/專題07三角形中的證明與計(jì)算問題目錄TOC\o"1-2"\h\u熱點(diǎn)題型歸納 1題型01三角形全等的判定及性質(zhì)應(yīng)用 1題型02相似三角形的判定及性質(zhì)應(yīng)用 4題型03結(jié)合全等與相似進(jìn)行三角形中的線段的計(jì)算 8題型04結(jié)合全等與相似進(jìn)行三角形中的角度的計(jì)算 13中考練場 14題型01三角形全等的判定及性質(zhì)應(yīng)用三角形全等的判定及性質(zhì)應(yīng)用是初中數(shù)學(xué)幾何領(lǐng)域的核心內(nèi)容，是解決三角形相關(guān)問題、推導(dǎo)幾何結(jié)論的關(guān)鍵工具，在中考數(shù)學(xué)中分值占比約5%-10%。1.考查重點(diǎn)：重點(diǎn)考查依據(jù)不同幾何情境，精準(zhǔn)選擇全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）證明三角形全等，并熟練運(yùn)用全等三角形對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等的性質(zhì)，進(jìn)行線段和角度的證明與計(jì)算。2.高頻題型：高頻題型包含直接給定三角形的部分條件，要求證明兩個(gè)三角形全等；利用全等三角形性質(zhì)，證明線段相等、角相等或計(jì)算線段長度、角度大?。辉趶?fù)雜圖形中，通過添加輔助線構(gòu)造全等三角形，解決幾何問題。3.高頻考點(diǎn)：考點(diǎn)集中在全等三角形判定定理的靈活運(yùn)用，全等三角形性質(zhì)在證明線段、角度關(guān)系及計(jì)算中的應(yīng)用，全等三角形與其他幾何圖形（如四邊形、圓）的綜合考查，以及全等三角形在實(shí)際問題（如測量距離）中的運(yùn)用。4.能力要求：要求學(xué)生具備較強(qiáng)的邏輯推理能力，能夠根據(jù)已知條件合理規(guī)劃全等證明路徑；擁有敏銳的圖形觀察能力，從復(fù)雜圖形中識別全等三角形；掌握輔助線添加技巧，通過構(gòu)造全等三角形突破解題難點(diǎn)；同時(shí)具備將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的能力。5.易錯(cuò)點(diǎn)：易錯(cuò)點(diǎn)在于判定三角形全等時(shí)，錯(cuò)用判定條件，如誤將“SSA”當(dāng)作判定依據(jù)；在運(yùn)用全等三角形性質(zhì)時(shí)，對應(yīng)關(guān)系混淆，導(dǎo)致線段、角度計(jì)算錯(cuò)誤；添加輔助線時(shí)缺乏針對性，無法有效構(gòu)造全等三角形；在綜合問題中，不能充分挖掘隱含條件，影響全等證明及后續(xù)計(jì)算?！咎岱置丶咳热切蔚呐卸ǎ孩龠呥呥叄⊿SS）：三條邊分別對應(yīng)性相等的兩個(gè)三角形全等。②邊角邊（SAS）：兩邊及其這兩邊的夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。③角邊角（ASA）：兩角及其這兩角的夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。④角角邊（AAS）：兩角及其其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。⑤直角三角形判定（HL）：直角三角形中斜邊與其中任意一直角邊分別對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。全等三角形的性質(zhì)：對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等、對應(yīng)線段（高、中線、角平分線等）相等【典例分析】例1．（2024·云南·中考真題）如圖，在和中，，，．求證：．例2．（2024·江蘇南通·中考真題）如圖，點(diǎn)D在的邊上，經(jīng)過邊的中點(diǎn)E，且．求證．例3．（2024·福建·中考真題）如圖，在菱形中，點(diǎn)E、F分別在、邊上，，求證：．例4．（2024·四川樂山·中考真題）知：如圖，平分，．求證：．例5．（2024·江蘇鹽城·中考真題）已知：如圖，點(diǎn)A、B、C、D在同一條直線上，，．若________，則．請從①；②；③這3個(gè)選項(xiàng)中選擇一個(gè)作為條件（寫序號），使結(jié)論成立，并說明理由．【變式演練】1．（2025·陜西西安·二模）如圖，是上一點(diǎn)，，，平分，求證：．2．（2025·福建泉州·一模）如圖，在矩形中，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，．求證：．3．（2025·廣東廣州·模擬預(yù)測）如圖，點(diǎn)在一條直線上，，求證：．4．（2025·陜西西安·二模）如圖，在中，點(diǎn)是上一點(diǎn)，過點(diǎn)作，點(diǎn)在上方，連接，，與互補(bǔ)，求證：．5．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）如圖，在中，，，為邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，為邊上一點(diǎn)，連接，且．求證：

(1)；(2)．題型02相似三角形的判定及性質(zhì)應(yīng)用相似三角形的判定及性質(zhì)是初中數(shù)學(xué)幾何領(lǐng)域中極為重要的內(nèi)容，它主要研究三角形之間的相似關(guān)系，通過判定定理確定相似性，并利用性質(zhì)解決線段比例、角度關(guān)系等幾何問題，在中考數(shù)學(xué)中分值占比約5%-10%。1.考查重點(diǎn)：重點(diǎn)考查對相似三角形判定定理（如兩角對應(yīng)相等、三邊對應(yīng)成比例、兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等）的準(zhǔn)確運(yùn)用，以及相似三角形性質(zhì)（對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例、對應(yīng)線段成比例、面積比等于相似比的平方）在各類幾何情境中的應(yīng)用。2.高頻題型：高頻題型包含給定幾何圖形，判斷三角形是否相似并說明理由；利用相似三角形性質(zhì)計(jì)算線段長度、角度大小、圖形面積；通過構(gòu)造相似三角形解決實(shí)際問題，如測量物體高度、距離等。3.高頻考點(diǎn)：考點(diǎn)集中在相似三角形判定條件的靈活選擇，相似三角形性質(zhì)在幾何證明和計(jì)算中的運(yùn)用，相似三角形與函數(shù)、圓等其他知識的綜合考查，以及相似模型（如“A”型、“X”型、母子相似型）的識別與應(yīng)用。4.能力要求：要求學(xué)生具備較強(qiáng)的邏輯推理能力，能夠根據(jù)已知條件合理選擇相似三角形的判定方法；擁有良好的圖形分析能力，從復(fù)雜圖形中提煉出相似三角形；掌握一定的數(shù)學(xué)建模思想，能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為相似三角形模型求解。5.易錯(cuò)點(diǎn)：易錯(cuò)點(diǎn)在于判定相似時(shí)錯(cuò)用條件，例如誤將兩邊對應(yīng)成比例且其中一邊的對角相等當(dāng)作判定依據(jù)；在運(yùn)用相似三角形性質(zhì)時(shí)，對應(yīng)關(guān)系混淆，導(dǎo)致線段比例、面積計(jì)算出錯(cuò)；對相似模型的特征把握不準(zhǔn)，無法準(zhǔn)確識別與應(yīng)用，在綜合問題中不能有效整合相似三角形與其他知識解題。【提分秘籍】相似圖形的概念：把形狀相同的圖形稱為相似圖形。相似三角形的概念：如果兩個(gè)三角形的對應(yīng)邊的比相等，對應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。相似三角形的判定：①平行線法判定：平行于三角形一邊的直線與三角形的另兩邊或另兩邊的延長線相交所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。②對應(yīng)邊判定：三組對應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似。③兩邊及其夾角判定法：兩組對應(yīng)邊的比相等，且這兩組對應(yīng)邊的夾角相等的兩個(gè)三角形相似。④兩角判定：有兩組角（三組角）對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似。相似三角形的性質(zhì)：①相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等。對應(yīng)邊的比叫做相似比。②相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方。相似三角形的對應(yīng)線段（對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、對應(yīng)邊上的高）的比也等于相似比?！镜淅治觥坷?．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，點(diǎn)，分別在正方形的邊，上，，，．求證：．例2．（2024·新疆·中考真題）如圖，在中，是的直徑，弦交于點(diǎn)E，．(1)求證：；(2)若，求的長．例3．（2024·江蘇無錫·中考真題）如圖，是的直徑，內(nèi)接于，，的延長線相交于點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)求的度數(shù)．例4．（2024·四川·中考真題）如圖，在四邊形中，，連接，過點(diǎn)作，垂足為，交于點(diǎn)，．(1)求證：；(2)若．①請判斷線段，的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；②若，，求的長．【變式演練】1．（2025·廣東廣州·模擬預(yù)測）如圖，中，，是邊上的高，求證：．2．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接MA，求證：∽3．（2024·四川樂山·模擬預(yù)測）如圖，已知線段，相交于點(diǎn)，，，．求．4．（2024·廣西·模擬預(yù)測）如圖，在等邊三角形中，相交于點(diǎn)F．求證：．5．（2025·上海虹口·一模）如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，過點(diǎn)作垂直交于點(diǎn)，連接、交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)如果，求證：．6．（2025·重慶大渡口·模擬預(yù)測）如圖，在中，對角線與相交于點(diǎn)，，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，求的長．題型03結(jié)合全等與相似進(jìn)行三角形中的線段的計(jì)算結(jié)合全等與相似進(jìn)行三角形中的線段的計(jì)算是初中數(shù)學(xué)幾何知識綜合運(yùn)用的關(guān)鍵內(nèi)容，深度融合全等三角形與相似三角形的核心性質(zhì)，對學(xué)生綜合分析與解決問題能力要求較高，在中考數(shù)學(xué)中分值占比約5%-8%。1.考查重點(diǎn)：重點(diǎn)考查靈活運(yùn)用全等三角形對應(yīng)邊相等、相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，在復(fù)雜幾何情境下，通過尋找、構(gòu)造全等或相似三角形，實(shí)現(xiàn)對三角形中線段長度的精準(zhǔn)計(jì)算。2.高頻題型：高頻題型有在一個(gè)圖形中，先證明三角形全等得到部分線段相等關(guān)系，再借助相似三角形對應(yīng)邊比例，計(jì)算其他線段長度；或者先利用相似三角形求出部分線段比例，再通過證明全等三角形，確定關(guān)鍵線段長度，進(jìn)而計(jì)算所求線段。3.高頻考點(diǎn)：考點(diǎn)集中在全等三角形判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）與相似三角形判定定理（兩角對應(yīng)相等、三邊對應(yīng)成比例、兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等）的準(zhǔn)確運(yùn)用，以及全等與相似三角形性質(zhì)在串聯(lián)線段關(guān)系、計(jì)算線段長度過程中的綜合體現(xiàn)。4.能力要求：要求學(xué)生具備敏銳的圖形觀察能力，能從復(fù)雜圖形中迅速識別全等與相似三角形的基本模型；擁有強(qiáng)大的邏輯推理能力，依據(jù)已知條件合理規(guī)劃全等與相似的證明順序，搭建線段計(jì)算的橋梁；掌握扎實(shí)的運(yùn)算能力，處理復(fù)雜線段比例與長度計(jì)算。5.易錯(cuò)點(diǎn)：易錯(cuò)點(diǎn)在于混淆全等與相似三角形的判定條件和性質(zhì)，導(dǎo)致證明過程出錯(cuò)；在構(gòu)造全等或相似三角形時(shí)，輔助線添加不合理，無法有效建立線段聯(lián)系；在利用相似三角形對應(yīng)邊成比例計(jì)算時(shí)，對應(yīng)關(guān)系混亂，造成計(jì)算錯(cuò)誤；對題目中隱含的全等或相似條件挖掘不充分，影響解題思路。【典例分析】例1．（2023·黑龍江哈爾濱·中考真題）如圖，，相交于點(diǎn)，，是的中點(diǎn)，，交于點(diǎn)．若，則的長為（

）

A．2 B．4 C．6 D．8例2．（2023·遼寧丹東·中考真題）如圖，在正方形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上，與相交于點(diǎn)G，若，則的長為．例3．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，內(nèi)接于，點(diǎn)在上，平分交于，連接．若，，則的長為．例4．（2023·遼寧營口·中考真題）如圖，在中，，，將繞著點(diǎn)C按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接BD交于在E，則．

例5．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在中，，是的一條角平分線，為中點(diǎn)，連接．若，，則．

例6．（2024·山東·中考真題）如圖，點(diǎn)為的對角線上一點(diǎn)，，，連接并延長至點(diǎn)，使得，連接，則為（

）A． B．3 C． D．4【變式演練】1．（2025·山西朔州·一模）如圖，，與相交于點(diǎn)，已知，則的長為．2．（2025·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）如圖，中，，點(diǎn)是的外心，且，延長交于點(diǎn)，若，則．3．（2025·陜西西安·一模）如圖，在中，，，交于E，，，則的長度為．4．（2025·陜西西安·二模）如圖，中，M是的中點(diǎn)，平分，于點(diǎn)D，若，則等于（）A．4 B．3 C．2 D．15．（2025·廣東深圳·模擬預(yù)測）在等腰中，，D是上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作交延長線于點(diǎn)E，若，，則的值為．6．（2025·重慶·模擬預(yù)測）如圖，正方形的邊長為，連接，則線段的長為（

）A． B． C．4 D．7．（2025·重慶·模擬預(yù)測）如圖，正方形的對角線上有一點(diǎn)E，滿足，連接，過D作于F，連接，則的值為（）A． B． C． D．題型04結(jié)合全等與相似進(jìn)行三角形中的角度的計(jì)算結(jié)合全等與相似進(jìn)行三角形中的角度的計(jì)算是初中數(shù)學(xué)幾何板塊中對知識綜合運(yùn)用能力要求頗高的內(nèi)容，它緊密關(guān)聯(lián)全等三角形對應(yīng)角相等和相似三角形對應(yīng)角相等的特性，旨在培養(yǎng)學(xué)生深度分析幾何圖形中角度關(guān)系的能力，在中考數(shù)學(xué)里分值占比約5%-8%。1.考查重點(diǎn)：重點(diǎn)考查學(xué)生靈活運(yùn)用全等三角形對應(yīng)角相等、相似三角形對應(yīng)角相等這兩大核心性質(zhì)，在復(fù)雜多變的幾何圖形情境中，精準(zhǔn)定位并通過構(gòu)造全等或相似三角形，實(shí)現(xiàn)對三角形中未知角度的準(zhǔn)確計(jì)算。2.高頻題型：高頻題型有在給定圖形中，先證明三角形全等獲取部分角度相等關(guān)系，接著借助相似三角形對應(yīng)角性質(zhì)來計(jì)算其他角度；或者先利用相似三角形得出一些角度信息，再通過證明三角形全等，確定關(guān)鍵角度數(shù)值，從而完成所求角度的計(jì)算。3.高頻考點(diǎn)：考點(diǎn)主要集中在全等三角形判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）與相似三角形判定定理（兩角對應(yīng)相等、三邊對應(yīng)成比例、兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等）的恰當(dāng)選用，以及全等與相似三角形對應(yīng)角性質(zhì)在構(gòu)建角度關(guān)系、求解角度數(shù)值過程中的綜合運(yùn)用。4.能力要求：要求學(xué)生具備敏銳的圖形感知能力，能快速從復(fù)雜圖形中識別出全等與相似三角形的基本模型；擁有較強(qiáng)的邏輯推導(dǎo)能力，依據(jù)已知條件有條不紊地規(guī)劃全等與相似的證明流程，以此搭建起角度計(jì)算的邏輯鏈條；同時(shí)，還需掌握扎實(shí)的角度運(yùn)算能力，準(zhǔn)確處理各類角度的計(jì)算問題。5.易錯(cuò)點(diǎn)：易錯(cuò)點(diǎn)在于混淆全等與相似三角形的判定條件和對應(yīng)角性質(zhì)，致使證明過程出現(xiàn)錯(cuò)誤；在構(gòu)造全等或相似三角形時(shí)，輔助線添加不當(dāng)，無法成功建立起有效的角度關(guān)聯(lián)；在利用相似三角形對應(yīng)角性質(zhì)計(jì)算時(shí)，對應(yīng)關(guān)系混亂，造成角度計(jì)算失誤；對題目中潛藏的全等或相似條件察覺不敏銳，從而阻礙解題思路的順暢推進(jìn)?！镜淅治觥坷?．（2024·山東濟(jì)南·中考真題）如圖，已知，則的度數(shù)為（

）．A． B． C． D．例2．（2024·四川成都·中考真題）如圖，，若，，則的度數(shù)為．【變式演練】1．（2025·河南·模擬預(yù)測）如圖，已知，，，則．2．（2025·重慶·模擬預(yù)測）如圖，在和中，點(diǎn)在邊上，交于點(diǎn)．若，，，，則．3．（2025·浙江寧波·一模）如圖，長方形沿折疊，使點(diǎn)D落在邊上的點(diǎn)F處．如果，那么，，．一、單選題1．（2025·重慶·模擬預(yù)測）若兩個(gè)三角形相似比為，則這兩個(gè)三角形的周長比為（

）A． B． C． D．2．（2025·河南安陽·一模）如圖，為某農(nóng)村一古老的搗碎器，已知支撐柱的高為，踏板長為，支撐點(diǎn)A到踏腳D的距離為，現(xiàn)在踏腳著地，則搗頭點(diǎn)E離地面的高度為（

）A． B． C． D．3．（2025·重慶·模擬預(yù)測）如圖，與位似，點(diǎn)O為位似中心，已知，的面積為8，則的面積為（

）A．8 B．12 C．18 D．244．（2025·陜西咸陽·一模）如圖，在中，點(diǎn)在上，連接，的頂點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，、分別交于點(diǎn)、，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，，則的長為（

）A．3 B．2 C． D．5．（2025·廣東·模擬預(yù)測）如圖，在中，，D為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊上，，則四邊形的面積為（

）A．18 B． C．9 D．66．（2025·重慶·模擬預(yù)測）如圖，正方形，連接，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接交于點(diǎn)，若，則的值為（

）A． B． C． D．1二、填空題7．（2025·重慶·模擬預(yù)測）如圖，中，，，平分，，過作于點(diǎn)，則長為．8．（2025·湖南長沙·一模）如圖，在中，，分別以點(diǎn)為圓心，大于長為半徑畫弧，交于點(diǎn)，作直線分別交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)是．9．（2025·重慶·模擬預(yù)測）如圖，中，，，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)N的坐標(biāo)為，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為．10．（2025·河北唐山·一模）點(diǎn)，，在同一直線上，點(diǎn)，，在同一條直線上，，部分?jǐn)?shù)據(jù)如圖所示，將沿虛線剪成三塊，其中兩塊為梯形，一塊為三角形，陰影部分的面積記為．將沿虛線剪成三塊，三塊均為三角形，陰影部分的面積記為，則．三、解答題11．（2025·陜西西安·二模）如圖，是上一點(diǎn)，，，平分，求證：．12．（2025·江蘇宿遷·一模）已知：如圖，于點(diǎn)，于點(diǎn)，且是的中點(diǎn)．求證：．13．（2025·陜西咸陽·一模）如圖；在中，延長到點(diǎn)，過點(diǎn)作，連接，，求證：．14．（2025·海南三亞·模擬預(yù)測）如圖，點(diǎn)是的中點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．15．（2025·湖南長沙·一模）如圖，將平行四邊形紙片沿一條直線折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)落在點(diǎn)處，折痕為．(1)求證：；(2)若，，試判斷的形狀，并說明理由．

專題07三角形中的證明與計(jì)算問題目錄TOC\o"1-2"\h\u熱點(diǎn)題型歸納 1題型01三角形全等的判定及性質(zhì)應(yīng)用 1題型02相似三角形的判定及性質(zhì)應(yīng)用 9題型03結(jié)合全等與相似進(jìn)行三角形中的線段的計(jì)算 20題型04結(jié)合全等與相似進(jìn)行三角形中的角度的計(jì)算 39中考練場 42題型01三角形全等的判定及性質(zhì)應(yīng)用三角形全等的判定及性質(zhì)應(yīng)用是初中數(shù)學(xué)幾何領(lǐng)域的核心內(nèi)容，是解決三角形相關(guān)問題、推導(dǎo)幾何結(jié)論的關(guān)鍵工具，在中考數(shù)學(xué)中分值占比約5%-10%。1.考查重點(diǎn)：重點(diǎn)考查依據(jù)不同幾何情境，精準(zhǔn)選擇全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）證明三角形全等，并熟練運(yùn)用全等三角形對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等的性質(zhì)，進(jìn)行線段和角度的證明與計(jì)算。2.高頻題型：高頻題型包含直接給定三角形的部分條件，要求證明兩個(gè)三角形全等；利用全等三角形性質(zhì)，證明線段相等、角相等或計(jì)算線段長度、角度大小；在復(fù)雜圖形中，通過添加輔助線構(gòu)造全等三角形，解決幾何問題。3.高頻考點(diǎn)：考點(diǎn)集中在全等三角形判定定理的靈活運(yùn)用，全等三角形性質(zhì)在證明線段、角度關(guān)系及計(jì)算中的應(yīng)用，全等三角形與其他幾何圖形（如四邊形、圓）的綜合考查，以及全等三角形在實(shí)際問題（如測量距離）中的運(yùn)用。4.能力要求：要求學(xué)生具備較強(qiáng)的邏輯推理能力，能夠根據(jù)已知條件合理規(guī)劃全等證明路徑；擁有敏銳的圖形觀察能力，從復(fù)雜圖形中識別全等三角形；掌握輔助線添加技巧，通過構(gòu)造全等三角形突破解題難點(diǎn)；同時(shí)具備將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的能力。5.易錯(cuò)點(diǎn)：易錯(cuò)點(diǎn)在于判定三角形全等時(shí)，錯(cuò)用判定條件，如誤將“SSA”當(dāng)作判定依據(jù)；在運(yùn)用全等三角形性質(zhì)時(shí)，對應(yīng)關(guān)系混淆，導(dǎo)致線段、角度計(jì)算錯(cuò)誤；添加輔助線時(shí)缺乏針對性，無法有效構(gòu)造全等三角形；在綜合問題中，不能充分挖掘隱含條件，影響全等證明及后續(xù)計(jì)算。【提分秘籍】全等三角形的判定：①邊邊邊（SSS）：三條邊分別對應(yīng)性相等的兩個(gè)三角形全等。②邊角邊（SAS）：兩邊及其這兩邊的夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。③角邊角（ASA）：兩角及其這兩角的夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。④角角邊（AAS）：兩角及其其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。⑤直角三角形判定（HL）：直角三角形中斜邊與其中任意一直角邊分別對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。全等三角形的性質(zhì)：對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等、對應(yīng)線段（高、中線、角平分線等）相等【典例分析】例1．（2024·云南·中考真題）如圖，在和中，，，．求證：．【答案】見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定定理是解題關(guān)鍵．利用“”證明，即可解決問題．【詳解】證明：，，即，在和中，，．例2．（2024·江蘇南通·中考真題）如圖，點(diǎn)D在的邊上，經(jīng)過邊的中點(diǎn)E，且．求證．【答案】見詳解【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)以及平行線的判定，根據(jù)題意得，即可證明，有成立，根據(jù)平行線的判定即可證明結(jié)論．【詳解】證明：∵點(diǎn)E為邊的中點(diǎn)，∴，∵，，∴，∴，∴．例3．（2024·福建·中考真題）如圖，在菱形中，點(diǎn)E、F分別在、邊上，，求證：．【答案】見解析【分析】本題考查的是菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，先證明，再證明，從而可得結(jié)論．【詳解】證明：在菱形中，，，∵，∴，∴，在和中，∴，∴．例4．（2024·四川樂山·中考真題）知：如圖，平分，．求證：．【答案】見解析【分析】利用證明，即可證明．【詳解】解：平分，，在和中，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握、、、等全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．例5．（2024·江蘇鹽城·中考真題）已知：如圖，點(diǎn)A、B、C、D在同一條直線上，，．若________，則．請從①；②；③這3個(gè)選項(xiàng)中選擇一個(gè)作為條件（寫序號），使結(jié)論成立，并說明理由．【答案】①或③（答案不唯一），證明見解析【分析】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，①根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，再由全等三角形的判定和性質(zhì)得出，結(jié)合圖形即可證明；②得不出相應(yīng)的結(jié)論；③根據(jù)全等三角形的判定得出，結(jié)合圖形即可證明；熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【詳解】解：選擇①；∵，，∴，∵，∴，∴，∴，即；選擇②；無法證明，無法得出；選擇③；∵，∴，∵，，∴，∴，∴，即；故答案為：①或③（答案不唯一）【變式演練】1．（2025·陜西西安·二模）如圖，是上一點(diǎn)，，，平分，求證：．【答案】見解析【分析】本題考查了角平分線的定義，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，由角平分線的定義和等腰三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而由可得，據(jù)此即可求證，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】證明：∵，∴，∵平分，∴，∴，在和中，，∴，∴．2．（2025·福建泉州·一模）如圖，在矩形中，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，．求證：．【答案】證明見解析【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等等知識點(diǎn)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由矩形的性質(zhì)可得，，由兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等可得，再結(jié)合，可得，利用可證得，由全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】證明：四邊形是矩形，，，，又，，在和中，，，．3．（2025·廣東廣州·模擬預(yù)測）如圖，點(diǎn)在一條直線上，，求證：．【答案】見解析【分析】本題考查全等三角形的判定與平行線的判定，先證，得出，則，再由平行線的判定即可得出結(jié)論．【詳解】證明：在和中，，∴，∴，∴，∴．4．（2025·陜西西安·二模）如圖，在中，點(diǎn)是上一點(diǎn)，過點(diǎn)作，點(diǎn)在上方，連接，，與互補(bǔ)，求證：．【答案】見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握相關(guān)性質(zhì)定理正確推理論證是解題關(guān)鍵；由同角的補(bǔ)角相等可得，再證明即可得證．【詳解】證明：與互補(bǔ)，，，，，，，，，．5．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）如圖，在中，，，為邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，為邊上一點(diǎn)，連接，且．求證：

(1)；(2)．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意，則，，等量代換，則，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)，即可；（2）延長交于，連接，根據(jù)題意，垂直平分線的性質(zhì)，證明得到是的垂直平分線，則，，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)，則，，根據(jù)，推出，根據(jù)全等三角形性質(zhì)，則，得到，根據(jù)為邊的中點(diǎn)，全等三角形的判定和性質(zhì)，則，根據(jù)邊的等量關(guān)系，即可．【詳解】（1）證明，如下：∵，，∴，∵平分交于點(diǎn)∴，∴，∵，，∴，∴．（2）證明，如下：延長交于，連接，∵平分，，∴是的垂直平分線，∴，，∴，∵，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵為邊的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴，∴．

題型02相似三角形的判定及性質(zhì)應(yīng)用相似三角形的判定及性質(zhì)是初中數(shù)學(xué)幾何領(lǐng)域中極為重要的內(nèi)容，它主要研究三角形之間的相似關(guān)系，通過判定定理確定相似性，并利用性質(zhì)解決線段比例、角度關(guān)系等幾何問題，在中考數(shù)學(xué)中分值占比約5%-10%。1.考查重點(diǎn)：重點(diǎn)考查對相似三角形判定定理（如兩角對應(yīng)相等、三邊對應(yīng)成比例、兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等）的準(zhǔn)確運(yùn)用，以及相似三角形性質(zhì)（對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例、對應(yīng)線段成比例、面積比等于相似比的平方）在各類幾何情境中的應(yīng)用。2.高頻題型：高頻題型包含給定幾何圖形，判斷三角形是否相似并說明理由；利用相似三角形性質(zhì)計(jì)算線段長度、角度大小、圖形面積；通過構(gòu)造相似三角形解決實(shí)際問題，如測量物體高度、距離等。3.高頻考點(diǎn)：考點(diǎn)集中在相似三角形判定條件的靈活選擇，相似三角形性質(zhì)在幾何證明和計(jì)算中的運(yùn)用，相似三角形與函數(shù)、圓等其他知識的綜合考查，以及相似模型（如“A”型、“X”型、母子相似型）的識別與應(yīng)用。4.能力要求：要求學(xué)生具備較強(qiáng)的邏輯推理能力，能夠根據(jù)已知條件合理選擇相似三角形的判定方法；擁有良好的圖形分析能力，從復(fù)雜圖形中提煉出相似三角形；掌握一定的數(shù)學(xué)建模思想，能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為相似三角形模型求解。5.易錯(cuò)點(diǎn)：易錯(cuò)點(diǎn)在于判定相似時(shí)錯(cuò)用條件，例如誤將兩邊對應(yīng)成比例且其中一邊的對角相等當(dāng)作判定依據(jù)；在運(yùn)用相似三角形性質(zhì)時(shí)，對應(yīng)關(guān)系混淆，導(dǎo)致線段比例、面積計(jì)算出錯(cuò)；對相似模型的特征把握不準(zhǔn)，無法準(zhǔn)確識別與應(yīng)用，在綜合問題中不能有效整合相似三角形與其他知識解題。【提分秘籍】相似圖形的概念：把形狀相同的圖形稱為相似圖形。相似三角形的概念：如果兩個(gè)三角形的對應(yīng)邊的比相等，對應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。相似三角形的判定：①平行線法判定：平行于三角形一邊的直線與三角形的另兩邊或另兩邊的延長線相交所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。②對應(yīng)邊判定：三組對應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似。③兩邊及其夾角判定法：兩組對應(yīng)邊的比相等，且這兩組對應(yīng)邊的夾角相等的兩個(gè)三角形相似。④兩角判定：有兩組角（三組角）對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似。相似三角形的性質(zhì)：①相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等。對應(yīng)邊的比叫做相似比。②相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方。相似三角形的對應(yīng)線段（對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、對應(yīng)邊上的高）的比也等于相似比?！镜淅治觥坷?．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，點(diǎn)，分別在正方形的邊，上，，，．求證：．【答案】見解析【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．根據(jù)正方形的性質(zhì)，得出，，進(jìn)而得出，根據(jù)兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似即可證明．【詳解】解：，，，四邊形是正方形，，，，，又，．例2．（2024·新疆·中考真題）如圖，在中，是的直徑，弦交于點(diǎn)E，．(1)求證：；(2)若，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）利用圓周角定理可得出，，然后根據(jù)相似三角形的判定即可得證；（2）利用勾股定理可求出，，利用等面積法求出，可求出，然后利用（1）中求解即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，又，∴；（2）解：∵是的直徑，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴E到、的距離相等，設(shè)E到的距離為，C到的距離為，∴，∴，∴，∵，∴，即，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，勾股定理等知識，掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例3．（2024·江蘇無錫·中考真題）如圖，是的直徑，內(nèi)接于，，的延長線相交于點(diǎn)，且．(1)求證：；(2)求的度數(shù)．【答案】(1)見詳解(2)【分析】本題主要考查了圓周角定理，相似三角形的判定以及性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等邊對等角等知識，掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由等弧所對的圓周角相等可得出，再由等邊對等角得出，等量代換可得出，又，即可得出．（2）連接，由直徑所對的圓周角等于得出，設(shè)，即，由相似三角形的性質(zhì)可得出，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得出，即可得出的值，進(jìn)一步即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵∴，∵，∴，∴，又∵∴，（2）連接，如下圖：∵為直徑，∴，設(shè)，∴，由（1）知：∴，∵四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，∴，即，解得：例4．（2024·四川·中考真題）如圖，在四邊形中，，連接，過點(diǎn)作，垂足為，交于點(diǎn)，．(1)求證：；(2)若．①請判斷線段，的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；②若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)①，理由見解析；②【分析】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)等知識，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．（1）由余角的性質(zhì)可得，，根據(jù)，可得；（2）①設(shè)，可求，可求，根據(jù)等腰三角形的判定可得；②由勾股定理可求，由“”可證，可得，通過證明，可得，即可求解．【詳解】（1）證明：，，，，，；（2）解：①，理由如下：設(shè)，，，，，，；②，，，，，，，，，，，，，．【變式演練】1．（2025·廣東廣州·模擬預(yù)測）如圖，中，，是邊上的高，求證：．【答案】見解析【分析】本題考查了相似三角形的判定，垂直的定義，余角的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)垂直的定義得到，根據(jù)余角的性質(zhì)得到，由相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論．【詳解】證明：∵，∴，∵是邊上的高，∴，∴，∴，∴．2．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接MA，求證：∽【答案】見解析【分析】本題考查了相似三角形的判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得：，，，進(jìn)而可得，，由此根據(jù)相似三角形的判定定理即可證明【詳解】證明：將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，得，，，，，，即，∽3．（2024·四川樂山·模擬預(yù)測）如圖，已知線段，相交于點(diǎn)，，，．求．【答案】【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)．首先根據(jù)平行線的性質(zhì)可證，根據(jù)對頂角相等可得，所以可證，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可求結(jié)果．【詳解】解：如下圖所示，，，又，，，，，，．4．（2024·廣西·模擬預(yù)測）如圖，在等邊三角形中，相交于點(diǎn)F．求證：．【答案】證明見解析【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，先證明得到，進(jìn)而可證明，再證明，即可根據(jù)相似三角形的性質(zhì)證明結(jié)論．【詳解】證明：∵是等邊三角形，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴．5．（2025·上海虹口·一模）如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，過點(diǎn)作垂直交于點(diǎn)，連接、交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)如果，求證：．【答案】(1)詳見解析(2)詳見解析【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識：（1）由，證明，得，所以，則；（2）由相似三角形的性質(zhì)得，推導(dǎo)出，由，，得，則，，而，所以，則，所以，則【詳解】（1）（2），，6．（2025·重慶大渡口·模擬預(yù)測）如圖，在中，對角線與相交于點(diǎn)，，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，求的長．【答案】(1)證明見詳解(2)的長為【分析】本題主要考查菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握菱形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意可證平行四邊形是菱形，則，由垂直的定義可得，由同角的余角相等可得，由此即可求解；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，由勾股定理得到，由（1）中的相似得到，即，由此即可求解．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴平行四邊形是菱形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：∵平行四邊形是菱形，∴，，在中，，由（1）可知，∴，∴，解得，，∴的長為．題型03結(jié)合全等與相似進(jìn)行三角形中的線段的計(jì)算結(jié)合全等與相似進(jìn)行三角形中的線段的計(jì)算是初中數(shù)學(xué)幾何知識綜合運(yùn)用的關(guān)鍵內(nèi)容，深度融合全等三角形與相似三角形的核心性質(zhì)，對學(xué)生綜合分析與解決問題能力要求較高，在中考數(shù)學(xué)中分值占比約5%-8%。1.考查重點(diǎn)：重點(diǎn)考查靈活運(yùn)用全等三角形對應(yīng)邊相等、相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，在復(fù)雜幾何情境下，通過尋找、構(gòu)造全等或相似三角形，實(shí)現(xiàn)對三角形中線段長度的精準(zhǔn)計(jì)算。2.高頻題型：高頻題型有在一個(gè)圖形中，先證明三角形全等得到部分線段相等關(guān)系，再借助相似三角形對應(yīng)邊比例，計(jì)算其他線段長度；或者先利用相似三角形求出部分線段比例，再通過證明全等三角形，確定關(guān)鍵線段長度，進(jìn)而計(jì)算所求線段。3.高頻考點(diǎn)：考點(diǎn)集中在全等三角形判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）與相似三角形判定定理（兩角對應(yīng)相等、三邊對應(yīng)成比例、兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等）的準(zhǔn)確運(yùn)用，以及全等與相似三角形性質(zhì)在串聯(lián)線段關(guān)系、計(jì)算線段長度過程中的綜合體現(xiàn)。4.能力要求：要求學(xué)生具備敏銳的圖形觀察能力，能從復(fù)雜圖形中迅速識別全等與相似三角形的基本模型；擁有強(qiáng)大的邏輯推理能力，依據(jù)已知條件合理規(guī)劃全等與相似的證明順序，搭建線段計(jì)算的橋梁；掌握扎實(shí)的運(yùn)算能力，處理復(fù)雜線段比例與長度計(jì)算。5.易錯(cuò)點(diǎn)：易錯(cuò)點(diǎn)在于混淆全等與相似三角形的判定條件和性質(zhì)，導(dǎo)致證明過程出錯(cuò)；在構(gòu)造全等或相似三角形時(shí)，輔助線添加不合理，無法有效建立線段聯(lián)系；在利用相似三角形對應(yīng)邊成比例計(jì)算時(shí)，對應(yīng)關(guān)系混亂，造成計(jì)算錯(cuò)誤；對題目中隱含的全等或相似條件挖掘不充分，影響解題思路?！镜淅治觥坷?．（2023·黑龍江哈爾濱·中考真題）如圖，，相交于點(diǎn)，，是的中點(diǎn)，，交于點(diǎn)．若，則的長為（

）

A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】根據(jù)可得，從而得到，再根據(jù)得到，從而得到，最后得到即可求解．【詳解】解：，，，，，，，，是的中點(diǎn)，，，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)及判定，掌握相似三角形的性質(zhì)及判定方法是解決本題的關(guān)鍵．例2．（2023·遼寧丹東·中考真題）如圖，在正方形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上，與相交于點(diǎn)G，若，則的長為．【答案】【分析】根據(jù)題意證明，，利用勾股定理即可求解．【詳解】解：四邊形是正方形，，，，，，，，，，又，，，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例3．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，內(nèi)接于，點(diǎn)在上，平分交于，連接．若，，則的長為．【答案】【分析】本題考查了圓周角定理，角平分線的定義全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，延長，交于，由圓周角定理可得，，進(jìn)而可證明，得到，即得，利用勾股定理得，再證明，得到，據(jù)此即可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：延長，交于，是的直徑，，，平分，，又∵，∴，，，，，，，又∵，∴，，，，，，故答案為：．例4．（2023·遼寧營口·中考真題）如圖，在中，，，將繞著點(diǎn)C按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接BD交于在E，則．

【答案】【分析】連接，證明是等邊三角形，則，，設(shè)，則，取的中點(diǎn)H，連接，求出，設(shè)，則，證明，得到，解得，即，再利用勾股定理求出，進(jìn)一步即可得到答案．【詳解】解：連接，

∵將繞著點(diǎn)C按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，∴是等邊三角形，∴，，設(shè)，則，取的中點(diǎn)H，連接，∴，，∴，設(shè)，則，∵，∴，∵，∴，∴，∴，解得，即，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，數(shù)形結(jié)合和準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．例5．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在中，，是的一條角平分線，為中點(diǎn)，連接．若，，則．

【答案】【分析】連接，過E作于F，設(shè)，，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)證得，，，進(jìn)而利用三角形的外角性質(zhì)和三角形的中位線性質(zhì)得到，，證明，利用相似三角形的性質(zhì)和勾股定理得到；根據(jù)角平分線的定義和相似三角形的判定與性質(zhì)證明得到，進(jìn)而得到關(guān)于x的一元二次方程，進(jìn)而求解即可．【詳解】解：連接，過E作于F，設(shè)，，

∵，為中點(diǎn)，∴，又，∴，，，∴，，∵，∴，則，又，∴，∴，，∴，則；∵是的一條角平分線，∴，又，∴，∴∴，則，∴，即，解得（負(fù)值已舍去），故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的中位線性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、角平分線的定義以及解一元二次方程等知識，是一道填空壓軸題，有一定的難度，熟練掌握三角形相關(guān)知識是解答的關(guān)鍵．例6．（2024·山東·中考真題）如圖，點(diǎn)為的對角線上一點(diǎn)，，，連接并延長至點(diǎn)，使得，連接，則為（

）A． B．3 C． D．4【答案】B【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，平行證明相似等知識點(diǎn)，正確作輔助線是解題關(guān)鍵．解法一：延長和，交于點(diǎn)，先證，得到，再證，得到，即可求得結(jié)果；解法二：作交于點(diǎn)H，證明出，得到，，然后證明出四邊形是平行四邊形，得到．【詳解】解：解法一：延長和，交于點(diǎn)，∵四邊形是平行四邊形，∴，即，∴∴，∵，，∴，∴，又∵，，∴，∵，，∴，∴，∴∴，∴，∴∵，∴．解法二：作交于點(diǎn)H∴，，又∵，∴，∴，，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∴．故選：B．【變式演練】1．（2025·山西朔州·一模）如圖，，與相交于點(diǎn)，已知，則的長為．【答案】【分析】本題考查平行線的性質(zhì)、三角形相似判定和性質(zhì)，利用平行線證明三角形相似，得到線段成比例即可求解．【詳解】解：∵，，，，即：，，∴；故答案為：．2．（2025·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）如圖，中，，點(diǎn)是的外心，且，延長交于點(diǎn)，若，則．【答案】【分析】本題主要考查三角形外心，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，理解三角形外心的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形外心得到，可證，得到，可證，則，所以有，運(yùn)用等量代換可得，由此即可求解．【詳解】解：∵點(diǎn)是的外心，且，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴或（不符合題意，舍去），把代入，∴，∴，且∴，∵，∴，答案為：．3．（2025·陜西西安·一模）如圖，在中，，，交于E，，，則的長度為．【答案】6【分析】本題考查了勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，等角對等邊，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．根據(jù)，，，證明，得，，因?yàn)?，，則，得，然后運(yùn)算勾股定理列式計(jì)算，即可作答．【詳解】解：∵，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，，∴，∴，即，故答案為：64．（2025·陜西西安·二模）如圖，中，M是的中點(diǎn)，平分，于點(diǎn)D，若，則等于（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】本題考查的是三角形中位線定理、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．延長交于H，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形中位線定理計(jì)算即可．【詳解】解：延長交于H，，，，是的中位線，，故選：D．5．（2025·廣東深圳·模擬預(yù)測）在等腰中，，D是上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作交延長線于點(diǎn)E，若，，則的值為．【答案】【分析】過點(diǎn)A作于點(diǎn)P，過點(diǎn)B作于點(diǎn)H，過點(diǎn)E作交BC的延長線于點(diǎn)F，由正切函數(shù)得，設(shè)，，利用勾股定理分別求出，，，則，再求出，則，，，進(jìn)而得，，根據(jù)得，設(shè)，，則，，由正切函數(shù)，，即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)A作于點(diǎn)P，過點(diǎn)B作于點(diǎn)H，過點(diǎn)E作交的延長線于點(diǎn)F，如圖所示：，在中，，∴設(shè)，，，，，，，，，，，，，，，，∴，設(shè)，，，，在中，，在中，，，，，，，∴，解得：，，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正切函數(shù)，勾股定理，掌握似三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，能構(gòu)建相似三角形，并能熟練利用正切函數(shù)和勾股定理進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．6．（2025·重慶·模擬預(yù)測）如圖，正方形的邊長為，連接，則線段的長為（

）A． B． C．4 D．【答案】D【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理及勾股定理的逆定理，延長交于點(diǎn)E，根據(jù)正方形的性質(zhì)結(jié)合已知條件證得，再根據(jù)勾股定理的逆定理證得和是直角三角形，再證，從而得出是等腰直角三角形，利用勾股定理求出的長即可．【詳解】解：如圖，延長交于點(diǎn)E，∵四邊形是正方形，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴是直角三角形且，∴，∵，∴是直角三角形且，∴，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，故選：D．7．（2025·重慶·模擬預(yù)測）如圖，正方形的對角線上有一點(diǎn)E，滿足，連接，過D作于F，連接，則的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的兩個(gè)銳角互余等知識點(diǎn)，添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形和相似三角形是解題的關(guān)鍵．在上截取，連接，延長，交于點(diǎn)，由正方形的性質(zhì)可得，，，由直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得，且，則，利用可證得，于是可得，由可得，于是可得，結(jié)合，可得，設(shè)，則，由勾股定理可得，可證得，于是可得，即，進(jìn)而可得，則，由勾股定理可得，則，由勾股定理可得，則，由此即可求出的值．【詳解】解：如圖，在上截取，連接，延長，交于點(diǎn)，四邊形是正方形，，，，，，，又，，在和中，，，，，，，，，，，設(shè)，則，，，，，，，，，，，，，，故選：．題型04結(jié)合全等與相似進(jìn)行三角形中的角度的計(jì)算結(jié)合全等與相似進(jìn)行三角形中的角度的計(jì)算是初中數(shù)學(xué)幾何板塊中對知識綜合運(yùn)用能力要求頗高的內(nèi)容，它緊密關(guān)聯(lián)全等三角形對應(yīng)角相等和相似三角形對應(yīng)角相等的特性，旨在培養(yǎng)學(xué)生深度分析幾何圖形中角度關(guān)系的能力，在中考數(shù)學(xué)里分值占比約5%-8%。1.考查重點(diǎn)：重點(diǎn)考查學(xué)生靈活運(yùn)用全等三角形對應(yīng)角相等、相似三角形對應(yīng)角相等這兩大核心性質(zhì)，在復(fù)雜多變的幾何圖形情境中，精準(zhǔn)定位并通過構(gòu)造全等或相似三角形，實(shí)現(xiàn)對三角形中未知角度的準(zhǔn)確計(jì)算。2.高頻題型：高頻題型有在給定圖形中，先證明三角形全等獲取部分角度相等關(guān)系，接著借助相似三角形對應(yīng)角性質(zhì)來計(jì)算其他角度；或者先利用相似三角形得出一些角度信息，再通過證明三角形全等，確定關(guān)鍵角度數(shù)值，從而完成所求角度的計(jì)算。3.高頻考點(diǎn)：考點(diǎn)主要集中在全等三角形判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）與相似三角形判定定理（兩角對應(yīng)相等、三邊對應(yīng)成比例、兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等）的恰當(dāng)選用，以及全等與相似三角形對應(yīng)角性質(zhì)在構(gòu)建角度關(guān)系、求解角度數(shù)值過程中的綜合運(yùn)用。4.能力要求：要求學(xué)生具備敏銳的圖形感知能力，能快速從復(fù)雜圖形中識別出全等與相似三角形的基本模型；擁有較強(qiáng)的邏輯推導(dǎo)能力，依據(jù)已知條件有條不紊地規(guī)劃全等與相似的證明流程，以此搭建起角度計(jì)算的邏輯鏈條；同時(shí)，還需掌握扎實(shí)的角度運(yùn)算能力，準(zhǔn)確處理各類角度的計(jì)算問題。5.易錯(cuò)點(diǎn)：易錯(cuò)點(diǎn)在于混淆全等與相似三角形的判定條件和對應(yīng)角性質(zhì)，致使證明過程出現(xiàn)錯(cuò)誤；在構(gòu)造全等或相似三角形時(shí)，輔助線添加不當(dāng)，無法成功建立起有效的角度關(guān)聯(lián)；在利用相似三角形對應(yīng)角性質(zhì)計(jì)算時(shí)，對應(yīng)關(guān)系混亂，造成角度計(jì)算失誤；對題目中潛藏的全等或相似條件察覺不敏銳，從而阻礙解題思路的順暢推進(jìn)?！镜淅治觥坷?．（2024·山東濟(jì)南·中考真題）如圖，已知，則的度數(shù)為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識點(diǎn)，掌握全等三角形的對應(yīng)角相等成為解題的關(guān)鍵．先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得，然后根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等即可解答．【詳解】解：∵在中，，∴，∵，∴．故選C．例2．（2024·四川成都·中考真題）如圖，，若，，則的度數(shù)為．【答案】/100度【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理和全等三角形的性質(zhì)，先利用全等三角形的性質(zhì)，求出，再利用三角形內(nèi)角和求出的度數(shù)即可．【詳解】解：由，，∴，∵，∴，故答案為：【變式演練】1．（2025·河南·模擬預(yù)測）如圖，已知，，，則．【答案】/度【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)，得，因?yàn)椋?，即可作答．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，故答案為：?．（2025·重慶·模擬預(yù)測）如圖，在和中，點(diǎn)在邊上，交于點(diǎn)．若，，，，則．【答案】【分析】本題考查了全等三角形的判定，三角形的外角，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識點(diǎn)．根據(jù)題意可用判定，即可得，根據(jù)三角形的外角即可得．【詳解】解：在和中，，，，故答案為：．3．（2025·浙江寧波·一模）如圖，長方形沿折疊，使點(diǎn)D落在邊上的點(diǎn)F處．如果，那么，，．【答案】/55度【分析】此題考查了折疊的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點(diǎn)．先根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，進(jìn)而根據(jù)角的運(yùn)算得到，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形全等的性質(zhì)得到，從而結(jié)合題意進(jìn)行角的運(yùn)算即可求解．【詳解】解：∵四邊形是長方形，∴，∵，∴，由折疊得，；又∵，∴，，∴．故答案為：，，．一、單選題1．（2025·重慶·模擬預(yù)測）若兩個(gè)三角形相似比為，則這兩個(gè)三角形的周長比為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查相似三角形性質(zhì)，根據(jù)相似三角形的周長之比等于相似比進(jìn)行求解，即可解題．【詳解】解：兩個(gè)三角形相似比為，這兩個(gè)三角形的周長比為，故選：A．2．（2025·河南安陽·一模）如圖，為某農(nóng)村一古老的搗碎器，已知支撐柱的高為，踏板長為，支撐點(diǎn)A到踏腳D的距離為，現(xiàn)在踏腳著地，則搗頭點(diǎn)E離地面的高度為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，先說明，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例得出答案．【詳解】解：如圖，∵，∴，∴，∴，解得米．∴搗頭點(diǎn)E離地面的高度0.8米．故選：B．3．（2025·重慶·模擬預(yù)測）如圖，與位似，點(diǎn)O為位似中心，已知，的面積為8，則的面積為（

）A．8 B．12 C．18 D．24【答案】C【分析】本題考查了位似變換，利用位似的性質(zhì)得到，所以，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解．【詳解】解：∵與位似，點(diǎn)O為位似中心，∴，∴，∵，∴，∴．故選：C．4．（2025·陜西咸陽·一模）如圖，在中，點(diǎn)在上，連接，的頂點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，、分別交于點(diǎn)、，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，，則的長為（

）A．3 B．2 C． D．【答案】D【分析】該題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，三角形中位線定理，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點(diǎn)．根據(jù)題意得出是的中位線，即可得，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，，∴是的中位線，∴，∴，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴，故選：D．5．（2025·廣東·模擬預(yù)測）如圖，在中，，D為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊上，，則四邊形的面積為（

）A．18 B． C．9 D．6【答案】C【分析】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，連接，由，得，因?yàn)闉檫叺闹悬c(diǎn)，所以，則，再證明，則，推導(dǎo)出，即可得解，熟練掌握其性質(zhì)并能正確地作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解決此題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，連接，，，為邊的中點(diǎn)，，，，在和中，，，，，四邊形的面積為9，故選：C．6．（2025·重慶·模擬預(yù)測）如圖，正方形，連接，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)順