31屆imo試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.一個(gè)三角形的內(nèi)角比為1:2:3，則這個(gè)三角形是（）A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等邊三角形答案：B2.若\(x+3=5\)，則\(x\)的值為（）A.1B.2C.3D.4答案：B3.化簡(jiǎn)\(3x+2x\)的結(jié)果是（）A.5xB.6xC.\(5x^2\)D.\(6x^2\)答案：A4.圓的半徑為\(r\)，其周長(zhǎng)公式是（）A.\(C=\pir\)B.\(C=2\pir\)C.\(C=\pir^2\)D.\(C=4\pir\)答案：B5.數(shù)據(jù)2，3，4，5，5的眾數(shù)是（）A.2B.3C.4D.5答案：D6.一次函數(shù)\(y=2x+1\)的圖象經(jīng)過(guò)（）A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D(zhuǎn).第二、三、四象限答案：A7.若\(a\gtb\)，則下列不等式成立的是（）A.\(a-2\ltb-2\)B.\(3a\lt3b\)C.\(-a\lt-b\)D.\(\frac{a}{4}\lt\frac{4}\)答案：C8.因式分解\(x^2-4\)的結(jié)果是（）A.\((x+2)(x-2)\)B.\((x+4)(x-4)\)C.\((x-2)^2\)D.\((x+2)^2\)答案：A9.一個(gè)圓錐的底面半徑為3，高為4，則圓錐的側(cè)面積是（）A.\(15\pi\)B.\(12\pi\)C.\(20\pi\)D.\(36\pi\)答案：A10.方程\(x^2-5x+6=0\)的根是（）A.\(x_1=2\)，\(x_2=3\)B.\(x_1=-2\)，\(x_2=-3\)C.\(x_1=1\)，\(x_2=6\)D.\(x_1=-1\)，\(x_2=-6\)答案：A二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下屬于無(wú)理數(shù)的是（）A.\(\pi\)B.\(\sqrt{4}\)C.\(\sqrt{2}\)D.\(0.101001\cdots\)答案：ACD2.下列圖形中，是軸對(duì)稱圖形的有（）A.矩形B.平行四邊形C.等腰三角形D.圓答案：ACD3.下列運(yùn)算正確的是（）A.\(a^2\cdota^3=a^5\)B.\((a^2)^3=a^6\)C.\(a^6\diva^2=a^3\)D.\((ab)^3=a^3b^3\)答案：ABD4.函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)中，自變量\(x\)的取值范圍不可以是（）A.\(x=0\)B.\(x=1\)C.\(x\gt1\)D.\(x=-1\)答案：B5.以下能構(gòu)成直角三角形三邊的是（）A.3，4，5B.5，12，13C.7，8，9D.8，15，17答案：ABD6.關(guān)于二次函數(shù)\(y=x^2\)的性質(zhì)，正確的有（）A.開(kāi)口向上B.對(duì)稱軸是\(y\)軸C.頂點(diǎn)坐標(biāo)是\((0,0)\)D.當(dāng)\(x\lt0\)時(shí)，\(y\)隨\(x\)的增大而增大答案：ABC7.下列命題是真命題的有（）A.對(duì)頂角相等B.同位角相等C.同旁內(nèi)角互補(bǔ)D.直角三角形兩銳角互余答案：AD8.數(shù)據(jù)1，2，3，4，5的統(tǒng)計(jì)量中，正確的是（）A.平均數(shù)是3B.中位數(shù)是3C.眾數(shù)是3D.方差是2答案：ABD9.以下屬于正多邊形的特征的是（）A.各邊相等B.各角相等C.內(nèi)角和為\((n-2)\times180^{\circ}\)（\(n\)為邊數(shù)）D.外角和為\(360^{\circ}\)答案：ABCD10.直線\(y=kx+b\)（\(k\neq0\)）與\(y\)軸交點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.\((0,b)\)B.當(dāng)\(b=0\)時(shí)過(guò)原點(diǎn)C.\((b,0)\)D.與\(k\)值有關(guān)答案：AB三、判斷題（每題2分，共10題）1.無(wú)限小數(shù)都是無(wú)理數(shù)。（）答案：×2.三角形的外角和是\(180^{\circ}\)。（）答案：×3.若\(a^2=b^2\)，則\(a=b\)。（）答案：×4.所有的矩形都相似。（）答案：×5.二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)），當(dāng)\(a\gt0\)時(shí)，函數(shù)圖象開(kāi)口向上。（）答案：√6.直徑是圓中最長(zhǎng)的弦。（）答案：√7.一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)一定是這組數(shù)據(jù)中的某一個(gè)數(shù)。（）答案：×8.不等式組\(\begin{cases}x\gt2\\x\lt1\end{cases}\)的解集是\(1\ltx\lt2\)。（）答案：×9.相似三角形的面積比等于相似比。（）答案：×10.平行四邊形的對(duì)角線互相垂直平分。（）答案：×四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.計(jì)算：\((3+\sqrt{2})(3-\sqrt{2})\)答案：根據(jù)平方差公式\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)，這里\(a=3\)，\(b=\sqrt{2}\)，則原式\(=3^2-(\sqrt{2})^2=9-2=7\)。2.解方程：\(2x-3=5x+1\)答案：移項(xiàng)得\(2x-5x=1+3\)，即\(-3x=4\)，兩邊同時(shí)除以\(-3\)，解得\(x=-\frac{4}{3}\)。3.求二次函數(shù)\(y=x^2-4x+3\)的頂點(diǎn)坐標(biāo)。答案：將函數(shù)配方\(y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1\)，所以頂點(diǎn)坐標(biāo)為\((2,-1)\)。4.已知一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和5，第三邊為偶數(shù)，求第三邊的長(zhǎng)。答案：設(shè)第三邊長(zhǎng)為\(x\)，根據(jù)三角形三邊關(guān)系\(5-3\ltx\lt5+3\)，即\(2\ltx\lt8\)，又因?yàn)閈(x\)為偶數(shù)，所以\(x=4\)或\(6\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論一次函數(shù)\(y=kx+b\)（\(k\neq0\)）中，\(k\)、\(b\)的取值對(duì)函數(shù)圖象的影響。答案：\(k\)決定函數(shù)圖象的傾斜方向，\(k\gt0\)時(shí)圖象從左到右上升，\(k\lt0\)時(shí)圖象從左到右下降；\(b\)決定函數(shù)圖象與\(y\)軸交點(diǎn)位置，\(b\gt0\)時(shí)交\(y\)軸正半軸，\(b=0\)時(shí)過(guò)原點(diǎn)，\(b\lt0\)時(shí)交\(y\)軸負(fù)半軸。2.探討如何證明兩個(gè)三角形全等。答案：可以用“邊邊邊”（SSS），三邊對(duì)應(yīng)相等則全等；“邊角邊”（SAS），兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等全等；“角邊角”（ASA），兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等全等；“角角邊”（AAS），兩角及一角對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等全等；對(duì)于直角三角形還有“斜邊、直角邊”（HL）。3.說(shuō)說(shuō)在平面直角坐標(biāo)系中，平移函數(shù)圖象的規(guī)律。答案：對(duì)于函數(shù)\(y=f(x)\)，向左平移\(m\)個(gè)單位得\(y=f(x+m)\)，向右平移\(m\)個(gè)