2025年高等數(shù)學知識競賽及答案一、單項選擇題（每題2分，共12分）

1.下列函數(shù)中，定義域為全體實數(shù)的函數(shù)是：

A.\(f(x)=\frac{1}{x}\)

B.\(f(x)=\sqrt{x^2-4}\)

C.\(f(x)=\ln(x)\)

D.\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\)

2.下列函數(shù)中，有界函數(shù)是：

A.\(f(x)=\frac{1}{x}\)

B.\(f(x)=\sqrt{x^2-4}\)

C.\(f(x)=\ln(x)\)

D.\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\)

3.函數(shù)\(f(x)=e^x\)的一個反函數(shù)是：

A.\(f^{-1}(x)=\ln(x)\)

B.\(f^{-1}(x)=\frac{1}{e^x}\)

C.\(f^{-1}(x)=\ln(e^x)\)

D.\(f^{-1}(x)=\frac{1}{\ln(x)}\)

4.若函數(shù)\(f(x)\)在\(x=0\)處可導，則\(f'(0)\)的值為：

A.0

B.1

C.2

D.不存在

5.函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)的極值點個數(shù)是：

A.0

B.1

C.2

D.3

6.下列函數(shù)中，連續(xù)函數(shù)是：

A.\(f(x)=\frac{1}{x}\)

B.\(f(x)=\sqrt{x^2-4}\)

C.\(f(x)=\ln(x)\)

D.\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\)

二、填空題（每題2分，共12分）

7.函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x}\)的定義域為_________，值域為_________。

8.函數(shù)\(f(x)=\sqrt{x^2-4}\)的定義域為_________，值域為_________。

9.函數(shù)\(f(x)=\ln(x)\)的定義域為_________，值域為_________。

10.函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\)的定義域為_________，值域為_________。

11.函數(shù)\(f(x)=e^x\)的反函數(shù)為_________。

12.函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)的導數(shù)為_________。

三、判斷題（每題2分，共12分）

13.函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x}\)在\(x=0\)處可導。（）

14.函數(shù)\(f(x)=\sqrt{x^2-4}\)在\(x=2\)處可導。（）

15.函數(shù)\(f(x)=\ln(x)\)在\(x=0\)處可導。（）

16.函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\)在\(x=0\)處可導。（）

17.函數(shù)\(f(x)=e^x\)在\(x=0\)處可導。（）

18.函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)在\(x=0\)處可導。（）

四、計算題（每題6分，共36分）

19.計算下列函數(shù)的導數(shù)：

（1）\(f(x)=\frac{1}{x}\)

（2）\(f(x)=\sqrt{x^2-4}\)

（3）\(f(x)=\ln(x)\)

（4）\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\)

（5）\(f(x)=e^x\)

（6）\(f(x)=x^3-3x\)

20.求下列函數(shù)的反函數(shù)：

（1）\(f(x)=\frac{1}{x}\)

（2）\(f(x)=\sqrt{x^2-4}\)

（3）\(f(x)=\ln(x)\)

（4）\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\)

（5）\(f(x)=e^x\)

（6）\(f(x)=x^3-3x\)

21.求下列函數(shù)的極值：

（1）\(f(x)=\frac{1}{x}\)

（2）\(f(x)=\sqrt{x^2-4}\)

（3）\(f(x)=\ln(x)\)

（4）\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\)

（5）\(f(x)=e^x\)

（6）\(f(x)=x^3-3x\)

22.求下列函數(shù)的導數(shù)：

（1）\(f(x)=\frac{1}{x}\)

（2）\(f(x)=\sqrt{x^2-4}\)

（3）\(f(x)=\ln(x)\)

（4）\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\)

（5）\(f(x)=e^x\)

（6）\(f(x)=x^3-3x\)

23.求下列函數(shù)的反函數(shù)：

（1）\(f(x)=\frac{1}{x}\)

（2）\(f(x)=\sqrt{x^2-4}\)

（3）\(f(x)=\ln(x)\)

（4）\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\)

（5）\(f(x)=e^x\)

（6）\(f(x)=x^3-3x\)

24.求下列函數(shù)的極值：

（1）\(f(x)=\frac{1}{x}\)

（2）\(f(x)=\sqrt{x^2-4}\)

（3）\(f(x)=\ln(x)\)

（4）\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\)

（5）\(f(x)=e^x\)

（6）\(f(x)=x^3-3x\)

五、證明題（每題8分，共32分）

25.證明：函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x}\)在\(x=0\)處不可導。

26.證明：函數(shù)\(f(x)=\sqrt{x^2-4}\)在\(x=2\)處可導。

27.證明：函數(shù)\(f(x)=\ln(x)\)在\(x=0\)處可導。

28.證明：函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\)在\(x=0\)處可導。

29.證明：函數(shù)\(f(x)=e^x\)在\(x=0\)處可導。

30.證明：函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)在\(x=0\)處可導。

六、綜合題（每題10分，共40分）

31.已知函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x}\)，求\(f'(1)\)。

32.已知函數(shù)\(f(x)=\sqrt{x^2-4}\)，求\(f'(2)\)。

33.已知函數(shù)\(f(x)=\ln(x)\)，求\(f'(1)\)。

34.已知函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\)，求\(f'(1)\)。

35.已知函數(shù)\(f(x)=e^x\)，求\(f'(0)\)。

36.已知函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)，求\(f'(0)\)。

答案：

一、單項選擇題：

1.B2.B3.A4.A5.C6.C

二、填空題：

7.(-∞,0)∪(0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)

8.(-∞,-2]∪[2,+∞)[0,+∞)

9.(0,+∞)(-∞,+∞)

10.(0,+∞)(0,+∞)

11.\(f^{-1}(x)=\ln(x)\)

12.\(f'(x)=3x^2-3\)

三、判斷題：

13.×14.√15.×16.√17.√18.√

四、計算題：

19.（1）\(f'(x)=-\frac{1}{x^2}\)（2）\(f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}\)（3）\(f'(x)=\frac{1}{x}\)（4）\(f'(x)=-\frac{1}{2x\sqrt{x}}\)（5）\(f'(x)=e^x\)（6）\(f'(x)=3x^2-3\)

20.（1）\(f^{-1}(x)=\ln(x)\)（2）\(f^{-1}(x)=\sqrt{x^2-4}\)（3）\(f^{-1}(x)=e^x\)（4）\(f^{-1}(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\)（5）\(f^{-1}(x)=e^x\)（6）\(f^{-1}(x)=\frac{1}{3}x^{\frac{2}{3}}\)

21.（1）極大值：1，極小值：-1（2）無極值（3）極大值：1，極小值：-1（4）無極值（5）極大值：1，極小值：-1（6）極大值：1，極小值：-1

22.（1）\(f'(x)=-\frac{1}{x^2}\)（2）\(f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}\)（3）\(f'(x)=\frac{1}{x}\)（4）\(f'(x)=-\frac{1}{2x\sqrt{x}}\)（5）\(f'(x)=e^x\)（6）\(f'(x)=3x^2-3\)

23.（1）\(f^{-1}(x)=\ln(x)\)（2）\(f^{-1}(x)=\sqrt{x^2-4}\)（3）\(f^{-1}(x)=e^x\)（4）\(f^{-1}(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\)（5）\(f^{-1}(x)=e^x\)（6）\(f^{-1}(x)=\frac{1}{3}x^{\frac{2}{3}}\)

24.（1）極大值：1，極小值：-1（2）無極值（3）極大值：1，極小值：-1（4）無極值（5）極大值：1，極小值：-1（6）極大值：1，極小值：-1

五、證明題：

25.證明：當\(x\neq0\)時，\(f(x)=\frac{1}{x}\)的導數(shù)為\(f'(x)=-\frac{1}{x^2}\)。當\(x=0\)時，\(f'(0)\)不存在，因為左右導數(shù)不相等。

26.證明：當\(x\neq2\)時，\(f(x)=\sqrt{x^2-4}\)的導數(shù)為\(f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}\)。當\(x=2\)時，\(f'(2)=1\)，因為左右導數(shù)相等。

27.證明：當\(x\neq0\)時，\(f(x)=\ln(x)\)的導數(shù)為\(f'(x)=\frac{1}{x}\)。當\(x=0\)時，\(f'(0)\)不存在，因為左右導數(shù)不相等。

28.證明：當\(x>0\)時，\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\)的導數(shù)為\(f'(x)=-\frac{1}{2x\sqrt{x}}\)。當\(x=0\)時，\(f'(0)\)不存在，因為左右導數(shù)不相等。

29.證明：\(f(x)=e^x\)的導數(shù)為\(f'(x)=e^x\)，因為指數(shù)函數(shù)的導數(shù)仍為指數(shù)函數(shù)。

30.證明：\(f(x)=x^3-3x\)的導數(shù)為\(f'(x)=3x^2-3\)，因為多項式函數(shù)的導數(shù)仍為多項式函數(shù)。

六、綜合題：

31.\(f'(1)=-1\)

32.\(f'(2)=1\)

33.\(f'(1)=1\)

34.\(f'(1)=-\frac{1}{2}\)

35.\(f'(0)=1\)

36.\(f'(0)=-3\)

本次試卷答案如下：

一、單項選擇題：

1.B解析：函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x}\)的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞)，值域為(-∞,0)∪(0,+∞)。函數(shù)\(f(x)=\sqrt{x^2-4}\)的定義域為(-∞,-2]∪[2,+∞)，值域為[0,+∞)。函數(shù)\(f(x)=\ln(x)\)的定義域為(0,+∞)，值域為(-∞,+∞)。函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\)的定義域為(0,+∞)，值域為(0,+∞)。

2.B解析：有界函數(shù)是指存在實數(shù)\(M\)，使得對任意\(x\)，都有\(zhòng)(|f(x)|\leqM\)。函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x}\)和\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\)的值域為(0,+∞)，因此不是有界函數(shù)。函數(shù)\(f(x)=\sqrt{x^2-4}\)和\(f(x)=\ln(x)\)的值域為[0,+∞)和(-∞,+∞)，因此是有界函數(shù)。

3.A解析：函數(shù)\(f(x)=e^x\)的反函數(shù)是\(f^{-1}(x)=\ln(x)\)，因為\(e^{f^{-1}(x)}=e^{\ln(x)}=x\)。

4.A解析：函數(shù)\(f(x)=e^x\)在\(x=0\)處可導，其導數(shù)為\(f'(0)=e^0=1\)。

5.C解析：函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)的導數(shù)為\(f'(x)=3x^2-3\)，令\(f'(x)=0\)，得\(x=±1\)，因此有兩個極值點。

6.C解析：連續(xù)函數(shù)是指函數(shù)在定義域內任意一點處都連續(xù)。函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x}\)在\(x=0\)處不連續(xù)，函數(shù)\(f(x)=\sqrt{x^2-4}\)在\(x=±2\)處不連續(xù)，函數(shù)\(f(x)=\ln(x)\)在\(x=0\)處不連續(xù)，函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\)在\(x=0\)處不連續(xù)。

二、填空題：

7.(-∞,0)∪(0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)

8.(-∞,-2]∪[2,+∞)[0,+∞)

9.(0,+∞)(-∞,+∞)

10.(0,+∞)(0,+∞)

11.\(f^{-1}(x)=\ln(x)\)

12.\(f'(x)=3x^2-3\)

三、判斷題：

13.×解析：函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x}\)在\(x=0\)處不可導，因為左右導數(shù)不相等。

14.√解析：函數(shù)\(f(x)=\sqrt{x^2-4}\)在\(x=2\)處可導，因為左右導數(shù)相等。

15.×解析：函數(shù)\(f(x)=\ln(x)\)在\(x=0\)處不可導，因為左右導數(shù)不相等。

16.√解析：函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\)在\(x=0\)處可導，因為左右導數(shù)相等。

17.√解析：函數(shù)\(f(x)=e^x\)在\(x=0\)處可導，因為左右導數(shù)相等。

18.√解析：函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)在\(x=0\)處可導，因為左右導數(shù)相等。

四、計算題：

19.（1）\(f'(x)=-\frac{1}{x^2}\)（2）\(f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}\)（3）\(f'(x)=\frac{1}{x}\)（4）\(f'(x)=-\frac{1}{2x\sqrt{x}}\)（5）\(f'(x)=e^x\)（6）\(f'(x)=3x^2-3\)

20.（1）\(f^{-1}(x)=\ln(x)\)（2）\(f^{-1}(x)=\sqrt{x^2-4}\)（3）\(f^{-1}(x)=e^x\)（4）\(f^{-1}(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\)（5）\(f^{-1}(x)=e^x\)（6）\(f^{-1}(x)=\frac{1}{3}x^{\frac{2}{3}}\)

21.（1）極大值：1，極小值：-1（2）無極值（3）極大值：1，極小值：-1（4）無極值（5）極大值：1，極小值：-1（6）極大值：1，極小值：-1

22.（1）\(f'(x)=-\frac{1}{x^2}\)（2）\(f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-4}}\)（3）\(f'(x)=\frac{1}{x}\)（4）\(f'(x)=-\frac{1}{2x\sqrt{x}}\)（5）\(f'(x)=e^x\)（6）\(f'(x)=3x^2-3\)

23.（1）\(f^{-1}(x)=\ln(x)\)（2）\(f^{-1}(x)=\sqrt{x^2-4}\)（3）\(f^{-1}(x)=e^x\)（4）\(f^{-1}(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\)（5）\(f^{-1}(x)=e^x\)（6）\(f^{-1}(x)=\frac{1}{3}x^{\frac{2}{3}}\)

24.（1）極大值：1，極小值：-1（2）無極值（3）極