八年級下冊數(shù)學(xué)教案(全冊)第一章一元一次不等式和一元一次不等式組第二章分解因式3運用公式法第三章分式4分式方程第四章相似圖形2黃金分割第五章數(shù)據(jù)的收集與處理第六章證明(一)3為什么他們平行6關(guān)注三角形的外角第2頁共63頁第一章一元一次不等式和一元一次不等式組一、教學(xué)目標(biāo)：理解實數(shù)范圍內(nèi)代數(shù)式的不等關(guān)系，并會進(jìn)行表示。能夠根據(jù)具體的事例列出不等關(guān)系式。如圖：用兩根長度均為Lcm的繩子，各位成正方形和圓。(1)如果要使正方形的面積不大于25cm2,那么繩長L應(yīng)該滿足怎樣的關(guān)系式?(2)如果要使原的面積大于100cm2,那么繩長L應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系式?(3)當(dāng)L=8時，正方形和圓的面積哪個大?L=12呢?(4)由(3)你能發(fā)現(xiàn)什么?改變L的取值再試一試。在上面的問題中，所謂成的正方形的面積可以表示為(L/4)2,遠(yuǎn)的面積可以表示為π(L/2π)2。(1)要是正方形的面積不大于25cm2,就是(2)要使原的面積大于100cm2,就是(3)當(dāng)L=8時，正方形的面積為82/16=6,圓的面積為82/4π≈5.1,此時圓的面積大。當(dāng)L=12時，正方形的面積為122/16=9,圓的面積為此時還是圓的面積大。教師得出結(jié)論(4)由(3)可以發(fā)現(xiàn)，無論繩長L取何值，圓的面積總大于正方形的面積，即L2/4π>L2/16。三、隨堂練習(xí)1、試舉幾個用不等式表示的例子。2、用適當(dāng)?shù)姆柋硎鞠铝嘘P(guān)系(1)a是非負(fù)數(shù)；(2)直角三角形斜邊c比她的兩直角邊a,b都長；(3)x于17的和比它的5倍小。1.2不等式的基本性質(zhì)一、教學(xué)目標(biāo)(1)探索并掌握不等式的基本性質(zhì)；(2)理解不等式與等式性質(zhì)的聯(lián)系與區(qū)別.二、教學(xué)內(nèi)容我們學(xué)習(xí)了等式，并掌握了等式的基本性質(zhì)，大家還記得等式的基本性質(zhì)嗎?等式的基本性質(zhì)1:在等式的兩邊都加上(或減去)同一個數(shù)或整式，所得的結(jié)果仍是等式.基本性質(zhì)2:在等式的兩邊都乘以或除以同一個數(shù)(除數(shù)不為0),所得的結(jié)果仍是等式.第3頁共63頁例∵3<5所以，在不等式的兩邊都加上(或減去)同一個整式，不等號的方向不變.例：3<4由此看來，在不等式的兩邊同乘以一個正數(shù)時，不等號的方向不變；在不等式的兩邊同乘以一個負(fù)數(shù)時，不等號的方向改變.三、課堂練習(xí)解：(1)根據(jù)不等式的基本性質(zhì)1,兩邊都加上1,得x>3(2)根據(jù)不等式的基本性質(zhì)3,兩邊都乘以-1,得解：(1)∵x>y,∴x-6>y-6.5.設(shè)a>b.用“<”或“>”號填空.第4頁共63頁1.3不等式的解集1.能夠根據(jù)具體問題中的大小關(guān)系了解不等式的意義.2.理解不等式的解、不等式的解集、解不等式這些概念的含義3.會在數(shù)軸上表示不等式的解集.二、教學(xué)過程1.現(xiàn)實生活中的不等式.燃放某種禮花彈時，為了確保安全，人在點燃導(dǎo)火線后要在燃放前轉(zhuǎn)移到10m以外的安全區(qū)域.已知導(dǎo)火線的燃燒速度為以0.02m/s,人離開的速度為4m/s,那么導(dǎo)火線的長度應(yīng)為多少厘米?分析：人轉(zhuǎn)移到安全區(qū)域需要的時間最少為秒，導(dǎo)火線燃燒的時間為秒，要使人轉(zhuǎn)移到安全地帶，必須有：解：設(shè)導(dǎo)火線的長度應(yīng)為xcm,根據(jù)題意，得2.想一想(1)x=5,6,8能使不等式x>5成立嗎?(2)你還能找出一些使不等式x>5成立的x的值嗎?答：(1)x=5不能使x>5成立，x=6,8能使不等式x>5成立.(2)x=9,10,11…等比5大的數(shù)都能使不等式x>5成立.根據(jù)不等式的基本性質(zhì)求不等式的解集，并把解集在數(shù)軸上表示出來解：(1)根據(jù)不等式的基本性質(zhì)1,兩邊都加上2,得x≥-2(2)根據(jù)不等式的基本性質(zhì)2,兩邊都除以2,得x≤4(3)根據(jù)不等式的基本性質(zhì)1,兩邊都加上2,得-2x>-8根據(jù)不等式的基本性質(zhì)3,兩邊都除以-2,得x<4(1)不等式x-1>0有無數(shù)個解；(2)不等式2x-3≤0的解集為2.將下列不等式的解集分別表示在數(shù)軸上：(3)x≥-2;(4)x≤6.1.解：(1)∵x-1>0,∴x>1∴x-1>0有無數(shù)個解∴正確.1.知道什么是一元一次不等式?2.會解一元一次不等式.二、一元一次不等式的定義.下列不等式是一元一次不等式嗎?答(1)、(2)、(3)中的不等式是一元一次不等式，(4)不是.(4)為什么不是呢?因為x在分母中，不是整式.不等式的兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1,這樣的不等式，叫做一元一次不等式(linearinequalitywit2.一元一次不等式的解法.例1解不等式3-x<2x+6,并把它的解集表示在數(shù)軸上.[分析]要化成“x>a”或“x<a”的形式，首先要把不等式兩邊的x或常數(shù)項轉(zhuǎn)移到同一側(cè)，變成“ax>b”或“ax<b”的形式，再根據(jù)不等式的基本性質(zhì)求得.解：兩邊都加上x,得合并同類項，得兩邊都加上-6,得合并同類項，得—3<3x兩邊都除以3,得-1<x這個不等式的解集在數(shù)軸上表示如下：下面大家仿照上面的步驟練習(xí)一下解一元一次不等式.第6頁共63頁[例2]解不等式,并把它的解集在數(shù)軸上表示出來.[生]解：去分母，得3(x-2)≥2(7-x)去括號，得3x-6≥14-2x移項，合并同類項，得5x≥20兩邊都除以5,得x≥4.解：(1)兩邊同時除以5,得x>-2.(2)移項，得-3x≤-12,兩邊都除以-3,得x≥4,(3)去分母，得3(x-1)<2(4x-5),去括號，得3x-3<8x-10,移項、合并同類項，得5x>7,兩邊都除以5,得375375(4)去分母，得x+7-2<3x+2,移項、合并同類項，得2x>3,兩邊都除以2,得1.5一元一次不等式與一次函數(shù)一、教學(xué)目標(biāo)二、教學(xué)過程第7頁共63頁沖434321(1)當(dāng)y=0時，2x-5=0,可知y>0.因此時，2x-5>0;(3)同理可知，當(dāng)時，有2x-5<0;(4)要使2x-5>3,也就是y=2x-5中的y大于3,那么過縱坐標(biāo)為3的點作一條直線平行于x軸，這條直解：如圖1-24所示：第8頁共63頁當(dāng)x取小于的值時，有y?>v?.2.作出函數(shù)y?=2x-4與y?=-2x+8的圖象，并觀察圖象回答下列問題：(1)x取何值時，2x-4>0?(2)x取何值時，-2x+8>0?(3)x取何值時，2x-4>0與-2x+8>0同時成立?(4)你能求出函數(shù)yr=2x-4,y?=-2x+8的圖象與x軸所圍成的三角形的面積嗎?并寫出過程.解：圖象如下：分析：要使2x-4>0成立，就是yi=2x-4的圖象在x軸上方的所有點的橫坐標(biāo)的集合，同理使-2x+8>0成立的x,即為函數(shù)y2=-2x+8的圖象在x軸上方的所有點的橫坐標(biāo)的集合，要使它們同時成立，即求這兩個集合中公共的x,根據(jù)函數(shù)圖象與x軸交點的坐標(biāo)可求出三角形的底邊長，由兩函數(shù)的交點坐標(biāo)可求出底邊上的高，從而求出三角形的面積所以AB=4-2=2由得交點C(3,2)所以三角形ABC中AB邊上的高為2.所得的兩個解集的公共部分是什么?解：解不等式5x-1>3(x+1),得x>2第9頁共63頁yi=15%x+(x+15%x)·10%=0.y?=30%x-700=0.3x-700.毫升血液中含藥量y(微克),隨著時間x(小時)的變化如圖所示(成人按規(guī)定服藥后)解：(1)當(dāng)x≤2時，圖象過(0,0),(2,6)點，設(shè)yi=kx,把(2,6)代入得，ki=3當(dāng)x≥2時，圖象過(2,6),(10,3)點.得1.6一元一次不等式組第10頁共63頁設(shè)該校計劃每月燒煤x噸，根據(jù)題意，得未知數(shù)x同時滿足(1)(2)兩個條件，把(1)(2)兩個不等式合在一起，就組成一個一元一次不等式組，記作一般地，關(guān)于同一未知數(shù)的幾個一元一次不等式合在一起，就組成了一個一元依次不等式組。解下列不等式組解：解不等式(1),得x>1解不等式(2),得x>-4.在同一條數(shù)軸上表示不等式(1),(2)的解集如下圖所以，原不等式組的解集是x>1解：解不等式(1),得解不等式(2),得在同一條數(shù)軸上表示不等式(1),(2)的解集.如下圖所以，原不等式組的解集是解：解不等式(1),得在同一條數(shù)軸上表示不等式(1),(2)的解集，如下圖所以，原不等式組的解集解：解不等式(1),得x>4.在同一條數(shù)軸上表示不等式(1),(2)的解集如下圖所以，原不等式組的解集為無解.我們從每個不等式的解集，到這個不等式組的解集，認(rèn)真觀察，互相交流，找出規(guī)律.兩個一元一次不等式所組成的不等式組的解集有以下四種情形.(1)不等式組的解集是x>b;(2)不等式組的解集是x<a;(3)不等式組的解集是a<x<b;第12頁共63頁(4)不等式組的解集是無解.用語言簡單表述為：同大取大；同小取小；大于小數(shù)小于大數(shù)取中間；大于大數(shù)小于小數(shù)無解.三、課堂練習(xí)解下列不等式組[解](1)②解不等式(1),得x<2解不等式(2),得x>3在同一數(shù)軸上表示不等式(1)、(2)的解集，所以，原不等式組無解.解：解不等式(1),得x>2解不等式(2),得x>3在同一數(shù)軸上表示不等式(1),(2)的解集，如下圖所以，原不等式組的解集為x>3.第二章分解因式讓學(xué)生了解多項式公因式的意義，初步會用提公因式法分解因式.二、教學(xué)過程一塊場地由三個矩形組成，這些矩形的長分別,寬都是,求這塊場地的面積.第13頁共63頁1.公因式與提公因式法分解因式的概念[例1]將下列各式分解因式：分析：首先要找出各項的公因式，然后再提取出來解：(1)3x+6=3x+3×2=3(x+2);1.寫出下列多項式各項的公因式.2.把下列各式分解因式1.解：(1)2x2-4x=2x(x-2);(2)8m2n+2mn=2mn(4m+1);=-(24x2y+12xy2-28y3)=-(2x2+12xy2-8xy3)第14頁共63頁2.利用因式分解進(jìn)行計算=12.1×(1.3+0.9-1.2)一、教學(xué)目標(biāo)讓學(xué)生了解多項式公因式的意義，初步會用提公因式法分解因式.例1把a(x-3)+2b(x-3)分解因式.分析：這個多項式整體而言可分為兩大項，即a(x-3)與2b(x-3),每項中都含有(x-3),因此可以把(x-3)作為公因式提出來.[例2]把下列各式分解因式：分析：雖然a(x-y)與b(y-x)看上去沒有公因式，但仔細(xì)觀察可以看出(x-y)與(y-x)是互為相反數(shù)，如果把其中一個提取一個“一”號，則可以出現(xiàn)公因式，如y-x=-(x-y)(m-n)3與(n-m)2也是如此.解：(1)a(x-y)+b(y-x)=6(m-n)2(m-n-2).二、做一做請在下列各式等號右邊的括號前填入“+”或“—”號，使等式成立：解：(1)2-a=-(a-2);(6)-s2+t2=—(s2-t2).三、課堂練習(xí)第15頁共63頁把下列各式分解因式：EQ\*jc3\*hps33\o\al(\s\up18(1),q)補充練習(xí)把下列各式分解因式EQ\*jc3\*hps48\o\al(\s\up18(m),m)EQ\*jc3\*hps48\o\al(\s\up18(m),m)EQ\*jc3\*hps48\o\al(\s\up18(n),n)EQ\*jc3\*hps48\o\al(\s\up18(n),n)EQ\*jc3\*hps55\o\al(\s\up12(p),q)2.3運用公式法(一)1.使學(xué)生了解運用公式法分解因式的意義；2.使學(xué)生掌握用平方差公式分解因式.3.使學(xué)生了解，提公因式法是分解因式的首先考慮的方法，再考慮用平方差公式分解因式.二、教學(xué)過程左邊是一個多項式，右邊是整式的乘積.利用平方差公式進(jìn)行的因式分解.第(1)個等式可以看作是整式乘法中的平方差公式，第(2)個等式可以觀察式子a2-b2,找出它的特點.的積.如x2-16=(x)2-42=(x+4)(x-4).[例1]把下列各式分解因式：解：(1)25-16x2=52-(4x)2[例2]把下列各式分解因式：解：(1)9(m+n)2-(m-n)2=[3(m+n)+(m-n)][3(m再考慮公式法.解：(1)x2+y2=(x+y)(x-y);(×)解：(1)a2b2-m21.解：(1)a2-81=(a+9)(a-9);2.解：(1)(m+n)2-n2=(m+n+n)(m+n-n)=m(m+2n);=[7(a-b)+4(a+b)][7(a-=[(2x+y)+(x+2y)][(2x+=(p2+1)(p+1)(p-1).當(dāng)R=8.45,r=3.45,π=3.14時，第17頁共63頁第18頁共63頁把(a+b+c)(bc+ca+ab)-abc分解因式=(b+c)[a2+bc+ab+ac]運用公式法(二)1.使學(xué)生會用完全平方公式分解因式.2.使學(xué)生學(xué)習(xí)多步驟，多方法的分解因式.在前面我們不僅學(xué)習(xí)了平方差公式而且還學(xué)習(xí)了完全平方公式判斷一個多項式是否為完全平方式，要考慮三個條件，項數(shù)是三項；其中有兩項同號且能寫成兩個數(shù)或式的平方；另一項是這兩數(shù)或式乘積的2倍[例1]把下列完全平方式分解因式：(2)(m+n)2-6(m+n)+9.[師]分析：大家先把多項式化成符合完全平方公式特點的形式，然后再根據(jù)公式分解因式.公式中的a,b可以是單項式，也可以是多項式.解：(1)x2+14x+49=x2+2×7x+72=(x+7)2(2)(m+n)2-6(m+n)+9=(m+n)2-2·(m+n)×3+[例2]把下列各式分解因式：[師]分析：對一個三項式，如果發(fā)現(xiàn)它不能直接用完全平方公式分解時，要仔細(xì)觀察它是否有公因式，若有公因式應(yīng)先提取公因式，再考慮用完全平方公式分解因式.如果三項中有兩項能寫成兩數(shù)或式的平方，但符號不是“+”號時，可以先提取“一”號，然后再用完全平方公式分解因式.解：(1)3ax2+6axy+3ay21.(1)是完全平方式(2)不是完全平方式，因為3ab不符合要求.(3)是完全平方式第19頁共63頁(4)不是完全平方式=x2-2·x·6y+(6y)2五、課后作業(yè)=[(x+y)+3]2=2(2x-2)第20頁共63頁1.在現(xiàn)實情境中進(jìn)一步理解用字母表示數(shù)的意義，發(fā)展符號感2.了解分式產(chǎn)生的背景和分式的概念，了解分式與整式概念的區(qū)別與聯(lián)系.3.掌握分式有意義的條件，認(rèn)識事物間的聯(lián)系與制約關(guān)系.二、教學(xué)過程I.創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課面對日益嚴(yán)重的土地沙化問題，某縣決定分期分批固沙造林，一期工程計劃在一定期限固沙造林2400公頃，實際每月固沙造林的面積比原計劃多30公頃，結(jié)果提前4個月完成任務(wù).原計劃每月固沙造林多少公頃?這一問題中有哪些等量關(guān)系?如果原計劃每月固沙造林x公頃，那么原計劃完成一期工程需要個月，實際完成一期工程用了 個月.根據(jù)題意，可得方程根據(jù)題意，我認(rèn)為這個問題的等量關(guān)系是：實際固沙造林所用的時間+4=原計劃固沙造林所用的時間.(1)這個問題的等量關(guān)系也可以是：原計劃每月固沙造林的公頃數(shù)+30=實際每月固沙造林的公頃數(shù)(2)在這個問題中，涉及到了三個基本量：工作量、工作效率、工作時間.工作量=工作效率×工作時間.如果用第(1)個等量關(guān)系列方程，應(yīng)如何設(shè)出未知數(shù)呢?因為第(1)個等量關(guān)系是工作時間的關(guān)系，因此需用已知條件和未知數(shù)表示出工作時間.題中的工作量是已知的.因此需設(shè)出工作效率即原計劃每月固沙造林x公頃.原計劃完成一期工程需個月，實際完成一期工程需個月，根據(jù)等量關(guān)系(1)可列出方程：用等量關(guān)系(2)設(shè)未知數(shù)，列方程呢?因為等量關(guān)系(2)是工作效率之間的關(guān)系，根據(jù)題意，應(yīng)設(shè)出工作時間.不妨設(shè)原計劃x個月完成一期工程，實際上完成一期工程用了(x-4)個月，那么原計劃每月固沙造林的公頃數(shù)為公頃，實際每月固沙造林公頃，根據(jù)題意可得方程同學(xué)們觀察我們列出的兩個方程，有什么新的發(fā)現(xiàn)?我們設(shè)出未知數(shù)后，用字母表示數(shù)的方法，列出幾個代數(shù)式，表示出我們需要的基本量.如這些代數(shù)式和整式不同.我們雖然列出了方程，但分母中含有字母，要求出它的解，好像很不容易.像這樣的代數(shù)式同整式有很大的不同，而且它是以分?jǐn)?shù)的形式出現(xiàn)的，它們是不同于整式的一個很大的家族，我們把它們叫做分式.(1)下列各式中，哪些是整式?哪些是分式?第21頁共63頁(2)①當(dāng)a=1,2時，分別求分式的值.③當(dāng)a為何值時，分式的值為零?(2)解：①當(dāng)a=1時，②當(dāng)分母的值等于零時，分式?jīng)]有意義，除此以外，分式都有意義.由分母2a=0,得α=0所以，當(dāng)a取零以外的任何實數(shù)時，分式有意義.所以，當(dāng)a=-1時，分母不為零，分子為零，分式為零.三、隨堂練習(xí)1.當(dāng)x取什么值時，下列分式有意義?分析：當(dāng)分母的值為零時，分式?jīng)]有意義，除此以外，分式都有意義解：(1)由分母x-1=0,得x=1.所以，當(dāng)x取除1以外的任何實數(shù)時，分式都有意義(2)由分母x2-9=0,得x=±3.所以，當(dāng)x取除3和-3以外的任何實數(shù)時，分式都有意義(3)由分母x2+1可知，x取任何實數(shù)時，x2是一個非負(fù)數(shù)，所以x2+1不管x取何實數(shù)時，x2+1都不會為零.即x取任何實數(shù)，都有意義.2.把甲、乙兩種飲料按質(zhì)量比x:y混合在一起，可以調(diào)制成一種混合飲料，調(diào)制1kg這種混合飲料需多少甲種飲料?解：根據(jù)題意，調(diào)制1kg這種混合飲料需甲種飲料.2.會進(jìn)行分式的乘除法的運算.探索、交流——觀察下列算式：第22頁共63頁觀察上面運算，可知：兩個分?jǐn)?shù)相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母；兩個分?jǐn)?shù)相除，把除數(shù)的分子和分母顛倒位置后，再與被除數(shù)相乘.這里字母a,b,c,d都是整數(shù)，但a,c,d不為零.兩個分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母；兩個分式相除，把除式的分子和分母顛倒位置后再與被除式相乘.[例1]計算：使運算結(jié)果化為最簡分式.解：(1)[例2]計算：并在運算過程中約分，可以使運算簡化，避免走彎路.解：(1)第23頁共63頁通常購買同一品種的西瓜時，西瓜的質(zhì)量越大，花費的錢越多.因此人們希望西瓜瓤占整個西瓜的比例越大越好.假如我們把西瓜都看成球形，并把西瓜新的密度看成是均勻的，西瓜的皮厚都是d,已知球的體積公式為3(其中R為球的半徑),那么(1)西瓜瓤與整個西瓜的體積各是多少?(2)西瓜瓤與整個西瓜的體積比是多少?(3)買大西瓜合算還是買小西瓜合算?我們不妨設(shè)西瓜的半徑為R,根據(jù)題意，可得：(1)整個西瓜的體積為西瓜瓤的體積為(2)西瓜瓤與整個西瓜的體積比為：(3)我認(rèn)為買大西瓜合算.的值也越大，即西瓜瓤占整個西瓜的體積比也越大，因此，買大西瓜更合算.三、隨堂練習(xí)1.計算：(1)解：1.(1)=(x-2)(x+2)=x2-4.3.3分式的加減法1.同分母的分式的加減法的運算法則及其應(yīng)用.2.簡單的異分母的分式相加減的運算.(1)當(dāng)走第二條路時，她從甲地到乙地需多長時間?(2)她走哪條路花費的時間少?少用多長時間?答案：問題一，根據(jù)題意可得下列線段圖：第25頁共63頁第一條路：第二條路：第二條路：上坡路1km上坡路1km下坡路21m(1)當(dāng)走第二條路時，她從甲地到乙地需要的時間為(2)走第一條路，小麗從甲地到乙地需要的時間為.但要求出小麗走哪條路花費的時間少.就需要比較的大小，少用多少時間，就需要用它們中的較大者減去較小者，便可求出如果要比較的大小，就比較難了，因為它們的分母中都含有字母.比較兩個數(shù)的大小，我們可以用作差法.例如有兩個數(shù)a,b如果a-b=0,則a=b;如果a-b<0,則a<b.顯然和中含有字母，但它們也是用來表示數(shù)的，所以我認(rèn)為可以用實數(shù)比較大小的方法來做.如果用作差的方法，例如,如何判斷它大于零，等于零，小于零呢?做一做同分母的分?jǐn)?shù)的加減是分母不變，把分子相加減，例如我認(rèn)為分母相同的分式相加減與同分母的分?jǐn)?shù)相加減一樣，應(yīng)該是分母不變，把分子相加減.解：(1)解：(2)解：(3)異分母的分?jǐn)?shù)加減時，可利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)通分，把異分母的分?jǐn)?shù)加減法化成同分母的分?jǐn)?shù)加減法第26頁共63頁[例1]計算：[例1]中的第(1)題，一個分母是a,另一個分母是5a,利用分式的基本性質(zhì)，只需將第一個分式化成即可.解：(1)解：(1)1.了解分式方程的一般步驟.2.了解解分式方程驗根的必要性.二、教學(xué)過程解方程(1)去分母，方程兩邊同乘以分母的最小公倍數(shù)6,得3(3x-1)+2(5x+2)=6×2-(4x-2).(2)去括號，得9x-3+10x+4=12-4x+2,(3)移項，得9x+10x+4x=12+2+3-4,(4)合并同類項，得23x=13,(5)使x的系數(shù)化為1,兩邊同除以23,解：方程兩邊同乘以2x,得第27頁共63頁解這個方程，得x=15檢驗：將x=15代入原方程，得左邊=4,右邊=4,左邊=右邊，所以x=15是原方程的根.例2解方程：[分析]先總結(jié)解分式方程的幾個步驟，然后解題.解：(1)去分母，方程兩邊同乘以x(x-1),得解這個方程，得x=4檢驗：把x=4代入x(x-1)=4×3=12≠0,所以原方程的根為x=4.去分母，方程兩邊同乘以(2x-1),得解這個方程，得檢驗：把代入原方程分母所以原方程的根為第四章相似圖形1.知道線段比的概念.2.會計算兩條線段的比.3.熟記比例的基本性質(zhì)，并能進(jìn)行證明和運用.1.兩條線段的比的概念兩條線段的比就是兩條線段長度的比.比如：線段a的長度為3厘米，線段b的長度為6米，所以兩線段a,b的比為3:6=1:2,對嗎?不對，因為a、b的長度單位不一致，所以不對.注意：在量線段時要選用同一個長度單位.在某市城區(qū)地圖(比例尺1:9000)上，新安大街的圖上長度與光華大街的圖上長度分別是16cm、10cm(1)新安大街與光華大街的實際長度各是多少米?(2)新安大街與光華大街的圖上長度之比是多少?它們的實際長度之比呢?解：(1)根據(jù)題意，得因此，新安大街的實際長度是(2)新安大街與光華大街的圖上長度之比是16:10=8:5際長度之比是144000:90000=8:5由例2的結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)：三、隨堂練習(xí)少?矩形運動場的圖上長度：矩形運動場的實際長度=1:8000所以，矩形運動場的實際尺寸是長為160m,寬為80m.為了參加北京市申辦2008年奧運會的活動，如果有兩邊長分別為1,a(其中a>1)的一塊矩形綢布，要將它剪裁出三面矩形彩旗(面料沒有剩余),使每條彩旗的長和寬之比與原綢布的長和寬之比相同，畫出兩種不同裁剪方法的示意圖，并寫出相應(yīng)的a的值.解：方案(1):a1方案(2):a11212方案(3):E得11y-1212EQ\*jc3\*hps15\o\al(\s\up14(1),云)萬方案(4):一、教學(xué)目標(biāo)明白黃金分割二、教學(xué)過程如圖：點C把線段AB分成兩條線段AC和AB,如果那么稱線段AB被點C黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫做黃金比。4.3形狀相同的圖形一、教學(xué)目標(biāo)在諸多圖形中能找出形狀相同的圖形，并能畫形狀相同的圖形.二、教學(xué)過程在實際生活和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們常常會看到許多形狀相同的圖形，請從下圖中找出形狀相同的圖形第30頁共63頁(1)與(3);(2)與(13);(4)與(11);(5)與(10);(6)、(7)、(8)、(9)分別是形狀相同的圖形1.解：(1)在直角坐標(biāo)系中描出點O(0,0),A(1,2),B(2,4),C(3,2),D(4,0),先用線段順次連接點O,A,B,C,D,然后用線段連接A,C兩點，得到了字母A的圖形(2)填表1如下：分別連接OiA1,AiB?,BiCl,CIDi,AiC?得下圖.填寫表2如下：連接如下圖第31頁共63頁所得圖形還是字母A.填寫表3如下：表3連接如下圖得到的圖形還是字母A.(3)在上述所得圖形中，第1個圖形和第4個圖形形狀相同.經(jīng)歷探究圖形的形狀、大小，圖形的邊、角之間的關(guān)系，掌握相似多邊形的定義以及相似比，并能根據(jù)定義判斷兩個多邊形是否是相似多邊形.1.探究相似多邊形的定義下圖中的兩個多邊形分別是幻燈片上的多邊形ABCDEF和銀幕上的多邊形A?BGD?EF,它們的形狀相同嗎?(1)在上圖的兩個多邊形中，是否有相等的內(nèi)角?設(shè)法驗證你的猜測.(2)在上圖的兩個多邊形中，相等內(nèi)角的兩邊是否成比例?2.觀察下面兩組圖形，(1)中的兩個圖形相似嗎?為什么?(2)中的兩個圖形呢?與同伴交流.第32頁共63頁2.如果兩個多邊形不相似，那么它們的各角可能對應(yīng)相等嗎?它們的各邊可能對應(yīng)成比例嗎?(1)中的兩個圖形不相似.因為相似形需要滿足兩個條件，一個是對應(yīng)角相等，一個是對應(yīng)邊成比例.雖然(1)中的兩個圖形對應(yīng)邊成比例，但對應(yīng)角不相等，所以兩個圖形不相似.(2)中的兩個圖形也不相似.因為它們的對應(yīng)邊不成比例，所以兩個圖形不相似.3.如果兩個多邊形不相似，那么它們的對應(yīng)角也可能都相等，如(2)中的兩個圖形；如果兩個多邊形不相似，那么它們的對應(yīng)邊也可能成比例，如(1)中的兩個圖形對應(yīng)邊成比例，但對應(yīng)角不相等.三、活動與探究紙張的大小(2)在這些矩形中，有成比例的線段嗎?(3)你認(rèn)為這些大小不同的矩形相似嗎?設(shè)紙的寬為a,長為√2a,則第33頁共63頁所以這五個矩形的長與寬的比不改變.(2)在這些矩形中有成比例的線段.(3)這些大小不同的矩形都相似.1.掌握相似三角形的定義、表示法，并能根據(jù)定義判斷兩個三角形是否相似2.能根據(jù)相似比進(jìn)行計算.二、教學(xué)過程1.相似三角形的定義及記法如果△ABC∽△DEF,那么哪些角是對應(yīng)角?哪些邊是對應(yīng)邊?對應(yīng)角有什么關(guān)系?對應(yīng)邊呢?由前面相似多邊形的性質(zhì)可知，對應(yīng)角應(yīng)相等，對應(yīng)邊應(yīng)成比例.2.(1)兩個全等三角形一定相似嗎?為什么?(2)兩個直角三角形一定相似嗎?兩個等腰直角三角形呢?為什么?(3)兩個等腰三角形一定相似嗎?兩個等邊三角形呢?為什么?解：(1)兩個全等三角形一定相似因為兩個全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，由對應(yīng)邊相等可知對應(yīng)邊一定成比例，且相似比為1,因此滿足相似三角形的兩個條件，所以兩個全等三角形一定相似.(2)兩個直角三角形不一定相似.因為雖然都是直角三角形，但也只能確定有一對角即直角相等，其他的兩對角可能相等，也可能不相等，對應(yīng)邊也不一定成比例，所以它們不一定相似.兩個等腰直角三角形一定相似.因為兩個等腰直角三角形Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°,則∠A=∠B=∠D=∠E=45°,所以有∠AC=BC=b,AB=√2bDF=EF=a,DE=√2a所以兩個等腰直角三角形一定相似(3)兩個等腰三角形不一定相似.因為等腰只能說明一個三角形中有兩邊相等，但另兩底邊的比不一定等于對應(yīng)腰的比，因此不用再去討論對應(yīng)角滿足什么條件，就可以確定這兩個等腰三角形不一定相似.兩個等邊三角形一定相似.因為等邊三角形的各邊都相等，各角都等于60度，因此這兩個等邊三角形一定有對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例，所以它們一定相似.[師]由上可知，在特殊的三角形中，有的相似，有的不相似.兩個全等三角形一定相似.兩個等腰直角三角形一定相似.兩個等邊三角形一定相似.兩個直角三角形和兩個等腰三角形不一定相似第34頁共63頁1.如圖，有一塊呈三角形形狀的草坪，其中一邊的長是20m,在這個草坪的圖紙上，這條邊長5cm,其他兩邊的長都是3.5cm,求該草坪其他兩邊的實際長度解：草坪的形狀與其圖紙上相應(yīng)的形狀相似，它們的相似比是2000:5=400:1如果設(shè)其他兩邊的實際長度都是xcm,則所以，草坪其他兩邊的實際長度都是14m.解：(1)因為△ABC∽△ADE.所以由相似三角形對應(yīng)角相等，得即40°+∠ADE+45°=180°,所以∠ADE=180°-40°-45°=95°.(2)因為△ABC∽△ADE,所以由相似三角形對應(yīng)邊成比例，得即所以4.6探索三角形相似的條件一、教學(xué)目標(biāo)1.掌握三角形相似的判定方法1.2.會用相似三角形的判定方法1來證明及計算.二、教學(xué)過程1.做一做.(1)畫一個△ABC,使得∠BAC=60°,與同伴交流，你們所畫的三角形相似嗎?(2)與同伴合作，一人畫△ABC,另一人畫△A'B'C',使得∠A和∠A′都等于給定的∠a,∠B和∠B'都等于給定的∠β,比較你們畫的兩個三角形，∠C與∠C′相等嗎?對應(yīng)邊的比相等嗎?這樣的兩個三角形相似嗎?即(1)在△ADC與△BEC中(2)在△ADC與△AEF中(3)在△BEC與△BDF中(4)在△BDF和△AEF中(5)由△BEC∽△ADC得(6)由△BECo△ADC,得一、教學(xué)目標(biāo)1.通過測量旗桿的高度的活動，鞏固相似三角形有關(guān)知識，積累數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗.2.熟悉測量工具的使用技能，了解小鏡子使用的物理原理.二、教學(xué)過程1.新課講解好，外邊陽光明媚，天公做美，助我們順利完成我們今天的活動課目——測量旗桿的高度.首先我們應(yīng)該清楚測量原理.請同學(xué)們根據(jù)預(yù)習(xí)與討論情況分組說明三種測量方法的數(shù)學(xué)原理.從圖中我們可以看出人與陽光下的影子和旗桿與陽光下的影子構(gòu)成了兩個相似三角形，即△EADO△ABC,因為直立于旗桿影子頂端處的同學(xué)的身高和他的影長以及旗桿的影長均可測量得出，根據(jù)可得BC=,代入測量數(shù)據(jù)即可求出旗桿BC的高度.利用標(biāo)桿.當(dāng)旗桿頂部、標(biāo)桿的頂端與眼睛恰好在一條直線上時，因為人所在直線AD與標(biāo)桿、旗桿都平行，過眼睛所在點D作旗桿BC的垂線交旗桿BC于G,交標(biāo)桿EF于H,于是得△DHF∽△DGC.因為可以量得AE、AB,觀測者身高AD、標(biāo)桿長EF,且DH=AE,DG=AB∴旗桿高度BC=GC+GB=GC+AD.方法3利用鏡子的反射.通過下表對照說明測量數(shù)據(jù)的誤差情況，以及測量方法的優(yōu)劣性.方法一方法二方法三對照上表，結(jié)合各組實際操作中遇到的問題，我們綜合大家討論情況做出如下結(jié)論：1.測量中允許有正常的誤差.我校旗桿高度為20m,同學(xué)們本次測量獲得成功.2.方法一與方法三誤差范圍較小，方法二誤差范圍較大，因為肉眼觀測帶有技術(shù)性，不如直接測量、儀器操作得到數(shù)據(jù)準(zhǔn)確.3.大家一致認(rèn)為方法一簡單易行，是個好辦法.第38頁共63頁4.方法三用到了物理知識，可以考查我們綜合運用知識解決問題的能力.5.同學(xué)們提出“通過測量角度能否求得旗桿的高度呢”.有大膽的設(shè)想，老師很佩服，在大家學(xué)習(xí)了三角函數(shù)后相信會有更多的測量方法呢!三、課堂練習(xí)高4m的旗桿在水平地面上的影子長6m,此時測得附近一個建筑物的影子長24m,求該建筑物的高度.建筑物圖4-37分析：畫出上述示意圖，即可發(fā)現(xiàn)：所以即該建筑物的高度是16m.4.8相似多邊形的性質(zhì)1相似三角形對應(yīng)高的比，對應(yīng)角平分線的比和對應(yīng)中線的比與相似比的關(guān)系.2.相似多邊形的周長比，面積比與相似比的關(guān)系.3.相似多邊形的周長比，面積比在實際中的應(yīng)用.1.鉗工小王準(zhǔn)備按照比例尺為3:4的圖紙制作三角形零件，如圖4-38,圖紙上的△ABC表示該零件的橫斷面△A'B'C',CD和C'D'分別是它們的高.(1)各等于多少?(2)△ABC與△A'B'C′相似嗎?如果相似，請說明理由，并指出它們的相似比.(3)請你在圖4-38中再找出一對相似三角形.(4)等于多少?你是怎么做的?與同伴交流.解：(1)∴△ABCn△A'B'C′,且相似比為3:4.2.已知△ABC∽△A'B'C′,△ABC與△A'B'C′的相似比為k.(1)如果CD和C'D'是它們的對應(yīng)高，那么等于多少?(2)如果CD和C'D′是它們的對應(yīng)角平分線，那么等于多少?如果CD和C'D'是它們的對應(yīng)中線呢?從剛才的做一做中可知，若△ABC∽△A'B'C′,CD、C'∵CD、C'D'分別是∠ACB、∠A'C′B'的角平分線.如下圖中，CD、C'D'分別是它們的對應(yīng)中線，則∵CD、C'D'分別是中線第40頁共63頁由此可知相似三角形還有以下性質(zhì).相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)角平分線的比和對應(yīng)中線的比都等于相似比.如上圖所示，在等腰三角形ABC中，底邊BC=60cm,高AD=40cm,四邊形PQRS是正方形.(1)△ASR與△ABC相似嗎?為什么?(2)求正方形PQRS的邊長.解：(1)△ASR∽△ABC,理由是：四邊形PQRS是正方形SR//BC(2)由(1)可知△ASR∽△ABC.根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比，可得設(shè)正方形PQRS的邊長為xcm,則AE=(40-x)cm,所以三、課堂練習(xí)如果兩個相似三角形對應(yīng)高的比為4:5,那么這兩個相似三角形的相似比是多少?對應(yīng)中線的比，對應(yīng)角平分線的比呢?如下圖，CD是Rt△ABC的斜邊AB上的高(1)則圖中有幾對相似三角形.第41頁共63頁解：(1)∵CD⊥AB同理可知，△CDB∽O△ACB所以圖中有三對相似三角形.2.能利用圖形的位似將一個圖形放大或縮小.請同學(xué)們觀察下圖，要作出一個新圖形，使新圖形與原圖形對應(yīng)線段的比為2:1,看一看有幾種方法?橡皮筋法，方格紙放大法，電腦放大在圖形外取一點作射線找比例線段也可以作出主要是找比例線段得到的是相似圖形，對應(yīng)頂點連線都過一定點，它符合位似圖形，得到的一對圖形是位似我們今天就利用位似將上面圖形放大到要求比例第42頁共63頁圖(一):在原圖上取幾個關(guān)鍵點A、B、C、D、E、F、G,作射線AP,BP,CP,DP,EP,FP,GP,在這些射線上依次取點A',B',C',D′,E′,F′,G',使PA'=2AP,PB′=2BP,PC'=2CP,PD'=2DP,PE′=2EP,PF′=2FP,PG'=2GP;順次連接點A',B′,C',D',E′,F',G',A',所得到的圖形就是符合要求的圖形.圖(二):在原圖上取關(guān)鍵點A、B、C、D、E、F、G,作射線PA,PB,PC,PD,PE,PF,PG,在這些射線上依次取點A'B',C',D',E′,F',G',使PA=AA',PB=BB',PC=CC',PD=DD',符合條件的圖形.利用位似將圖形放大或縮小的作圖步驟.第一步：在原圖上選取關(guān)鍵點若干個，并在原圖外任取一點P.第二步：以點P為端點向各關(guān)鍵點作射線.第三步：分別在射線上取關(guān)鍵點的對應(yīng)點，滿足放縮比例.第四步：順次連接截取點.即可得到符合要求的新圖形.簡記方法：1.選點2.作射線3.定對應(yīng)點三、課堂練習(xí)下列說法正確嗎?為什么?1.分別在△ABC的邊AB、AC上取點D、E,使DE//BC,那么△ADE是△ABC縮小后的圖形.答案：正確所以說△ADE是△ABC縮小后的圖形如圖所示.2.分別在△ABC的邊AB、AC的延長線上取點D、E,使DE//BC,那么△ADE是△ABC放大后的圖形答案：正確.第43頁共63頁由已知得AD>AB,AE>AC所以說△ADE是△ABC放大后的圖形.如圖所示.3.分別在△ABC的邊AB、AC的反向延長線上取點D、E,使DE//BC,那么△ADE是△ABC放大后的圖形答案：不正確.也可能是縮小后的圖形.三角形的頂點坐標(biāo)分別是A(2,2)B(4,2),C(6,4),比為1:2.解：將A(2,2),B(4,2),C(6,4)三點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都縮小為原來的得D(1,1),E(2,1),F(3,2)第五章數(shù)據(jù)的收集與處理5.1每周干家務(wù)活的時間1、經(jīng)歷調(diào)查、收集數(shù)據(jù)的過程，感受抽樣的必要性。2、了解普查、抽樣調(diào)查、總體、個體、樣本等概念，了解普查和抽樣調(diào)查的應(yīng)用，并選擇合適的調(diào)查方法，解決有關(guān)現(xiàn)實問題。3、進(jìn)一步發(fā)展統(tǒng)計意識，培養(yǎng)學(xué)生熱愛勞動、勇于實踐的優(yōu)良品質(zhì)。1、活動與探究同學(xué)們，你們每天在家都幫父母做家務(wù)活嗎?主要做些什么呢?每周大約多長時間呢?你們每周干家務(wù)活時間的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)是什么?2、介紹新知識(1)普查：為了一定的目的而對考察對象進(jìn)行的全面調(diào)查。(2)總體：所考察對象的全體。(如上述問題中的總體為“全班同學(xué)每周干家務(wù)活的平均時間的全體”,注意這里“考查對象”不是學(xué)生而是學(xué)生干家務(wù)活的時間。)(3)個體：組成總體的每一個考察對象。(如上述問題中的個體為“全班每一個同學(xué)每周干家務(wù)活的平均時間”)3、想一想為了準(zhǔn)確了解全國人口狀況，我國每10年進(jìn)行一次全國性人口普查，在這一事例中，你能說出總體、個體分別是什么嗎?二、教學(xué)過程小明：在公園里調(diào)查了1000名老年人，他們一年中生病的次數(shù)如下表：1～Z次3~6次人數(shù)頻數(shù)分布直方圖07次以上生病次數(shù)H46-3~6次1~2次小穎：在醫(yī)院調(diào)查了1000名老年病人，他們一年中生病的次數(shù)如下表所示：(表一)生病次數(shù)L~2次3~6次7次嘆上人數(shù)比較一下小明與小穎所得數(shù)據(jù)的差別，是什么原因造成的?小華：調(diào)查了10名老年鄰居，他們一年中生病的次數(shù)如下表所示：5人1人小明調(diào)查的對象選自公園里的老年人.常去公園里活動的老年人，平時一定注意身體的保健，一定注意修身、養(yǎng)性、加強體育鍛煉，所以身體較健康.另一方面，公園建在城市里，相對于農(nóng)村中的老年人去公園的較少這1000人中不同文化程度，不同職業(yè)，城市和鄉(xiāng)村等等不同層次的老人是否都有所選取.選取人數(shù)的比例是否合理，是否具有代表性與廣泛性都是我們在收集數(shù)據(jù)中應(yīng)該考慮的所以，我認(rèn)為小明收集的數(shù)據(jù)缺乏代表性和廣泛性小穎收集的數(shù)據(jù)來自醫(yī)院看病的1000名老年人.這部分人相對體質(zhì)較弱我認(rèn)為用這些數(shù)據(jù)得到的調(diào)查結(jié)果不準(zhǔn)確.因為收集的數(shù)據(jù)缺乏代表性和廣泛性.小華僅僅調(diào)查了10位老年人.因為樣本太小了，所以不能據(jù)此推斷某地區(qū)老年人的健康狀況.抽樣調(diào)查應(yīng)注意什么?抽樣時要注意樣本的代表性和廣泛性.在現(xiàn)實生活中，當(dāng)我們所要考察的總體中包含的個體數(shù)很多，有時總體中個數(shù)較多且總體有明顯差異的幾個部分組成時，我們應(yīng)注意抽出的樣本就必須有較強的代表性.每個部分都應(yīng)抽取到，而且應(yīng)注意各部分的比例.廣泛性是指總體中的每個個體均有被選的可能.一、教學(xué)目標(biāo)1.掌握頻數(shù)、頻率的概念.2.會求一組數(shù)據(jù)的頻數(shù)與頻率.二、教學(xué)過程1.例題講解下面是小亮調(diào)查的八(1)班50位同學(xué)喜歡的足球明星，結(jié)果如下：根據(jù)上面結(jié)果，你能很快說出該班同學(xué)最喜歡的足球明星嗎?他的數(shù)據(jù)表示方式是什么?你能設(shè)計出一個比較好的表示方式嗎?學(xué)生數(shù)AB正正8第45頁共63頁第46頁共63頁C正正正13D正正6此種表示方式的優(yōu)點是簡單明了，一眼可以看出哪個最多、哪個最少.我們小組采用如下方式表示數(shù)據(jù).學(xué)生人數(shù)(三)此種表示方式的優(yōu)點是直觀，一目了然不僅可以很快判斷出哪個最多，哪個最少，還可比較出差別是否懸殊很大.從上表可以看出，A、B、C、D出現(xiàn)的次數(shù)有的多，有的少，或者說它們出現(xiàn)的頻繁程度不同.我們稱每個對象出現(xiàn)的次數(shù)為頻數(shù)(absolute,frequency).而每個對象出現(xiàn)的次數(shù)與總次數(shù)的比值為頻率(relativefrequency).分別計算A、B、C、D的頻數(shù)與頻率.A的頻數(shù)為23,A的頻率B的頻數(shù)為8,B的頻率為C的頻數(shù)為13,C的頻率D的頻數(shù)為6,D的頻率為三、課堂練習(xí)1.設(shè)計一個方案，了解你們班同學(xué)最喜歡的科目是哪科，為什么喜歡?分析：先列表，再統(tǒng)計，調(diào)查探討喜歡的原因.調(diào)查不愛學(xué)的那門科目的原因(課后完成)列表如下科目語文數(shù)學(xué)英語歷史地理政治物理美體學(xué)生數(shù)頻數(shù)頻率你還能用什么方式表示上表所收集數(shù)據(jù)的內(nèi)容可以用上例中的圖(三)表示的形式，這種圖叫頻數(shù)分布直方圖，可不可以用頻率分布來表示，如何表示。閱讀(利用頻率繪制的圖)小明、小亮從同一本書中分別隨機(jī)抽取了6頁，在統(tǒng)計了1頁、2頁、3頁、4頁、5頁、6頁的“的”和“了”出現(xiàn)的次數(shù)后，分別求出了它們出現(xiàn)的頻率，并繪制了下圖第47頁共63頁0隨著統(tǒng)計頁數(shù)的增加，頻率在0.05至0.06之間變化的字是“的”字.“了”字的頻率在0.005至0.015之間變化。的使用的頻率比了字高(1)為了了解中學(xué)生的身體發(fā)育情況，對某中學(xué)同年齡的60名女學(xué)生的身高進(jìn)行了測量.結(jié)果如下.(單位：厘米)頻率分布表煩教累計炳泉正1正3正正6正正&正正正正正正正L63.5~166.S正正D.16T正3合計落在各個小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個數(shù)叫做頻數(shù).小結(jié)：整理數(shù)據(jù)時，可以按照下面的步驟進(jìn)行.(1)計算最大值與最小值的差.(2)決定組距與組數(shù)(3)決定分點(4)列頻率分布表.頻數(shù)與頻率(二)1.如何收集與處理數(shù)據(jù).2.會繪制頻數(shù)分布直方圖與頻數(shù)分布折線圖.3.了解頻數(shù)分布的意義，會得出一組數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布.1.如何收集與處理數(shù)據(jù).(1)首先通過確定調(diào)查目的，確定調(diào)查對象.第48頁共63頁(2)收集有關(guān)數(shù)據(jù).(3)選擇合理的數(shù)據(jù)表示方式統(tǒng)計數(shù)據(jù).與改進(jìn)方案.雪糕數(shù)量頻數(shù)ABCDE合計根據(jù)上表繪制一張頻數(shù)分布直方圖(如下)出的少，可以少進(jìn)些。A占總數(shù)的25%,B占總數(shù)的35%,C占總數(shù)的13%,D占總數(shù)的8%,E占總數(shù)的19%糕總數(shù)應(yīng)考慮當(dāng)天氣溫變化.不能每天都進(jìn)518支雪糕。[例]學(xué)校要為同學(xué)們訂制校服，為此小明調(diào)查了他們班50名同學(xué)的身高，結(jié)果(單位cm).如下：h填寫下表，并將上述數(shù)據(jù)用適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計圖表示出來h學(xué)主數(shù)學(xué)生數(shù)學(xué)生數(shù)5.4數(shù)據(jù)的波動第49頁共63頁1.經(jīng)歷通過數(shù)據(jù)離散程度表示數(shù)據(jù)波動的探索過程.2.了解刻畫數(shù)據(jù)離散程度的三個量度——極差、標(biāo)準(zhǔn)差和方差，能借助計算器求出相應(yīng)的數(shù)值，并在具體問題情境中加以應(yīng)用.3.通過實例體會用樣本估計總體的思想.1.極差實際生活中，除了關(guān)心數(shù)據(jù)的“平均水平”外，人們往往還關(guān)注數(shù)據(jù)的離散程度，即它們相對于“平均水平”的偏離情況.極差就是刻畫數(shù)據(jù)離散程度的一個統(tǒng)計量.極差是指一組數(shù)據(jù)中最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)的差.2.方差與標(biāo)準(zhǔn)差方差是各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)之差的平方的平均數(shù)，即標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根.一般而言，一組數(shù)據(jù)的極差，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，這組數(shù)據(jù)就越穩(wěn)定.方差是各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)之差的平方分別計算這兩組數(shù)據(jù)的方差與極差.由方差與極差可以看出甲組數(shù)據(jù)比乙組數(shù)據(jù)波動小.甲、乙兩班舉行電腦漢字輸入速度比賽，參加學(xué)生每分鐘輸入漢字的個數(shù)經(jīng)統(tǒng)計計算班級參加人數(shù)中位數(shù)方差平均字?jǐn)?shù)甲班乙班第50頁共63頁(1)根據(jù)上表分析甲、乙兩班學(xué)生成績的平均水平；(2)根據(jù)上表分析甲、乙兩班優(yōu)秀的人數(shù)并進(jìn)行比較(每分鐘輸入漢字?jǐn)?shù)≥150個為優(yōu)秀);(3)根據(jù)上表分析甲、乙兩班的成績哪個更穩(wěn)定?誰的波動大?解：(1)平均水平相同.(2)甲班優(yōu)秀的人數(shù)少于一半，而乙班的優(yōu)秀人數(shù)多于一半.(3)乙班更穩(wěn)定，甲班的波動大.遷移運用本節(jié)內(nèi)容解決下面問題：甲、乙兩位同學(xué)本學(xué)年每個單元的測驗成績?nèi)缦?單位：分):甲：98,100,100,90,96,91,89,99,100,100,93乙：98,99,96,94,95,92,92,98,96,99,97(1)他們的平均成績分別是多少?(2)甲、乙的11次單元測驗成績的標(biāo)準(zhǔn)差分別是多少?∴s甲=4.221(3)這兩位同學(xué)的成績各有什么特點?解：乙較甲穩(wěn)定，甲雖然狀態(tài)不穩(wěn)定，但發(fā)揮好時成績比乙優(yōu)秀.(4)現(xiàn)要從中選出一人參加“希望杯”競賽，歷屆比賽成績表明，平時成績達(dá)到98分以上才可能進(jìn)入決賽，你認(rèn)為應(yīng)選誰參加這項競賽，為什么?解：選甲去，甲比乙更有可能達(dá)到98分.發(fā)散本節(jié)課用到了平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)等概念，你還記得嗎?2.中位數(shù)：把一組數(shù)據(jù)從小到大排列、中間位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間的兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).3.眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).第六章證明(一)1.通過觀察、猜測得到的結(jié)論不一定正確.2.讓學(xué)生初步了解，要判定一個數(shù)學(xué)結(jié)論正確與否，需要進(jìn)行有根有據(jù)的推理.1.在現(xiàn)實生活中，我們常采用觀察的方法來了解世界.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們通過觀察、度量、猜測來得到一些結(jié)論.那這樣得到的結(jié)論都是正確的嗎?如果不是，那么用什么方法才能說明它的正確性呢?下面我們來動手畫一畫，然后歸納、總結(jié)。第51頁共63頁如上圖，四邊形ABCD四邊的中點分別為E、F、G、H度量四邊形EFGH的邊和角，你會發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論?畫出四邊形ABCD,找到四邊形的中點E、F、G、H后，量了量四邊形EFGH的邊發(fā)現(xiàn)：EF=GH,EH=GF.由此說明：四邊形EFGH是平行四邊形.如果改變四邊形ABCD的形狀，你還能得到類似的結(jié)論嗎?改變了四邊形ABCD的形狀后，它們四邊的中點所圍成的四邊形EFGH仍然是對邊相等、對角也相等.即：四邊形EFGH是平行四邊形.在八年級上冊我們已經(jīng)知道：連接三角形的兩邊中點的線段是三角形的中位線.由于E、F、G、H是四邊形ABCD各邊的中點，所以可把這個四邊形變?yōu)閮蓚€三角形即：可以連接AC,也可以連接BD.把四邊形ABCD變現(xiàn)在我們來連接AC。如上圖EF平行于AC且等于AC的一半同樣，在△ADC中，GH是△ADC的中位線，則GH平行于AC且等于AC的一半.由“兩直線都與第三條直線平行，則這兩條直線互相平行”可知：EF//GH.又因為：所以得EF=GH.這樣由平行四邊形的判定：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可以得到：四邊形EFGH是平行四邊形即：連接AC剛才我們連接了四邊形的對角線后，通過推理得證了：連接任意四邊形四邊的中點所組成的圖形是平行四邊注：本題連接BD與連接AC的推理過程一樣.通過觀察、猜測、度量得到的結(jié)論是否正確，需要用推理過程得證.2.當(dāng)n=0、1、2、3、4、5時，代數(shù)式n2-n+11的值是質(zhì)數(shù)嗎?你能否得到結(jié)論：對于所有自然數(shù)n,n2-n+11的值都是質(zhì)數(shù)?由此可知：當(dāng)n=0、1、2、3、4、5時，代數(shù)式n2-n+11的值都是質(zhì)數(shù).第52頁共63頁這樣我們就可以得到結(jié)論：對于所有自然數(shù)n,n2-n+11的值都是質(zhì)數(shù).定義與命題(一)“兩點之間線段的長度，叫做這兩點之間的距離”是“兩點之間的距離”的定義“在一個方程中，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的指數(shù)是1,這樣的方程叫做一元一次方程”是“一元一次方程”的定義“兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形”是“平行四邊形”的定義.“角是由兩條具有公共端點的射線組成的圖形”是“角”的定義.定義就是對名稱和術(shù)語的含義加以描述，作出明確的規(guī)定.如圖，某地區(qū)境內(nèi)有一條大河，大河的水流入許多小河中，圖中A、B、C、D、E、F、G、H、I、天K處均有一個化工廠，如果它們向河中排放污水，下游河流便會受到污染.圖6-6如果B處工廠排放污水，那么處便會受到污染；如果C處受到污染，那么處便受到污染；如果E處受到污染，那么處便受到污染；如果環(huán)保人員在h處測得水質(zhì)受到污染，那么你認(rèn)為哪個工廠排放了污水?你是怎么想的?如果B處工廠排放污水，那么a、b、c、d處便會受到污染。如果B處工廠排放污水，那么e、fg處也會受到污染的。如果C處受到污染，那么a、b、c處便受到污染。如果C處受到污染，那么d處也會受到污染的。如果E處受到污染，那么a、b處便會受到污染。如果h處受到污染，我認(rèn)為是A處的那個工廠或B處的那個工廠排放了污水.因為A處工廠的水向下游排放，B處工廠的污水也向下游排放?！诩僭O(shè)的前提條件下，對某一處受到污染作出了判斷.像這樣，對事情作出判斷的句子，就叫做命題熊貓沒有翅膀.對頂角相等.兩直線平行，內(nèi)錯角相等.無論n為任意的自然數(shù)，式子n2-n+11的值都是質(zhì)數(shù)內(nèi)錯角相等.任意一個三角形都有一個直角.如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.全等三角形的對應(yīng)角相等.第53頁共63頁三、課堂練習(xí)1.你能列舉出一些命題嗎?答案：舉例略2.舉出一些不是命題的語句.答案：如：①畫線段AB=3cm.②兩條直線相交，有幾個交點?③等于同一個角的兩個角相等嗎?④在射線OA上，任取兩點B、C.等等.6.3為什么他們平行1.平行線的判定公理.2.平行線的判定定理.看命題：兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行.這是一個文字證明題，需要先把命題的文字語言轉(zhuǎn)化成幾何圖形和符號語言.所以根據(jù)題意，可以把這個文字證明題轉(zhuǎn)化為下列形式：如上圖，已知，∠1和∠2是直線a、b被直線c截出的同旁內(nèi)角，且∠1與∠2互補，求證：a//b.要證明直線a與b平行，可以想到應(yīng)用平行線的判定公理來證明.這時從圖中可以知道：∠1與∠3是同位角，所以只需證明∠1=∠3,則a與b即平行.因為從圖中可知∠2與∠3組成一個平角，即∠2+∠3=180°,所以：∠3=180°-∠2.又因為已知條件中有∠2與∠1互補，即：∠2+∠1=180°,所以∠1=180°-∠2,因此由等量代換可以知道：∠1=∠3.證明：∵∠1與∠2互補(已知)∴∠1+∠2=180°(互補的定義)∴∠1=180°-∠2(等式的性質(zhì))∵∠3+∠2=180°(1平角=180°)∴∠3=180°-∠2(等式的性質(zhì))∴∠1=∠3(等量代換)∴a//b(同位角相等，兩直線平行)這樣我們經(jīng)過推理的過程證明了一個命題是真命題，我們把這個真命題稱為：直線平行的判定定理.這一定理可簡單地寫成：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.注意：(1)已給的公理，定義和已經(jīng)證明的定理以后都可以作為依據(jù).用來證明新定理.(2)方括號內(nèi)的“∵∠1+∠2=180°”等，就是上面剛剛得到的“∴∠1+∠2=180°”,在這種情況下，方括號內(nèi)的這一步可以省略.(3)證明中的每一步推理都要有根據(jù)，不能“想當(dāng)然”這些根據(jù)，可以是已知條件，也可以是定義、公理，已經(jīng)學(xué)過的定理.在初學(xué)證明時，要求把根據(jù)寫在每一步推理后面的括號內(nèi).第54頁共63頁例1已知，如上圖，∠1和∠2是直線a、b被直線c截出的內(nèi)錯角，且∠1=∠2.證明：∵∠1=∠2(已知)∠1+∠3=180°(1平角=180°)∴∠2+∠3=180°(等量代換)∴∠2與∠3互補(互補的定義)∴a//b(同旁內(nèi)角互補，兩直線平行)這樣我們就又得到了直線平行的另一個判定定理兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行.這一定理可以簡單說成：內(nèi)錯角相等，兩直線平行.例2已知，如下圖，直線a⊥c,b⊥c.證明：∵a⊥c,b⊥c(已知)∴∠1=90°∠2=90°(垂直的定義)∴∠1=∠2(等量代換)∴b//a(同位角相等，兩直線平行)由此可以得到：“如果兩條直線都和第三條直線垂直，那么這兩條直線平行”的結(jié)論.三、課堂練習(xí)蜂房的底部由三個全等的四邊形圍成，每個四邊形的形狀如圖6-17所示，其中∠a=109°28',∠β=70°32',試確定這三個四邊形的形狀，并說明你的理由.解：這三個四邊形的形狀是平行四邊形.理由是：∵∠a=109°28'∠β=70°32'(已知)∴∠a+∠β=180°(等式的性質(zhì))∴AB//CD,AD//BC(同旁內(nèi)角互補，兩直線平行)∴四邊形ABCD是平行四邊形(平行四邊形的定義)5.4如果兩條直線平行1.平行線的性質(zhì)定理的證明.2.證明的一般步驟.二、教學(xué)過程1.講授新課以簡單說成：兩直線平行，同位角相等.例已知，如圖6-24,直線a//b,∠1和∠2是直線a、b被直線c截出的同旁內(nèi)角.求證：∠1+∠2=180°.∴∠3=∠2(兩直線平行，同位角相等)∵∠1+∠3=180°(1平角=180°)∴∠1+∠2=180°(等量代換)證明的一般步驟：第一步：根據(jù)題意，畫出圖形.先根據(jù)命題的條件即已知事項，畫出圖形，再把命題的結(jié)論即求證的內(nèi)容在圖上標(biāo)出符號，還要根據(jù)證明的需要在圖上標(biāo)出必要的字母或符號，以便于敘述或推理過程的表達(dá).第二步：根據(jù)條件、結(jié)論，結(jié)合圖形，寫出已知、求證.把命題的條件化為幾何符號的語言寫在已知中，命題的結(jié)論轉(zhuǎn)化為幾何符號的語言寫在求證中.第三步，經(jīng)過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程.一般情況下，分析的過程不要求寫出來，有些題目中，已經(jīng)畫出了圖形，寫好了已知、求證，這時只要寫出“證明”一項就可以了.三、課堂練習(xí)補充練習(xí)1.證明鄰補角的平分線互相垂直.已知：如圖6-25,∠AOB、∠BOC互為鄰補角，OE平分∠AOB,OF平分∠BOC求證：OE⊥OF.證明：∵OE平分∠AOB.第56頁共63頁(角平分線定義)∵∠AOB+∠BOC=180°(1平角=180°)∴OE⊥OF(垂直的定義)(等式的性質(zhì))∴∠B+∠C=180°(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補)∴∠D+∠C=180°(等量代換)∴AD//BC(同旁內(nèi)角互補，兩直線平行)證法二：如上圖，延長BA(構(gòu)造一組同位角)∴∠1=∠D(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)∴∠1=∠B(等量代換)∴AD//BC(同位角相等，兩直線平行)證法三：如上圖，連接BD(構(gòu)造一組內(nèi)錯角)∴∠1=∠4(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)∴∠B-∠1=∠D-∠4(等式的性質(zhì))∴AD//BC(內(nèi)錯角相等，兩直線平行)一、教學(xué)目標(biāo)三角形的內(nèi)角和定理的證明.二、教學(xué)過程工人師傅將凹型零件加工成斜面EC與槽底CD成55°的燕尾槽的程序是：將垂直的銑刀傾斜偏轉(zhuǎn)35°角，就能得到55°的燕尾槽底角.ACB這樣我們就可以證明了：三角形的內(nèi)角和等于180°接下來來證明：三角形的內(nèi)角和等于180°這個真命題這是一個文字命題，證明時需要先干什么呢?需要先畫出圖形，根據(jù)命題的條件和結(jié)論，結(jié)合圖形寫出已知、求證證1已知，如圖6-40,△ABC.證明：作BC的延長線CD,過點C作射線CE//AB.則∠ACE=∠A(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)∠ECD=∠B(兩直線平行，同位角相等)∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°(1平角=180°)∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代換)證2證明：作BC的延長線CD,作∠ECD=∠B則：EC//AB(同位角相等，兩直線平行)∴∠A=∠ACE(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°(1平角=180°)∴∠A