2025屆河北省石家莊市無極縣高三下學(xué)期5月數(shù)學(xué)模擬試題（三模）一、單選題（本大題共8小題）1．設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．2．若，則（

）A． B． C． D．3．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．某學(xué)校對(duì)100名學(xué)生的身高進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到各身高段的人數(shù)并整理如下表：身高（cm）[150，155）[155，160）[160，165）[165，170）[170，175）[175，180]頻數(shù)10203025105根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是（

）A．100名學(xué)生身高的中位數(shù)小于160cmB．100名學(xué)生中身高低于165cm的學(xué)生所占比例超過C．100名學(xué)生身高的極差介于20cm至30cm之間D．100名學(xué)生身高的平均值介于160cm至165cm之間5．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，且成等比數(shù)列，則（

）A． B． C． D．6．在三棱錐中，，且二面角的大小為，則當(dāng)該三棱錐的外接球體積最小時(shí)，（

）A． B．3 C． D．7．已知，，則的值為（

）A． B． C． D．8．已知，則（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知非零單位向量和，若，向量在向量上的投影向量為，向量在向量上的投影向量為，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．10．設(shè)定義運(yùn)算，已知函數(shù)，則（

）A．是偶函數(shù) B．2π是的一個(gè)周期C．在上單調(diào)遞減 D．的最小值為11．已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，圓，點(diǎn)P在橢圓C上，點(diǎn)Q在圓M上，則下列說法正確的有（

）A．若橢圓C和圓M沒有交點(diǎn)，則橢圓C的離心率的取值范圍是B．若，則的最大值為4C．若存在點(diǎn)P使得，則D．若存在點(diǎn)Q使得，則三、填空題（本大題共3小題）12．與雙曲線有公共漸近線，且過點(diǎn)的雙曲線的方程為．13．若正實(shí)數(shù)是關(guān)于的方程的根，則.14．如圖，在的長(zhǎng)方形棋盤的每個(gè)小方格中各放一個(gè)棋子.如果兩個(gè)棋子所在的小方格共邊或共頂點(diǎn)，則稱這兩個(gè)棋子相連.現(xiàn)從這56個(gè)棋子中取出一些，使得棋盤上剩下的棋子沒有五個(gè)在一條直線（橫、豎、斜方向）上依次相連.則最少取出個(gè)棋子才可能滿足要求.四、解答題（本大題共5小題）15．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知.(1)證明：；(2)若邊上的中線的長(zhǎng)為，求.16．如圖，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓上的點(diǎn)．

(1)求證：平面PAC⊥平面PBC；(2)若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求二面角C－PB－A的余弦值．17．一種特殊的單細(xì)胞生物在一個(gè)生命周期后有的概率分裂為兩個(gè)新細(xì)胞，的概率分裂為一個(gè)新細(xì)胞，隨后自身消亡.新細(xì)胞按相同的方式分裂，并且每個(gè)細(xì)胞的分裂情況相互獨(dú)立，如此繁衍下去.某實(shí)驗(yàn)人員開始觀察一個(gè)該種單細(xì)胞生物經(jīng)過個(gè)生命周期的分裂情況，將第個(gè)生命周期后的活細(xì)胞總數(shù)記為隨機(jī)變量.(1)若，（i）求隨機(jī)變量的分布列和期望;（ii）求事件“”的概率;(2)已知在的條件下，的期望稱為條件期望，其定義為，試求條件期望和的期望.18．已知點(diǎn)為橢圓的右端點(diǎn)，橢圓的離心率為，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，直線分別與軸交于點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)試判斷線段的中點(diǎn)是否為定點(diǎn)，若是，求出該點(diǎn)縱坐標(biāo)，若不是，說明理由.19．若數(shù)列滿足：①；②；③當(dāng)整數(shù)時(shí)，存在正整數(shù)及，，…，，使得；④對(duì)于任意正整數(shù)及，，…，，都有.則稱數(shù)列“非零可表”.(1)若數(shù)列滿足，判斷是否“非零可表”，并說明理由；(2)若數(shù)列滿足，，證明：數(shù)列“非零可表”；(3)證明：存在滿足的數(shù)列“非零可表”.

答案1．【正確答案】B【詳解】，故，故選B.2．【正確答案】C【詳解】由．故選C.3．【正確答案】B【詳解】不等式等價(jià)于等價(jià)于，所以，即，解得或，故能推出成立，但是成立不一定有，所以“”是“”的必要不充分條件.故選B4．【正確答案】D【詳解】100名學(xué)生身高的中位數(shù)是第和第名學(xué)生身高的平均值，第名和第名學(xué)生的身高均大于，所以100名學(xué)生身高的中位數(shù)大于160cm，故A錯(cuò)誤；100名學(xué)生中身高低于165cm的學(xué)生有名，所以100名學(xué)生中身高低于165cm的學(xué)生所占比例為，故B錯(cuò)誤；100名學(xué)生身高的極差最大為，最小為，但是“介于”不能準(zhǔn)確表示臨界值能否取到，故C錯(cuò)誤；100名學(xué)生身高的平均值為，故D正確.故選D.5．【正確答案】C【詳解】解：由題意，，得，解得，所以，故選C.6．【正確答案】A【詳解】由于且二面角的大小為，故為二面角的平面角，故，由于平面，故平面，設(shè)，則，在中，由余弦定理可得，則的外接圓直徑，故外接球的半徑當(dāng)時(shí)，球的半徑取得最小值,此時(shí)三棱錐的外接球體積最小，故.故選A.7．【正確答案】B【詳解】依題意，又因?yàn)椋瑒t，由得，又，，兩式相加得，即，所以.故選B.8．【正確答案】C【詳解】由，構(gòu)造函數(shù)，則.由可知：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取得最大值.由在單調(diào)遞增可知：，即.由在單調(diào)遞減區(qū)間，令有兩個(gè)解，且，則，可得①，得②，令，則，當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即時(shí)，.若，即，結(jié)合①②，得，則有.又所以當(dāng)時(shí)，，故，由在單調(diào)遞減知：，即.故.故選C.9．【正確答案】ABD【詳解】，，對(duì)選項(xiàng)A：，正確；對(duì)選項(xiàng)B：，正確；對(duì)選項(xiàng)C：，，不共線，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D：，正確.故選ABD.10．【正確答案】BC【詳解】因?yàn)?，畫出的圖象，如圖對(duì)于A：，即所以不是偶函數(shù)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B：由圖可知的一個(gè)周期為，B正確；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，，則，而在上單調(diào)遞減，C正確；對(duì)于D：由圖可知，的最小值為，D錯(cuò)誤.故選BC.11．【正確答案】ACD【詳解】由橢圓中，圓中圓心，半徑為1，如下圖示，A：由于，由圖知：當(dāng)時(shí)橢圓C和圓M沒有交點(diǎn)，此時(shí)離心率，對(duì)；B：當(dāng)時(shí)，令，則，而，所以，又，故，所以的最大值為，錯(cuò)；C：由，若，則，由，令，且，則，即，所以，則，且，故，對(duì)；D：令，若，所以，則，所以，軌跡是圓心為，半徑為的圓，而與的距離為，要使點(diǎn)Q存在，則，可得，且，即，對(duì)；故選ACD.12．【正確答案】【詳解】設(shè)所求雙曲線方程為，將點(diǎn)代入雙曲線方程得，故方程為．13．【正確答案】0【詳解】令，則在上單調(diào)遞增，，即，故，∵正實(shí)數(shù)是方程的根，，則，得，即.14．【正確答案】11【詳解】如果一個(gè)方格在第i行第j列，則記這個(gè)方格為.第一步通過反證法證明若任取10個(gè)棋子，則余下的棋子必有一個(gè)五子連珠，即五個(gè)棋子在一條直線（橫、豎、斜方向）上依次相連.假設(shè)可取出10個(gè)棋子，使余下的棋子沒有一個(gè)五子連珠.如圖1，在每一行的前五格中必須各取出一個(gè)棋子，后三列的前五格中也必須各取出一個(gè)棋子.這樣10個(gè)被取出的棋子不會(huì)分布在右下角的陰影部分.同理由對(duì)稱性，也不會(huì)分布在其他角上的陰影部分.第1、2行必在每行取出一個(gè)，且只能分布在、、、這些方格.同理、、、這些方格上至少要取出2個(gè)棋子.在第1、2、3列，每列至少要取出一個(gè)棋子，分布在、、、、、、、、所在區(qū)域，同理、、、、、、、、所在區(qū)域內(nèi)至少取出3個(gè)棋子.這樣在這些區(qū)域內(nèi)至少已取出了10個(gè)棋子.因此在中心陰影區(qū)域內(nèi)不能取出棋子.由于①、②、③、④這4個(gè)棋子至多被取出2個(gè)，從而，從斜的方向看必有五子連珠了.矛盾，故假設(shè)不成立，則若任取10個(gè)棋子，則余下的棋子必有一個(gè)五子連珠，第二步構(gòu)造一種取法，共取走11個(gè)棋子，余下的棋子沒有五子連珠.如圖2，只要取出有標(biāo)號(hào)位置的棋子，則余下的棋子不可能五子連珠.綜上所述，最少要取走11個(gè)棋子，才可能使得余下的棋子沒有五子連珠.15．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）由正弦定理可得，所以，由及余弦定理得，代入，得，化簡(jiǎn)得，故；（2）因?yàn)?，所以，故，在中，由余弦定理可得，即，解?16．【正確答案】（1）見解析（2）【詳解】(1)由AB是圓的直徑，得AC⊥BC，由PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，得PA⊥BC.又PA∩AC＝A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，所以BC⊥平面PAC.因?yàn)锽C?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC.(2)過C作CM∥AP，則CM⊥平面ABC.如圖，以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線CB、CA、CM為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．

在Rt△ABC中，因?yàn)锳B＝2，AC＝1，所以BC＝.因?yàn)镻A＝1，所以A(0,1,0)，B(，0,0)，P(0,1,1)．故＝(，0,0)，＝(0,1,1)．設(shè)平面BCP的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，則所以不妨令y1＝1，則n1＝(0,1，－1)．因?yàn)椋?0,0,1)，＝(，－1,0)，設(shè)平面ABP的法向量為n2＝(x2，y2，z2)，則所以不妨令x2＝1，則n2＝(1，，0)．于是cos〈n1，n2〉＝＝.由題圖可判斷二面角為銳角，所以二面角C－PB－A的余弦值為.17．【正確答案】(1)（i）分布列見解析，期望為；（ii）；(2).【詳解】（1）（i）依題意，的所有可能取值為1，2，3，4，，，，，所以的分布列為：1234的數(shù)學(xué)期望為（ii）事件，即細(xì)胞在個(gè)生命周期中只有一次分裂為2個(gè)新細(xì)胞，且之前與之后的所有細(xì)胞都分裂為1個(gè)新細(xì)胞，記事件表示“細(xì)胞只在第個(gè)周期分裂為2個(gè)新細(xì)胞”，則兩兩互斥，，而，因此，所以事件“”的概率為.（2）在的條件下，的可能取值為，則，，因此，（），由全概率公式得，于是的期望，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，又，所以，即的期望為.18．【正確答案】(1)(2)是，MN的中點(diǎn)為【詳解】（1）由題意得，，又，解得，，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)，，因?yàn)橹本€經(jīng)過且與橢圓交于BC兩點(diǎn)，所以直線BC的斜率一定存在，故設(shè)直線BC的方程為：，其中，由得：，，得；x1+，，又因?yàn)橹本€AB的方程:，得，同理由+===故MN的中點(diǎn)為.19．【正確答案】(1)不“非零可表”，理由見解析；(2)證明過程見解析；(3)證明過程見解析【詳解】（1）不“非零可表”，理由如下：中，則當(dāng)，，不滿足④，故不“非零可表”；（2），當(dāng)時(shí)，，則，所以，，故，，又，所以，，時(shí)，，，所以