專題03變量之間的關(guān)系（易錯必刷26題3種題型專項訓練）函數(shù)關(guān)系式動點問題的函數(shù)圖象函數(shù)的圖象1．彈簧掛上物體后會伸長，測得一彈簧的長度y（cm）與所掛的物體的質(zhì)量x（kg）之間有下面的關(guān)系：x/kg012345y/cm1010.51111.51212.5下列說法不正確的是（）A．x與y都是變量，且x是自變量，y是因變量 B．彈簧不掛重物時的長度為0cm C．物體質(zhì)量每增加1kg，彈簧長度y增加0.5cm D．所掛物體質(zhì)量為7kg時，彈簧長度為13.5cm【答案】B【解答】解：A、y隨x的增加而增加，x是自變量，y是因變量，故A選項正確；B、彈簧不掛重物時的長度為10cm，故B選項錯誤；C、物體質(zhì)量每增加1kg，彈簧長度y增加0.5cm，故C選項正確；D、由C知，y＝10+0.5x，則當x＝7時，y＝13.5，即所掛物體質(zhì)量為7kg時，彈簧長度為13.5cm，故D選項正確；故選：B．2．某市出租車白天的收費起步價為7元，即路程不超過3千米時收費7元，超過部分每千米收費1.2元，如果乘客白天乘坐出租車的路程為x（x＞3）千米，乘車費為y元，那么y與x之間的關(guān)系為y＝1.2x+3.4．【答案】y＝1.2x+3.4，【解答】解：依據(jù)題意得：y＝7+1.2（x﹣3）＝1.2x+3.4，故答案為：y＝1.2x+3.4，3．一輛汽車油箱中現(xiàn)存油50L，汽車每行駛100km耗油10L，則油箱剩余油量y（L）與汽車行駛路程x（km）之間的關(guān)系式是y＝﹣0.1x+50．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵汽車每行駛100km耗油10L，∴汽車行駛路程xkm耗油0.1xL，∵汽車油箱中現(xiàn)存油50L，∴油箱剩余油量y（L）與汽車行駛路程x（km）之間的關(guān)系式是y＝﹣0.1x+50．故答案為：y＝﹣0.1x+50．4．等腰三角形的周長是16，寫出底邊長y與一腰長x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝﹣2x+16，自變量x的取值范圍是4＜x＜8．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：由等腰三角形的周長是16，底邊長y與一腰長x，可得函數(shù)關(guān)系式：y＝﹣2x+16，∵2x＞﹣2x+16，∴自變量x的取值范圍是4＜x＜8，故答案為：y＝﹣2x+16，4＜x＜8．5．一名老師帶領(lǐng)x名學生到青青世界參觀，已知成人票每張60元，學生票每張40元，設(shè)門票的總費用為y元，則y與x的關(guān)系式為y＝40x+60．【答案】y＝40x+60．【解答】解：由題意，得y＝40x+60，故答案為：y＝40x+60．6．在地球某地，地表以下巖層的溫度y（℃）與所處深度x（km）之間的關(guān)系可以近似地用表達式y(tǒng)＝35x+20來表示．當此地所處深度為7km時，地表以下巖層的溫度達到265℃．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：當y＝265時，265＝35x+20，解得x＝7，故答案為：7．7．某公交車每天的支出費用為600元，每天的乘車人數(shù)x（人）與每天利潤（利潤＝票款收入﹣支出費用）y元的變化關(guān)系，如下表所示（每位乘客的乘車票價固定不變）：x（人）…200250300350400…y（元）…﹣200﹣1000100200…根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，回答下列問題：（1）觀察表中數(shù)據(jù)可知，當乘客量達到300人以上時，該公交車才不會虧損；（2）請寫出公交車每天利潤y（元）與每天乘車人數(shù)x（人）的關(guān)系式：y＝2x﹣600；（3）當一天乘客人數(shù)為多少人時，利潤是1000元？【答案】（1）300；（2）2x﹣600；（3）當乘車人數(shù)為800人時，利潤為1000元．【解答】解：（1）觀察表中數(shù)據(jù)可知，當乘客量達到300人以上時，該公交車才不會虧損，故答案為：300；（2）由題意得：y＝0+×100＝2x﹣600，∴公交車每天利潤y（元）與每天乘車人數(shù)x（人）的關(guān)系式：y＝2x﹣600，故答案為：2x﹣600；（3）把y＝1000代入y＝2x﹣600中可得：2x﹣600＝1000，解得：x＝800，答：當乘車人數(shù)為800人時，利潤為1000元．8．某市為了鼓勵居民節(jié)約用水，采用分段計費的方法計算每戶家庭的水費．月用水不超過5噸，按每噸價格2元計算；月用水超過5噸時，其中5噸水價格不變，超過5噸部分按每噸3.5元計算．設(shè)每戶每月用水量x（噸）時，應(yīng)交水費y（元）．（1）分別寫出每月用水量不超過5噸和超過5噸時，y與x間的關(guān)系式．（2）若某戶居民每月用水3.5噸，應(yīng)交水費多少元？若某月交水費17元，該戶居民用水多少噸？【答案】（1）當x≤5時，y＝2x，當x＞5時，y＝3.5x﹣7.5．（2）7，7．【解答】解：（1）當x≤5時，y＝2x，當x＞5時，y＝2×5+3.5×（x﹣5）＝3.5x﹣7.5．（2）當x＝3.5時，y＝2×3.5＝7（元）．當x＝5時，y＝2×5＝10＜17，∴x＞5．∴3.5x﹣7.5＝17．∴x＝7（噸）．答：某戶居民每月用水3.5噸，應(yīng)交水費7元，若某月交水費17元，該戶居民用水7噸．二．函數(shù)的圖象（共10小題）9．小明家、食堂、圖書館在同一條直線上，小明從家去食堂吃早餐，接著去圖書館讀報，然后回家，如圖反映了這個過程中，小明離家的距離y與時間x之間的對應(yīng)關(guān)系．根據(jù)圖象，下列說法正確的是（）A．小明吃早餐用了25min B．小明讀報用了30min C．食堂到圖書館的距離為0.8km D．小明從圖書館回家的速度為0.8km/min【答案】B【解答】解：小明吃早餐用了（25﹣8）＝17min，A錯誤；小明讀報用了（58﹣28）＝30min，B正確；食堂到圖書館的距離為（0.8﹣0.6）＝0.2km，C錯誤；小明從圖書館回家的速度為0.8÷10＝0.08km/min，D錯誤；故選：B．10．新龜兔賽跑的故事：龜兔從同一地點同時出發(fā)后，兔子很快把烏龜遠遠甩在后頭．驕傲自滿的兔子覺得自己遙遙領(lǐng)先，就躺在路邊呼呼大睡起來．當它一覺醒來，發(fā)現(xiàn)烏龜已經(jīng)超過它，于是奮力直追，最后同時到達終點．用S1、S2分別表示烏龜和兔子賽跑的路程，t為賽跑時間，則下列圖象中與故事情節(jié)相吻合的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：A．此函數(shù)圖象中，S2先達到最大值，即兔子先到終點，不符合題意；B．此函數(shù)圖象中，S2第2段隨時間增加其路程一直保持不變，與“當它一覺醒來，發(fā)現(xiàn)烏龜已經(jīng)超過它，于是奮力直追”不符，不符合題意；C．此函數(shù)圖象中，烏龜和兔子同時到達終點，符合題意；D．此函數(shù)圖象中，S1先達到最大值，即烏龜先到終點，不符合題意．故選：C．11．成都市雙流新城公園是亞洲最大的城市濕地公園，周末小李在這個公園里某筆直的道路上騎車游玩，先前進了a千米，休息了一段時間，又原路返回b千米（b＜a），再前進c千米，則他離起點的距離s與時間t的關(guān)系的示意圖是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：由題意，得路程先增加，路程不變，路程減少，路程又增加，故D符合題意；故選：D．12．勻速地向一個容器注水，最后把容器注滿．在注水的過程中，水面高度h隨時間t的變化規(guī)律如圖所示（圖中OEFG為一折線），那么這個容器的形狀可能是下列圖中的（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：從圖中可以看出，OE上升最快，EF上升較慢，F(xiàn)G上升較快，所以容器的底部容積最小，中間容積最大，上面容積較大，故選：B．13．如圖，圖象（折線OEFPMN）描述了某汽車在行駛過程中速度與時間的函數(shù)關(guān)系，下列說法中錯誤的是（）A．第3分時汽車的速度是40千米/時 B．第12分時汽車的速度是0千米/時 C．從第3分到第6分，汽車行駛了120千米 D．從第9分到第12分，汽車的速度從60千米/時減少到0千米/時【答案】C【解答】解：橫軸表示時間，縱軸表示速度．當?shù)?分的時候，對應(yīng)的速度是40千米/時，A對；第12分的時候，對應(yīng)的速度是0千米/時，B對；從第3分到第6分，汽車的速度保持不變，是40千米/時，行駛的路程為40×＝2千米，C錯；從第9分到第12分，汽車對應(yīng)的速度分別是60千米/時，0千米/時，所以汽車的速度從60千米/時減少到0千米/時，D對．綜上可得：錯誤的是C．故選：C．14．晚飯后彤彤和媽媽散步到小區(qū)旁邊的公園，在公園中央的休息區(qū)聊了會天，然后一起跑步回家，下面能反映彤彤和媽媽離家的距離y與時間x的函數(shù)關(guān)系的大致圖象是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：圖象應(yīng)分三個階段，第一階段：散步到離家較遠的公園，在這個階段，離家的距離隨時間的增大而增大；第二階段：在公園中央的休息區(qū)聊了會天，這一階段離家的距離不隨時間的變化而改變．故D錯誤；第三階段：跑步回家，這一階段，離家的距離隨時間的增大而減小，故A錯誤，并且這段的速度大于第一階段的速度，則B錯誤．故選：C．15．柿子熟了，從樹上落下來．下面哪一幅圖可以大致刻畫出柿子下落過程中（即落地前）的速度變化情況？（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：柿子熟了，從樹上落下來，基本是自由落體運動，即v＝gt，g為定值，故v與t成正比例函數(shù)，v隨t的增大而增大，符合條件的只有選項C符合題意，故選：C．16．某農(nóng)場租用播種機播種小麥，在甲播種機播種2天后，又調(diào)來乙播種機參與播種，直至完成800畝的播種任務(wù)，播種畝數(shù)與天數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，那么乙播種機參與播種的天數(shù)是4天．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：由圖形可得：甲播種速度200÷2＝100畝/天，乙播種速度為（350﹣300）÷1＝50畝/天，∴甲乙合作的播種速度為150畝/天，則乙播種參與的天數(shù)是600÷150＝4天．17．某地出租車行駛里程x（km）與所需費用y（元）的關(guān)系如圖．若某乘客一次乘坐出租車里程12km，則該乘客需支付車費20元．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：由圖象知，y與x的函數(shù)關(guān)系為一次函數(shù)，并且經(jīng)過點（2，5）、（4，8），設(shè)該一次函數(shù)的解析式為y＝kx+b，則有：，解得：，∴y＝x+2．將x＝12代入一次函數(shù)解析式，得y＝18+2＝20，故出租車費為20元．故答案為：20．18．快車與慢車分別從甲乙兩地同時相向出發(fā)，勻速而行，快車到達乙地后停留1h，然后按原路原速返回，快車比慢車晚1h到達甲地，快慢兩車距各自出發(fā)地的路程y（km）與所用的時x（h）的關(guān)系如圖所示．（1）甲乙兩地之間的路程為420km；快車的速度為140km/h；慢車的速度為70km/h；（2）出發(fā)h，快慢兩車距各自出發(fā)地的路程相等；（3）快慢兩車出發(fā)h或h或h相距150km．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）由圖可知：甲乙兩地之間的路程為420km；快車的速度為：＝140km/h；由題意得：快車7小時到達甲地，則慢車6小時到達甲地，則慢車的速度為：＝70km/h；故答案為：420，140，70；（2）∵快車速度為：140km/h，∴A點坐標為；（3，420），∴B點坐標為（4，420），由圖可知：快車返程時，兩車距各自出發(fā)地的路程相等，設(shè)出發(fā)x小時，兩車距各自出發(fā)地的路程相等，70x＝2×420﹣140（x﹣1），70x＝980﹣140x，解得：x＝，答：出發(fā)小時，快、慢兩車距各自出發(fā)地的路程相等；故答案為：；（3）第一種情形第一次沒有相遇前，相距150km，則140x+70x+150＝420，解得：x＝，第二種情形應(yīng)是相遇后而快車沒到乙地前140x+70x﹣420＝150，解得：x＝，第三種情形是快車從乙往甲返回：70x﹣140（x﹣4）＝150，解得：x＝，綜上所述：快慢兩車出發(fā)h或h或h相距150km．故答案為：h或h或．三．動點問題的函數(shù)圖象（共8小題）19．如圖1，點P從△ABC的頂點A出發(fā)，沿A﹣B﹣C勻速運動，到點C停止運動．點P運動時，線段AP的長度y與運動時間x的函數(shù)關(guān)系如圖2所示，其中D為曲線部分的最低點，則△ABC的面積是（）A．10 B．12 C．20 D．24【答案】B【解答】解：根據(jù)圖象可知，點P在AB上運動時，此時AP不斷增大，由圖象可知：點P從A向B運動時，AP的最大值為5，即AB＝5，點P從B向C運動時，AP的最小值為4，即BC邊上的高為4，∴當AP⊥BC，AP＝4，此時，由勾股定理可知：BP＝3，由于圖象的曲線部分是軸對稱圖形，∴PC＝3，∴BC＝6，∴△ABC的面積為：×4×6＝12，故選：B．20．已知動點H以每秒x厘米的速度沿圖1的邊框（邊框拐角處都互相垂直）按從A﹣B﹣C﹣D﹣E﹣F的路徑勻速運動，相應(yīng)的△HAF的面積S（cm2）關(guān)于時間t（s）的關(guān)系圖象如圖2，已知AF＝8cm，則下列說法正確的有幾個（）①動點H的速度是2cm/s；②BC的長度為3cm；③當點H到達D點時△HAF的面積是8cm2；④b的值為14；⑤在運動過程中，當△HAF的面積是30cm2時，點H的運動時間是3.75s和10.25s．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】A【解答】解：當點H在AB上時，如圖所示，AH＝xt（cm），S△HAF＝×AF×AH＝4xt（cm2），此時三角形面積隨著時間增大而逐漸增大，當點H在BC上時，如圖所示，HP是△HAF的高，且HP＝AB，∴S△HAF＝×AF×AB，此時三角形面積不變，當點H在CD上時，如圖所示，HP是△HAF的高，C，D，P三點共線，S△HAF＝×AF×HP，點H從點C點D運動，HP逐漸減小，故三角形面積不斷減小，當點H在DE上時，如圖所示，HP是△HAF的高，且HP＝EF，S△HAF＝×AF×EF，此時三角形面積不變，當點H在EF時，如圖所示，S△HAF＝×AF×HF，點H從點E向點F運動，HF逐漸減小，故三角形面積不斷減小直至零，對照圖2可得0≤t≤5時，點H在AB上，S△HAF＝4xt＝4?5x＝40（cm2），∴x＝2，AB＝2×5＝10（cm），∴動點H的速度是2cm/s，故①正確，5≤t≤8時，點H在BC上，此時三角形面積不變，∴動點H由點B運動到點C共用時8﹣5＝3（s），∴BC＝2×3＝6（cm），故②錯誤，8≤t≤12時，當點H在CD上，三角形面積逐漸減小，∴動點H由點C運動到點D共用時12﹣8＝4（s），∴CD＝2×4＝8（cm），∴EF＝AB﹣CD＝10﹣8＝2（cm），在D點時，△HAF的高與EF相等，即HP＝EF，∴S△HAF＝×AF×EF＝×8×2＝8（cm2），故③正確，12≤t≤b，點H在DE上，DE＝AF﹣BC＝8﹣6＝2（cm），∴動點H由點D運動到點E共用時2÷2＝1（s），∴b＝12+1＝13，故④錯誤．當△HAF的面積是30cm2時，點H在AB上或CD上，點H在AB上時，S△HAF＝4xt＝8t＝30（cm2），解得t＝3.75（s），點H在CD上時，S△HAF＝×AF×HP＝×8×HP＝30（cm2），解得HP＝7.5（cm），∴CH＝AB﹣HP＝10﹣7.5＝2.5（cm），∴從點C運動到點H共用時2.5÷2＝1.25（s），由點A到點C共用時8s，∴此時共用時8+1.25＝9.25（s），故⑤錯誤．故選：A．21．如圖，已知正方形ABCD的邊長為2cm，動點P從點A出發(fā)，在正方形的邊上沿A→B→C的方向運動到點C停止．設(shè)點P的運動路程為x（cm），在下列圖象中，能表示△ADP的面積y（cm2）與x（cm）的函數(shù)關(guān)系的圖象是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：由題意，當0≤x≤2時，y＝＝x當2≤x≤4時，y＝2故選：C．22．已知：如圖①，長方形ABCD中，E是邊AD上一點，且AE＝6cm，點P從B出發(fā)，沿折線BE﹣ED﹣DC勻速運動，運動到點C停止．P的運動速度為2cm/s，運動時間為t（s），△BPC的面積為y（cm2），y與t的函數(shù)關(guān)系圖象如圖②，則下列結(jié)論正確的有（）①a＝7②AB＝8cm③b＝10④當t＝10s時，y＝12cm2A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【解答】解：當P點運動到E點時，△BPC面積最大，結(jié)合函數(shù)圖象可知當t＝5s時，△BPC面積最大為40，∴BE＝5×2＝10（cm）．在Rt△ABE中，利用勾股定理可得AB＝8（cm）．又?BC?AB＝40，所以BC＝10（cm）．則ED＝10﹣6＝4．當P點從E點到D點時，所用時間為4÷2＝2s，∴a＝5+2＝7．故①和②都正確；P點運動完整個過程需要時間t＝（10+4+8）÷2＝11s，即b＝11，③錯誤；當t＝10時，P點運動的路程為10×2＝20cm，此時PC＝22﹣20＝2（cm），△BPC面積為×10×2＝10cm2，④錯誤．故選：B．23．如圖1，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，動點P從點B出發(fā)，沿BC，CD運動至點D停止．設(shè)點P運動的路程為x，△ABP的面積為y，如果y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示，則△BCD的面積是（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】D【解答】解：∵S△ABP＝AB?h，當動點P沿BC運動時，h＝BP＝x，∴S△ABP＝AB?x，對應(yīng)圖象為0＜x＜2部分，由圖象可知：點P在BC運動路程為BC＝2﹣0＝2；動點P沿CD運動時，h＝BC，S△ABP＝AB?BC為定值，對應(yīng)圖象2＜x＜5部分，由圖象可知：點P在CD運動路程為CD＝5﹣2＝3，∴S△BCD＝BC?CD＝×2×3＝3．所以△B