2025屆四川省仁壽縣高三下學(xué)期數(shù)學(xué)仿真模擬試題（三模）一、單選題（本大題共8小題）1．若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部與實部之差為（

）A． B． C． D．2．已知焦點在y軸上的橢圓的離心率為，焦距為，則該橢圓的方程為（）A． B．C． D．3．已知向量，則向量在上的投影向量為（

）A． B． C． D．4．已知雙曲線的焦距為，則的漸近線方程為（）A． B． C． D．5．已知圓，若圓剛好被直線平分，則的最小值為（）A． B． C． D．6．某公司的兩名同事計劃今年國慶節(jié)期間從大理、麗江、洱海、玉龍雪山、藍(lán)月谷這個著名旅游景點中隨機(jī)選擇一個游玩.若在兩人中至少有一人選擇大理的條件下，求兩人選擇的景點不同的概率為（

）A． B． C． D．7．已知，，則（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列說法正確的是（）A．若數(shù)列前項和滿足，則B．在等差數(shù)列中，滿足，則其前項和中最大C．在等差數(shù)列中，滿足，則數(shù)列的前9項和為定值D．若等差數(shù)列中，，則使的最大的為1510．已知圓，直線，則（

）A．當(dāng)時，圓C上恰有兩個點到直線的距離等于1B．圓C與圓恰有三條公切線C．直線恒過定點D．直線與圓C有兩個交點11．已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，對于任意，都有成立，當(dāng)時，，給出下列結(jié)論，其中正確的是（）A．B．點是函數(shù)的圖象的一個對稱中心C．函數(shù)在上單調(diào)遞增D．函數(shù)在上有個零點三、填空題（本大題共3小題）12．已知拋物線方程為，則拋物線的準(zhǔn)線方程為．13．如圖，在梯形中，，且，若是線段上的動點，且，則的取值范圍為.

14．已知，函數(shù)（1）若在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為；（2）若對于任意實數(shù)，方程有且只有一個實數(shù)根，且，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有三個不同的交點，則的取值范圍為.四、解答題（本大題共5小題）15．為了引導(dǎo)學(xué)生閱讀世界經(jīng)典文學(xué)名著，某學(xué)校舉辦“名著讀書日”活動，每個月選擇一天為“名著讀書日”，并給出一些推薦書目．為了了解此活動促進(jìn)學(xué)生閱讀文學(xué)名著的情況，該校在此活動持續(xù)進(jìn)行了一年之后，隨機(jī)抽取了校內(nèi)100名學(xué)生，調(diào)查他們在開始舉辦讀書活動前后的一年時間內(nèi)的名著閱讀數(shù)量，所得數(shù)據(jù)如下表：不少于5本少于5本合計活動前3565100活動后6040100合計95105200(1)依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析舉辦該讀書活動對學(xué)生閱讀文學(xué)名著是否有促進(jìn)作用；(2)已知某學(xué)生計劃在接下來的一年內(nèi)閱讀6本文學(xué)名著，其中4本國外名著，2本國內(nèi)名著，現(xiàn)從6本名著中隨機(jī)抽取3本在上半年讀完，求上半年讀完的國內(nèi)名著本數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望．附：，其中．臨界值表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82816．在中，角所對的邊分別為，設(shè)向量，，，.(1)求函數(shù)的最大值；(2)若，，，求的面積.17．如圖，在圓錐中，為圓錐底面的直徑，為底面圓周上一點，點在線段上，，．

(1)證明：平面；(2)若圓錐的側(cè)面積為，求二面角的正弦值．18．已知數(shù)列滿足，點在直線上.(1)設(shè)，證明為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和；(3)設(shè)的前項和為，證明.19．已知函數(shù)，其中.(1)證明：當(dāng)時，；(2)若時，有極小值，求實數(shù)的取值范圍；(3)對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

答案1．【正確答案】B【詳解】因為，所以，復(fù)數(shù)的虛部為，實部為，所以，的虛部與實部之差為.故選B.2．【正確答案】D【詳解】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦距為，由得，由得，故，所以該橢圓的方程為．故選D．3．【正確答案】D【詳解】由，得，由，得，則，因此，在上的投影向量為.故選D.4．【正確答案】A【詳解】由雙曲線的焦距為，得，解得，所以曲線的漸近線方程為.故選A.5．【正確答案】A【詳解】圓心為，且圓剛好被直線平分，則圓心在直線上，所以，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，因此，的最小值為.故選A.6．【正確答案】B【分析】設(shè)“兩人中至少有一人選擇大理”為事件，“兩人選擇的景點不同”為事件，求，，結(jié)合條件概率公式求解結(jié)論.【詳解】設(shè)“兩人中至少有一人選擇大理”為事件，“兩人選擇的景點不同”為事件，則，，，故選B.7．【正確答案】D【詳解】，，所以，所以，所以.故選D.8．【正確答案】B【詳解】，令，則，因為在R上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時，可由向右平移得到，結(jié)合與的圖象可知，恒成立，當(dāng)時，由得到，其中，令，，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在處取得極小值，也是最小值，最小值為，故，綜上，.故選B.9．【正確答案】BCD【詳解】對于A：數(shù)列前項和滿足，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，顯然不滿足上式，故，故A錯誤；對于B：等差數(shù)列中，滿足，，所以：，則，由于，所以，故，，所以其前項和中最大，故B正確；對于C：等差數(shù)列中，滿足，，則數(shù)列的前9項和為定值，故C正確；對于D：若，則，即，又因為，所以，則數(shù)列前8項為正，從第9項開始為負(fù)，因為，所以使的最大的為15，故D正確.故選BCD.10．【正確答案】BCD【詳解】對于A，當(dāng)時，直線，圓心到直線的距離為，而圓C半徑為6，因此只有4個點到直線的距離等于1，故A錯誤；對于B，圓的方程化為，其圓心為，半徑為4，兩圓的圓心距為，兩圓外切，因此它們有三條公切線，故B正確；對于C，直線的方程為，由，，直線恒過定點，故C正確；對于D，36，即定點在圓C內(nèi)，則直線與圓C相交且有兩個交點，故D正確；故選BCD.11．【正確答案】AB【詳解】在中，令，得，又函數(shù)是R上的奇函數(shù)，所以，故A正確；因為，故是一個周期為的奇函數(shù)，因為是的對稱中心，所以也是函數(shù)的圖象的一個對稱中心，故B正確；作出函數(shù)的部分圖象如圖所示，易知函數(shù)在上不具單調(diào)性，故C不正確；函數(shù)在上有個零點，故D不正確.故選AB.12．【正確答案】【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為.13．【正確答案】【詳解】以點為坐標(biāo)原點，所在直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，，，則，設(shè)，則（其中），，，

所以，當(dāng)時，取得最小值，當(dāng)時取得最大值21.14．【正確答案】【詳解】（1）由題知：，解得.（2）因為對于任意實數(shù)，方程有且只有一個實數(shù)根，且，所以，解得.所以，函數(shù)的圖象如圖所示：令，解得，即.當(dāng)函數(shù)過點時，，此時函數(shù)與有兩個交點.聯(lián)立，當(dāng)，即時，此時函數(shù)與有兩個交點.因為函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有三個不同的交點，所以.15．【正確答案】(1)有促進(jìn)作用(2)分布列見解析，【詳解】（1）零假設(shè)：該讀書活動對學(xué)生閱讀文學(xué)名著沒有促進(jìn)作用；由表中數(shù)據(jù)可知，，故可推斷不成立，即認(rèn)為舉辦該讀書活動對學(xué)生閱讀文學(xué)名著有促進(jìn)作用，該推斷犯錯誤的概率不超過0.001．（2）由題意可知，的可能取值為0、1、2，；；；所以的分布列為：012所以的數(shù)學(xué)期望為：．16．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）.因為，所以，所以當(dāng)，即時，有最大值；（2）因為，所以，所以，因為，所以，由正弦定理，所以，，又因為，所以，得，由余弦定理有：，即，所以，所以．17．【正確答案】(1)證明見詳解(2)【詳解】（1）平面，，故以為坐標(biāo)原點，為軸正方向，為軸正方向，與同向的方向為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，故，，，，，，，．，．故，，，，平面，平面；（2）圓錐的側(cè)面積，，,由（1）可知，為平面的法向量，設(shè)平面的法向量為，而，，故令得，則，所以二面角的正弦值為．18．【正確答案】(1)證明見詳解；(2)，；(3)證明見詳解.【詳解】（1）證明：因為點在直線，則，則，即，又，所以是以為首項，公比為的等比數(shù)列；（2）由（1），，則；（3）證明：由（2），，則當(dāng)時，；當(dāng)（）時，注意到，則，則.綜上，當(dāng)時，.19．【正確答案】(1)證明見詳解(2)(3)【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性分析證明；（2）求導(dǎo)，令，利用導(dǎo)數(shù)分析可知?x在0,+∞內(nèi)單調(diào)遞增，分類討論的符號，進(jìn)而分析的極值，即可得結(jié)果；（3）構(gòu)建，分析可知原題意等價于對任意恒成立，根據(jù)端點效應(yīng)可得，并代入檢驗說明其充分性即可.【詳解】（1）因為，則對任意恒成立，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，則，所以當(dāng)時，.（2）因為，則，令，則對任意恒成立，可知?x在0,+∞內(nèi)單調(diào)遞增，則當(dāng)，即時，則?x>0對任意恒成立，即f'x可知在0,+∞內(nèi)單調(diào)遞增，無極值，不合題意；當(dāng)，即時，則?x在0,+∞內(nèi)存在唯一零點，當(dāng)時，?x<0，即f'x<0；當(dāng)時，?可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，可知存在極小值，符合題意；綜上所述：實數(shù)的取值范圍為1,+∞.（3）令，則，原題意等價于對任意恒成立，且，則