2025年專升本高等數(shù)學(xué)（二）模擬統(tǒng)考卷：數(shù)學(xué)建模與實(shí)際問(wèn)題解決策略一、選擇題要求：從每題的四個(gè)選項(xiàng)中選出正確答案，并將正確答案的字母填寫在題后的括號(hào)內(nèi)。1.下列關(guān)于數(shù)學(xué)建模的概念，錯(cuò)誤的是（）A.數(shù)學(xué)建模是利用數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問(wèn)題的一種方法B.數(shù)學(xué)建模是一種模擬現(xiàn)實(shí)世界的方法，通常包括建立模型、求解模型和驗(yàn)證模型三個(gè)階段C.數(shù)學(xué)建模只適用于科學(xué)研究和工程技術(shù)領(lǐng)域D.數(shù)學(xué)建模是一種綜合性的方法，涉及數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、心理學(xué)等多個(gè)學(xué)科2.下列關(guān)于數(shù)學(xué)模型分類，不屬于數(shù)學(xué)模型的是（）A.抽象模型B.概念模型C.模擬模型D.優(yōu)化模型3.下列關(guān)于數(shù)學(xué)建模的基本步驟，不屬于基本步驟的是（）A.確定問(wèn)題B.收集數(shù)據(jù)C.建立模型D.求解模型4.下列關(guān)于線性規(guī)劃問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)形式，錯(cuò)誤的是（）A.minz=c^Txs.t.Ax≤bB.maxz=c^Txs.t.Ax≤bC.minz=c^Txs.t.Ax≥bD.maxz=c^Txs.t.Ax≥b5.下列關(guān)于非線性規(guī)劃問(wèn)題的分類，不屬于非線性規(guī)劃問(wèn)題的是（）A.無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題B.單變量?jī)?yōu)化問(wèn)題C.多變量?jī)?yōu)化問(wèn)題D.線性優(yōu)化問(wèn)題二、填空題要求：在每題的空格內(nèi)填寫正確答案。6.數(shù)學(xué)建模的基本步驟包括：確定問(wèn)題、收集數(shù)據(jù)、__________、求解模型、驗(yàn)證模型。7.線性規(guī)劃問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)形式為：max/minz=c^Tx，s.t.Ax≤b。8.非線性規(guī)劃問(wèn)題按約束條件的性質(zhì)分為：無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題、__________、等式約束優(yōu)化問(wèn)題、不等式約束優(yōu)化問(wèn)題。三、計(jì)算題要求：解答下列各題，并寫出解題步驟。9.設(shè)線性規(guī)劃問(wèn)題為：maxz=x+2y，s.t.2x+3y≤12，x+y≥3，x≥0，y≥0。（1）用圖形法求出該線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解。（2）求出該線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)值。10.設(shè)非線性規(guī)劃問(wèn)題為：minz=x^2+2y^2，s.t.x+y≥1，x≥0，y≥0。（1）求出該非線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解。（2）求出該非線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)值。四、應(yīng)用題要求：根據(jù)所給條件，運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的方法解決實(shí)際問(wèn)題。11.某公司生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，A產(chǎn)品的利潤(rùn)為每件50元，B產(chǎn)品的利潤(rùn)為每件30元。生產(chǎn)A產(chǎn)品需要2小時(shí)的直接勞動(dòng)和1小時(shí)的機(jī)器時(shí)間，生產(chǎn)B產(chǎn)品需要1小時(shí)的直接勞動(dòng)和2小時(shí)的機(jī)器時(shí)間。公司每天有8小時(shí)的直接勞動(dòng)時(shí)間和12小時(shí)的機(jī)器時(shí)間。問(wèn)：為了使利潤(rùn)最大化，該公司應(yīng)該如何安排生產(chǎn)計(jì)劃？五、證明題要求：證明下列命題。12.證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，有不等式x^2+1≥2x。六、綜合題要求：綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。13.某城市交通管理部門為了緩解交通擁堵，計(jì)劃在市中心修建一條新的道路?，F(xiàn)有兩個(gè)方案可供選擇：方案一為修建一條長(zhǎng)為10公里的直線道路，方案二為修建一條長(zhǎng)為8公里的環(huán)形道路。直線道路的建設(shè)成本為每公里200萬(wàn)元，環(huán)形道路的建設(shè)成本為每公里250萬(wàn)元。此外，直線道路的維護(hù)成本為每年10萬(wàn)元，環(huán)形道路的維護(hù)成本為每年8萬(wàn)元。假設(shè)該城市的汽車數(shù)量在未來(lái)10年內(nèi)保持不變，每輛汽車每天的出行次數(shù)為2次，每次出行距離為10公里。問(wèn)：哪個(gè)方案更經(jīng)濟(jì)？為什么？本次試卷答案如下：一、選擇題1.C解析：數(shù)學(xué)建模不僅適用于科學(xué)研究和工程技術(shù)領(lǐng)域，還廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)、管理、社會(huì)科學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域。2.B解析：概念模型屬于數(shù)學(xué)建模的方法，而不是數(shù)學(xué)模型本身。3.C解析：數(shù)學(xué)建模的基本步驟包括確定問(wèn)題、收集數(shù)據(jù)、建立模型、求解模型、驗(yàn)證模型，其中建立模型是核心步驟。4.C解析：線性規(guī)劃問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)形式要求目標(biāo)函數(shù)和約束條件都是線性的，因此minz=c^Tx，s.t.Ax≥b是錯(cuò)誤的。5.D解析：非線性優(yōu)化問(wèn)題是指目標(biāo)函數(shù)或約束條件至少有一個(gè)是非線性的，因此線性優(yōu)化問(wèn)題不屬于非線性規(guī)劃問(wèn)題。二、填空題6.建立模型解析：數(shù)學(xué)建模的基本步驟包括確定問(wèn)題、收集數(shù)據(jù)、建立模型、求解模型、驗(yàn)證模型，其中建立模型是核心步驟。7.Ax≤b解析：線性規(guī)劃問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)形式為max/minz=c^Tx，s.t.Ax≤b，其中A是約束條件的系數(shù)矩陣，b是約束條件的常數(shù)項(xiàng)。8.等式約束優(yōu)化問(wèn)題解析：非線性規(guī)劃問(wèn)題按約束條件的性質(zhì)分為無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題、不等式約束優(yōu)化問(wèn)題、等式約束優(yōu)化問(wèn)題，其中等式約束優(yōu)化問(wèn)題指的是約束條件中包含等式。三、計(jì)算題9.（1）用圖形法求出該線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解。解析：通過(guò)繪制約束條件的圖形，找到可行域，然后在該可行域內(nèi)找到目標(biāo)函數(shù)的最大值點(diǎn)。（2）求出該線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)值。解析：根據(jù)圖形法找到的最優(yōu)解，計(jì)算目標(biāo)函數(shù)在最優(yōu)解處的值，即為最優(yōu)值。10.（1）求出該非線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解。解析：由于問(wèn)題中沒有給出約束條件，可以直接求解目標(biāo)函數(shù)的最小值。（2）求出該非線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)值。解析：根據(jù)（1）中的解，計(jì)算目標(biāo)函數(shù)在最優(yōu)解處的值，即為最優(yōu)值。四、應(yīng)用題11.解析：設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，B產(chǎn)品y件，則有以下約束條件：2x+3y≤8（直接勞動(dòng)時(shí)間）x+2y≤12（機(jī)器時(shí)間）x≥0，y≥0（非負(fù)約束）目標(biāo)函數(shù)為maxz=50x+30y。五、證明題12.解析：要證明x^2+1≥2x，可以通過(guò)以下步驟：（1）將不等式重寫為x^2-2x+1≥0。（2）將不等式左邊的表達(dá)式因式分解為(x-1)^2。（3）由于平方數(shù)總是非負(fù)的，因此(x-1)^2≥0。（4）由（3）可得x^2-2x+1≥0，即x^2+1≥2x。六、綜合題13.解析：設(shè)直線道路的建設(shè)成本為C1，環(huán)形道路的建設(shè)成本為C2，維護(hù)成本分別為M1和M2，則有以下計(jì)算：C1=10*200萬(wàn)元=2000萬(wàn)元C2=8*250萬(wàn)元=2000萬(wàn)元M1=10萬(wàn)元/年*10年=100萬(wàn)元M2=8萬(wàn)元/年*10年=80萬(wàn)元總成本C=C1+M1+C