第15講復(fù)數(shù)及其四則運(yùn)算一、理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念（1）虛數(shù)單位:它的平方等于1，即.（2）復(fù)數(shù)的定義與表示：形如的數(shù)叫復(fù)數(shù)，叫復(fù)數(shù)的實(shí)部，記作；叫復(fù)數(shù)的虛部，記作；全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集，用字母表示.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式:復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即，把復(fù)數(shù)表示成的形式，叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式.（3）復(fù)數(shù)的分類(lèi)以及復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)及的關(guān)系：對(duì)于復(fù)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，；當(dāng)時(shí)，復(fù)數(shù)叫做虛數(shù)；當(dāng)且時(shí)，叫做純虛數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，就是實(shí)數(shù)0.（4）兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說(shuō)這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等.這就是說(shuō)，如果、、、，那么【注意】【注意】一般地，兩個(gè)復(fù)數(shù)只能說(shuō)相等或不相等，而不能比較大小，只有當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)全是實(shí)數(shù)時(shí)才能比較大小.（5）復(fù)數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系：.（6）共軛復(fù)數(shù)：實(shí)部相等而虛部互為相反數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)，叫做共軛復(fù)數(shù)，也稱這兩個(gè)復(fù)數(shù)互相共軛.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)用表示，也就是當(dāng)時(shí)，.虛部不等于0的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù).【注意】【注意】共軛復(fù)數(shù)的幾何與代數(shù)特征:（1）幾何特征：非零復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)（或?qū)?yīng)向量，）關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱.（2）代數(shù)特征：①為純虛數(shù)或零；②.（7）復(fù)數(shù)的模：復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離叫做復(fù)數(shù)的模，記作.由模的定義，可知.二、理解復(fù)數(shù)的有關(guān)運(yùn)算及性質(zhì)（1）復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算：設(shè)，則①加減：；②乘法：；③除法：.（2）共軛復(fù)數(shù)的運(yùn)算：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦若z為純虛數(shù)；⑧.例題解析復(fù)數(shù)的概念例1.【2020河南南陽(yáng)一中期末】己知，其中為虛數(shù)單位，則（）A． B．1 C．3 D．例2.【2020·上海奉賢一中期中】已知z＝（a﹣i）（1+i）（a∈R，i為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，則a＝_____.例3.【2020·重慶涪陵月考】已知復(fù)數(shù)，，則的虛部為（）A．1 B．0 C．1 D．2例4.【2020·廣東佛山月考】若，則（）A． B．1 C． D．3例5.【2020·安徽亳州期末】已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則（）A．1 B． C． D．2例6.【2020·山西晉城一中期末】復(fù)數(shù)的虛部為（）A． B． C．1 D．1例7.【2020陜西漢中二中期中】已知復(fù)數(shù)，，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A． B． C． D．例8.【2020四川江油一中期中】若是純虛數(shù)，則的值為（）A．﹣7 B． C．7 D．﹣7或例9.【2020貴州遵義一中期中】已知，是虛數(shù)單位，，則可取的值為（）A．1 B．1 C．1或1 D．任意實(shí)數(shù)例10.【2020·內(nèi)蒙古包頭期末】設(shè)復(fù)數(shù)滿足，為虛數(shù)單位，則下列說(shuō)法正確的是（）．A． B．的虛部是C．在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為 D．例11.【2020·湖南郴州期末】若復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部相等，則實(shí)數(shù)等于（）A． B． C．1 D．3例12.【2020·福建福州一中月考】已知是復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A． B． C． D．例13.判斷下列結(jié)論是否正確：（1）,則是虛數(shù)；（2），則是純虛數(shù)；（3）不是虛數(shù)；（4）是虛數(shù).例14.實(shí)數(shù)m取什么數(shù)值時(shí)，復(fù)數(shù)是：（1）實(shí)數(shù)；（2）虛數(shù)；（3）純虛數(shù).【鞏固訓(xùn)練】1．判斷下列命題的真假命題1：若則命題2：若則命題3：若是純虛數(shù)命題4：若2．取何值時(shí)，復(fù)數(shù).（1）是實(shí)數(shù)；（2）是虛數(shù)；（3）是純虛數(shù).復(fù)數(shù)的相等例1.已知是實(shí)數(shù)，是純虛數(shù)，且滿足，求與的值．例2.（2020·上海高二課時(shí)練習(xí)）關(guān)于的方程有純虛數(shù)根，則為（）．A．0 B．1 C．2 D．0或2例3.（2020·上海高二課時(shí)練習(xí)）已知為復(fù)數(shù)，滿足，求的值．例4.已知，求實(shí)數(shù)，.例5.下列類(lèi)比推理命題（其中為有理數(shù)集，為實(shí)數(shù)集，為復(fù)數(shù)集）：①“若，則”類(lèi)比推出“若，則”；②“若，則復(fù)數(shù)”類(lèi)比推出“若，則”；③“若，則”類(lèi)比推出“若，則”．其中類(lèi)比結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）.A．0 B．1 C．2 D．3【鞏固訓(xùn)練】1．已知其中都是實(shí)數(shù)，求復(fù)數(shù)2．對(duì)于任意兩個(gè)復(fù)數(shù).定義運(yùn)算“”為：.設(shè)非零復(fù)數(shù)、在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為、，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，如果，那么在中，的大小為復(fù)數(shù)的運(yùn)算例1.設(shè)、、、，若為實(shí)數(shù)，則()A． B． C． D．【例2】 【例3】求同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件的所有復(fù)數(shù)；（1），且；（2）的實(shí)部與虛部都是整數(shù)【鞏固訓(xùn)練】1．求值：______________．2．計(jì)算：=.3．已知為復(fù)數(shù)，為純虛數(shù)，，且．求復(fù)數(shù)．4.【2020山西五臺(tái)一中期中】（）A． B． C． D．5.【2020·江蘇專(zhuān)題練習(xí)】已知復(fù)數(shù)若為實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)______．復(fù)數(shù)的模及其運(yùn)算【例1】已知復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，則=___________.【例2】復(fù)數(shù)= 【鞏固訓(xùn)練】1．已知復(fù)數(shù)，，，求：（1）求的值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（2）若,且,求的值．2．已知復(fù)數(shù)滿足，（其中是虛數(shù)單位），若，求的取值范圍．3.（2018·上海市七寶中學(xué)高三期末）已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）是虛數(shù)，且，則實(shí)數(shù)的值是______復(fù)數(shù)的綜合應(yīng)用【例1】將復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，再把它的模變?yōu)樵瓉?lái)的倍，則與所得到的向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是 【例2】定義:復(fù)數(shù)是的轉(zhuǎn)置復(fù)數(shù),記為;復(fù)數(shù)是的共軛復(fù)數(shù),記為.給出下列三個(gè)命題:①;②;③;其中真命題的個(gè)數(shù)為（）A．0B．1C．2D．3【例3】在實(shí)數(shù)集中，我們定義的大小關(guān)系“”為全體實(shí)數(shù)排了一個(gè)“序”．類(lèi)似的，我們?cè)趶?fù)數(shù)集上也可以定義一個(gè)稱為“序”的關(guān)系，記為“”．定義如下：對(duì)于任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，（），當(dāng)且僅當(dāng)“”或“且”．按上述定義的關(guān)系“”，給出如下四個(gè)命題：①；②若，，則；③若，則，對(duì)于任意，；④對(duì)于復(fù)數(shù)，若，則.其中真命題的序號(hào)為()A．①②④B．①②③C．①③④D．②③④【例4】已知復(fù)數(shù)．(1)求的最小值；(2)設(shè)，記表示復(fù)數(shù)z的虛部).將函數(shù)的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再把所得的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖像.試求函數(shù)的解析式．【鞏固訓(xùn)練】1．已知：復(fù)數(shù),,且，其中、為△ABC的內(nèi)角，、、為角、、所對(duì)的邊．（1）求角的大??；（2）若，求△ABC的面積．2．對(duì)于非零實(shí)數(shù)，以下四個(gè)命題都成立：①；②；③若，則；④若，則．那么，對(duì)于非零復(fù)數(shù)，仍然成立的命題的所有序號(hào)是．3．已知，則4．已知為虛數(shù)，且

為實(shí)數(shù)，若(為虛數(shù)單位，)且虛部為正數(shù)，，求的取值范圍.反思總結(jié)復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，復(fù)數(shù)和復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量也是一一對(duì)應(yīng)的，因此復(fù)數(shù)加減法的幾何意義可按平面向量加減法理解，利用平行四邊形法則或三角形法則解決問(wèn)題．復(fù)數(shù)的加法、減法、乘法運(yùn)算可以類(lèi)比多項(xiàng)式運(yùn)算，除法關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，注意要把i的冪寫(xiě)成最簡(jiǎn)形式．1.處理有關(guān)復(fù)數(shù)的基本概念問(wèn)題，關(guān)鍵是找準(zhǔn)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，從定義出發(fā)，把復(fù)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成實(shí)數(shù)問(wèn)題來(lái)處理．由于復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，由它的實(shí)部與虛部唯一確定，故復(fù)數(shù)Z與點(diǎn)Z(a，b)相對(duì)應(yīng)。2．