Page18一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化簡(jiǎn)集合，再根據(jù)集合交集的定義求解即可.【詳解】由解得，所以，所以，故選：C2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式然后進(jìn)行判斷.【詳解】的解集是，反之不成立.所以“”是“”的必要不充分條件．故選：B3.已知函數(shù)在區(qū)間上遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令，，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及條件即可求出結(jié)果.【詳解】令，則，因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞增，又函數(shù)在區(qū)間上遞增，所以，得到，故選：B.4.函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性可排除A、C，代入可得，可排除D.【詳解】，又函數(shù)定義域?yàn)椋试摵瘮?shù)為偶函數(shù)，可排除A、C，又，故可排除D.故選：B5.已知是定義在上的函數(shù)，且滿(mǎn)足為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）①函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)②函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)③函數(shù)的周期為4④A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題中抽象函數(shù)滿(mǎn)足的條件，分別求出周期性、對(duì)稱(chēng)軸、對(duì)稱(chēng)中心等性質(zhì)，進(jìn)行運(yùn)算和逐一判斷，從而得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以，，所以函數(shù)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，不能確定是否關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，①錯(cuò)誤；因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，所以，所以，所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，故②正確，由①可知，，由②可知，，故有，令，則有，所以，解得，所以函數(shù)周期為4，故③正確；，故④正確．故選：C．6.已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，，則關(guān)于的不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，由函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，令，，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以不等式，即，即為，即變形為，即得，，解得.所以不等式的解集為.故選：A.7.設(shè)函數(shù)，若，則的最小值為（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】解法一：由題意可知：的定義域?yàn)椋诸?lèi)討論與的大小關(guān)系，結(jié)合符號(hào)分析判斷，即可得，代入可得最值；解法二：根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析的符號(hào)，進(jìn)而可得的符號(hào)，即可得，代入可得最值.【詳解】解法一：由題意可知：的定義域?yàn)椋罱獾?；令解得；若，?dāng)時(shí)，可知，此時(shí)，不合題意；若，當(dāng)時(shí)，可知，此時(shí)，不合題意；若，當(dāng)時(shí)，可知，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，可知，此時(shí)；可知若，符合題意；若，當(dāng)時(shí)，可知，此時(shí)，不合題意；綜上所述：，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為；解法二：由題意可知：的定義域?yàn)?，令解得；令解得；則當(dāng)時(shí)，，故，所以；時(shí)，，故，所以；故，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：分別求、的根，以根和函數(shù)定義域?yàn)榕R界，比較大小分類(lèi)討論，結(jié)合符號(hào)性分析判斷.8.設(shè)，，，則下列大小關(guān)系正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】首先通過(guò)構(gòu)造函數(shù)得到當(dāng)時(shí)，，再通過(guò)構(gòu)造函數(shù)進(jìn)一步得到，，由此即可比較，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)gx=ln1+x-x1+x,x>0即可比較，由此即可得解.【詳解】設(shè)，則h'x所以在上單調(diào)遞增，所以hx=tan令，則，所以在上單調(diào)遞增，從而fx=x-ln1+x>f所以tanx>x>ln1+x從而當(dāng)時(shí)，，令gx=ln所以在0,+∞上單調(diào)遞增，所以g0.21=ln綜上所述：.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在比較的大小關(guān)系時(shí)，可以通過(guò)先放縮再構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)，而在比較大小關(guān)系時(shí)，關(guān)鍵是通過(guò)構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，從而來(lái)比較大小.二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．9.下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)锽.與表示同一個(gè)函數(shù)C.關(guān)于的不等式的解集為，若，則D.若，則的取值范圍為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)定義域的求法判斷A的真假；根據(jù)兩個(gè)函數(shù)額值域判斷B的真假；分情況討論，根據(jù)集合間的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍，判斷C的真假；根據(jù)不等式的性質(zhì)證明不等式，判斷D的真假.【詳解】對(duì)A：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?,1，所以，由，所以函數(shù)的定義域?yàn)?1,1，故A正確；對(duì)B：因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)?，函?shù)的值域?yàn)椋詢(xún)蓚€(gè)函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：當(dāng)時(shí)，或，所以或；當(dāng)時(shí)，無(wú)解，所以?；當(dāng)時(shí)，，所以.又，所以，只有?時(shí)滿(mǎn)足題意，此時(shí)，故C正確；對(duì)D：因?yàn)?，所以，，所以，即，故D正確.故選：ACD10.已知，，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.的最大值是 B.的最小值是8C.最小值是 D.的最小值是【答案】ACD【解析】【分析】用均值不等式判斷選項(xiàng)A、C、，對(duì)選項(xiàng)B進(jìn)行“1的代換”，利用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷選項(xiàng)D.【詳解】A：由，得，所以(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào))，故A正確；B：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故B錯(cuò)誤；C：，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故C正確；D：由，則當(dāng)時(shí)取得最小值，最小值為，故D正確.故選：ACD.11.已知，分別是函數(shù)和的零點(diǎn)，則（）A. B. C.D.【答案】BCD【解析】【分析】利用函數(shù)與方程思想，得到兩根滿(mǎn)足的方程關(guān)系，然后根據(jù)結(jié)構(gòu)構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，研究單調(diào)性，得到及，結(jié)合指對(duì)互化即可判斷選項(xiàng)A、B、C，最后再通過(guò)對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性求解范圍即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】令，得，即，，令，得，即，即，，記函數(shù)，，則，所以函數(shù)上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以，故A錯(cuò)誤；又，所以，，所以，故B正確；所以，故C正確；又，所以，結(jié)合，得，因?yàn)?，所以，且，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即，故D正確；故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，解題方法是把函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的根，通過(guò)結(jié)構(gòu)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性及指對(duì)互化找到根的關(guān)系得出結(jié)論.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)0,1成中心對(duì)稱(chēng)圖形，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】由函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)0,1成中心對(duì)稱(chēng)，所以，求出函數(shù)的解析式，構(gòu)造函數(shù)，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以是定義域上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，然后利用奇偶性與單調(diào)性解不等式即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)0,1成中心對(duì)稱(chēng)，所以，即，所以，所以，在定義域上單調(diào)遞減，令，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)0,1成中心對(duì)稱(chēng)，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以是定義域上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以f-t即g-t2所以，解得或，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.13.已知函數(shù)，點(diǎn)為曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)上的一點(diǎn)，點(diǎn)在曲線(xiàn)上，則的最小值為_(kāi)___________．【答案】【解析】【分析】對(duì)求導(dǎo)后，代入可求得，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可求得切線(xiàn)，則可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與平行且與曲線(xiàn)相切的切點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的求解，設(shè)切點(diǎn)，由切線(xiàn)斜率為可構(gòu)造方程求得切點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式可求得結(jié)果.【詳解】，，解得：，，則，切線(xiàn)的方程為：，即；若最小，則為與平行且與曲線(xiàn)相切的切點(diǎn)，所求最小距離為到直線(xiàn)的距離，設(shè)所求切點(diǎn)，由，可得，所以，即，又單調(diào)遞增，而時(shí)，所以，即，.故答案為：.14.已知函數(shù)，關(guān)于的方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】令，解方程，根據(jù)m的范圍，結(jié)合圖象討論方程和的解的個(gè)數(shù)可得.【詳解】令，則，解，得，當(dāng)時(shí)，，由圖可知，有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，有一個(gè)實(shí)數(shù)解，此時(shí)方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，不滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，，由圖可知，有3個(gè)實(shí)數(shù)解，有一個(gè)實(shí)數(shù)解，滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，，有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，有一個(gè)實(shí)數(shù)解，不滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，，由圖可知，有1個(gè)實(shí)數(shù)解，有1個(gè)或2個(gè)實(shí)數(shù)解，不滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，，由圖可知，有1個(gè)實(shí)數(shù)解，有3個(gè)實(shí)數(shù)解，滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，，由圖可知，有1個(gè)實(shí)數(shù)解，有2個(gè)實(shí)數(shù)解，不滿(mǎn)足題意.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題屬于函數(shù)零點(diǎn)的綜合性問(wèn)題，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的問(wèn)題，常用數(shù)形結(jié)合法.本題先要從整體結(jié)構(gòu)分析，通過(guò)換元法解方程，再將方程的根的個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合分類(lèi)討論可得.四、解答題：本題共4小題，共47分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15.已知函數(shù)的極小值為，其導(dǎo)函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn).（1）求的解析式；（2）若曲線(xiàn)恰有三條過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)，列方程，并判斷極小值點(diǎn)，結(jié)合極小值為列方程，聯(lián)立求解可得；（2）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，求切線(xiàn)方程，根據(jù)題意可得方程有三個(gè)不同實(shí)數(shù)解，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論其單調(diào)性和極值，即可列出關(guān)于m的不等式組，求解可得.【小問(wèn)1詳解】，因?yàn)?，且的圖象經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn).所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.所以在處取得極小值，所以，又因?yàn)?，，所以，，解方程組得，，，所以.【小問(wèn)2詳解】設(shè)切點(diǎn)為，則，因?yàn)?，所以，所以切線(xiàn)方程為，將代入上式，得.因?yàn)榍€(xiàn)恰有三條過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)，所以方程有三個(gè)不同實(shí)數(shù)解.記，則導(dǎo)函數(shù)，令，得或1.列表：01+0-0+↗極大↘極小↗所以的極大值為，的極小值為，所以，解得.故的取值范圍是.16.隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展、醫(yī)療消費(fèi)需求增長(zhǎng)、人們健康觀(guān)念轉(zhuǎn)變以及人口老齡化進(jìn)程加快等影響，醫(yī)療器械市場(chǎng)近年來(lái)一直保持了持續(xù)增長(zhǎng)的趨勢(shì)．某醫(yī)療器械公司為了進(jìn)一步增加市場(chǎng)力，計(jì)劃改進(jìn)技術(shù)生產(chǎn)某產(chǎn)品．已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的年固定成本為300萬(wàn)元，最大產(chǎn)能為100臺(tái)，每生產(chǎn)臺(tái)，需另投入成本萬(wàn)元，且，由市場(chǎng)調(diào)研知，該產(chǎn)品每臺(tái)的售價(jià)為200萬(wàn)元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的該產(chǎn)品當(dāng)年能全部銷(xiāo)售完．（1）寫(xiě)出年利潤(rùn)萬(wàn)元關(guān)于年產(chǎn)量臺(tái)的函數(shù)解析式（利潤(rùn)=銷(xiāo)售收入-成本）；（2）當(dāng)該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？【答案】（1）（2）年產(chǎn)量為60臺(tái)時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是1680萬(wàn)元.【解析】【分析】（1）每臺(tái)售價(jià)200萬(wàn)，銷(xiāo)售收入是，減去對(duì)應(yīng)的成本，以及固定成本300萬(wàn)，即為利潤(rùn)；（2）觀(guān)察利潤(rùn)的函數(shù)解析式，發(fā)現(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為開(kāi)口向下的二次函數(shù)，可利用二次函數(shù)的特點(diǎn)求最大利潤(rùn)值，對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式中含有基本不等式的部分，可考慮利用基本不等式求最值，最后要對(duì)兩個(gè)最值比較，得出最大利潤(rùn).【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，.【小問(wèn)2詳解】若，，當(dāng)時(shí)，萬(wàn)元；若，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，萬(wàn)元．則該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為60臺(tái)時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是1680萬(wàn)元.17.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）已知函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng).證明：當(dāng)時(shí)，不等式恒成立.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，函數(shù)的極大值為，無(wú)極小值（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)確定函數(shù)的遞增遞減區(qū)間，繼而得到極大值；（2）令，求導(dǎo)利用單調(diào)性即得結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】由可得：,故當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極大值為，無(wú)極小值.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，所以則.令，則則當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)單調(diào)遞增，于是，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，不等式恒成立.18.已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）求得，分、兩種情況討論，利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可求得函數(shù)的減區(qū)間和增區(qū)間；（2）由可得，令，可得，令，分析可知，直線(xiàn)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，由可得，由可得，此時(shí)函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，由可得，由可得，此時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】解：函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)楹瘮?shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根，即有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)解，即有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)解，令，則，可得，令，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖可知，函數(shù)的值域?yàn)?，所以，，令，其中，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，