專題11直線與圓小題綜合沖刺秘籍沖刺秘籍點(diǎn)到直線的距離公式點(diǎn)，直線，點(diǎn)到直線的距離為：兩條平行線間的距離公式，，直線與圓的位置關(guān)系直線，圓代數(shù)關(guān)系，幾何關(guān)系圓上一點(diǎn)的切線方程圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓的半徑為，設(shè)圓的半徑為，兩圓的圓心距為若，兩圓外離，若，兩圓外切，若，兩圓內(nèi)切若，兩圓相交，若，兩圓內(nèi)含，若，同心圓兩圓外離，公切線的條數(shù)為4條；兩圓外切，公切線的條數(shù)為3條；兩圓相交，公切線的條數(shù)為2條；兩圓內(nèi)切，公切線的條數(shù)為1條；兩圓內(nèi)含，公切線的條數(shù)為0條；弦長公式，直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)，，有：則或：沖刺訓(xùn)練沖刺訓(xùn)練一、單選題1．（2023·云南·云南師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知圓：，直線：被圓截得的弦長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出圓心到直線的距離，再利用弦，弦心距和半徑的關(guān)系可求得結(jié)果.【詳解】圓：的圓心為，半徑，所以圓心到直線的距離為，所以直線：被圓截得的弦長為，故選：C.2．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）若過點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)，則弦最短時(shí)直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，由條件可知，當(dāng)最短時(shí)，直線，即可得到，從而得到結(jié)果.【詳解】

當(dāng)最短時(shí)，直線，所以.又，所以，所以的方程為，即.故選：D3．（2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）圓：與直線：交于、，當(dāng)最小時(shí)，的值為（

）A． B．2 C． D．1【答案】B【分析】首先求出直線恒過定點(diǎn)，依題意當(dāng)時(shí)弦最小，求出直線的斜率，即可得解.【詳解】直線：，即，令，解得，即直線恒過定點(diǎn)，又，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，

所以當(dāng)時(shí)弦最小，因?yàn)?，所以，即，解?故選：B4．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知圓C：，過點(diǎn)的兩條直線，互相垂直，圓心C到直線，的距離分別為，，則的最大值為（

）A． B．1 C． D．4【答案】B【分析】由四邊形是矩形，應(yīng)用勾股定理可求，再利用基本不等式可得答案.【詳解】過圓心C分別作直線，的垂線，垂足分別為，．，互相垂直，所以四邊形為矩形．由圓C：，可得，又，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即的最大值為1，故選：B.

5．（2023·云南昭通·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，則面積的最大值為（

）A．5 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，求出直線的方程，再求出點(diǎn)P到直線距離的最大值作答.【詳解】圓的圓心，半徑，直線的方程為：，于是點(diǎn)到直線：的距離，而點(diǎn)在圓上，因此點(diǎn)到直線距離的最大值為，又，所以面積的最大值為.故選：D

6．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)a，b為正數(shù)，若直線被圓截得弦長為4，則的最小值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可得，再由均值不等式求解即可.【詳解】由可得，故圓的直徑是4，所以直線過圓心，即，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)，等號(hào)成立.故選：D.7．（2023·安徽亳州·蒙城第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若兩條直線：，：與圓的四個(gè)交點(diǎn)能構(gòu)成矩形，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】由題意知圓心到兩直線的距離相等，得到等量關(guān)系求解即可.【詳解】由題意直線平行，且與圓的四個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成矩形，則可知圓心到兩直線的距離相等，由圓的圓心為：，圓心到的距離為：，圓心到的距離為：，所以，由題意，所以，故選：A.8．（2023·湖南益陽·安化縣第二中學(xué)?？既＃┲本€與曲線恰有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．【答案】B【分析】是斜率為的直線，曲線是以原點(diǎn)為圓心為半徑的圓的右半圓，利用點(diǎn)到直線距離公式，結(jié)合圖形可得答案.【詳解】是斜率為的直線，曲線是以原點(diǎn)為圓心為半徑的圓的右半圓，畫出它們的圖象如圖，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，（舍去），當(dāng)直線過時(shí)，,由圖可以看出：當(dāng)時(shí)，直線與半圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，故選：

二、多選題9．（2023·福建寧德·?？级＃┮阎獔A和兩點(diǎn)，．若圓上存在點(diǎn)，使得，則實(shí)數(shù)的取值可以為（

）A． B．4 C． D．6【答案】BCD【分析】由，得的軌跡是以為直徑的圓O，故點(diǎn)P是兩圓的交點(diǎn)，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系即可求解m的范圍．【詳解】∵，∴點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓O，半徑為，故點(diǎn)P是圓O與圓C的交點(diǎn)，圓心和半徑分別為，，因此兩圓相切或相交，即，解得．故選：BCD

10．（2023·廣東深圳·深圳中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)直線系，下列命題中的真命題有（

）A．中所有直線均經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)B．存在定點(diǎn)不在中的任一條直線上C．對(duì)于任意整數(shù)，存在正邊形，其所有邊均在中的直線上D．中的直線所能圍成的正三角形面積都相等【答案】BC【分析】根據(jù)條件分析出為圓的全體切線組成的集合，再逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】由題知，點(diǎn)到中每條直線的距離，即為圓的全體切線組成的集合，從而中存在平行的直線，所以A錯(cuò)誤；又因?yàn)辄c(diǎn)不存在任何直線上，所以B正確；對(duì)任意，存在正邊形使其內(nèi)切圓為圓，故C正確；中的直線能組成兩種大小不同的正三角形，故D錯(cuò)誤.

故選：BC11．（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)?？家荒＃┤鐖D所示，該曲線W是由4個(gè)圓：，，，的一部分所構(gòu)成，則下列敘述正確的是（

）

A．曲線W圍成的封閉圖形面積為4+2πB．若圓與曲線W有8個(gè)交點(diǎn)，則C．與的公切線方程為D．曲線W上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為4【答案】ACD【分析】A選項(xiàng)可將曲線W圍成的封閉圖形可分割為一個(gè)邊長為2的正方形和四個(gè)半徑為1的相同的半圓，即可判斷；B選項(xiàng)可直接由圖討論判斷對(duì)錯(cuò)；C選項(xiàng)可由圓心到直線的距離等于半徑，求出公切線；D選項(xiàng)可先找到，的公切線方程為，曲線W上的點(diǎn)到直線的距離的最小值即為平行線間的距離.【詳解】曲線W圍成的封閉圖形可分割為一個(gè)邊長為2的正方形和四個(gè)半徑為1的相同的半圓，所以其面積為，故A選項(xiàng)正確.當(dāng)時(shí)，交點(diǎn)為B，D，F(xiàn)，H；當(dāng)時(shí)，交點(diǎn)為A，C，E，G；當(dāng)或時(shí)，沒有交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)為8，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤.設(shè)與的公切線方程為，由直線和圓相切的條件可得，解得，（舍去），則其公切線方程為，即，故C選項(xiàng)正確.同理可得，的公切線方程為，則兩平行線的距離，故D選項(xiàng)正確.故選：ACD.12．（2023·福建泉州·泉州七中校考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，過定點(diǎn)的動(dòng)直線，和過定點(diǎn)B的動(dòng)直線交于點(diǎn)P，圓，則下列說法正確的有（）A．直線過定點(diǎn)（1，3）B．直線與圓C相交最短弦長為2C．動(dòng)點(diǎn)P的曲線與圓C相切D．最大值為5【答案】AB【分析】根據(jù)直線方程求出定點(diǎn)坐標(biāo)，可判斷A正確；當(dāng)時(shí)，直線與圓C相交最短弦長，由幾何法求弦長可判斷B正確；根據(jù)，可得動(dòng)點(diǎn)P的曲線是圓，利用圓心距和兩圓半徑的關(guān)系可判斷C錯(cuò)誤；根據(jù)及不等式知識(shí)求出最大值，可判斷D錯(cuò)誤.【詳解】因?yàn)閯?dòng)直線過原點(diǎn)，所以,由，得，則，故A正確；當(dāng)時(shí)，圓心到直線：的最大值為，所以直線與圓C相交最短弦長為，故B正確；因?yàn)?，，所以，所以，所以?dòng)點(diǎn)P的曲線是以為直徑的圓，該圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，因?yàn)閮蓤A圓心距為，兩圓半徑之和為，兩圓半徑之差為，且，所以動(dòng)點(diǎn)P的曲線與圓C相交，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以最大值為，故D錯(cuò)誤.

故選：AB13．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，為切點(diǎn)，則（

）A．存在點(diǎn)，使得B．弦長的最小值為C．點(diǎn)在以為直徑的圓上D．線段經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)【答案】BCD【分析】對(duì)于A，設(shè)，根據(jù)得，，得，可得A不正確；對(duì)于B，根據(jù)四邊形面積關(guān)系列式求出，根據(jù)可求出，可得B正確；對(duì)于C，用以為直徑的圓的方程和圓相減得公共弦所在直線方程，可得定點(diǎn)坐標(biāo)，可得D正確.【詳解】對(duì)于A，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)椋?，，，所以，所以，所以，故不存在點(diǎn)，使得，故A不正確；對(duì)于B，根據(jù)圓的對(duì)稱性得，所以，又，所以，所以，由A知，，所以.故B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋?，所以既是直角三角形的外接圓的直徑，又是直角三角形的外接圓的直徑，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，故C正確；對(duì)于D，設(shè)，則的中點(diǎn)為，所以以為直徑的圓的方程為，即，因?yàn)槭菆A與圓的公共弦，所以直線的方程為：，當(dāng)時(shí)，，所以直線：過定點(diǎn)，因?yàn)槎c(diǎn)在圓內(nèi)，所以線段經(jīng)過定點(diǎn)，故D正確.

故選：BCD14．（2023·江蘇徐州·?？寄M預(yù)測(cè)）已知圓的方程為，點(diǎn)，點(diǎn)是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則（

）A．存在切點(diǎn)使得為直角 B．直線過定點(diǎn)C．的取值范圍是 D．面積的取值范圍是【答案】BD【分析】通過分析知不可能為直角，可判斷A、C錯(cuò)誤；求出直線的方程，令，，即可得直線恒過的定點(diǎn)可判斷B；求出面積的取值范圍可判斷D.【詳解】對(duì)于A，圓的上頂點(diǎn)為，即點(diǎn)，若為直角，則為直徑，顯然同一直徑不能同時(shí)垂直兩條相交直線，所以不可能為直角，故A錯(cuò)誤；同理C選項(xiàng)的數(shù)量積也取不到，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于B,設(shè)，

因?yàn)?，，，則的方程為：，因?yàn)榛喛傻茫?，同理的方程為：，而在切線，上，所以，，因?yàn)樵谥本€故直線的方程為，令，，即過定點(diǎn)，故B正確；對(duì)于D，圓心到直線的距離平方為，線段一半的平方為：，點(diǎn)到直線的距離的平方為：，所以面積的平方為：①，因?yàn)?，所以由?duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)時(shí)，①的分母取得最小值，所以面積平方的最大值，故面積的最大值為，故面積的取值范圍是，故D正確.故選：BD.15．（2023·遼寧·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)M，N在圓O：上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)，且，Q為線段M，N的中點(diǎn)，則（

）A．過點(diǎn)P有且只有一條直線與圓O相切B．C．點(diǎn)Q在直線上運(yùn)動(dòng)D．的最大值為【答案】BD【分析】首先判斷與圓的位置關(guān)系，數(shù)形結(jié)合判斷A、B；再應(yīng)用兩點(diǎn)距離、中點(diǎn)公式及已知求得在直線上判斷C；由幾何法求得，結(jié)合點(diǎn)線距離求的最大值.【詳解】由，故在圓外，故過點(diǎn)P有兩條直線與圓O相切，A錯(cuò)；

由為線段的中點(diǎn)，為圓的弦，故，B對(duì)；由，又都在圓上，所以，即，而，，所以，即點(diǎn)在直線上，C錯(cuò)；由，當(dāng)最小時(shí)，最大，而最小值為到的距離為，此時(shí)Q在圓的內(nèi)部，所以，D對(duì).故選：BD16．（2023·廣東廣州·廣州市從化區(qū)從化中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)，過定點(diǎn)的直線與過定點(diǎn)的直線相交于點(diǎn)，線段是圓的一條動(dòng)弦，且，給出下列四個(gè)結(jié)論：其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．一定垂直B．的最大值為4C．點(diǎn)的軌跡方程為D．的最小值為【答案】AB【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)兩直線垂直滿足的關(guān)系式進(jìn)行判斷；B選項(xiàng)，求出和，由⊥，得到，再結(jié)合基本不等式得到答案；C選項(xiàng)，分析得到，點(diǎn)的軌跡為以為直徑的圓，求出軌跡方程；D選項(xiàng)，設(shè)的中點(diǎn)為，求出，得到點(diǎn)軌跡方程，進(jìn)而得到的最小值為圓心距減去兩半徑，結(jié)合求出答案.【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以一定垂直，A正確；B選項(xiàng)，變形得到，從而，變形得到，從而，由⊥，由勾股定理得，由基本不等式可得，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故B正確；C選項(xiàng)，由B可知，點(diǎn)的軌跡為以為直徑的圓，其中線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，半徑為，故軌跡方程為，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，的圓心為，半徑為2，設(shè)的中點(diǎn)為，由垂徑定理得，

故點(diǎn)的軌跡方程為，因?yàn)辄c(diǎn)軌跡方程為，則的最小值為圓心距減去兩半徑，即，其中，所以的最小值為，D錯(cuò)誤.故選：AB17．（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·文昌中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知圓和圓的交點(diǎn)為，直線：與圓交于兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線的方程為B．圓上存在兩點(diǎn)和，使得C．圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為D．若，則或【答案】CD【分析】將兩圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，從而判斷兩圓相交，將兩圓方程作差得到公共弦方程，即可判斷A，再利用弦長公式判斷B，求出到的距離，即可判斷C，圓心到直線的距離為，即可得到方程，判斷D.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，所以，所以兩圓相交，所以將兩圓的方程作差可得，即直線的方程為，故A錯(cuò)誤；圓心到直線的距離為，所以，對(duì)于圓上的任意兩點(diǎn)，，故B錯(cuò)誤；圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為，故C正確；因?yàn)椋詧A心到直線的距離為，所以，故或，故D正確.

故選：CD18．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）過圓上一點(diǎn)P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則（

）.A．B．C．D．直線AB與圓相切【答案】BCD【分析】根據(jù)圓的切線的性質(zhì)，建立直角三角形，結(jié)合勾股定理以及銳角三角函數(shù)，可得答案.【詳解】由題意，作圖如下：

設(shè)圓與圓的圓心為，則，，因?yàn)榕c圓相切，所以，在中，，易知，所以.又，所以，故A錯(cuò)誤，B、C正確.故與交于點(diǎn)，由與圓相切，則，由，則，易知，在中，，又圓的半徑為，所以直線與圓相切，故D正確.故選：BCD.三、填空題19．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考三模）寫出經(jīng)過點(diǎn)且被圓截得的弦長為的一條直線的方程．【答案】或【分析】根據(jù)圓的一般方程求出圓心和半徑，利用直線的點(diǎn)斜式方程設(shè)出直線及點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合圓中弦長，半徑及弦心距的關(guān)系即可求解.【詳解】圓的方程可化為，圓心為，半徑．當(dāng)過點(diǎn)的直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，此時(shí)圓心在直線上，弦長，不滿足題意，所以過點(diǎn)的直線的斜率存在，設(shè)過點(diǎn)的直線的方程為，即，則圓心到直線的距為，依題意，即，解得或，故所求直線的方程為或．故答案為：或．20．（2023·廣東東莞·?？既＃┤魣A與軸相切，與直線也相切，且圓經(jīng)過點(diǎn)，則圓的半徑為.【答案】1或【分析】分析出圓心的位置，將點(diǎn)代入解析式，即可求出圓的半徑.【詳解】由題意，在直線中，傾斜角為，∴圓的圓心在兩切線所成角的角平分線上.設(shè)圓心，則圓的方程為：，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，解得：或，∴圓的半徑為1或.故答案為：1或.21．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考二模）直線l經(jīng)過點(diǎn)，，若直線l與直線平行，則．【答案】/0.5【分析】由題意，利用兩直線平行的性質(zhì)，直線的斜率公式，求得m的值．【詳解】∵直線l經(jīng)過點(diǎn)，，且與直線平行，∴，求得，故答案為：．22．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考三模）寫出一個(gè)過點(diǎn)且與直線相切的圓的方程：.【答案】（答案不唯一）【分析】可在上取一點(diǎn)，使得，再求以為直徑的圓即可.【詳解】過點(diǎn)且與直線垂直的直線的方程為，設(shè)與的交點(diǎn)為，由，得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，故所求的一個(gè)圓可以是以為直徑的圓.因?yàn)榈闹悬c(diǎn)坐標(biāo)為，，所以所求的一個(gè)圓的方程可以為.故答案為：（答案不唯一）23．（2023·江蘇徐州·?？寄M預(yù)測(cè)）在中，的內(nèi)角平分線方程為，，，則角的正切值為．【答案】【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，關(guān)于的內(nèi)角平分線所在直線方程的對(duì)稱點(diǎn)一定在直線上，據(jù)此可以求出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出【詳解】由題意得，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)一定在直線上，設(shè)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，記，則是中垂線，于是，解得，故，又，故直線方程為，于是和的交點(diǎn)為的坐標(biāo)，由，則，故，則，.故答案為：

24．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，則的最大值為.【答案】【分析】由等差數(shù)列性質(zhì)知直線過定點(diǎn)，根據(jù)題意確定在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，并寫出圓的方程，由點(diǎn)到圓心距離求的最大值.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以直線過定點(diǎn).點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，的中點(diǎn)為，

該圓的方程為，所以的最大值為.故答案為：25．（2023·福建寧德·校考模擬預(yù)測(cè)）已知圓C：，直線l的橫縱截距相等且與圓C相切﹐則直線l的方程為．【答案】，或，或【分析】對(duì)切線的是否過原點(diǎn)進(jìn)行分類討論，設(shè)出直線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，求出參數(shù)的值，即可得出直線的方程.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，因?yàn)橹本€l的橫縱截距相等，所以直線的斜率存在，當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，因?yàn)橹本€l與圓C相切，此時(shí)圓心到直線的距離等于半徑，可得，解得，所以切線方程為；當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，因?yàn)橹本€l與圓C相切，此時(shí)圓心到直線的距離等于半徑，可得，解得，所以切線方程為或，綜上所述，直線l的方程為，或，或.故答案為：，或，或.26．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）寫出兩個(gè)與直線相切和圓外切的圓的圓心坐標(biāo)．【答案】（答案不唯一，只要圓心坐標(biāo)為滿足即可）【分析】根據(jù)題意可得圓心到的距離和到直線的距離相等，再根據(jù)拋物線得定義即可得解.【詳解】設(shè)圓心坐標(biāo)為，圓化為，其圓心為，半徑為1，由題意得，，即，故圓心到的距離和到直線的距離相等，所以圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)的拋物線，故，只要滿足該式即可，故答案可以為.故答案為：.（答案不唯一，只要圓心坐標(biāo)為滿足即可）27．（2023·福建福州·福州四中校考模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，圓為圓上的動(dòng)點(diǎn)，為中點(diǎn)，若點(diǎn)