8.5空間角與距離、空間向量及其應(yīng)用

考點用向量法求空間角和空間距離

1.（2020新高考/,4,5分）日春是中國古代用來測定時間的儀器,利用與唇面垂直的密針投射到懸面的影子

來測定時間.把地球看成一個球（球心記為O）,地球上一點A的緯度是指CM與地球赤道所在平面所成角，點

A處的水平面是指過點4且與OA垂直的平面.在點A處放置一個H褲,若林面與赤道所在平面平行，點A處

的緯度為北緯40。,則科針與點4處的水平面所成角為（）

A.200B.400C.5O0D.900

答案B由題意作出如圖所示的截面圖，設(shè)所求角為a,

\料針

t道指卜水平而

由圖易知a=40。.故選B.

2.（2022全國甲，理7,文9,5分）在長方體ABCD-A\B\C\D\中，已知B\D與平面ABCO和平面AAiBiB所成的

角均為30。,則（）

A.AB=2AD

B.A8與平面ABiCiD所成的角為30。

C.AC=CB\

D.BiD與平面88QC所成的角為45。

答案D如圖,連接8D由題可知,8與"L平面ABCD,AQ_L平面AAiBiB,

易知易。與坐面45C9利生霞山龍謔所成的角分別為NE山8NA5也.???N808=48Q=30。.

設(shè)AD=1,則AB尸百,

：.BBi=\,BD=V3,：.AB=V2,

."8=a/ID,故A錯誤.

過“作，交相i于凡

易知/"A8為AB與平面AH\C\D所成的角.

???8"=也變1=漁，

ABt3

-警—今，故B錯誤.

易知AC=V3,C5i=V2,：.AC^CBh故C錯誤.

易知/。8c'為BiD與平面B加GC所成的角，

.,.sin/O8C=普=―,：.ZD3iC=45°,故D正確.

8]D2

3.（多選）（2022新高考/,9,5分）已知正方體A8C6A出CQ,則（）

A.直線BCi與。小所成的角為90°

B.直線8。叮C4所成的角為90°

C.直線BCi與平面BB\D\D所成的角為45°

D.直線BC\與平面A8CQ所成的角為45°

答案ABD連接BC受BG于O,,??/5OG（或其補角）為直線BCi與。4所成的角，又

B\CLBC\,：.N?OG=90。,即直線BC\與04所成角為90。.故選項A正確.

由Aibi_L平面BBQC,6Ciu平面BBiCC知AiBi_LBG,又BCi_LbiGAiBiCBiC=Bi,.??5Ci_L平面ABC,

又C4u平面4出C,.?.“G_LCAi,.??直線“G與CAi所成角為90，.故選項B正確.

連接AC,交B\D\于點01,連接0\B,易證COJ_平面BBiDiD,：.BCi在平面BB\D\D內(nèi)的射影為0\Bt/.

BG'J平面BBiGO所成角為/GBOi.在RtABOiCi中，sin/GBO尸段=則NCiBO]=30°,故選項C錯誤.

DLjZ

?.?CG_L平面ABCD,：.ZGBC是BC1與平面ABCD所成的角，而/GBC=45。,故選項D正確.故選ABD.

4.（多選）（2021新高考/,12,5分）在正三棱柱A8C-48Q中,A8=A4=1,點。滿足前=寂+國瓦,其中

AW[0,1],則

A.當加1時,AABIP的周長為定值

B.當4=1時,三棱錐248。的體積為定值

C.當入=1時,有且僅有一個點P,使得AiP±BP

D.當"三時，有且僅有一個點P,使得平面八辦戶

答案BD選項A,當2=1時,點P在線段CG上,設(shè)CP=x（0人I）,若尸0,則AABIP即為M8C此時

△ABiP的周長為2a+1;若x=l,則AABiP即為△48Q,此時△481P的周長為2尤+1.若0<v<l,PCi=l-x,

在RlMCA中,PA=>Jl+x2,

在RtAfiiCiP中，Pfii=Vl+（l-x）z=Vx2-2x+2,

而八8尸企,所以△ASP的周長為a+Vx2-2x+2+VTTx1,不為定值，故選項A錯誤；

選項B,當"=1時，點P在線段VG上,

因為BC〃RC,於平面A.fiC,ACu平面A\RC,

所以辦G〃平面4BC,

所以直線89上的任何一點到平面48c的距離均相等，

所以三棱錐P-48C的體積為定值，故選項B正確；

取BC,BiC）的中點分別為O,0\,連接OOi,AO,易知OOi_L平面ABC,AOLBC,以O(shè)B,OA,OO\所在直線分

別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則唬，0，0），M0，-今0），M0，-今l），選項C,當月

時，點P在線段OOi上,設(shè)P（0,0,z）（0<z<l）,則布=（0,日,z-1）,而=若AiPLBP,則不?

BP=0,

即z（z-l）=0,解得2=0或z=l,即當/=1時,存在兩個點P,使得AiPLBP,故選項C錯誤；

選項D,當〃與時，點Q在線段WN上（例,N分別是線段B外,CCi的中點），設(shè)P（x,0,1）（-1<x<1）,見而=

（若3），

若八山L平面ABiP.則AiBlAP,則斤商?AP=O.

即&:t）,（為聶）=梟+A9解得后，所以P（心,0,0,易驗證此時滿足4B_L平面A/JiP,

所以當4弓時,有且僅有一個點P,使得小3JL平面A8P,故選項D正確.故選BD.

命題立意：本題以正三棱柱為載體，考查正三棱柱的性質(zhì)，平面向量基本定理，空間幾何體的體積，以及淺面

垂直的判定等,考查學生空間想象能力和邏輯推理能力,通過研究點P的位置,考查數(shù)形結(jié)合思想,體現(xiàn)數(shù)學

運算與直觀想象的核心素養(yǎng)，落實對試題的創(chuàng)新性和綜合性的考查.

5.(20M課標分)直三棱柱ABC-ABG中,/BCA=90°,M,N分別是AB,AC的中點,BC=CA=CC,則BM與

AN所成角的余弦值為（）

聞

c?記

答案C解法一:以G為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,

設(shè)BC=CA=CC>=2,則A(2,0,2),N(1,0,0),M(1,1,0),B(0,2,2),

.?.俞=(-1,0,-2),FM=(l,-l,-2),

/FE、麗麗-1+43V30_0

???cos"N,8M〉=碰而兩=面=而痛C.

解法二:取BC的中點Q,連接QN,AQ,易知則/ANQ即為所求,

設(shè)BC=CA=CG=2,

貝！JAQ=?,AN=V5,QN=V6,

AN2+NQ2-AQ2_5+6-5_6、頌

cosNANQ=2AN-NQ可或濤福二詁'

故選a

6.（2013北京,8,5分）如圖,在正方體ABCDABCR中,P為對角線朧的三等分點,P到各頂點的距離的不同

取值有（）

A.3個B.4個C.5個D.6個

答案B過P作平面ABCD、ABCD的垂線分別交DR、DB于E、F點易知P也是EF的三等分點設(shè)正方

，

體的棱長為a,則PAi=P3=a;PD.=-用;PB=—a;PB：=—a,PA=PC=—a：PD=a.故有4個不同的值.故選B.

思路分析設(shè)正方體的棱長為a,利用正方體中的直角三角形分別計算P到各頂點的距離即可.

解后反思本題考杳了線面的垂直關(guān)系、空間想象力及運算能力.構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵.

7.（2012陜西,5,5分）如圖,叵間直角坐標系中有直三棱柱ABC7BG,CA=CC；=2CB,則直線BG與直線,出

夾角的余弦值為（）

隹

西

一

5B.3

*3

5[).5-

答案A不妨設(shè)CB=1,則B(0,0,l),A(2,0,0),G(0,2,0),BK0,2,l).

.?西=(0,2,-1),麗=(-2,2,1).

兩通70+4-1時卅八

cos<BCx,AB}>網(wǎng)|西飛五V故選

評析本題考查利用空間坐標運算求異面直線所成的角,考有了運算求解能力.

8.(2019天津理,17,13分)如圖,AE_L平面ABCD,CF〃AE,AD〃BC,AD_LAB,AB=AD=1,AE=BC=2.

⑴求證:BF〃平面ADE;

(2)求直線CE與平面BDE所成角的正弦值；

⑶若二面角E-BD-F的余弦值為求線段CF的長.

解析本小題主要考查直線與平面平行、二面角、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識，考查用空間向量解決立

體幾何問題的方法.考查空間想象能力、運算求解能力和推理論證能力.重點考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、

直觀想象與數(shù)學運算.

依題意，可以建立以A為原點,分別以和AD,荏的方向為x軸,y軸,z軸正方向的空間直角坐標系(如圖),

可得A(0,0,0),8(1,0,0),C(l,2,0),D(0,1,0),E(0,0,2).

設(shè)CF=h(h>0),則F(l,2,h).

⑴證明:依題意,同=(1,0,0)是平面ADE的法向量,又前=(0,2,h),可得前-AB=0,

又因為直線BFG平面ADE,所以BF〃平面ADE.

(2)依題意,FD=(-1,l,0),FF=(-l,0,2),

CE=(-1,-2,2).

設(shè)n=(x,y,z)為平面BDE的法向量、

則已呼場{一比六不妨令z=h

(n?BE-0,J+2z=0,

可得n=⑵2,1),因此有cos<CF,n>］函

4

所以，直線CE與平面BDE所成角的正弦值為『

7

(3)設(shè)m=(x,y,z)為平面BDF的法向量，

不妨令y=l.可得-

由題意,有cos<m,n>|平猾』□!=」,解得h4.經(jīng)檢瞼符合題意.所以,線段CF的長為*

|利川3CT377

思路分析從已知條件線面垂直、線線垂直、線線平行入手，建立空間直角坐標系，將立體幾何中的位置關(guān)

系轉(zhuǎn)化為向量坐標關(guān)系,從而進行坐標運算,再將向量運算結(jié)果轉(zhuǎn)化為立體幾何中的位置關(guān)系或長度.

方法總結(jié)利用空間向量解決立體幾何問題的一般步驟：

①觀察圖形,建立恰當?shù)目臻g亙角坐標系;②寫出相應(yīng)點的坐標,求出相應(yīng)直線的方向向量;③設(shè)出相應(yīng)平面

的法向量，利用兩直線垂直,其相應(yīng)方向向量數(shù)量積為零列出方程組求出法向量;④將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為

向量關(guān)系;⑤根據(jù)定理結(jié)論求巴相應(yīng)的角和距離.

9.(2019課標II理，17,12分)如圖,長方體ABCD-ABCD的底面ABCD是正方形，點E在棱AAi上,BEXEG.

(1)證明:BEJ■平面EBiCi;

(2)若AE=A,E,求二面角B-EC-C,的正弦值.

解析本題考查線面垂直的判定和性質(zhì),空間向量的應(yīng)用,考查空間想象能力,運算求解能力,考查了直觀想

象的核心素養(yǎng).

(1)由已知得,BC_L平面ABBA,BEc平面ABBA,

故B￡_LBE.

又BE±EC?所以BE_L平面EB,Ci.

⑵由⑴知NBEB尸90°.

由題設(shè)知RtAABE^RtAA.B.E,

所以NAEB=45°,故AE=AB,AA,=2AB.

以D為坐標原點，瓦i的方向為X軸正方向，DA為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz,

則C(0,1,O),B(1,1,O),C(0,1,2),E(l,0,1),CR=(1,0,0),旗(1,-1,1),陽=(0,0,2).

設(shè)平面EBC的法向量為n=(x,y,z),

所以可取n=(0,-l,-l).

設(shè)平面ECC的法向量為m=(x,y,z),

所以可取m=(1,1,0).

-I-日，、nm1

于7Hcos<n,m>=m「?.

所以,二面角B-EC-C的正弦值為婚.

一題多解

222

(2)連接BC>.設(shè)AE=m,不妨令A(yù)B=1,則BE=V?n+1,C.E=Vm+2,BC(=7(2m)+1.

,.1BE±ECi,.,.4m2+l=2m2+3,解得n=l,貝!!AA尸2.

連接AC.BD,相交于點0,連接AC.

由題意可知AC1BD,BDICC.,ACnCC：=C,

.?.BD_L平面AACC.--BDICE,

即BOICE.

在長方形AA.C.C中,AC=應(yīng),AA；=2.連接AC,,有肝二專=筆,又/EAC=/GCA=90°,貝I」RtAC.CA-RtACAE.

.-.ZECA+ZC.AC=90<>,/.CE1AC,.

取CG的中點F,連接OF,BF,貝LOF^ACi,..OF_LCE.

???BOnOF=O,「.CE_L平面l-,OB.

設(shè)CEnOF=G,連接BG,.-.CEIBG,CE_LFG,則/BGF為二面角B-CE-C的平面角,且sinZBGF=sinZBGO.設(shè)AC,

ncE=H,易得△AEHS^GCILX-.-AE^C,,.-.AU^AC,.易知OG〃川I,又???o為AC的中點,「.OGWAIL

%

\/211V6ZBGO

n石

B0=—,OG=-AH=-AC.=v-.BO±OG,ta.,.NBG0=60°,貝!j/BGF=120°,故sinZBGF=—.

LZOO6_J

10.(2017北京理16,14分)如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD為正方形,平面PADJ_平面ABCD,點M在線

段PB上,PD〃平面MAC,PA=PD=&,AB=4.

⑴求證國為PB的中點;

(2)求二面角B-PD-A的大小;

(3)求直線MC與平面BDP所成角的正弦值.

解析本題考查面面垂直的性質(zhì)定理,線面平行的性質(zhì)定理，二面角,直線與平面所成的角等知識.考查用空

間向星解決立體幾何問題的方法.考查空間想象能力、運算求解能力.

⑴設(shè)AC,BD交點為E,連接ME

因為PD〃平面MAC,平面MACr平面PDB=ME,

所以PD//ME.

因為ABCD是正方形，所以E為BD的中點.

所以M為PB的中點

⑵取AD的中點0,連接OP,0E.

因為PA=PD,所以O(shè)P_LAD.

又因為平面PAD_L平面ABCD,且OPu平面PAD,

所以O(shè)PJ_平面ABCD.

因為OEc平面ABCD,所以0P10E.

因為ABCD是正方形,所以0E1AD.

如圖建立空間直角坐標系O-xyz,則P(0,0,V2),I)(2,0,0),B(-2,4,0),BD=(4,-4,0),PD=(2,0,-近).

設(shè)平面BDP的法向量為n=(x

4x-4y=0,

,2x—yjlz=0.

令x=l,則y=l,z=V2.

于是n=d,1,0).

平面PAD的一個法向量為p=(0,1,0).

所以c°s<n，P>瑞

由題意知二面角B-PD-A為銳角,所以它的大小為千

⑶由題意知M(—1,2,苧),C(2,4,0),MC=(3,2,一苧).

設(shè)直線MC與平面BDP所成角為a

則sina=|cos<n,：=「霽=^^.

所以直線MC與平面BDP所成角的正弦值為等.

方法總結(jié)1.在求二面角時,通常用空間向量法，即建立空間直角坐標系,求出兩個面的法向量n；;,設(shè)二面

角的大小為8,則有cose|=|cos〈m,m>|：魯留，再通過原圖判斷二面角是鈍角還是銳角，進而求出二面

角.

2,用向量法求直線與平面所成的角的方法:設(shè)直線的方向向量為&平面的法向量為n,則直線與平面所成的

角0滿足sin0=尋^高仁伍外.

|e||n|l\2J

11.(2017課標I理，18,12分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB〃CD,且/BAP=/CDP=90°.

⑴證明:平面PAB1平面PAD;

(2)若PA=PD=AB=DC,ZAPD=90°,求二面角A-PB-C的余弦值.

解析本題考查了立體幾何中面面垂直的證明和二面角問題.

（1）由已知NBAP=NCDP=90°,得AB_LAP,CD±PD.

由于AB〃CD,故AB_LPD,

又APAPD=P,從而AB1平面PAD.

又ABu平面PAB,所以平面PABJ_平面PAD.

（2）在平面PAD內(nèi)作PF1AD,垂足為F.

由⑴可知,AB_L平面PAD,故AB_LPF,

又ADnAB=A,可得PF_L平面ABCD.

以F為坐標原點，曲的方向為x軸正方向，1方為單位長建立如圖所示的空間直角坐標系F-xyz.

由⑴及已知可得A（苧,0,0）,P（0,0,苧）B（冬1。），

所以品（-與,1,-日）,CB=（V2,0.0）,可=（今0,-苧）AB=（0,1,0）.

設(shè)n=（X）,yi,z）是平面PCB的法向量，則

n-PC=

n-CB=

可取n=（0,-l,-V2）.

設(shè)（x；,y-j,z.）是平面PAB的法向量，則

(m-PA=0,J^x2-yz2=0,

(771-AB=0,[y2=0,

可取m=(l,0,1).

，、nmyf3

則cos<n,m>=---.

\n\\m\3

易知二面角A-PB-C為鈍二面角，

所以二面角A-PB-C的余弦值為-噂.

方法總結(jié)面面垂直的證明及向量法求解二面角.

(1)面面垂直的證明

證明兩個平面互相垂直，可以在一個平面內(nèi)找一條直線L證明直線1垂直于另一平面.

(2)利用空間向量求解幾何體口的二面角的余弦值.

建立空間直角坐標系.找到點的坐標,求出兩個半平面的法向量n?n2,設(shè)二面角的大小為8則|cose

I=獸留,再根據(jù)二面角的范圍判斷二面角余弦值的正負情況.

|nil|n2|

12.(2017課標H理，19,12分)如圖,四面體ABCD中,△ABC是正三龜形,AACD是直角三角形，NABDN

CBD,AB=BD.

⑴證明:平面ACD±平面ABC;

⑵過AC的平面交BD于點E,若平面REC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分,求二面角D-AE-C的余弦值.

解析本題考查面面垂直的證明，二面角的求法.

(1)由題設(shè)可得,AABD^ACBD,從而AD=DC.

又AACD是直角三角形,所以/ADC=90。.

取AC的中點0,連接DO,B0,則D01AC,DO=AO.

又由于AABC是正三角形，故B01AC.

所以/DOB為二面角O-AC-B的平面角.

在RtAAOB在BO2+AO2=AB2.

又AB=BD,所以BO'+DO-=BO+AO2=ABJ=BD；故NDOB=90°.

所以平面ACD_L平面ABC.

(2)由題設(shè)及(1)知,0A,OR,0D兩兩垂直.以。為坐標原點，立?的方向為x軸正方向，0A為單位長，建立如圖

所示的空間直角坐標系0-xyz.則A(1,0,0),B(0,V5,0),C(-l,0,0),D(0,0,1).

由題設(shè)知,四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的g,從而E至坪面ABC的距離為D到平面ABC的距離的

去即E為DB的中點,得E(0,y,1).故林(-1,0,1),AC=(-2,0,0),4￡=(-1,y,1

設(shè)n=(x,y,z)是平面DAE的法向量，

則卜,竺=0,即]1可取

tn-AE=0,[-x+-y+-z=0.13，

設(shè)m是平面AEC的法向量，則?「竺二°,

vm-AE=0.

同理可取m=(0,-1,V3).則cos<n,

|n||m|7

易知二面角D-AE-C為銳二面角，

所以二面角D-AE-C的余弦值為巧.

方法總結(jié)證明面面垂直最常用的方法是證明其中一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線,即在一個平面內(nèi),

找一條直線,使它垂直于另一人平面.用空間向量法求二面角的余弦值時，要判斷二面角是鈍角還是銳筆.

13.(2016課標H理，19,12分)如圖,菱形ABCD的對角線AC與BD交于點0,AB=5,AC=6,點E,F分別在AD,CD

上,AE=CF=：,EF交BD于點H.將ADEF沿EF折到EF的位置,0D'=收.

4

⑴證明：D'HJ_平面ABCD：

(2)求二面角B-DWC的正弦值.

解析⑴證明:由已知得AC1BD,AD=CD.

又由AE=CF得A笠F=去rp故AC〃EF.

ADCD

因此EF_LHD,從而EF_LD'H.(2分)

由AB=5,AC=6得DO=BO=V/4/?2-AO2=4.

由EF〃AC彳嘿嘴一.

所以O(shè)H=1,D，H=DH=3.

于是D*H2+0H2=3-+l2=10=D*優(yōu)故D'HIOH.(4分)

又D,HIEF,而OlinEF=H,所以D'HJL平面ABCD.(5分)

(2)如圖，以II為坐標原點,麻的方向為x軸正方向,建立空間直角坐標系U-xyz.則

,

11(0,0,0),A(-3,-l,0),B(0,-5,0),C(31-l>0)>D(0,0,3),

AB=(3,-4,0),亞=(6,0,0),~AD'=(3,1,3).(6分)

設(shè)m=(xi,y1,zi)是平面ABD'的法向量,

瞰噂藍即3xi-4y1=0,

3XI4-yt+3Z1=0,

所以可取m=(4,3,-5).(8分)

設(shè)n=(x2,y2,z：,)是平面ACD'的法向量,

則「AC=0,(6X2=0，

3x3z

Aff=0,l2+y2+2=°>

所以可取n=(0,-3,1).(10分)

力日，、mn-147V5

于是，。$。心=而而=薪尻=石.

sin〈…察

2\頌

因此二面角B-D*A-C的正弦值是父.(】2分)

思路分析⑴利用已知條件及翻折的性質(zhì)得出D'HIEF,利用勾股定理的逆定理得出D^IIOII,從而得出結(jié)

論；

(2)在第(1)問的基礎(chǔ)上建立恰當?shù)目臻g直角坐標系,從而求出兩個半平面的法向量,利用向量的夾角公式求

二面角的余弦值,從而求出正就值.

評析本題主要考查翻折問題,線面垂直的證明以及用空間向量法求解二面角的基本知識和基本方法，考

杳學生的運算求解能力以及空間想象能力.求解各點的坐標是利用向量法解決空間問題的關(guān)鍵.

14.（2016山東,17,12分）在如圖所示的圓臺中,AC是下底面圓。的直徑,EF是上底面圓0'的直徑,FB是圓臺

的一條母線.

⑴已知G,H分別為EC,FB的口點.求證:GH〃平面ABC;

（2）已知EF=I-B=1AC=2V3,AB=BC.求二面角E-BC-A的余弦值.

解析⑴證明:設(shè)FC中點為:，連接GI,HI.

在ACEF中,因為點G是CE的中點，所以GI〃EF.

又EF〃OB,所以GI〃OB.

在ACFB中,因為H是FB的中點,所以HI〃BC.

又HICGI=I,所以平面GHI〃平面ABC.

因為GHc平面GHI,所以GH〃平面ABC.

⑵解法一:連接001,則00'_L平面ABC.

又AB-BC,且AC是圓0的直徑,所以B01AC.

以0為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz.

由題意得B(0.2百,0),C(-20,0,0),

所以阮=（-275「2百,0）,

過點F作川垂直0B于點M.

所以EM=VFF2-BM2=3,可得1-(0,V3,3).

故薩(0,S3).

設(shè)m=(x,y,z)是平面BCF的法向量.

由［m-BC=0,

f-2\/3x-2百y=0,

可得，「

「V3y+3z=0.

可得平面BCF的一個法向量m-(1,1,y).

因為平面ABC的一個法向量n=(0,0,1),

所以cos<m,北；?咚

所以二面角F-BC-A的余弦值為半.

解法二:連接00'.過點F作FM垂直0B于點M.

則有FM〃00'.

又00'平面ABC,所以FM_L平面ARC.

可得FM=VfF2-BM2=3.

過點M作MN垂直BC于點連接FN.

可得FN1BC,從而/FNM為二面角F-BC-A的平面角.

又AB=BC,AC是圓。的直徑，

V6

所以MN=BMsin45°=菱.

從而FN=拳，

可得cosZFN\(=—.

所以二面角F-BC-A的余弦值為學.

評析本題考查了線面平行、垂直的位置關(guān)系;考查了二面角的求解方法;考直了空間想象能力和邏輯推理

能力.正確找到二面角的平面角或正確計算平面的法向量是求解的關(guān)鍵.

15.（2016浙江，17,12分）如圖,在三棱臺ABC-DEF中,平面BCFE1平面ABC,Z

ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.

(D求證:BF_L平面ACFD;

（2）求二面角B-ADT：的平面角的余弦值.

解析（1）延長AD,BE,CF相交于一點K,如圖所示.

因為平面BCFE_1_平面ABC,且AC1BC,所以AC_L平面BCK,因此BF1AC.

又因為EF〃BC,BE=EF=FC=1,BC=2,所以aBCK為等邊三角形,且F為CK的中點,則BF1CK.

所以BFJ_平面ACFD.

⑵解卜'作EQ±AK于Q,連接BQ.

因為BF_L平面ACK,所以BF_LAK,則AK_L平面BQF,所以BQ1AK.

所以,NBQF是二面角B-AD-F的平面角.

3713

在RtAACK中,AC=3,CK=2,得I'Q=^y-.

在R3QF中,FQFT.BFS得cosNBQF".

所以,二面角B-AD-F的平面角的余弦值為

4

解法二:由⑴知ABCK為等邊三角形.取BC的中點0,連接K0,則E01BC,又平面BCFE_L平面ABC,所以K0

_L平面ABC.以點0為原點,分別以射線OB.0K的方向為x,z的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系

0-xyz.

由題意得B(l,0,0),C(-l,0,0；,K(0,0,V5),A(-l,-3,0),

因此,AC=（0,3,0）,就=（1,3,百）,而=（2,3,0）.

設(shè)平面ACK的法向量為m=（X）,ybz>）,平面ABK的法向量為n=（x2,y>,z2）.

由g-m=。，得[二"取m=（G0,-D；

（AK-m=Q（xi+3yl+73z、=0,

由性n=。得,2；：丫21取n=（3,一2,5）.

（AKn=0[x2+3y2+V3z2=0,

mn

T日，、6

于是,cos<m,n>==—.

|m[n|4

又易知二面角B-AD-F為銳二面角，

所以,二面角B-AD-F的平面角的余弦值為牛.

方法總結(jié)若二面角的平面角為6,兩半平面的法向量分別為m和3,則|cos0=|cos<m,n2>|,要求cos0

的值,還需結(jié)合圖形判斷二面角的平面角是銳角還是鈍角,進而決定cos8」|cos<ni,n"I,還是cos0

=-|cos<nbn2>|.

評析本題主要考查空間點、或、面位置關(guān)系,二面角等基礎(chǔ)知識，同時考查空間想象能力和運算求解能力.

16.（2015課標I理，18,12分）如圖,四邊形ABCD為菱形，ZABC=120°,E,F是平面ABCD同一側(cè)的兩點,BE±

平面ABCD,DF_L平面ABCD,BE=2DF,AE1EC.

⑴證明:平面AEC±平面AFC;

（2）求直線AE與直線CF所成角的余弦值.

解析（1）證明:連接BD.設(shè)BDCIAC=G,連接l-G,FG,EF.

在菱形ABCD中,不妨設(shè)GB=1.由ZABC=120°,可得AG=GC=W.

由BE_L平面ABCD,AB=BC,可知AE=EC.又AE_LEC,所以EG八6,且EG±AC.

Lyf2

在RtAEBG中.可得BE=，2,故I)F=y.

V6

在RtAFDG中，可得FG=y.

在直角梯形BDFE中，由BD=2,BE=0,DF=y,可得EF=—.

從而EG^FG^EF2,所以EG±EG.

又ACClFG=G,可得EG1平面AFC.

因為EGc平面AEC,所以平面AEC..平面AFC.（6分）

⑵如圖，以G為坐標原點,分別以湍,詫的方向為x軸,y軸正方向，1瑞為單位長,建立空間直角坐標系

G-xyz.

由(1)可得A(0,-x/3,O),E(1,C,V2),F(-1,0,y),C(0,0),所以

4E=(1,V3,V2),CF=(-1,(10分)

AECFV3

故cos<MCT>=-

麗商F

所以直線AE與直線CF所成角的余弦值為手.（12分）

思路分析（1）利用勾股定理的逆定理和平面與平面垂直的判定定理求證.（2）建立適當?shù)目臻g直角坐標系,

利用向量的夾角的余弦公式求解.

解后反思建立適當?shù)目臻g直角坐標系，利用空間向量的有關(guān)公式是求解的關(guān)鍵.證明"EG_L平面AFC"是

解題的難點.

17.（2015課標II理,19,12分）如圖,長方體ABCD-ABCD中,AB-16,BOIO,AA產(chǎn)8,點E,F分別在AB,DC

上,AE=DF=4.過點E,F的平面a與此長方體的面相交，交線圍成T正方形.

DiFr

/b.............7C

A-------------------

（D在圖中畫出這個正方形（不必說明畫法和理由）；

（2）求直線AF與平面a所成角的正弦值.

解析（1）交線圍成的正方形EHGF如圖:

D.

⑵作EM1AB,垂足為V,則AM=A.E=4,EM=AAt=8.

因為EIIGF為正方形,所以EH=EF=BC=10.

于是MH=JEH2=EM?=6,所以AH=10.

以D為坐標原點,瓦?的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz,則

Ado,0,0),H(10,10,0),E(10,4,8),F(0,4,8),'FE=(10,0,0),癥=：0,-6,8).

設(shè)n=(x,y,z)是平面EHGF的法向量，

則卜號6即產(chǎn)

ln-HE=0l-6y+8z=0,

所以可取n=(0.4,3).

又格(TO,4,8),故cos<n,立〉|=華.

|n|黑|AF|15

所以AF與平面EHGF所成角的正弦值為一針

18.(2015山東理,17,12分)如圖,在三棱臺DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分別為AC,BC的中點.

(1)求證:BD〃平面FGH;

(2)若CFL平面ABC,AB_LBC,CF=DE,NBAC=45。,求平面l-GH與平面ACFD所成的角(銳角)的大小.

解析(1)連接l)G,CD,設(shè)CDAGF=O,連接OH.

在三棱臺DEF-ABC中.AB=2DE,G為M'的中點可得DF〃GC,DF=GC,所以四邊形DFCG為平行四邊形.

則0為CD的中點,又H為BC的中點,所以O(shè)H〃BD,

又011c平面FGH,BD6平面FGH,所以BD〃平面FGH.

⑵設(shè)AB=2,則CF=1.

在三棱臺DEF-ABC中,G為AC的中點,由DF=3C4&可得四邊形D3CF為平行四邊形,因此DG〃FC.

又FC±平面ABC,所以DG」一平面ABC.

在△ABC中，由AB1BC,ZBAC=45°,G是AC中點,所以AB=BC,GB1GC,因此GB,GC,GD兩兩垂直.

以G為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系G-xyz.

所以G(0,0,0),B(V2,0,0),C(0,V2,0),D(0,0.1).

可得H(今爭0),F(0,V2,1),

故訃件,y,0),GF=(0,V2,1).

設(shè)n=(x,y,z)是平面FGH的法向量，

n?GH=0,

則由

GF=0,

可嗯;L

可得平面EGH的一個法向量n=(l,-l,V2).

因為福是平面ACFD的f法向量,GB=(72,0,0),

所以cos〈旗,n>=黑］強§

所以平面FGH與平面ACFD所成角(銳角)的大小為60。.

19.(2015陜西.⑻12分)如圖1.在直角梯形ARCI)中.AD〃乩/網(wǎng))*AB=RC=1.AD=2.F.是AI)的中點()是

AC與BE的交點,將△ABE沿BE折起到△'BE的位置,如圖2.

⑴證明:CD_L平面A0C;

(2)若平面｛BE_L平面BCDE,求平面A.BC與平面ACD夾角的余弦值.

解析⑴證明:在題圖1中，因為AB=BC=1,AD=2,E是AD的中點，/BAD=]

所以BEXAC.

即在題圖2中,BE_LOA.BE10C,

從而BE_L平面AQC,

又CD〃BE,

所以CDJ_平面A>OC.

（2）因為平面ABE_L平面BCDE,

又由⑴知,BE±OA.,BE±OC,

所以NAiOC為二面角.A-BE-C的平面角,

所以40cg.

如圖,以0為原點,建立空間直角坐標系,

因為A,B=A.E=BC=ED=1,BC〃ED,

所以B（苧,0,0）,E（一苧,0,0）,A（0,0,￥）,C（0，￥，0）,

得證=(-y,y.O),^=(0.yy),CD^BE=("10.0).

設(shè)平面ABC的法向量n尸（X”ybz,）,平面A￡D的法向量n」=a,y“z2）,平面A1JC與平面A.CD的夾角為8,

n,"BC=0,+y,=,、

則―?得%?_n取m=(l,1,1);

%?A￡=0,E一句一°，

x

n2,CD=0,Z1=1(2=°，e,,、

—?得%—7一0取nz=(O,1,D,

z

@2?AR=o,(y22-0.

2V6

從而cos0=|cos<ni,n>|=-

2代x企一3'

即平面ABC與平面％CD夾角的余弦值為

評析本題主要考查線面垂直的判定、面面垂直的性質(zhì)以及平面與平面的夾角的求解.考查學生的空間想象

能力以及運算求解能力.正確利用面面垂直的性質(zhì)定理建立空間直角坐標系是求解的關(guān)鍵.

20.（2015湖北理,19,12分）《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬.

將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉腌.

如圖,在陽馬P-ABCD中,側(cè)棱PD上底面ABCD,且PD=CD,過棱PC的中點E,作EF1PB交PB于點F,連接

DE,DF,BD,BE.

（1）證明:PB_L平面DEF.試判斷四面體DBEF是不是鱉糜,若是,寫出其每個面的直角（只需寫出結(jié)論）；若不是,

說明理由；

⑵若面DEF與面ABCD所成二面角的大小為今求裝的值.

解析解法一：（1）因為PD_L底面ABCD,所以PD_LBC,

由底面ABCD為長方形.有BC1CD.而PDCCD=D,

所以BCJ_平面PCD,而DEC平面PCD,所以BC1DE.

又因為PD=CD,點E是PC的中點,所以DEXPC.

而PCClBC=C,所以DE1平面PBC.

而PBc平面PBC,所以PB1DE.

又PB1EF,DEnEF=E,所以PB_平面DEF.

由DE_L平面PBC,PB_L平面DEF,可知四面體BDEF的四個面都是直角三角形,即四面體BDEF是一個鱉脆,其

四個面的直角分別為NDEB,ZDEF,ZEFB,ZDEB.

⑵如圖,在面PBC內(nèi)，延長BC與FE交于點G,則DG是平面DEF與平面ABCD的交線.

由⑴知,PB_L平面DEF,所以PB±DG.

又因為PDJ底面ABCD,所以PD1DG.

而PDAPB=P,所以DG_L平面PBD.

故/BDF是面DEF與面ABCD所成二面角的平面角，

設(shè)PD=DC=1,BC=X,有BD=V1+A2,

在RtAPDB中,由DF±PB,得/DPF=NFDB=1

貝ljtan^=tanZDPF=^=V1+A2=A/3,解得入=0.

所以紇工逗

尸"，A2

故當面DEF與面ABCD所成二面角的大小為弓時,會瞪.

OUCL

解法二：(1)如圖,以D為原點,射線DA,DCJ)P分別為x,y,z軸的正半軸,建立空間直角坐標系.

設(shè)PD=DC=1,BC=A,則D(0,0,0),P(0,0,1),B(A,1,0),

C(0,1,0),同=(入,1,T),點E是PC的中點

所以E(0，,g),

于是而?笳=0,即PB1DE.

又已知EF1PB,而DEnEF=E,所以PB1平面DEF.

因無=(0,1,-1),屁?PC=0,則DE1PC,所以DE_L平面PBC.

由DEL平面PBC,PB_L平面DEF,可知四面體BDEF的四個面都是直角三角形，

即四面體BDEF是一個鱉蠕,其四個面的直角分別為NDEB,ZDEE,ZEEB.ZDEB.

⑵由PD_L平面ABCD,所以而=(0,0,1)是平面ABCD的一個法向量；

由⑴知,PBJ_平面DEF,所以加=(。,T,1)是平面DEF的T法向量.

若面DEF與面ABCD所成二面角的大小為會

—1

同-

C0Sr\BP\-\DP\2

解得入=0,所以黠咚.

DCAL

故當面DEF與面ABCD所成二面角的大小為5時,^=V-

3DCL

21.(2014北京理，17,14分)如圖,正方形AMDE的邊長為2,B,C分別為AM,MD的中點.在五棱錐P-ABCDE中,F

為棱PE的中點，平面ABF與棱PD,PC分別交于點G.II.

⑴求證:AB//FG;

⑵若PA_L底面ABCDE,且PA=AE,求直線BC與平面ABF所成角的大小,并求線段PH的長

解析⑴證明:在正方形AMDE中，因為B是AM的中點,所以

又因為ABC平面PDE,

所以AB〃平面PDE.

因為ABc平面ABK且平面ABFG平面PDEFG,

所以AB//FG.

(2)因為PA_L底面ABCDE,所以PA±AB,PA±AE.

如圖建立空間直角坐標系A(chǔ)xyz,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(2,1,0),P(0,0,2),F(0,1,1),正(1,1,0).

設(shè)平面ABF的法向量為n=(x,y,z),

則I；

V

令Z=l,則y=T.所以n=(o,-l,1).

設(shè)直線BC與平面ABF所成角為a

貝Usina:|cos<n,

近訃幡I

因此直線BC與平面ABF所成角的大小為￡

O

設(shè)點H的坐標為(u,v,w).

因為點H在棱PC上,所以可設(shè)而=入無(0<A<1),

即(u,v,w-2)=入(2,1,-2).

所以u=2A,v=人,w=2-2A.

因為n是平面ABF的法向量,所以n?而0,

即(0,-1,1)?(2%人,2-2入)=0.

解得入得,所以點H的坐標為仔

所以PH=jG)2+(1)2+(-護2.

評析本題考查了空間直線與平面平行，線面角,空間向量等知識;考查空間推理論證能力,計算能力;建立

恰當坐標系,利用空間向量準確求解是解題的關(guān)鍵.

22.(2014課標H理，18,12分)如圖,四棱推P-ABCD中、底面ABCD為矩形,PA平面ABCD,E為PD的中點.

(D證明:PB〃平面AEC;

(2)設(shè)二面角D-AE-C為60°,AP=1,AD=V3,求三棱錐E-ACD的體積.

解析⑴證明:連接BD交AC于點0,連接E0.

因為ABCD為矩形,所以0為BI)的中點.

又E為PD的中點所以E0〃PB.

又EOu平面AEC,PBQ平面AEC,所以PB〃平面AEC.

(2)因為PR_L平面ABCD,ABCD為矩形,所以AB,AD,AP兩兩垂直.

如圖,以A為坐標原點,通的方向為x軸的正方向，AP為單位長,建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz,則

設(shè)B(m,0,0)(m>0),貝！JC(m,?0),配=(m,0,0).

設(shè)n.=(x,y,z)為平面ACE的法向量，

lfn1.AC=0,(nix+V3y=0,

則?一即由i

(n-AE=0,—y+-z=0,

l\/L

可取m=(2，T，0)

1I313

又廿(1,0,0)為平面DAE的法向量,由題設(shè)得Icosg,n2>=",即［訴商為解得m方

因為E為PD的中點，所以三棱錐E-ACD的高為;.

三棱推E-ACD的體積V。Jx百x禺=噌

J/ZZo

評析本題考查線面平行的判定,利用空間向量解二面角問題,考查了學生的空間想象能力.

23.(2014江西，19,12分)如圖,四棱錐P-ABCD中,ABCD為矩形,平面PAD_L平面ABCD.

⑴求證:.AB_LPD;

⑵若/BPC=90。,PB=0,PC=2,問AB為何值時,四棱錐P-ABCD的體積最大？并求此時平面BPC與平面DPC夾

角的余弦值.

解析⑴證明:因四邊形ABCD為矩形，故AB_LAD.

又平面PAD_1_平面ABCD,

平面PADD平面ABCD-AD,

所以AB_L平面PAD,故AB±PD.

⑵過P作AD的垂線,垂足為0,過。作BC的垂線，垂足為G,連接nG.

故P0JL平面ABCD,BC1平面POG,BC1PG.

在RtABPC中,PG=RGC=畔,BG考

JJJ

，故四雌P-ABCD的健V=i?&?m?后1號.8-6病.

設(shè)AB=m,貝?。軴P=VPG2-0(；2=

因為inyjs—6m2=y/8m2—6?7?4=^—6(m2-g)+g,

故當m=t，即AB=

四棱錐P-ABCD的體積最大.

5

此時,建立如圖所示的坐標系,各點的坐標為

°（。,。，°）,15停'-苧,。俘，苧，。）,D（。，竽，0），P（0，。，苧）.

故陷俘，苧,-孚)路(0,瓜0),林(-*0,0).

(瓜2V6R

設(shè)平面BPC的法向量為m=(x,y,D,則由n」PC,n」BO^33y3'解得

瓜V-0,

x=l,y=0,m=(l,0,1).

同理可求出平面DPC的法向量為n2=（0,1,1）.

從而平面BPC與平面DPC夾角8的余弦值為cos0獸留一VTo

|nil|Wzl魚x曲

評析本題考查面面垂直的性質(zhì)定理、線線垂直的判定、空間幾何體的體積以及二面角的求解等基礎(chǔ)知識,

考查空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力,正確利用面面垂直的性質(zhì)定理求出棱推的高是解決本題

的關(guān)犍.計算失誤是失分的主要原因.

24.（2014湖南理，19,12分）如圖，四核柱ABCD-ABCD的所有棱長都相等,ACCBD-O,ACABD-O,,四邊形

ACCA和四邊形BDDB均為矩形.

（D證明:0Q_L底面ABCD;

（2）若NCBA=60。,求二面角C1-OB-D的余弦值.

解析⑴證明:因為四邊形ACC.A.為矩形,所以CC.1AC.

同理DD」BD,

因為CG〃DD?所以CCtlBD,而ACDBD=O,

因此CG_L底面ABCD.

由題設(shè)知,0：0〃GC,故0QJ?甌ABCD,

⑵解法一:如圖,過0作0,H10B.TH,連接HC..

由(1)知,0,01底面ABCD,所以0Q1底面ABCD,

于是0Q_LAC.

又因為四棱柱ABCD-ABCD的圻有棱長都相等,

所以四邊形A.B.C,D是菱形,因比A.C.IB.D,,從而AC_L平面BDD,B?

所以AC_L0Bi,于是0B以平面O,HC?

進而0B.1C.JI,故/G1Q是二面角C-OB.-D的平面角，

不妨設(shè)AB=2,因為/CBA=60°,所以0B=&,0C=l,0B尸彼.

在RtZ^OO瓜中,易知0出，紇+0/2=

UD”]1

I八八OiH2J72^57

故cosNGHO,不下f.

即二面角C-OB-D的余弦值為富.

解法二