠C=∠BDH=∠TFH，∴sin∠C=sin∠TFH，∴，解得：或（舍去），∴，∵DE=，∴.故選：A．【點睛】本題考查三角形中位線定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．二、填空題13．（2021·廣東花都·二模）已知∠A是銳角，且1﹣2sinA＝0，則∠A＝______．【答案】30°##30度【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值進而計算得出答案．【解析】解：∵1﹣2sinA＝0，∴sinA＝，∴∠A＝30°．故答案為：30°．【點睛】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵．14．（2021·廣東寶安·一模）如圖，點A，B，C，D在正方形網(wǎng)格的格點上，連接AB、CD交于點P，則tan∠APC＝________________．【答案】【分析】設線段AB上的格點為E，把線段BE向下平移1個單位得到DF，如圖，則DF∥BE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠CDF=∠APC，再利用勾股定理的逆定理可判斷△CDF為直角三角形，然后根據(jù)正切的定義求解．【解析】解：如圖，設線段AB上的格點為E，把線段BE向下平移1個單位得到DF，如圖，則DF∥BE，∴∠CDF＝∠APC，∵CD2＝12+32＝10，CF2＝12+12＝2，F(xiàn)D2＝22+22＝8，而2+8＝10，∴CD2＝CF2+FD2，∴△CDF為直角三角形，∠CFD＝90°，∴tan∠CDF＝＝＝，∴tan∠APC＝．故答案為：【點睛】本題考查了解直角三角形，平行線的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，銳角三角函數(shù)的定義，解決本題的關(guān)鍵是利用平移把∠APC轉(zhuǎn)化為∠CDF．15．（2021·廣東·深圳市寶安中學（集團）模擬預測）如圖，輪船在處觀測燈塔位于北偏西70°方向上，輪船從處以每小時20海里的速度沿南偏西50°方向勻速航行，1小時后到達碼頭處，此時，觀測燈塔位于北偏西25°方向上，則燈塔與碼頭的距離是______海里．【答案】【分析】作BD⊥AC于點D，在直角△ABD中，利用三角函數(shù)求得BD的長，然后在直角△BCD中，利用三角函數(shù)即可求得BC的長．【解析】過點B作BD⊥AC，交AC于點D由題可知AB＝20海里，∠DAB＝60°，∠C＝45°，∵在Rt△ABD中，sin∠DAB＝，∴sin60°＝，∴BD＝海里，∵在Rt△BCD中，sin∠C＝，∴sin45°＝，∴BC＝海里，故答案為：．【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用—方向角問題，正確求得BD＝海里是解決本題的關(guān)鍵．16．（2021·廣東深圳·一模）若，那么的形狀是_____．【答案】銳角三角形【分析】根據(jù)二次根式和絕對值的非負數(shù)性質(zhì)及特殊角的三角函數(shù)值可求出∠A和∠B的度數(shù)，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠C的度數(shù)，即可得到答案．【解析】∵，∴cos2A-=0，tan-=0，∴cosA=（負值舍去），tanB=，∴∠A=45°，∠B=60°，∴∠C=180°-45°-60°=75°，∴△ABC是銳角三角形，故答案為：銳角三角形【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值及非負數(shù)性質(zhì)的應用，熟練掌握非負數(shù)的性質(zhì)，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．17．（2021·廣東深圳·模擬預測）如圖，矩形ABCD中，AE＝AD，將△ABE沿BE折疊后得到△GBE，延長BG交CD于F點，若CF＝FD＝3，則BC的長為_____．【答案】6【分析】延長BF交AD的延長線于點H，證明△BCF≌△HDF（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得出BC＝DH，由折疊的性質(zhì)得出∠A＝∠BGE＝90°，AE＝EG，設AE＝EG＝x，則AD＝BC＝DH＝3x，得出EH＝5x，由銳角三角函數(shù)的定義及勾股定理可得出答案．【解析】解：延長BF交AD的延長線于點H，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∠A＝∠BCF＝90°，∴∠H＝∠CBF，在△BCF和△HDF中，，∴△BCF≌△HDF（AAS），∴BC＝DH，∵將△ABE沿BE折疊后得到△GBE，∴∠A＝∠BGE＝90°，AE＝EG，∴∠EGH＝90°，∵AE＝AD，∴設AE＝EG＝x，則AD＝BC＝DH＝3x，∴ED＝2x，∴EH＝ED+DH＝5x，在Rt△EGH中，sin∠H＝，∴sin∠CBF＝，∴，∴BF＝15，∴BC＝，故答案為：．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，要注意折疊的圖形中的相等的角和相等的線段，解題關(guān)鍵是利用倍長中線法正確作出輔助線證△BCF≌△HDF．18．（2020·廣東深圳·一模）已知：如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A在x軸的正半軸上，點B、C在第一象限，且四邊形OABC是平行四邊形，AB＝，sinB＝，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點C以及邊AB的中點D，則四邊形OABC的面積為_____．【答案】12【分析】延長BC交y軸于E，如圖，利用平行四邊形的性質(zhì)得BC＝OA，BC∥OA，OC∥AB，OC＝AB＝2，在Rt△OCE中利用解直角三角形計算出OE＝4，CE＝2，從而得到C(2，4)，設B(t+2，4)，則D(t+1，2)，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征得到2(t+1)＝2×4，然后求出t后利用平行四邊形的面積公式計算四邊形OABC的面積．【解析】解：延長BC交y軸于E，如圖，∵四邊形OABC為平行四邊形，∴BC＝OA，BC∥OA，OC∥AB，OC＝AB＝2，∴BE⊥y軸，∠OCE＝∠B，在Rt△OCE中，sin∠OCE＝＝sinB＝，∴OE＝×2＝4，∴CE＝＝2，∴C(2，4)，設B(t+2，4)，∵D點為AB的中點，∴D(t+1，2)，∵點C、D在反比例函數(shù)y＝的圖象上，∴2(t+1)＝2×4，解得t＝3，∴BC＝4，∴四邊形OABC的面積＝3×4＝12．故答案為12．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義：在反比例函數(shù)y＝圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值|k|．在反比例函數(shù)的圖象上任意一點向坐標軸作垂線，這一點和垂足以及坐標原點所構(gòu)成的三角形的面積是|k|，且保持不變．也考查了平行四邊形的性質(zhì)．19．（2020·廣東·三模）如圖，在平面直角坐標系中，將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°后得到，依此方式，繞點O連接旋轉(zhuǎn)20次得到，如果點A的坐標為（1，），那么點的坐標為_______．【答案】（，）【分析】根據(jù)題意，先求出旋轉(zhuǎn)一圈需要6次，然后判斷第20次點B的位置，結(jié)合點A的坐標，即可求出答案．【解析】解：根據(jù)題意，將繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°后得到，∴旋轉(zhuǎn)一圈的次數(shù)為：，∴，∴的坐標與的坐標相同，∵點A為（1，），∴OB=OB2=1，∴點B2的橫坐標為：，點B2的縱坐標為：；∴點的坐標為（，）．故答案為：（，）．【點睛】本題考查了三角函數(shù)，以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，也考查了坐標與圖形的變化、規(guī)律型：點的坐標等知識，解題的關(guān)鍵是學會從特殊到一般的探究規(guī)律的方法，屬于中考常考題型．20．（2021·廣東·廣州市第二中學三模）如圖所示，在和中，，，，連接、，將繞點旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當最大時，______．【答案】6【分析】先確定D的軌跡是以A為圓心，AD為半徑的圓，再由，分析出當最大時，AH最大，再由直角三角形斜邊大于直角邊得在旋轉(zhuǎn)過程中，即，時，AH取得最大值3，算出此時的面積為，再通過取BD中點G，連接AG并延長至F，使得FG=AG，證明即可．【解析】解：如圖，將繞點A旋轉(zhuǎn)一周，D的軌跡為以點A圓心，AD為半徑的圓，過A作BD垂線交BD延長線于H，當最大時，AH最大，在旋轉(zhuǎn)過程中，即時，AH取得最大值3此時直角三角形中，的面積為，如圖，取取BD中點G，連接AG并延長至F，使得FG=AG，故答案為：6．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，難度較大，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．三、解答題21．（2021·廣東深圳·三模）計算：（）﹣2+2sin60°+||﹣（2π﹣2021）0．【答案】5【分析】根據(jù)負整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，絕對值，零指數(shù)冪計算即可．【解析】解：原式=4+2×+2--1=4++2--1=5．【點睛】本題考查了負整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，絕對值，零指數(shù)冪，負數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)是解題的關(guān)鍵．22．（2021·廣東·珠海市紫荊中學三模）如圖，已知中，（1）作的垂直平分線，且交于點，交于點．（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在（1）的條件下，若，求的值．【答案】（1）作圖見解析，（2）【分析】（1）按照垂直平分線的作法作圖即可；（2）連接AF，設，表示出AB，利用三角函數(shù)的定義求解即可．【解析】解：（1）作圖如圖所示，（2）．連接AF，∵∴設，∵垂直平分，∴，，．【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖和解直角三角形，解題關(guān)鍵是熟練運用垂直平分線作法作圖，準確應用垂直平分線的性質(zhì)和勾股定理求出線段長，利用三角函數(shù)定義計算．23．（2021·廣東·珠海市紫荊中學桃園校區(qū)一模）如圖，中，，點是線段延長線上一點，，垂足為，交線段于點，點在線段上，經(jīng)過、兩點，交于點.（1）求證：是的切線；（2）若，，，求的半徑.【答案】（1）證明見解析；（2）的半徑為．【分析】（1）連接，根據(jù)等邊對等角可得，，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，從而得出，即可證出結(jié)論；（2）根據(jù)各角的關(guān)系可得，從而求出DF，利用銳角三角函數(shù)求出DE，，從而求出結(jié)論．【解析】（1）證明：連接，如圖：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴是的切線；（2）解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即的半徑．【點睛】此題考查的是切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)，掌握切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)是解決此題的關(guān)鍵．24．（2021·廣東南沙·一模）如圖，身高為1.6米的小明在距離一棵大樹10米的點B處看大樹頂端C的仰角為45°，在大樹的另一邊點A處看這棵大樹頂端C的仰角度數(shù)為．（A、E、B在同一條直線上，忽略眼睛到頭頂間距離．）（1）求大樹的高度．（2）若點A與點B之間的距離為（10＋10）米，求的值．【答案】（1）米；（2）．【分析】（1）如圖（見解析），先根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)可得米，再在中，利用正切三角函數(shù)可得的長，然后根據(jù)即可得出答案；（2）如圖（見解析），先根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)、線段的和差可得米，米，再在中，利用正切三角函數(shù)即可得．【解析】解：（1）如圖，過點作于點，則四邊形是矩形，，由題意得：米，米，，米，米，在中，米，（米），答：大樹的高度為米；（2）如圖，過點作于點，則四邊形是矩形，，由題意得：米，米，米，，米，米，米，在中，，即，解得，答：的值為．【點睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、解直角三角形，通過作輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．25．（2021·廣東·深圳市寶安中學（集團）模擬預測）如圖，在平行四邊形中，點為中點，連接并延長交延長線于點，連接、，若，（1）求證：四邊形為矩形．（2）在的延長線上取一點，連接交于點，若，，，求．【答案】（1）見解析（2）【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得CP＝BD，BPCD，BP＝CD，證△AOB≌△COD（AAS），得AB＝CD，證出四邊形ABCD是平行四邊形，再證出AC＝BD，即可得出結(jié)論；（2）由矩形的性質(zhì)得OA＝OB，由勾股定理得AC＝15，則OA＝，作OG⊥AB于G，證出OG是△ABD的中位線，得GOAD，GO＝AD＝6，再求出EG，根據(jù)正切的定義即可求解．【解析】（1）證明：∵四邊形BPCD是平行四邊形，∴CP＝BD，BPCD，BP＝CD，∴∠OAB＝∠OCD，ABCD，∵點O為BD中點，∴OB＝OD，在△AOB和△COD中，，∴△AOB≌△COD（AAS），∴AB＝CD，∵ABCD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AC＝CP，∴AC＝BD，∴四邊形ABCD為矩形；（2）解：由（1）得：四邊形ABCD為矩形，∴AD＝BC＝12，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD，∠ABC＝90°，∴OA＝OB，AC＝＝15，∴OA＝，作OG⊥AB于G，如圖所示：則AG＝BG＝=，∴OG是△ABD的中位線，∴GOAD，GO＝AD＝6，∵AE＝3，∴GE＝AE＋AG＝3＋＝，∵GOAD∴∴=．【點睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、勾股定理、三角函數(shù)等知識；熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等和三角形的中位線是解題的關(guān)鍵．26．（2021·廣東·東莞市東華初級中學模擬預測）如圖，在中，，頂點，都在反比例函數(shù)的圖象上，直線軸，垂足為，連接，．（）若，，求的值；（）若，求直線的解析式．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由，，，利用三角函數(shù)求解可得的坐標，從而可得答案；（2）由，可得當時，．設點的坐標為，再表示點的坐標為，點．利用反比例函數(shù)的性質(zhì)可得，可得點的坐標為．再利用待定系數(shù)法求解解析式即可．【解析】解：（1）在中，，，，，點的坐標為，將點的坐標代入，得．解得．（2），當時，．設點的坐標為，則點的坐標為，點．將點，的坐標分別代入，得．解得，點的坐標為．設直線的解析式為，將點的坐標代入上式，并解得，而解得，直線的解析式為．【點睛】本題考查的是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應用，坐標與圖形，靈活應用三角函數(shù)建立邊與角之間的聯(lián)系是解題的關(guān)鍵．27．（2021·廣東·深圳市南山區(qū)太子灣學校二模）問題背景：如圖（1），已知△ABC∽△ADE，求證：△ABD∽△ACE；嘗試運用：如圖（2），在△ABC中，點D是BC邊上一動點，∠BAC＝∠DAE＝90°，且∠ABC＝∠ADE，AB＝4，AC＝3，AC與DE相交于點F，在點D運動的過程中，當tan∠EDC＝時，求DE的長度；拓展創(chuàng)新：如圖（3），D是△ABC內(nèi)一點，∠BAD＝∠CBD，tan∠BAD＝，∠BDC＝90°，AB＝4，AC＝2．求AD的長．【答案】問題背景：見解析；嘗試運用：；拓展創(chuàng)新：【分析】問題背景：根據(jù)△ABC∽△ADE，得出，∠BAC＝∠DAE，利用角的差得出∠BAD＝∠CAE，即可；嘗試應用：連接CE，先證△ABC∽△ADE，，再證△BAD∽△CAE，得出∠B＝∠ACE，，可證∠DCE＝90°，根據(jù)tan∠EDC＝，列方程，求出x＝即可；拓展創(chuàng)新：過點A作AB的垂線，過點D作AD的垂線，兩垂線交于點M，連接BM，先證△BDC∽△MDA，得出，再證△BDM∽△CDA，得出，tan∠BAD＝，得出BD＝2CD，BM＝2AC＝4，DM＝2AD，根據(jù)勾股定理列方程AD2＋DM2＝AM2，AD2＋4AD2＝32，解方程即可．【解析】證明：問題背景：∵△ABC∽△ADE，∴，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE，∴∠BAD＝∠CAE，，∴△ABD∽△ACE．嘗試應用：如圖（2），連接CE，∵AB＝4，AC＝3，∠BAC＝90°，∴BC＝＝5，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE，∴△ABC∽△ADE，∴，∴，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE=90°-∠DAC，∴△BAD∽△CAE，∴