中國教育學會2018年度課堂教學展示與觀摩（培訓）系列活動

——第九屆高中青年數(shù)學教師優(yōu)秀課展示與培訓活動

《向量加法運算及其幾何意義》教學設計

重慶市第六十六中學校

劉強

《向量加法運算及其幾何意義》教學設計

一.教學內容和內容分析

本節(jié)課是《普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學》人教A版必修4第二章《平面向量》第二節(jié)

《平面向量的線性運算》的第一課時，內容是向量加法運算及其幾何意義。

向量是近代數(shù)學中重要和基本的數(shù)學概念之一，也是溝通代數(shù)與幾何的橋梁。向量的加法運算

是通過類比實數(shù)的加法，以位移的合成、力的合力兩個物理模型為背景引入的，主要內容是向量加

法的三角形法則和平行四邊形法則。教科書從幾何角度具體給出了通過兩個法則作兩個向量和的方

法，介紹了向量加法滿足的運算律，最后舉例說明生活中有向量，生活中用向量。向量加法運算是

學生對向量運算體系所進行的第一次探索和嘗試,學好本節(jié)課將為后面學習向量的其他知識奠定基

礎，為用“數(shù)”的運算解決“形”的問題提供工具和方法。

因此，本節(jié)的教學重點是向量加法運算的定義的建構；以及利用位移的合成、力的合成作

兩個向量的和向量。

二.教學目標和目標分析

（一）教學目標

1.掌握向量加法運算的概念；掌握用位移的合成、力的合成模型作出兩個向量的和，從而得出向量

加法的法則，以及向量加法的運算律。

2.理解向量加法運算的幾何意義。

3.體會數(shù)形結合、分類討論、類比推理、數(shù)學建模的數(shù)學思想方法。

（二）教學目標分析

1.從實數(shù)可以進行加法類比猜想向量是否也可以進行加法運算。通過類比實數(shù)的加法，探究向量的

加法，并由已學的物理學科知識得出向量加法運算的概念；用位移的合成和力的合成作出兩個向量

的和向量時，體會向量具有自由平移的特征，從作出的位移的合成、力的合成圖形中總結出向量的

加法法則一一三角形法則、平行四邊形法則。用三角形法則作圖則要求首尾相連連首尾，用平行四

邊形法則作圖則要求起點相同連對角。

2.通過對向量的方向、大小的探究，加深理解向量加法及其幾何意義。

3.從實數(shù)加法的運算律類比向量加法的運算律，并作圖驗證。

三.教學問題診斷分析

本節(jié)課學生在學習過程中可能遇到以下疑惑和困難：

1.對三角形法則的理解，尤其是方向相反的兩個向量的加法。

2.在實際生活中，抽象、識別出向量加法的模型。

為此在教學中，讓學生認識到三角形法則的實質是：將已知向量首尾相接，而不是表示向量的

有向線段之間必須構成三角形。通過作圖驗證向量加法的運算律，拉近學生與抽象數(shù)學知識之間的

距離，激發(fā)他們的興趣，增強他們學習數(shù)學的動力，培養(yǎng)他們的創(chuàng)造思維和創(chuàng)新能力。

因此，本節(jié)的教學難點是：理解向量的加法法則及其幾何意義，作圖驗證向量加法的運算律。

四.教法分析

偉大的教育家葉圣陶先生說過“教師之謂教，不在全盤授予，而在相機誘導”。本節(jié)課以學生

為中心，以問題串進行驅動，采用啟發(fā)、引導、探究相結合的教學方法。

1.設置情景，激發(fā)學生解決問題的欲望。

2.提供交流探究機會，引導學生獨立思考，有效調動學生思維，在開放的活動中獲取知識。

3.在教學中體現(xiàn)“重過程、重情感、重生活”的理念。

4.讓學生經歷“學數(shù)學、做數(shù)學、用數(shù)學”的過程。

五.教學過程設計

根據(jù)學生現(xiàn)有的的認知水平和規(guī)律，結合本節(jié)課的內容特點，分以下七個環(huán)節(jié)展開教學：復習

舊知、鋪墊新知；類比實數(shù)、提出課題；創(chuàng)設情境、建構定義；探究法則、猜想性質；知識運用、

深化認識；課堂總結、升華主題；課后作業(yè)、鞏固延伸。

（一）、復習舊知、鋪墊新知

在上一堂課，我們學習過向量的哪些概念？

（設計意圖：讓學生回顧舊知，為本堂課的學習作鋪墊。）

（二）、類比實數(shù)、提出課題

問題1：學習完向量的概念后，我們應該研究向量的什么知識呢？

問題2：回憶：我們在學習完實數(shù)的概念后，緊接著學習了實數(shù)的什么知識？

（設計意圖：讓學生類比實數(shù)的研究方法得到向量的研究方法。）

問題3：向量能否像實數(shù)那樣進行加法運算？

（設計意圖：新知與舊知產生了矛盾，激發(fā)學生的求知欲。）

（三）、創(chuàng)設情境、建構定義

問題4：小明從A點向東走到B,然后從B點向北走到C。試求：小明由A點到C點所形成的位移?

建構定義：

求兩個向量和的運算，叫做

（設計意圖：向量加法運算可以直接利用物理模型引入得到,加法的定義其實就是用數(shù)學的作圖語

言來刻畫的，這種方法經常出現(xiàn)在幾何中，這一點也更好的體現(xiàn)了向量加法具有的幾何意義和向

量數(shù)形結合的特征。若學生能用位移求和給向量加法下定義，則說明培養(yǎng)和發(fā)展了學生的數(shù)學抽

象素養(yǎng)。）

問題5：橡皮條在力儲與F2的作用下，從E點伸長到了0點；同時橡皮條在力F的作用下也從E點

伸長到了0點。合力F與力儲、R有怎樣的關系？

（設計意圖：從學生熟悉的物理知識入手，以問題進行驅動，讓學生主動參與到問題的發(fā)現(xiàn)、

討論和解決等過程中來，而且在探究的過程中學生對向量加法的認識逐步由感性上升到理性，得

出向量加法所對應的兩個兩個物理模型一一位移的合成、力的合成，為引入向量加法的三角形法

則、平行四邊形法則作鋪墊。）

（四）、探究法則、猜想性質

探究一：如圖為不共線向量日石，請類比位移的合成、力的合成，作出向量4+5。

位移的合成力的合成

圖形

表示

符號

表述

連接

方式

問題6：兩種方法做出的結果一樣嗎？

問題7：它們之們有聯(lián)系嗎？

（設計意圖：類比并掌握兩個物理模型的作圖技能，得到向量加法法則，并引導學生得到這

兩種向量的加法法則的結果是相同的，本質是相同的，但外在特征形式有區(qū)別，針對具體問題要

具體分析。期間讓學生開展小組合作、自主探究，培養(yǎng)學生勇于探索、敢于創(chuàng)新的個性品質，使

他們在輕松愉快的氛圍中突破難點，在過程中收獲自信，體驗成功，通過學生展示講解，鍛煉學

生的組織能力和語言表達能力。踐行呂傳漢教授所提倡的“三教”理念：教思考、教體驗、教表

達。若學生能從位移的合成、力的合成中獲得向量加法的兩個法則，則說明培養(yǎng)和發(fā)展了學生的

直觀想象素養(yǎng)。）

探究二：共線向量的加法問題

（I）方向相同（II）方向相反

（設計意圖：在探究一成功探究了不共線向量的加法問題后，立刻提問：兩向量除了不共線之外，

還有其他情況嗎？然后讓學生完備向量的加法問題，學生會看到三角形法則對共線向量的求和仍

然是適用的，反映了三角形法則具有廣泛的適用性。若學生在探究共線向量的加法問題時，分類

討論了同向和反向兩種情況，并得出三角形法則對共線向量的求和仍適用，則說明培養(yǎng)和發(fā)展了

學生的邏輯推理素養(yǎng)。）

探究三：根據(jù)你所作的圖形，探究與|a+B|之間的關系？

（設計意圖：引導學生運用分類討論思想、三角形的性質得出結論，為后面不等式章節(jié)要繼續(xù)

學習的三角不等式作鋪墊。若學生通過探究一、探究二的圖形，運用分類討論并得出結果

I口+|5以乙+5],則說明培養(yǎng)和發(fā)展了學生的直觀想象、數(shù)學運算素養(yǎng)。）

探究四：實數(shù)的加法滿足交換律和結合律，向量的加法是否也滿足類似的性質？類比猜想其具體形

式并作圖驗證。

實數(shù)的加法向量的加法

性

質

（設計意圖：引導學生通過“類比”的方法引入向量的加法運算律，是符合建構主義的認識

的。同時，用作圖的方式驗證結論，使學生進一步認識的數(shù)學的嚴謹之美，也欣賞到了兩個法則

的和諧統(tǒng)一之美。在作圖驗證這個開放性問題中，讓同學們從不同角度大膽作圖，充分調動了學

生積極性，激發(fā)了學生的創(chuàng)新思維和創(chuàng)造能力，讓學生達到參與度和思考度的高潮。若學生能類

比實數(shù)的加法運算律猜想向量加法的運算律，則說明培養(yǎng)和發(fā)展了學生的邏輯推理素養(yǎng)；若學生

能作圖驗證運算律，則說明培養(yǎng)和發(fā)展了學生的直觀想象素養(yǎng)。）

(五)、知識運用、深化認識

1.化簡

(1)AB+CD+BC=.

(2)(MA+BN)+(AC+CB)=.

(3)AB+(BD+CA)+DC^.

2.根據(jù)圖示填空

<------------------>

(1)a+b=.

(2)c+d=.

(3)a+Z>+d=.

(4)c+d+e=.

(設計意圖：鞏固新知，知識過手，深刻領悟向量的兩個加法法則，熟練掌握法則所對應的連

接方式。若學生能獨立完成知識運用的兩個練習題，則說明培養(yǎng)和發(fā)展了學生的數(shù)學運算、直觀

想象、邏輯推理素養(yǎng)。)

(六)、課堂總結、升華主題

今天我們探究了哪些數(shù)學知識？我們體驗了哪些數(shù)學思想方法？

(設計意圖：新課程理念尊重學生的差異，鼓勵學生的個性發(fā)展，所以，在課堂總結環(huán)節(jié)設置

一個開放性的問題，讓學生通過回顧、反思的過程中，將知識條理化、系統(tǒng)化，使認知結構合理

化，加深對向量加法及兩個法則的理解，領會并能利用數(shù)學思想和方法解決相關問題。今天探究

了向量的加法運算，接下來還要探究向量的減法、數(shù)乘、數(shù)量積等運算，但這些運算的基礎都是

加法運算，其實整個“和、差、倍、分”都可以歸結為“和”的思想即加法思想，加法思想也貫

穿了整個小學到大學的學習，小學整數(shù)、分數(shù)加法，初中有理數(shù)、實數(shù)加法，解二元一次方程組，

高中向量的加法，復數(shù)的加法，兩直線的位置關系，大學矩陣的加法等等。這樣既給學生梳理了

“加法”的學習軌跡，同時也讓本堂課的主題得到了升華。)

（七）、課后作業(yè)、鞏固延伸

（1）作業(yè)：P91習題2.2的1.2.3.4.5.

（2）拓展探究：數(shù)有減法，向量是否有減法呢？結合本節(jié)課的探究方法，請大膽的提出猜想，并

結合三角形法則與平行四邊形法則進行探究.

（設計意圖：課本習題5個習題，主要是為了鞏固課堂所學知識；拓展探究，主要是讓學生

掌握這類新知的探究方法，這既是為下節(jié)的學習作鋪墊，也在自主探究預習中潛移默化的培養(yǎng)了

學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。這樣布置作業(yè)的方式，可以使學生在完成基本學習任務的同時，也讓每一

個學生的思維得到釋放和拓展，使學生都可以獲得成功的喜悅，看到自己的潛能，從而激發(fā)學生

飽滿的學習興趣。）

回歸本質聚焦素養(yǎng)提升素質

——評《向量加法運算及其幾何意義》

本節(jié)課劉老師以問題的形式引領學生探究，用類比的方法引導學生發(fā)現(xiàn)知識生

成和發(fā)展，既注重“四能”的培養(yǎng)，又重視“素養(yǎng)”的發(fā)展，從而提升學生素質，

助推素質教育。

1回歸本質

回歸本質有兩層含義，一是回歸數(shù)學本質，二是回歸教學本質，本課以生為本，

先做后說，問題設在學生最近發(fā)展區(qū)，學在前，講在后，每個問題都是先由學生探

究、交流、分享后，老師再點撥、評講。向量加法的法則都是學生自己概括、提煉

出來的。在探究兩個法則結果一致性時，生生互助互學，充分體現(xiàn)合作學習和探究

學習。

在向量加法的生成過程中，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，在向