2024—2025學(xué)年江西省南昌市東湖區(qū)多校九年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(★★)1.下列為一元二次方程的是（）

A．B．C．D．(★★)2.已知m是關(guān)于x的方程的一個根，則（）

A．5B．10C．D．6(★)3.人體內(nèi)一種細胞的直徑約為微米，相當于米，數(shù)字用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A．B．C．D．(★★)4.如圖，是的直徑，點，在上，若，則的度數(shù)為（）

A．B．C．D．(★★)5.若一個圓錐的側(cè)面積是底面積的3倍，則這個圓錐側(cè)面展開圖的圓心角等于（）

A．B．C．D．(★★★)6.如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸的一個交點坐標為，對稱軸為直線，下列四個結(jié)論：①；②；③；④當時，；其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）

A．1個B．2個C．3個D．4個二、填空題(★)7.正六邊形繞著它的中心旋轉(zhuǎn)一定的角度后能與自身完全重合，則其旋轉(zhuǎn)的角度至少為__________．(★★)8.如圖，與成中心對稱，是的中位線，是的中位線，已知，則_______．(★)9.為了比較甲、乙、丙三種水稻秋苗的長勢，每種秧苗各隨機抽取40株，分別量出每株高度，計算發(fā)現(xiàn)三組秧苗的平均高度一樣，并且得到甲、乙、丙三組秧苗高度的方差分別是3.6，10.8，15.8，由此可知____種秧苗長勢更整齊（填“甲”、“乙”或“丙”）．(★★)10.定義運算：．例如，則方程的解為______________．(★★★)11.鐵藝花窗是園林設(shè)計中常見的裝飾元素．如圖是一個花瓣造型的花窗示意圖，由六條等弧連接而成，六條弧所對應(yīng)的弦構(gòu)成一個正六邊形，中心為點O，所在圓的圓心C恰好是的內(nèi)心，若，則花窗的周長（圖中實線部分的長度）______．（結(jié)果保留）(★★★)12.如圖，O是等邊三角形內(nèi)一點，，，將繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接，當α為__________________度時，是等腰三角形．三、解答題(★★★)13.解方程：(1)；(2)．(★★★)14.正方形的邊長為3，E、F分別是邊上的點，且，將繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)，得到．(1)求證：；(2)當時，求的長．(★★)15.已知拋物線．(1)將化成的形式；(2)寫出拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標．(★★★)16.已知關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：無論取何值，此方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若方程有兩個實數(shù)根，，且，求的值．(★★★)17.如圖，三角形經(jīng)過某種變換后得到三角形，點、、的對應(yīng)點分別是點、、，請觀察它們之間的關(guān)系，完成以下問題：(1)請分別寫出點A，D的坐標：A______，D______；(2)若三角形內(nèi)任意一點M的坐標是，點M經(jīng)過這種變換后得到點N，點N的坐標是______；(3)在上述變換情況下，點與點為對應(yīng)點，求的值．(★★★)18.如圖，在?ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，且BE=DF（1）求證：?ABCD是菱形；（2）若AB=5，AC=6，求?ABCD的面積．(★★★)19.某商場銷售某種冰箱，每臺進貨價為元，標價為元：(1)若商場連續(xù)兩次降價，每次降價的百分率相同，最后以元售出，求每次降價的百分率．(2)市場調(diào)研表明：當每臺售價為元時，平均每天能售出臺，當每臺售價每降元時，平均每天就能多售出臺，若商場要想使這種冰箱的銷售利潤平均每天達到元，則每臺冰箱的定價應(yīng)為多少元？(★★★)20.如圖，已知拋物線y=+mx+3與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點B的坐標為（3，0），（1）求m的值及拋物線的頂點坐標．（2）點P是拋物線對稱軸l上的一個動點，當PA+PC的值最小時，求點P的坐標．(★★★★)21.如圖，⊙A過?OBCD的三頂點O、D、C，邊OB與⊙A相切于點O，邊BC與⊙O相交于點H，射線OA交邊CD于點E，交⊙A于點F，點P在射線OA上，且∠PCD=2∠DOF，以O(shè)為原點，OP所在的直線為x軸建立平面直角坐標系，點B的坐標為（0，﹣2）．（1）若∠BOH=30°，求點H的坐標；（2）求證：直線PC是⊙A的切線；（3）若OD=，求⊙A的半徑．(★★★★)22.綜合與應(yīng)用如果將運動員的身體看作一點，則他在跳水過程中運動的軌跡可以看作為拋物線的一部分．建立如圖2所示的平面直角坐標系，運動員從點起跳，從起跳到入水的過程中，運動員的豎直高度與水平距離滿足二次函數(shù)的關(guān)系．(1)在平時的訓(xùn)練完成一次跳水動作時，運動員甲的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下表：

水平距離x（m）011.5豎直高度y（m）10106.25根據(jù)上述數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的關(guān)系式；(2)在（1）的這次訓(xùn)練中，求運動員甲從起點A到入水點的水平距離的長；(3)信息1：記運動員甲起跳后達到最高點B到水面的高度為，從到達到最高點B開始計時，則他到水面的距離與時間之間滿足．信息2：已知運動員甲在達到最高點后需要的時間才能完成極具難度的270C動作．問題解決：①請通過計算說明，在（1）的這次訓(xùn)練中，運動員甲能否成功完成此動作？②運動員甲進行第二次跳水訓(xùn)練，此時他的豎直高度與水平距離的關(guān)系為，若選手在達到最高點后要順利完成270C動作，則a的取值范圍是______．(★★★★)23.已知二次函數(shù)，該函數(shù)圖象的對稱軸為直線，與x軸相交于點A和點B（點