小專題02：全等模型、中點的巧用考點1：全等模型題型一：平移型例1．已知：如圖，，，點，點在上，．（1）求證：；（2）求證：．【答案】見詳解【詳解】（1）證明：，，，，即，在中，，；（2）證明：，，則．【練習1】如圖，已知點、、、在同一直線上，，，，試說明與平行的理由．解：因為（已知），所以．因為（已知），所以，即．在和中，所以．所以，所以．【答案】見詳解【詳解】解：因為（已知），所以兩直線平行，內(nèi)錯角相等）．因為（已知），所以（等式性質(zhì)），即．在和中，所以．所以全等三角形的對應角相等），所以（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）．故答案為：兩直線平行，內(nèi)錯角相等，等式性質(zhì)，，（全等三角形的對應角相等），內(nèi)錯角相等，兩直線平行．題型二：對稱型例2．在①，②這兩個條件中選擇其中一個，補充在下面的問題中，請完成問題的解答．問題：如圖，中，，點，在邊上（不與點，重合）連結(jié)，．若，求證：．【答案】見詳解【詳解】解：，證明：，，，，在和中，，，．【練習2】如圖，以的兩邊，為邊分別向外作和，使得，，．（1）求證：．（2）若，，求的度數(shù)．【答案】見詳解【詳解】（1）證明：，，即，在和中，，；（2）解：由（1）得：，，，，，，．題型三：旋轉(zhuǎn)型例3．（1）如（圖一），分別以的兩邊、為直角邊向外作兩個等腰直角三角形，，，，連接、交于點．①求證：；②當和滿足什么數(shù)量關系時，點是的中點，并說明理由；（2）運用（1）解答中獲取的經(jīng)驗，解決問題：如（圖二），為了測量一狹長水庫兩端、的距離，小王在水庫旁邊的空地上選擇點，能直達點和點，并以為斜邊在內(nèi)作，且，連接：測得，千米，千米，請根據(jù)測量結(jié)果直接寫出之長（結(jié)果保留根號）．【答案】見詳解【詳解】（1）①證明：和是等腰直角三角形，，，，，，在和中，，，；②解：當時，點是的中點．理由：如圖，與交于點，，，，，，，，，為的中點；（2）解：過點作，，連接，，，由（1）知，，為等腰直角三角形，千米，千米，，千米，，，，為等邊三角形，千米，千米．【練習3】如圖，，，，點在邊上．（1）求證：．（2）若，求的度數(shù)．【答案】見詳解【詳解】（1）證明：，，，在和中；（2），，，，，，，，即是．題型四：“一線三角”型例4．在直線上依次取互不重合的三個點，，，在直線上方有，且滿足．（1）如圖1，當時，猜想線段，，之間的數(shù)量關系是；（2）如圖2，當時，問題（1）中結(jié)論是否仍然成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由；（3）拓展與應用：如圖3，當時，點為平分線上的一點，且，分別連接，，，，試判斷的形狀，并說明理由．【答案】見詳解【詳解】解：（1），理由如下，，，，，，，，，故答案為：．（2）仍然成立，理由如下，，，，，，，，；（3）是等邊三角形，理由如下，，平分，，，和是等邊三角形，，，同（2）理得，，，，，，，，，是等邊三角形．【練習4】如圖，，，，，垂足分別為，．（1）求證：；（2）若，，請直接寫出的長．【答案】見詳解【詳解】解：（1），，，，，，，，在和中，，；（2），，，，，．考點2：中點的使用技巧題型一：倍長中線例5．閱讀下列材料，完成相應任務．數(shù)學活動課上，老師提出了如下問題：如圖1，已知中，是邊上的中線．求證：．智慧小組的證法如下：證明：如圖2，延長至，使，是邊上的中線在和中（依據(jù)一）在中，（依據(jù)二）．任務一：上述證明過程中的“依據(jù)1”和“依據(jù)2”分別是指：依據(jù)；依據(jù)．歸納總結(jié)：上述方法是通過延長中線，使，構(gòu)造了一對全等三角形，將，，轉(zhuǎn)化到一個三角形中，進而解決問題，這種方法叫做“倍長中線法”．“倍長中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關系．任務二：如圖3，是邊上的中線，，，則的取值范圍是；任務三：如圖4，在圖3的基礎上，分別以和為邊作等腰直角三角形，在中，，；中，，．連接．試探究與的數(shù)量關系，并說明理由．【答案】見詳解【詳解】任務一：證明：延長至，使，是邊上的中線，，在和中，，，，在中，（三角形任意兩邊之和大于第三邊），．故答案為：，三角形任意兩邊之和大于第三邊．任務二：解：如圖1，延長至點，使，連接，是中線，，在和中，，，，在中，，，，．故答案為：．任務三：與的數(shù)量關系為．理由如下：如圖2，延長至點，使，連接，是中線，，在和中，，，，，，，，，，，又，，，，．【練習5】如圖，是的中線，點在的延長線上，，，求證：．【答案】見詳解【詳解】證明：延長至，使，是的中線，，且，，，，，，，，即，且，，．，，．題型二：作垂線法例6．已知，如圖：是的中線，，，，，連接．試猜想線段與的關系，并證明．【答案】見詳解【詳解】猜想：，．證明：延長到，使得，連接，延長交于，，，是的中線，，在和中，，，，，，，，，，，，，，即，．在和中，，，，，；，，，，，．【練習6】如圖，，且，且，的延長線交于點．求證：點是的中點．【答案】見詳解【詳解】解：如圖，過點作，交的延長線于，，，，，，，在和中，，，，在和中，，，，點是的中點．1．如圖，點，，，在一條直線上，，，，寫出與之間的關系，并證明你的結(jié)論．【答案】見詳解【詳解】解：，，理由是：，，，在和中，，，，，．2．如圖，，，．（1）求證：；（2）若，，求的度數(shù)．【答案】見詳解【詳解】（1）證明：，，，在和中，，；（2）解：，，，．3．如圖，，，，于，，，求的長．【答案】見詳解【詳解】解：于，于，在與中，，．，，．4．如圖，在一個風箏中，，，分別在、的中點、處掛兩根彩線、．求證：．【答案】見詳解【詳解】證明：如圖，連接．在與中，，，．、分別是、的中點，，，，．在與中，，，．5．如圖，在中，，、、三點都在直線上，并且有，若，，求的長．【答案】見詳解【詳解】解：，，，，在與中，，，，，，．．6．如圖，是的中線，，，，．求證：．【答案】見詳解【詳解】證明：延長至使，連接，在和中，，，，，，，，，在和中，，，，．7．如圖，閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進行證明．已知：如圖，是的中點，點在上，且．求證：．分析：證明兩條線段相等，常用的一般方法是應用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì)，觀察本題