合肥市第一中學(xué)合肥一中2025屆高三回歸教材讀本合肥一中2025屆高三年級(jí)數(shù)學(xué)組2025屆高三數(shù)學(xué)回歸教材讀本6合肥一中瑤海校區(qū)2025屆高三數(shù)學(xué)組必修一第一章集合與常用邏輯用語第二章一元二次函數(shù)、方程、不等式 第三章函數(shù)的概念與性質(zhì) 8第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù) 第五章三角函數(shù) 第六章平面向量及其應(yīng)用第七章復(fù)數(shù) 42第八章立體幾何初步 第九章統(tǒng)計(jì)第十章概率 選擇性必修一第一章空間向量與立體幾何 第二章直線和圓的方程 第三章圓錐曲線的方程 76選擇性必修二第四章數(shù)列 第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第六章計(jì)數(shù)原理 第七章隨機(jī)變量及其分布 第八章成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析 1必修一第一章集合與常用邏輯用語、第二章一元二次函數(shù)、方程典型例題1(必修一第13頁練習(xí)3)【答案】【結(jié)論】德摩根定律：Cu(AUB)=(CuA∩(CuB),Cu(A∩B)=(CuA)U(C典型例題2(必修一第15頁閱讀與思考)學(xué)校先舉辦了一次田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)，某班有8名同學(xué)參賽，又舉辦了一次球類運(yùn)動(dòng)會(huì)，這個(gè)班有12名同學(xué)參賽，兩次運(yùn)動(dòng)會(huì)都參賽的有3人.兩次運(yùn)動(dòng)會(huì)中，這個(gè)班共有多少名同學(xué)參賽?【答案】17用集合用集合A表示田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)參賽的學(xué)生，用集合B表示球類運(yùn)動(dòng)會(huì)參賽的學(xué)A∩B={x|x是兩次運(yùn)動(dòng)會(huì)都參賽的學(xué)生},AUB={x|x是所有參賽的學(xué)生},2card(AUB)=card(A)+card(=8+12—3=17.所以，在兩次運(yùn)動(dòng)會(huì)中，這個(gè)班共有17名同學(xué)參賽.我們也可以用Venn圖來求解.①這里的3是表示元素的個(gè)數(shù)，而不是元素.圖中我們特別加上括號(hào)，另外兩個(gè)數(shù)5,9也一樣.5(card(A)—card(A∩B)=5),在①這里的3是表示元素的個(gè)數(shù)，而不是元素.圖中我們特別加上括號(hào)，另外兩個(gè)數(shù)5,9也一樣.這三個(gè)數(shù)加起來得17,這就是card(AUB).【結(jié)論】一般地，對(duì)任意兩個(gè)有限集合A,B,有card(AUB)=card(A)+card(B)—card(A∩B).典型例題3(必修一第23頁習(xí)題1.4綜合運(yùn)用4)(1)如果ACB,那么p是q的什么條件?(2)如果BCA,那么p是q的什么條件?(3)如果A=B,那么p是q的什么條件?【答案】(1)充分條件.(2)必要條件.(3)充要條件.【結(jié)論】:可以借助兩個(gè)結(jié)合的包含關(guān)系判定兩個(gè)命題的充要性.典型例題4(必修一第35頁復(fù)習(xí)參考題推廣與探索第11題)學(xué)校舉辦運(yùn)動(dòng)會(huì)時(shí)，高一(1)班共有28名同學(xué)參加比賽，有15人參加游泳比賽，有8人參加田徑比賽，有14人參加球類比賽，同時(shí)參加游泳比賽和田徑比賽的有3人，同時(shí)參加游泳比賽和球類比賽的有3人，沒有人同時(shí)參加三項(xiàng)比賽，同時(shí)參加田徑和球類比賽的有多少人?只參加游泳一項(xiàng)比賽的有多少人?【答案】3人，9人【詳解】解：如圖.設(shè)同時(shí)參加田徑和球類比賽的有x人，則28=15+8+14-3-3-x,∴x=3,3同時(shí)參加田徑和球類比賽的有3人，而只參加游泳一項(xiàng)比賽的有15-3-3=9(人).【結(jié)論】一般地對(duì)于三個(gè)有限集合A,B,C,有典型例題5(必修一43頁第10題)已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0),再添加m克糖(m>0)(假設(shè)全部溶解),糖水變甜了，請(qǐng)將這一事實(shí)表示為一個(gè)不等式，并證明這個(gè)不等式成立.【答案】,證明見解析典型例題6(必修一49頁第6題)一家貨物公司計(jì)劃租地建造倉(cāng)庫(kù)儲(chǔ)存貨物，經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查了解到下列信息：每月土地占地費(fèi)y?(單位：萬元)與倉(cāng)庫(kù)到車站的距離x(單位：km)成反比，每月庫(kù)存貨物費(fèi)y?(單位：萬元)與X成正比；若在距離車站10km處建倉(cāng)庫(kù)，則y?和y?分別為2萬元和8萬元，這家公司應(yīng)該把倉(cāng)建在距離車站多少千米處，才能使兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小?【答案】5km【解析】設(shè)y?=tx,當(dāng)x=10時(shí)，,y?=10t=8,∴k=20,t=0.8,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)x=5時(shí)等號(hào)成立.即應(yīng)將這家倉(cāng)庫(kù)建在距離車站5km處，才能使兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，且最小費(fèi)用為8萬元.典型例題7(必修一49頁拓廣探索第7題)一家商店使用一架兩臂不等長(zhǎng)的天平稱黃金，一位顧客到店里購(gòu)買10g黃金，售貨員先將5g的砝碼放在天平左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中使天平平衡；再將5g的砝碼放在天平右盤中，再取出一些黃金放在天平左盤中使天平平衡；最后將兩次稱得的黃金交給顧客.你認(rèn)為顧客購(gòu)得的黃金是小于10g,等于10g,還是大于10g?為什么?□4典型例題8(必修一49頁拓廣探索第8題)設(shè)矩形ABCD(AB>AD)的周長(zhǎng)為24cm,把△ABC即(12-x)2+(x-a)2=a2,解得,所!5典型例題9(必修一58頁第5題)若正數(shù)a,b滿足ab=a+b+3.求ab的取值范圍.真題再現(xiàn)(2022年全國(guó)新高考II卷第12題)A.x+y≤1B.x+y≥-2C.x2+y2≤2D.x2+y2【答案】BC【解析1】因(a,b∈R),由x2+取等號(hào)，所以C正確；,所以時(shí)滿足等式，但是x2+y2≥1不成立，所以D錯(cuò)誤.故選：BC.【解析2】∵x2+y2-xy=1,∴6當(dāng)且僅當(dāng),k∈當(dāng)且僅當(dāng),keZx2+y2=2.所以C正確，D錯(cuò)誤.故選：BC.【點(diǎn)撥】多選題采用一種方法解決四個(gè)選項(xiàng)是性價(jià)比最高的方案，最好不要采用四種方法解決四個(gè)選項(xiàng).典型例題10(必修一58頁第6題)當(dāng)k取什么值時(shí)，一元二次不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立.【解析】解：當(dāng)k<0時(shí)，要使一元二次不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，則二次函的圖象在x軸下方，即,得-3<k<0.當(dāng)k>0時(shí)，二次函數(shù)y=2kx2+kx-3的圖象開口向上，一元二次不等不可能對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立.綜上可知，-3<k<0.典型例題11(必修一58頁拓展推廣第9題)如圖，居民小區(qū)要建一座八邊形的休閑場(chǎng)所，它的主體造型平面圖是由兩個(gè)相同的矩形ABCD和EFGH構(gòu)成的面積為200m2的十字形地域，計(jì)劃在正方形MNPQ上建一座花壇，造價(jià)為4200元/m2;在四個(gè)相同的矩形(圖中陰影部分)上鋪花崗巖地坪，造價(jià)為210元/m2;再在四個(gè)空角(圖中四個(gè)三角形)上鋪草坪，造價(jià)為80元/m2.設(shè)總造價(jià)為S(單位：元),AD長(zhǎng)為x(單位：m).當(dāng)xEF為何值時(shí)，S最小?并求出這個(gè)最小值.【答案】x=√10m時(shí)，S最小且S最小=118000元.【解析】由題意，有7典型例題12(必修一58頁拓展推廣第10題)兩次購(gòu)買同一種物品，可以用兩種不同的策略，第每次購(gòu)買這種物品所花的錢數(shù)一定.哪種購(gòu)物方式比較經(jīng)濟(jì)?你能把所得結(jié)論作一些推廣嗎?若按第二種策略購(gòu)物，第一次花m元錢，能購(gòu)kg物品，第二次仍花m元錢，能購(gòu)kg物品，所以第一種策略的平均價(jià)格高于第二種策略的平均價(jià)格，因而用第二種策略果是多次購(gòu)買同一種物品，用第二種策略購(gòu)買比較經(jīng)濟(jì).8必修一第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)典型例題1(必修一第68頁例6)給定函數(shù)f(x)=x+1,g(x)=(x+1)2,x∈R,【答案】(1)在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f(x),g(x)的圖象(圖3.1-4).(2)由圖3.1-4中函數(shù)取值的情況，結(jié)合函數(shù)M(x)的定義，可得函數(shù)M(x)的圖象(圖3.1-5)由(x+1)2=x+1,得x(x+1)=0.解得x=-1,或x=0.結(jié)合圖3.1-5,得出函數(shù)M(x)的解析式為M(x)=【解析】本題主要考了一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖像性質(zhì)，是中等題，我們主要先根據(jù)函數(shù)圖像以及練習(xí)1(必修一第69頁練習(xí)3)給定函數(shù)f(x)=-x+1,g(x)=(x-1)2,x∈R,(2)Vx∈R,用m(x)表示f(x),g(x)中的較析法表示函數(shù)m(x).1【解析】本題主要考了一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖像性質(zhì)，是中等題。我們主要先根據(jù)函數(shù)圖像以及9題意要求分析此題，即可得到我們所需要答案。練習(xí)2f(x)=min{|x|-2,x2—ax+3a-5}.若f(x)至少有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_·【答案】[10,+∞]【解析】設(shè)g(x)=x2—ax+3a-5,h(x)=|x|-2,由x|-2=0可得x=±2.要使得函數(shù)f(x)至少有3個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)g(x)至少有一個(gè)零點(diǎn)，則4=a2—12a+20≥0,解得a≤2或a≥10.①當(dāng)a=2時(shí)，g(x)=x2—2x+1,作出函數(shù)g(x),h(x)的圖象如圖所示，此時(shí)函數(shù)f(x)只有兩個(gè)零點(diǎn)，不合乎題意；②當(dāng)a<2時(shí)，設(shè)函數(shù)g(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為x1,x2(xi<x2),要使得函數(shù)f(x)至少有3個(gè)零點(diǎn)，則x?≤-2,所以，解得a∈0;③當(dāng)a=10時(shí)，g(x)=x2—10x+25,作出函數(shù)g(x),h(x)的圖象如圖所示，由圖可知，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3,合乎題意；④當(dāng)a>10時(shí)，設(shè)函數(shù)g(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為x3,x?(x?<x4),要使得函數(shù)f(x)至少有3個(gè)零點(diǎn)，則解得a>4,此時(shí)a>10.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[10,十典型例題2(必修一第73頁習(xí)題13)函數(shù)f(x)=[x]的函數(shù)值表示不超過x的最大整數(shù)，例如，[-3.5]=-4,[2.1]=2.當(dāng)x∈[-2.5,3]時(shí)，寫出函數(shù)f(x)的解析式，并畫出函數(shù)的圖象.【答案】解：y=f(x),則函數(shù)圖象如圖所示。x的最大整數(shù)，分類討論，畫出圖象即可.(3)根據(jù)圖象寫出函數(shù)的值域.【解析】本題考查分段函數(shù)，考查對(duì)新定義的理解，屬于基礎(chǔ)題.(3)由圖象直接得到函數(shù)的值域.典型例題3(必修一第102頁復(fù)習(xí)參考題13)如圖，△OAB是邊長(zhǎng)為2的正三角形，記△OAB位于直線x=t(t>0)左側(cè)的圖形的面積為f(t).試求函數(shù)y=f(t)【答案】解：(1)當(dāng)0<t≤1時(shí)，如圖，設(shè)直線x=t與△OAB分別交于C、D兩點(diǎn)，則[OC|=t,圖象如圖所示.數(shù)的解析式后，再根據(jù)解析式畫出函數(shù)的圖象.典型例題4(必修一第86頁習(xí)題9)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈.區(qū)間ISD,記△x=x?-x?,△y=區(qū)間I=(a,b),如,那么函數(shù)f(x)在區(qū)間I內(nèi)單調(diào)遞減。所以函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增.因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增，所以Vx?,所以函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減.因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減，所以Vx?,【解析】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、充要條件的證明，屬于基礎(chǔ)題.典型例題5(必修一第87頁習(xí)題13)我們知道，函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形P(a,b)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)y=f(x+a)-b為奇函數(shù).為偶函數(shù)”的一個(gè)推廣結(jié)論.【答案】解：(1)由題意設(shè)函數(shù)f(x)=x3-3x2的圖象關(guān)于點(diǎn)P(a,b)成中心數(shù)g(x)=f(x+a)-b為奇函數(shù).所以g(x)+g(-x)=0對(duì)任意x都成立，即f(x+a)+f(-x+a)-2b=0對(duì)任意x都成立，所以(x+a)3-3(x+a)2+(-x+a)3-3(一x+a)2-2b=0,化簡(jiǎn)得(6a-6)x2+2a3-6a2-2b=0對(duì)任意x都成立，,所以函數(shù)f(x)=x3-3x2圖象的對(duì)稱中心為(1,-2).【解析】本題考查函數(shù)的奇偶性，考查函數(shù)的對(duì)稱性，考查類比推理，是中檔題.對(duì)任意x都成立，從而求得(6a-6)x2+2a3-6a2-2b=0對(duì)任意x都成立，,所以典型例題6(必修一第101頁復(fù)習(xí)參考題8)證明：【答案】證明：(1)∵f(x)=ax+b,∴,所【解析】本題考查根據(jù)函數(shù)的解析表達(dá)式證明函數(shù)中的等式和不等式問題，涉及作差法比較大小.(1)由函數(shù)的解析式分別求的,即得所證；作差并利用配方法可得所求證.典型例題7(必修一第96頁習(xí)題4)圖(1)是某條公共汽車線路收支差額y關(guān)于乘客量x的圖象.【答案】解：(1)由題意及圖(1),可知該圖象為一次函數(shù)型，可設(shè)函數(shù)關(guān)系為y=kx+b,(x≥0)其中x為乘客量，y為收支差額.所以，A點(diǎn)的實(shí)際意義為乘客量為0時(shí)，該公司支出的總費(fèi)用，即運(yùn)營(yíng)成本；B點(diǎn)的實(shí)際意義為乘客量達(dá)到某一值時(shí)，收支平衡.線段AB上點(diǎn)的意義為乘客量小于某一值時(shí)公司虧損.(2)圖2的建議為減少運(yùn)營(yíng)成本；圖3的建議可能是提高票價(jià).【解析】本題主要考查一次函數(shù)及其變動(dòng)情況的實(shí)際應(yīng)用.考查了數(shù)形結(jié)合思想，邏輯推理能力.本題屬中檔題.能是提高票價(jià).必修一第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)典型例題1(必修一第110頁拓廣探究第9題)1.從盛有1L純酒精的容器中倒出,然后用水填滿；再倒到出,又用水填滿……(1)連續(xù)進(jìn)行5次，容器中的純酒精還剩下多少?(2)連續(xù)進(jìn)行n次，容器中的純酒精還剩下多少?【答案】(1)【解析】【分析】(1)每進(jìn)行一次倒出和填滿，濃度變?yōu)樵瓉淼?根據(jù)比例關(guān)系即可求解；(2)結(jié)合第(1)問分析出的關(guān)系每進(jìn)行一次倒出和填滿，濃度變?yōu)樵瓉淼?即可得解.【詳解】(1)倒出1次后還剩,加滿水后濃度為倒出2次后還剩(L),加滿水后濃度為倒出3次后逐剩(L),加滿水后濃度倒出4次后還剩(Z),加滿水后濃度為倒出5次后還剩(2)由(1)知，連續(xù)進(jìn)行了n次，容器中的線酒精還剩下【點(diǎn)睛】此題考查利用指數(shù)性質(zhì)解實(shí)際應(yīng)用題，關(guān)鍵在于建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型求解.典型例題2(必修一第110頁拓廣探究第10題)2.(1)當(dāng)n=1,2,3,10,100,1000,10的底數(shù)越來越小，而指數(shù)越來越大，那么是否也會(huì)越來越大?有沒有最大值?用導(dǎo)數(shù)研究最值。【解析】【分析】(1)利用計(jì)算器依次計(jì)算求值；(2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果分析，越來越大，沒有最大值.(2)由(1)知，當(dāng)n越來越大時(shí)，的值也會(huì)越來越大，但沒有最大值.【點(diǎn)睛】此題考查利用計(jì)算機(jī)計(jì)算指數(shù)冪的值，根據(jù)指數(shù)冪的大小關(guān)系分析代數(shù)式的變化趨勢(shì)，和最值的情況，體現(xiàn)了根據(jù)有限的事實(shí)與類比無限的思想.典型例題3(必修一第120頁拓廣探究第9題)3.已知函的圖象過原點(diǎn)，且無限接近直線y=2但又不與該直線相交.(1)求該函數(shù)的解析式，并畫出圖象；(2)判斷該函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性.【答案】(1),圖象見解析；(2)f(x)為偶函數(shù)，f(x)在[-∞,0]上為減函數(shù)，在[0,+∞]上為增函數(shù).【解析】【分析】(1)由函數(shù)圖象過原點(diǎn)可得a+b=0,又由圖象無限接近直線y=2可得b=2,(2)利用奇偶性的定義即可判斷函數(shù)的奇偶性，去掉絕對(duì)值得,根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)即可求得函數(shù)的單調(diào)性.【詳解】解：(1)由題意知，a+b=0,b=2,∴a=-2,.典型例題4(必修一第127頁綜合應(yīng)用第6題)(1)若xlog?4=1,求4*+4-x的值；(2)若f(x)=3*,求f(log?2)的值.【詳解】解：(1)∵xlog?4=1,∴典型例題5(必修一第127頁綜合應(yīng)用第7題)【點(diǎn)睛】本題考查換底公式及對(duì)數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.設(shè)x、y、z為正數(shù)，且2*=3=52,則A.2x<3y<5zC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z【答案】D【詳解】令2*=3=52=k(k>1),則x=log?k,y=log?k,z=log?k,,,,以及0與1的對(duì)數(shù)表示.典型例題6(必修一第141頁拓廣探究第12題)求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】典型例題7(必修一第141頁拓廣探究第13題)7.比較下列各題中三個(gè)值的大小：(1)log。.26,log?.36,log且lg0.2<1g0.3<1g0.4<0,故log.26>logo.36>logo.46∴l(xiāng)og?3>log?4同理可證log?4>l真題再現(xiàn)2(2022·全國(guó)甲卷高考真題)A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a【答案】A【分析】法一：根據(jù)指對(duì)互化以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可知m=log,10>1,再利用基本不等式，換底公式可得m>1g11,log?9>m,然后由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可解出.【詳解】[方法一]:(指對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì))由9"=10可得1,而,所以,即m>1g11,所以a=10所以b=8"-9<8o889-9=0.綜上，a[方法二]:【最優(yōu)解】(構(gòu)造函數(shù))由9”=10,可得m=log,10∈(1,1.5).根據(jù)a,b的形式構(gòu)造函數(shù)f(x)=x"-x-1(x>1),則f'(x)=mx"?1-1,f(x)在(1,+0)上單調(diào)遞增，所以f(10)>f(8),即a>b,又因?yàn)閒(9)=9lB,10-10=0,所以a>0>b.【點(diǎn)評(píng)】法一：通過基本不等式和換底公式以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較，方法直接常用，屬于通性法二：利用a,b的形式構(gòu)造函數(shù)f(x)=x"-x-1(x>1),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系，簡(jiǎn)單明了，是該題的最優(yōu)解.A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<b【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)f(x)=1n(1+x)-x,導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定a,b,c的大小.【詳解】方法一：構(gòu)造法設(shè)f(x)=In(1+x)-x(x>-1),因?yàn)樗院瘮?shù)f(x)=In(1+x)-x在(0,+0所以所以In故,所以令h(x)=e*(x2-1)+1,h'(x)=e?(x2+2x又h(0)=0,所以當(dāng)0<x<√2-1時(shí)，h(x)<0,方法二：比較法解：a=0.1e?1,,c=-In(1-0.1),①Ina-Inb=0.1+ln(可得f(0.1)<f(0)=0,即Ina-1nb<0,②a-c=0.1e1+In(1-0.1),令g(x)=xe?+In(1-x),x∈(0,0.1),則令k(x)=(1+x)(1-x)e?-1,所以典型例題8(必修一第160頁綜合應(yīng)用第5題)8.(1)已知集合A.A.,則A∩B=()CD.【答案】A因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)x>1時(shí)，(2)已知f(x)=|1gx|,若則()A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a【解析】【分析】作出f(x)的圖象，結(jié)合圖象可知f(x)在(0,1)上為減函數(shù)，即可得到a>b,再由對(duì)數(shù)的運(yùn)算比較b、C的關(guān)系，即可得解.【詳解】解：∵作出f(x)的圖象如圖◆◆21bx∴f(x)在(0,1)上為減函數(shù).即a>b.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題.(3)已知函數(shù)f(x)=2*+x,g(x)=log?x+x,h(x)=x3+x的零點(diǎn)分別為a,b,c,則a,b,c的大小順序?yàn)?)A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>b化為y=2*、y=log?x與y=-X的交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合即可判斷.【詳解】解：由h(x)=x3+x=0得x=0,∴c=0,由f(x)=0得2*=—x,由g(x)=0得log?x=-x.在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出y=2*、y=log?x、y=-X的圖象，由圖象知a<0,b>0,∴a<c<b.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，函數(shù)方程思想，對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用，屬于中檔題.典型例題9(必修一第161頁綜合應(yīng)用第10題)9.把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是θ℃,空氣的溫度是θ℃,那么tmin后物體的溫度θ(單位：℃)可由公式θ=θ?+(θ?-θ?)e?,求得，其中k是一個(gè)隨著物體與空氣的接觸狀況而定的正常數(shù)，現(xiàn)有62℃的物體，放在15℃的空氣中冷卻，1min以后物體的溫度是52℃.(1)求k的值(精確到0.01);(2)若要將物體的溫度降為42℃,32℃,求分別需要冷卻的時(shí)間.【答案】(1)k≈0.24;(2)冷卻約2min后，物體的溫度為42℃;冷卻約4min后，物體的溫度為32℃.【解析】【分析】(1)代入公式計(jì)算k的值；(2)令函數(shù)值分別等于42,32,計(jì)算t的值即可.【詳解】(1)將θ?=62,θ?=15,t=1,θ=52代入θ=θ?+(θ?-0?)·e中，得52=15+(62-15)e?k.(2)θ-θ?=(θ-θ?)e“,1g(θ-θ%).把θ?=62,θ?=15代入上式，.當(dāng)θ=42時(shí)，當(dāng)θ=32時(shí)答：k=0.24,冷卻約2min后，物體的溫度為42℃;冷卻約4min后，物體的溫度為32℃.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)值的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.真題再現(xiàn)4(2024北京高考真題)物個(gè)體總數(shù).生物豐富度指數(shù)d越大，水質(zhì)越好.如果某河流治理前后的生物種類數(shù)S沒有變化，生物個(gè)體總數(shù)由N變?yōu)镹?,生物豐富度指數(shù)由2.1提高到3.15,則()A.3N?=2N?B.2N?=3N?C.N?2=N3典型例題10(必修一第160頁綜合應(yīng)用第6題)10.設(shè),則下列命題是真命題的個(gè)數(shù)是()①[g(x)]2-[f(x)2=1;②f(2x)=2f(x)·g(x);③g(2x)=[g(x【分析】直接利用指數(shù)的運(yùn)算的應(yīng)用求出結(jié)果.故正確.對(duì)于②,故正確.故選：D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：指數(shù)的運(yùn)算的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型.真題再現(xiàn)5么項(xiàng)鏈所形成的曲線是什么?這就是著名的“懸鏈線問題”,通過適當(dāng)建立坐標(biāo)系，懸鏈線可為雙曲余弦函數(shù)的圖象，定義雙曲正弦函數(shù),類比三角函數(shù)的性質(zhì)可得雙曲sh(2x)=2sh(x)·ch(x).(I)求曲線ch(x)在x=2處的切線斜率；(Ⅱ)若對(duì)任意x>0,都有(x-a-1)(sh(x)+ch(x)≥2sinx-2(x-a)cosx恒成立，求實(shí)(Ⅲ)(i)證明見解析；(ii)證明見解析.【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；邏輯推理；直觀想(Ⅱ)令G(x)=(x-a-1)e?+2(x-a)cosx-2sinx,求導(dǎo)得G'(x)=(x-a)(e?-2sinx),分a≤0、a>0,即可得證.令G(x)=(x-a-1)(sh(x)+ch=(x-a-1)e?-2sinx+2(x-則G'(x)=(x-a-1)'e?+(x-a-1)·(e?)'-2(sinx)'+2(x-a)'cosx+2(x-a)(cosx)'=(x-a-1)e?+e+2cosx-2(x-a)sin證明：令m(x)=x-sinx,則m'(x)=1-cosx≥0,當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)Vx∈(0,a),都有G'(x)<0,對(duì)Vx∈(a,+∞),都有G'(x)>0,則對(duì)Vx∈(0,a),都有G(x)<G(0)=-3a-1,綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍;由(Ⅱ)解答過程可知，對(duì)任意x>0,x>sinx成立，由題意sh(2x)=2sh(x)·ch(x∴令n≥1且n∈N°,可得由(Ⅱ)解答過程，對(duì)任意x>0,x>sinx成立，又n≥1且n∈N,將①式兩邊同時(shí)除以),可得從而可得【點(diǎn)評(píng)】本題屬于新概念題，考查了轉(zhuǎn)化思想、導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用、導(dǎo)數(shù)的幾何性質(zhì)及放縮法的使用，屬于難題.典型例題11(必修一第161頁拓廣探索第11題)11.已知函數(shù)f(x)=log(x+1),g(x)=loga(1-x)(a>0,且a≠1).(Ⅱ)判斷函數(shù)f(x)+g(x)的奇偶性，并說明理由；(Ⅲ)求使f(x)+g(x)<0成立的x的集合.【分析】(I)由題意求得函數(shù)f(x)+g(x)=loga(x+1)+log(1-x),由求得函數(shù)的定義域.(Ⅱ)由于函數(shù)f(x)+g(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x),可得f(x)+g(x)為偶函數(shù).(Ⅲ)f(x)+g(x)<0等價(jià)于loga(-x+1)(1+x)<0.再分當(dāng)a>1時(shí)、當(dāng)0<a<1兩種情況，分別求得使f(x)+g(x)<0成立的x的集合.【解答】解：(I)由題意可得函數(shù)f(x)+g(x)=log(x+1)+log。(1-x)=loga((Ⅱ)由于函數(shù)f(x)+g(x)=log(x+1)(1-x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足f(-x)+g(-x)=loga(-x+1)(1+x)=f(x)+g(x),故f(x)+g(x)為偶函數(shù).(Ⅲ)f(x)+g(x)<0等價(jià)于loga(-x+1)(1+x)<0.當(dāng)a>1時(shí)，f(x)+g(x)<0,等價(jià)于0<(-x+1)(1+x)<1,即使f(x)+g(x)<0成立的x的集合為(-1,0)(0,1).即使f(x)+g(x)<0成立的x的集合為?.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查求函數(shù)的定義域，函數(shù)的奇偶性的判斷，一元二次不等式的解法，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.典型例題12(必修一第161頁拓廣探索第12題)(1)探索函數(shù)f(x)的單調(diào)性，(2)是否存在實(shí)數(shù)a使函數(shù)f(x)為奇函數(shù)?【答案】(1)f(x)在R上為增函數(shù)；(2)存在實(shí)數(shù)a=1【解析】【分析】(1)根據(jù)題意，分析函數(shù)(2)根據(jù)題意，假設(shè)存在實(shí)數(shù)a使函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則有f(-x)+f(x)=0,即分析可得a的值.【詳解】(1)函數(shù)的定義域?yàn)镽,而y=2*為增函數(shù)，為減函數(shù)，故∴f(x?)>f(x?).故f(x)在R上為增函數(shù).(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)a,使f(x)為奇函數(shù)，則f(-x)=-f(x),∴數(shù).【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是求出a的值，屬于基礎(chǔ)題.必修第一第五章三角函數(shù)典型例題1(必修一第186頁拓廣探究第16題)1.(1)化簡(jiǎn),其中α是第二象限角；【分析】(1)利用同角的三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡(jiǎn)即可；(2)先由已知條件求出tana,再把分母換為sin2α+cos2α化簡(jiǎn)即可.【解答】解：(1)∵α是第二象限角，(2)因【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角函數(shù)間的基本關(guān)系，是中檔題.典型例題2(必修一第195頁拓廣探究第8題)【分析】由題意利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求得的值，再利用誘導(dǎo)公式、兩角和差的三角公式，求得要求式子的值.【解答】解：且,求的【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，誘導(dǎo)公式、兩角和差的三角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.典型例題3(必修一第195頁拓廣探究第9題)3.化簡(jiǎn)下列各式，其中n∈Z:【分析】(1)根據(jù)整數(shù)與4的余數(shù)的大小，結(jié)合誘導(dǎo)公式進(jìn)行分類討論，能求出結(jié)果.(2)根據(jù)整數(shù)與4的余數(shù)的大小，結(jié)合誘導(dǎo)公式進(jìn)行分類討論.能求出結(jié)果.【解答】解：(1)當(dāng)n=4k(k∈Z)時(shí)，【點(diǎn)評(píng)】本題考查分類討論思想、誘導(dǎo)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.典型例題4(必修一214頁第11題)根據(jù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象，寫出使下列不等式成立的x的取值集合.【答案】(1)(2)先作一個(gè)周期的圖象，再根據(jù)圖象寫結(jié)果.ygg2【詳解】(1)所以成立的x的取值集合為y0X典型例題5(必修一214頁第13題)若x是斜三角形的一個(gè)內(nèi)角，寫出使下列不等式成立的x的集(1)1+tanx≤0;(2)tanx-√【答案】(1)【解析】【分析】(1)根據(jù)正切函數(shù)單調(diào)性求解三角不等式；(2)根據(jù)正切函數(shù)單調(diào)性求解三角不等式.【詳解】(1)∵1+tanx≤0:tanx≤-1..∈Z),即所求集合為(2))∵tanx-√3≥0:.tanx,即所求集合為典型例題6(必修一214頁第14題)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【答案】單調(diào)遞減區(qū)間,k∈Z;無單調(diào)遞增區(qū)間.【解析】根據(jù)正切函數(shù)單調(diào)性列不等式，解得結(jié)果.,k∈Z所以的單調(diào)遞減區(qū)間為無單調(diào)遞增區(qū)間.典型例題7(必修一226頁練習(xí)第1題)求證：【解析】典型例題8(必修一226頁練習(xí)第4題)求證：典型例題9(必修一226頁練習(xí)第5題)求證：(1)【解析】【點(diǎn)睛】此題考查三角恒等式的證明，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確構(gòu)造角的關(guān)系，熟練掌握兩角和差的正余弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn).典型例題10(必修一228頁練習(xí)3)已知正n邊形的邊長(zhǎng)為a,內(nèi)切圓的半徑為r,外接圓的半徑為R.求證【解析】設(shè)0是內(nèi)切圓圓心，OB、OA分別是內(nèi)切圓半徑，外接圓半徑，【點(diǎn)睛】此題考查正n邊形的內(nèi)切圓外接圓半徑關(guān)系的證明，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確找出相應(yīng)圖形中的等量關(guān)系.典型例題11(必修一229頁第5題)已知tan(a+β)=3,tan(α-β)=5,求tan2a,tan2β的值.【答案】【解析】∵tan(α+β)=3,tan(a-β)=5,的關(guān)鍵.典型例題12(必修一229頁第8題)求證：【答案】見解析【詳解】證明：(3)典型例題13(必修一229頁第9題)已知(1)求證：sinacosβ=5cosasinβ;(2)求證：tana=5tanβ.【答案】【詳解】試題分析：(1)∵②證在同一個(gè)三角式中盡可能使三角函數(shù)的種類最少，一般考慮化弦或化切(用同角三角函數(shù)的關(guān)系式或萬能公式);變式：由前二步對(duì)三角式進(jìn)行恒等變形，或逆用、變形用公式，使問題獲解；典型例題14(必修一230頁第15題)求證：【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【詳解】證明：(1)左邊=3+2cos22a-1-4(1-2sin2a)=3+2(1-2sin2a)2-5+8sin2a=-2+2(1+4sin?α-4sin2α)+8sin2α=8sin?α=【點(diǎn)睛】本題考查了二倍角的余弦公式、同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系，考查了輔助角公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.典型例題15(必修一230頁第16題)是否存在銳角α,β,使得：同時(shí)成立?若存在，求出銳角α,β的值；若不存在，說明理由.【答案】存在，【解析】同時(shí)成立.又因?yàn)?所以解該方程得x=1,x?=2-√3.若則.這與α為銳角矛盾.所以,tanβ=1,故,因?yàn)棣?β為銳角，所以所以滿足條件的α,β存在，且【點(diǎn)睛】三角方程的求解的基本方法是消元法，也可以利用三角變換公式把三角方程化簡(jiǎn)為角的三角函數(shù)的方程，求出它們的值后可得角的大小，化簡(jiǎn)三角方程時(shí)要關(guān)注三角方程的結(jié)構(gòu)形式便于找到合理的三角變換方法.典型例題16(必修一230頁第19題)你能利用所給圖形，證明下列兩個(gè)等式嗎?【答案】證明見解析【詳解】證明：線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo).過點(diǎn)M作MM?垂【點(diǎn)睛】本題考查了利用單位圓、銳角三角函數(shù)中正弦的定義、余弦的定義證明三角恒等式，考查了數(shù)形結(jié)合思想.典型例題17(必修一第238頁例2)摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地瞰四周景色.如圖5.6-9,某摩天輪最高點(diǎn)距離地面高度為120m,轉(zhuǎn)盤直徑為110m,設(shè)置有48個(gè)座艙，開啟后按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，轉(zhuǎn)一周大約需要30min.(1)游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉(zhuǎn)動(dòng)tmin后距離地面的高度為Hm,求在轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過程中，H關(guān)于t的函數(shù)(2)求游客甲在開始轉(zhuǎn)動(dòng)5min后距離地面的高度；圖5.6-9(3)若甲、乙兩人分別坐在兩個(gè)相鄰的座艙里，在運(yùn)行一周的過程中，求兩人距離地面的高度差h(單位：m)關(guān)于t的函數(shù)解析式，并求高度差的最大值(精確到0.1).圖5.6-9【答案】(1)5,0≤t≤30;(2)3地面的高度H呈現(xiàn)周而復(fù)始的變化，因此可以考慮用三角函數(shù)來刻畫.解：如圖5.6-10,設(shè)座艙距離地面最近的位置為點(diǎn)P,以軸心O為原點(diǎn)，與地面平行的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系.根據(jù)摩天輪轉(zhuǎn)一周大約需要30min,可知座艙轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度約所以，游客甲在開始轉(zhuǎn)動(dòng)5min后距離地面的高度約為37.5m.(3)如圖5.6-10,甲、乙兩人的位置分別用點(diǎn)A,B表示，則.經(jīng)過tmin后甲距點(diǎn)B相對(duì)于點(diǎn)A始終落后的高度為.則甲、乙距離地面的高度差利用,可得,0≤t≤30.當(dāng)即t≈7.8(或22.8)時(shí)，h的最大值為所以，甲、乙兩人距離地面的高度差的最大值約為7.2m.練習(xí)(必修一第241頁習(xí)題7)如圖，一個(gè)半徑為3m的筒車按逆時(shí)針方向每分轉(zhuǎn)1.5圈，筒車的軸心O距離水面的高度為2.2m.設(shè)筒車上的某個(gè)盛水筒P到水面的距離為d(單位：m)(在水面下則d為負(fù)數(shù)),若以盛水筒P剛浮出水面時(shí)開始計(jì)算時(shí)間，則d與時(shí)間t(單位：s)之間的關(guān)系為(1)求A,w,φ,K的值(④精確到0.0001)(2)盛水筒出水后至少經(jīng)過多少時(shí)間就可到達(dá)最高點(diǎn)(精確到0.01s)?【答案】(1)A=3;K=2.2;φ≈-0.8332(2)15.30【解析】【分析】(1)根據(jù)實(shí)際含義分別求A,w,φ,K的值；(2)根據(jù)題意列方程，解簡(jiǎn)單三角方程得結(jié)果【詳解】(1)振幅A即為半徑，即A=3;因?yàn)槟鏁r(shí)針方向每分轉(zhuǎn)1.5圈，所以典型例題18(必修一第255頁復(fù)習(xí)參考題15)【答案】(1)【解析】【分析】(1)利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)可求進(jìn)而根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡(jiǎn)即可求解.(2)將兩邊同時(shí)平方，再相加即可得解；【詳解】解：(1)∵(2)因?yàn)樗湫屠}19(必修一第256頁復(fù)習(xí)參考題25)如圖，已知直線lI/12,A是l,l?之間的一定點(diǎn)并且點(diǎn)A到l,l?的距離分別為h,h?,B是直線l?上一動(dòng)點(diǎn)，作AC⊥AB,且使AC與直線l交于點(diǎn)C.(1)寫出△ABC面積S關(guān)于角α的函數(shù)解析式S(a).;T4T2X(2)畫出上述函數(shù)的圖象；(3)由(2)中的圖象求S(α)的最小值.【答案】(1);(2)圖像見解析；(3)T4T2X0【解析】【分析】1)用h,h?表示出AB,AC,得出S(a);(2)根據(jù)S(α)的單調(diào)性作出圖象；(3)根據(jù)圖象得出最小值.【詳解】解：(1)∵AE⊥l?,AD⊥l?,AC⊥AB,(2)作出函數(shù)的圖象如圖：(3)由(2)中圖象可知：當(dāng),即時(shí)，S(α)取最小值，S(α)的最小值為典型例題20(必修一第256頁復(fù)習(xí)參考題26)其中n!=1×2×3×4×5×…×n.這些公式被編入計(jì)算工具，計(jì)算工具計(jì)算足夠多的項(xiàng)就可以確保顯的計(jì)算工具計(jì)算cos0.3,并與上述結(jié)果比較.【詳解】解：依題意，用前5項(xiàng)計(jì)算，即≈1-0.045+0.0003375-0.0000010125+與用前三項(xiàng)計(jì)算cos0.3的結(jié)果比較可以發(fā)現(xiàn)，用前5項(xiàng)計(jì)算的結(jié)果精確度更高，同時(shí)可知，當(dāng)取的項(xiàng)數(shù)足夠多時(shí)，可以達(dá)到更高的精確度，甚至達(dá)到任意精確度的要求.第六章平面向量及其應(yīng)用、第七章復(fù)數(shù)典型例題1(必修二24頁習(xí)題6.2拓廣探索21) 已知△ABC的外接圓圓心為0,且2AO=AB+AC,OA=|AB|,則向量BA在向量BC上的投影向量 【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的含義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握向量的運(yùn)算法則，運(yùn)用投影向量的幾何意義解題.典型例題2(必修二24頁習(xí)題6.2拓廣探索22)【答案】OD=OA-OB+OC典型例題3(必修二24頁習(xí)題6.2拓廣探索24)【答案】只與弦AB的長(zhǎng)度有關(guān)，與半徑無關(guān)【解析】【分析】由題意，設(shè)◎C的半徑為r,AB的長(zhǎng)度為2a,取AB的中點(diǎn)D,連接CD,根據(jù)向量的數(shù)量積公式即可求出.【詳解】只與弦AB的長(zhǎng)度有關(guān)，與半徑無關(guān).理由如下：設(shè)◎C的半徑為r,AB的長(zhǎng)度為2a,取【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的運(yùn)算，運(yùn)用垂徑定理進(jìn)行證明.典型例題4(必修二37頁習(xí)題6.3拓廣探索15)如圖，設(shè)Ox,Oy是平面內(nèi)相交成60°角的兩條數(shù)軸，e,e2分別是與x軸、y軸正方向同向的單位向量.若向量OP=xe+ye?,則把有序數(shù)對(duì)(x,y)叫做向量OP在坐標(biāo)系Oxy中的坐標(biāo)，設(shè)(2)根據(jù)平面向量基本定理判斷，本題中對(duì)向量坐標(biāo)的規(guī)定是否合理.【分析】(1)利用向量的模的計(jì)算可解.(2)根據(jù)平面向量的基本定理可解.【解答】解：(1)根據(jù)題意，(2)由平面向量基本定理可知，e與e?不共線，因此本題中向量坐標(biāo)的規(guī)定合理.【點(diǎn)評(píng)】本題考查斜坐標(biāo)系的向量模的計(jì)算，運(yùn)用平面向量基本定理解題.典型例題5(必修二37頁習(xí)題6.3拓廣探索16)對(duì)于任意的a,b,c,d∈R,試用向量方法證明不等式(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).【分析】設(shè)a=(a,b),n=(c,d),再結(jié)合向量的數(shù)量積公式，即可求證.【解答】證明：設(shè)a=(a,b),n=(c,d),∴(m·n)2=m2·|n2cos2<m,n>≤|m2·|n2,當(dāng)且僅當(dāng)m與n共線，ad=bc時(shí)，等號(hào)成立.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二維柯西不等式的向量證明.n維的柯西不等式形式典型例題6(必修二40頁練習(xí)3)如下圖，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交直線AB,AC于不同的兩點(diǎn)M,N.設(shè)AB=mAM,AC=nAN,3.因?yàn)锳B=mAM,AC=nAN,所以AB=mAM,AC=nAN.本題主要考察平面向量的共線定理.典型例題7(必修二52頁習(xí)題6.4復(fù)習(xí)鞏固1)已知非零向量AB與AC滿足且,則△ABC為()從而判斷出三角形形狀.典型例題8(必修二52頁習(xí)題6.4復(fù)習(xí)鞏固2)C.外心、重心、垂心D.外心、重心、內(nèi)心【答案】C 【解析】【分析】由|OA=|OB=OC|知0是△ABC的外心；利用共起點(diǎn)向量加法將NA+NB+NC=0變形為共線的兩向量關(guān)系，得到N點(diǎn)在中線上的位置，從而判斷為重心；由AB邊上的高，故為垂心.∵NA+NB+NC=0,∴NA+NB=-NC,設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M,則2NM=-NC,由此可知N為AB邊上中線的三等分點(diǎn)(靠近中點(diǎn)M),所以N是△ABC的重心.0是△ABC的內(nèi)心→aOA+bOB+cOC=0.(其中a、b、c為△ABC的三邊)典型例題9(必修二53頁習(xí)題6.4綜合運(yùn)用11)已知對(duì)任意平面向量AB=(x,y),把AB繞其起點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ角得到向量 AP=(xcosθ-ysinθ,xsinθ+ycosθ),叫做把點(diǎn)B繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ角得到點(diǎn)P.已知平面內(nèi)點(diǎn)A(1,2),點(diǎn)B(1+√2,2-2√2),的坐標(biāo).【答案】(0,-1).【詳解】解：由已知AB=(√2,-2√2),把點(diǎn)B繞點(diǎn)A沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到點(diǎn)P,求點(diǎn)P的坐標(biāo)，再利用OP=AP+OA得結(jié)果.∵AP=OP-OA,∴OP=AP+OA=(-1,-3)+(1,2)=(0,-1),∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,-1).【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)變換.典型例題10(必修二52頁習(xí)題6.4綜合運(yùn)用12)如圖，在△ABC中，已知AB=2,AC=5,∠BAC=60°,BC,AC邊上的兩條中線AM,BM相交【答案】,代入公式即可.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理以及向量的夾角公式.典型例題11(必修二39頁6.4例2)【分析】取{AB,AD}為基底，設(shè)AB=a,AD=6,上面兩式相加，得AC2+DB2=2(a2+b2),∴AC2+BD2=2(AB2+AD2).【點(diǎn)評(píng)】平行四邊形對(duì)角線的平方和等于鄰邊平方和的兩倍.典型例題12(必修二53頁習(xí)題6.4綜合運(yùn)用15)△ABC的三邊分別為a,b,c,邊BC,CA,AB上的中線分別記為ma,m,m,利用余弦定理證明【答案】見解析同理可以證明其余兩式.所以【點(diǎn)睛】三角形的中線長(zhǎng)公式.典型例題13(必修二54頁習(xí)題6.4綜合運(yùn)用17)證明：設(shè)三角形的外接圓的半徑是R,則a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.【解析】【分析】若A為銳角(如圖①所示),作直徑BA',連接A'C,則A=A',在Rt△A'CB中可證明a=2RsinA;若A是直角，可直接得a=2RsinA;若A為鈍角(如圖③所示),作直徑BA',連接A'C,則A'=π-A,在Rt△BCA中可證明a=2RsinA.【詳解】證明：(1)若A為銳角(如圖①所示),作直徑BA',連接A'C,則A=A',在Rt△A'CB①②③(2)若A是直角(如圖②所示),在Rt△ABC中，可直接得a=2RsinA;(3)若A為鈍角(如圖③所示),作直徑BA',連接A'C,則A'=π-A,在Rt△BCA中，BC=ABsinA'=2Rsin(π-A)=2RsinA,即a=2【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理及其三角形外接圓的性質(zhì).典型例題14(必修二54頁習(xí)題6.4綜合運(yùn)用18)利用第10題的結(jié)論，證明三角形的面積公式典型例題15(必修二54頁習(xí)題6.4拓廣探索19)如圖，在□ABCD中，點(diǎn)E,F分別是AD,DC邊的中點(diǎn)，BE,BF分別與AC交于R,T兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)AR,RT,TC之間的關(guān)系嗎?用向量方法證明你的結(jié)論.【答案】AR=RT=TC,證明見解析.【解析】【分析】由于R,T是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，要判斷AR,RT,TC之間的關(guān)系，只需分別判斷AR,RT,TC與AC之間的關(guān)系即可 【詳解】設(shè)AB=a,AD=b,AR=產(chǎn)，則AC=a+b.由于a與6不共線，則由于a與6不共線，則典型例題16(必修二54頁習(xí)題6.4拓廣探索20)已知△ABC的三個(gè)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,(1)三角形的面積S=√p(p-a)(p-b)(p-c);則則(3)把邊BC,AC,AB上的高分別記為h,h,h.,【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【解析】【分析】(1)設(shè)三角形的三邊a,b,c的對(duì)角分別為A,B,C,則由余弦定理可得,求出sinC并代入三角形面積公式,設(shè),則,即可化簡(jiǎn)得證； (2)由(1)可得S=√P(p-a)(p-b)(p-c).而又因?yàn)閘=a+b+c=2p,,結(jié)合上 (3)由三角形面積公式可得,即可得解.【詳解】證明：(1)根據(jù)余弦定理的推論得得代入可得S=√p(p-a)(p-b)(p-c);(2)因?yàn)樗匀切蔚闹荛L(zhǎng)l=a+b+c=2p,又三角形的面積·2p·r=pr,其中r為內(nèi)切圓半徑，所以(3)根據(jù)三角形的面積公式同理可證典型例題17(必修二62頁復(fù)習(xí)參考題6拓廣探索19)【分析】由BA=BC+CA,結(jié)合數(shù)量積可得DE·BA=DE·BC+DE·CA,再運(yùn)用數(shù)量積定義可分別【詳解】如圖所示，DE·CA=|DE|CA|cos(A+θ)=b|DE|cos即ccosθ=acos(B-θ)+bcos(A+θ).必修二第八章立體幾何初步典型例題1(必修二第100頁例1)行六面體.【答案】典型例題2(必修二第109頁例2)已知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別是3cm,2cm,1.5cm,用斜二測(cè)畫法畫出(2)畫底面.在x軸正半軸上取線段AB,使AB=3cm;在y軸正半軸上取線段AD,使AD=1cm.過點(diǎn)B圖.體的直觀圖了.典型例題3(必修二第116頁練習(xí)2)如圖是一個(gè)表面被涂上紅色的棱長(zhǎng)是4cm的立方體，將其適當(dāng)分割成棱長(zhǎng)為1cm的小立方體.(1)共得到多少個(gè)棱長(zhǎng)是1cm的小立方體?(2)三面是紅色的小立方體有多少個(gè)?它們的表面積之和是多少?(3)兩面是紅色的小立方體有多少個(gè)?它們的表面積之和是多少?(4)一面是紅色的小立方體有多少個(gè)?它們的表面積之和是多少?(5)六個(gè)面均沒有顏色的小立方體有多少個(gè)?它們的表面積之和是多少?它們占有多少立方厘米的空間?【答案】(1)64個(gè)；(2)8個(gè)，48cm2;(3)24個(gè)，144cm2;(4)24個(gè)，144cm2;(5)8個(gè)，48cm2,8cm3【分析】(1)棱長(zhǎng)是4cm的立方體體積64cm3,棱長(zhǎng)為1cm的小正方體體積為1cm3,由此能求出共得到多少個(gè)棱長(zhǎng)為1cm的小正方體；(2)三面涂色的小正方體是位于棱長(zhǎng)是4cm的立方體的頂點(diǎn)處的小正方體，由此能求出三面涂色(3)二面涂色的小正方體是位于棱長(zhǎng)是4cm的立方體的各邊上的正方體，由此能求出二面涂色的(5)六個(gè)面均沒涂色的小正方體為棱長(zhǎng)是4cm的立方體中心的正方體，由此能求出六個(gè)面均沒有涂色的小正方體有多少個(gè)，表面積之和為多少，它們占有多少立方厘米.【詳解】解：(1)棱長(zhǎng)是4cm的立方體體積為：4×4×4=64(cm3),棱長(zhǎng)為1cm的小正方體體積為1cm3,(2)三面涂色的小正方體是位于棱長(zhǎng)是4cm的立方體的頂點(diǎn)處的小正方體，∵立方體共有8個(gè)頂點(diǎn)，∴三面涂色的小正方體有8個(gè)，每個(gè)小正方體的表面積為6cm2,(3)二面涂色的小正方體是位于棱長(zhǎng)是4cm的立方體的各邊上的正方體，∵立方體共有12條邊，每邊有2個(gè)正方體，∴二面涂色的小正方體有24個(gè)，每個(gè)小正方體的表面積為6cm2,則表面積之和為24×6=144(cm2);(4)一面涂色的小正方體在棱長(zhǎng)是4cm的立方體的表面上既不是頂點(diǎn)又不是各邊上的正方體，∵立方體共有6個(gè)面，每個(gè)面有4個(gè)正方體，∴一面涂色的小正方體有24個(gè)，每個(gè)小正方體的表面積為6cm2,則表面積之和為24×6=144(cm2);(5)六個(gè)面均沒涂色的小正方體為棱長(zhǎng)是4cm的立方體中心的正方體，共有64-8-24-24=8個(gè)，每個(gè)小正方體的表面積為6cm2,則表面積之和為8×6=48(cm2),它們占8×1=8(cm2)的空間.【總結(jié)】大正方體分割成小正方體的計(jì)算，要熟練掌握正方體的結(jié)構(gòu)特征，培養(yǎng)立體感.典型例題5(必修二第132頁習(xí)題8.4第5、7題)(1)正方體各面所在平面將空間分成幾部分?(2)如圖，三條直線兩兩平行且不共面，每?jī)蓷l直線確定一個(gè)平面，一共可以確定幾個(gè)平面?如果(1)【答案】27個(gè)部分【詳解】如圖，圖中畫出了正方體最上層把空間分成9個(gè)部分，同理中層、下層也分別把空間分成9個(gè)部分，因此共將空間分成27個(gè)部分.【結(jié)論】正確理解確定平面的幾個(gè)基本事實(shí)及畫出圖形【答案】三條直線兩兩平行且不共面，一共可以確定三個(gè)平面.【詳解】①三條直線兩兩平行，這三條直線象三棱柱的三條側(cè)棱，其中每?jī)蓷l直線可以確定一個(gè)平面，則可以確定3個(gè)平面；②三條直線兩兩相交每?jī)蓷l確定一個(gè)平面，當(dāng)這三條直線在同一個(gè)平面時(shí)則可以確定1個(gè)平面；當(dāng)這三條直線不在同一個(gè)平面時(shí)，則可以確定3個(gè)平面；這三條直線能夠確定一個(gè)平面或三個(gè)平面，最多可以確定3個(gè)平面.【結(jié)論】簡(jiǎn)單的合情推理，推論應(yīng)用.典型例題6(必修二第145頁習(xí)題8.5)如圖，透明塑料制成的長(zhǎng)方體ABCD-A?B?C?D?內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定容器底面一邊BC于水平地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度不同，有下面五個(gè)命題：①有水的部分始終呈棱柱形；②沒有水的部分始終呈棱柱形；③水面EFGH所在四邊形的面積為定值；④棱A?D?始終與水面所在平面平行； 其中所有正確命題的序號(hào)是_ 【答案】①②④⑤【詳解】:根據(jù)棱柱的定義知，有兩個(gè)面是互相平行且是全等的多邊形，其余每相鄰兩個(gè)面的交線也互相平行，而這些面都是平行四邊形，所以①②正確；因?yàn)樗鍱FGH所在四邊形，從圖2,圖3可以看出，有兩條對(duì)邊邊長(zhǎng)不變而另外兩條對(duì)邊邊長(zhǎng)隨傾斜度變化而變化，所以水面四邊形EFGH的面積是變化的，③不對(duì)；因?yàn)槔釧?D?始終與BC平行，BC與水面始終平行，所以④正確；因?yàn)樗捏w積是不變的，高始終是BC也不變，所以底面積也不會(huì)變，即BE·BF是定值，所以⑤正確；綜上知①②④⑤正確，故填①②④⑤.典型例題7(必修二第152頁練習(xí)第4題)過△ABC所在平面α外一點(diǎn)P,作PO⊥α,垂足為0,連接PA,PB,PC.(1)若PA=PB=PC,則點(diǎn)0是△ABC的心.(3)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,垂足都為P,則點(diǎn)0是△ABC的心.【答案】①.外②.中點(diǎn)③.垂【詳解】解(1)如圖，因?yàn)镻O⊥α(2)由(1)可得點(diǎn)0是△ABC的外心，又因?yàn)椤螩=90°,典型例題8(必修二第164頁習(xí)題8.6拓廣探索)【分析】根據(jù)∠ABC=90°,在直三棱柱中，證得BC⊥平面ABB?A?,得BC⊥AB?,連接A?B,則A?B⊥AB?,即可證明AB?⊥平面A?BC,命題得證.∴四邊形ABB?A?為正方形.連接AB,則A?B⊥AB?.∵直棱柱中，AA?⊥底面ABC,BCc底面ABC,∵AA?⊥BC.∵∠ABC=90°,即AB⊥BC.又AA∩AB=A.∴BC⊥平面ABB?A?.∵AB?c平面ABB?A?,∴BC⊥AB?.【結(jié)論】三垂線定理：在斜線射影所在平面上的直線，若垂直于該條射影，便也垂直于斜線本身.三垂線定理的逆定理：在斜線射影所在平面上的直線，若垂直于該斜線，便也垂直于其射影.典型例題9(必修二第165頁習(xí)題8.6拓廣探索)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥底面ABCD,PA=AB,E為線段PB的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，平面AEF與平面PBC是否互相垂直?如果垂直.請(qǐng)證明；如果不垂直，請(qǐng)說明理由.【答案】垂直，證明見解析【解析】【分析】根據(jù)圖形特征證明AE⊥平面PBC,即可證明平面AEF與平面PBC互相垂直.【詳解】:垂直，證明如下：【結(jié)論】面面垂直的證明，動(dòng)平面與一個(gè)平面垂直的證明，關(guān)鍵在于證明直線與平面垂直，涉及直線與平面垂直的判定和性質(zhì)的綜合應(yīng)用.真題在線(2013·上海理科)在xOy平面上，將兩個(gè)半圓弧(x-1)2+y2=1(x≥1)和(x-3)2+y2=1(x≥3),兩條直線y=1和y=-1圍成的封閉圖形記為D,如圖中陰影部分，記D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的幾何體為Ω.過(0,y)(y|≤1)作Ω的水平截面，所得截面積為4π√1-y2+8π.試?yán)米骊言?、一個(gè)平放的圓柱和一個(gè)長(zhǎng)方體，得出Ω的體積值為【答案】2π2+16π【分析】由題目給出的Ω的水平截面的面積，可猜想水平放置的圓柱和長(zhǎng)方體的量，然后直接求出圓柱的體積與長(zhǎng)方體的體積作和即可. 【詳解】解：因?yàn)閹缀误w為Ω的水平截面的截面積為4π√1-y2+8π,該截面的截面積由兩部分組一部分為定值8π,看作是截一個(gè)底面積為8π,高為2的長(zhǎng)方體得到的，對(duì)于4π√1-y2,看作是把一個(gè)半徑為1,高為2π的圓柱平放得到的，如圖所示，這兩個(gè)幾何體與Ω放在一起，根據(jù)祖暄原理，每個(gè)平行水平面的截面積相等，故它們的體積相等，故答案為2π2+16π.【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單的合情推理，解答的關(guān)鍵是由幾何體Ω的水平截面面積想到水平放置的圓柱和長(zhǎng)方體的有關(guān)量.必修二第九章統(tǒng)計(jì)、第十章概率典型例題1(必修二218頁習(xí)題9.2拓廣探索11)已知總體劃分為3層，通過分層隨機(jī)抽樣，各層抽取的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：l,x,s2;m,y,s2;n,z,s3.記總的樣本平均數(shù)為w,樣本方差為s2.證明：【解析】【分析】(1)均值根據(jù)定義直接變形即證，(2)根據(jù)方差的定義，總體方差為同理.這樣變形后可證明.【詳解】證明：可得典型例題2(必修二203頁例2)根據(jù)9.1.2節(jié)問題3中女生的樣本數(shù)據(jù)，估計(jì)樹人中學(xué)高一年級(jí)女生的第25,50,75百分位數(shù).由25%×27=6.75,50%×27=13.5,75%×27=920.25,可知樣本數(shù)據(jù)的第25,50,75百分位數(shù)為第7,14,21項(xiàng)數(shù)據(jù)，分別為155.5,161,164.典型例題3(必修二204頁例3)分別根據(jù)圖(1)(2)中的數(shù)據(jù)，估計(jì)這組數(shù)據(jù)的月均用水量的第80和95百分位數(shù).與圖(3)估0(1)“組數(shù)為3”0(2)“組數(shù)為27”頻率/組距頻率/組距1.24.27.210.213.216.219.222.2【分析】根據(jù)頻率分布直方圖求對(duì)應(yīng)的百分位數(shù)，結(jié)合題意即可得出統(tǒng)計(jì)結(jié)論.【解答】解：由(1)知，月均用水量在10.2t以下的居民用戶所占比例為0.076×9=0.684,在19.2t以下的居民用戶所占的比例為(0.076+0.026)×9=0.918,因此，第80百分位數(shù)一定位于(10.2,19.2)內(nèi)，可以估計(jì)月均用水量的樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)約為14.7.可以估計(jì)月均用水量的樣本數(shù)據(jù)的第95百分位數(shù)約為22.7.由(2)可知，80%分位數(shù)一定位于(13.2,14.2)內(nèi).可以估計(jì)月均用水量的樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)約為13.7.類似地，由,可以估計(jì)月均用水量的樣本數(shù)據(jù)的第95百分位數(shù)約為22.7.與根據(jù)圖估計(jì)的結(jié)果比較，它們是不一樣的.在三個(gè)直方圖中，(2)分組最多，樣本數(shù)據(jù)的息損失最少，因此根據(jù)此直方圖估計(jì)這組數(shù)據(jù)的百分位數(shù)更好.典型例題4(必修二245頁練習(xí)1)(1)如果B≤A,那么P(AUB)=_,P(AB)=_;(2)如果A,B互斥，那么P(AUB)=,P(AB)=【答案】①.0.5②.0.3③.0.8【解析】【分析】(1)由B≤A可得AUB=A,A∩B=B,進(jìn)而求解即可；【詳解】(1)如果B≤A,那么AUB=A,A∩B=B,所以P(AUB)=P(A)=0.5,P(AB)=P(2)如果A,B互斥，那么A∩B=?,所以P(AUB)=P(A)+P(B)=0.5+0.3=0.8,P(AB)=0故答案為：(1)0.5;0.3;(2)0.8;0典型例題5(必修二253頁習(xí)題10.2綜合運(yùn)用5)如圖，一個(gè)正八面體，八個(gè)面分別標(biāo)以數(shù)字1到8,任意拋擲一次這個(gè)正八面體，觀察它與地面接觸的面上的數(shù)字，得到樣本空間為Ω={1,2,3,4,5,6,7,8}.構(gòu)造適當(dāng)?shù)氖录嗀,B,C,使P(ABC)=P(A)P(B)P(C)成立，但不滿足A,B,C兩兩獨(dú)立.【解答】解：設(shè)A={1,2,3,4},B={1,2,3,5},C={1,6,7,8},所所以P(ABC)=P(A)P(B)P(C),但P(AB)≠P(A)P(B),P(AC)≠P(A)P(C),P(BC)≠P即A與B,A與C,B與C都不相互獨(dú)立，即不滿足A,B,C兩兩獨(dú)立.典型例題6(必修二266頁復(fù)習(xí)參考題10復(fù)習(xí)參考2)如圖是一個(gè)古典概型的樣本空間Ω和事件A和B,其中n(Ω)=24,n(A)=12,n(B)=8,n(AUB)=16,那么:(2)事件A與B互斥嗎?事件A與B相互獨(dú)立嗎?【解答】解：(1)∵n(4UB)=n(A)+n(B)-n(AB),故答案為：4;∴事件A與事件B相互獨(dú)立.典型例題7(必修二267頁復(fù)習(xí)參考題10拓廣探索8)某高校的入學(xué)面試中有3道難度相當(dāng)?shù)念}目，李明答對(duì)每道題目的概率都是0.6.若每位面試者共有三次機(jī)會(huì)，一旦某次答對(duì)抽到的題目，則面試通過，否則就一直抽題到第3次為止.用Y表示答對(duì)題目，用N表示沒有答對(duì)題目，假設(shè)對(duì)抽到的不同題目能否答對(duì)是獨(dú)立的.第一次第二次第三次樣本點(diǎn)N(1)在如圖的樹狀圖中填寫樣本點(diǎn)，并寫出樣本空間；(2)求李明第二次答題通過面試的概率；(3)求李明最終通過面試的概率.【解答】解：(1)根據(jù)題意，可得樹狀圖及樣本點(diǎn)如下圖所示：第一次第二次第三次樣本點(diǎn)樣本空間Ω={Y,NY,NNY,NNN}.(3)∵李明未通過面試的概率為P(NNN)=0.43=0.064,∴李明通過面試的概率為1-P(NNN)=0.936.典型例題8(必修二268頁復(fù)習(xí)參考題10拓廣探索2)有兩個(gè)盒子，其中1號(hào)盒子中