第六單元圓微專題圓中最值問題一階方法訓練方法一點圓最值(3年2考)類型一過圓內一點的弦位置關系AB⊥OQ于點PCD與OQ交于點PEQ是過點P的直徑圖示

長度關系AB＜CD＜EQ例1

OA是⊙O的半徑，點B在OA上，若OA=5，AB=2，EF是過點B的

⊙O的弦.求EF的長的取值范圍.解：如解圖，當EF⊥OA時，連接OF，解圖∵OA=5，AB=2，∴OB=3，

∴EF=2BF=8，當EF是過點B的直徑時，EF=10，∴EF的長的取值范圍是8≤EF≤10.解圖類型二平面內一點到圓上一點的距離點與圓的位置

關系圖示輔助線作法點到圓上一點的距離最值點在圓外

最小值為AB的長，最大值

為AB′的長點在圓上

最小值為0，最大值為AB的

長點與圓的位置

關系圖示輔助線作法點到圓上一點的距離最值點在圓內

最小值為AB的長，最大值

為AB′的長例2如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=12，BC=10，D是BC的中

點，E是平面內一點，∠BEC=90°，連接AE.

(1)在圖中畫出點E的運動軌跡；解：(1)點E的運動軌跡為⊙D(不與點B，C重合)，如解圖①；解圖①例2如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=12，BC=10，D是BC的中點，∠BEC=90°.(2)求線段AE的最小值.(2)如解圖②，連接AD交⊙D于點E′，當點E與點E′重合時，線段AE取最

小值，解圖②∵BC=10，D是BC的中點，∴BD=5，

∴AE′=13－5=8，∴線段AE的最小值為8.解圖②題后反思你能求出線段AE的最大值嗎？解：如解圖，連接AD并延長交⊙D于點E″，當點E與點E″重合時，線段

AE取最大值，∵BC=10，D為BC的中點，∴BD=5，

∴AE″=13＋5=18，∴線段AE的最大值為18.解圖方法二線圓最值(3年1考)直線與圓的

位置關系圖示輔助線作法直線到圓上一點的距離的最值相離

過點O作l的垂線，垂足為A，交⊙O于點B，B′最小值為AB的長，最大值為AB′的長直線與圓的

位置關系圖示輔助線作法直線到圓上一點的距離的最值相切(切點為A)

作直線AO交⊙O于點B最小值為0，最大值為AB的長直線與圓的

位置關系圖示輔助線作法直線到圓上一點的距離的最值相交

過點O作l的垂線，垂足為A，交⊙O于點B，B′最小值為0，最大值為AB′的長例3如圖，在△ABC中，AB=6，C是⊙O上任意一點，若⊙O的半徑為

2，點O到AB的距離為5，求△ABC面積的最小值和最大值.解：如解圖①，過點O作OD⊥AB于點D，OD交⊙O于點E，連接AE，BE，解圖①當點C與點E重合時，△ABC的面積最小，

如解圖②，過點O作OD⊥AB于點D，延長DO交⊙O于點F，連接AF，

BF，當點C與點F重合時，△ABC的面積最大，

綜上所述，△ABC面積的最小值為9，最大值為21.解圖②二階綜合訓練1.在同一平面內，已知⊙O的半徑為3，圓心O到直線l的距離為5，P為圓

上的一個動點，則點P到直線l的距離不可能是(

D

)A.2B.6C.8D.10D2.如圖，在正方形ABCD中，BC=2，E為正方形內一點，且∠AEB=90°，連接CE，則CE的最小值為

?.

解圖3.如圖，在菱形ABCD中，連接AC，BD交于點O，M，N分別是BD，AC

上的動點，且MN=2，P是MN的中點，若AC=6，BD=8.(1)在圖中畫出點P的運動軌跡；解：(1)如解圖①，點P的運動軌跡為⊙O；解圖①在菱形ABCD中，M，N分別是BD，AC上的動點，MN=2，P是MN的中點，若AC=6，BD=8.(2)求點P到線段AB的距離的最小值；(2)如解圖②，連接OP，∵四邊形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，∴AC⊥BD，OA=OC=3，OB=OD=4，解圖②∵在Rt△MON中，MN=2，P為MN的中點，∴OP=1，∴根據(jù)“定點定長”模型，點P在以點O為圓心，OP長為半徑的圓上.以點O為圓心，OP長為半徑作⊙O，過點O作OQ′⊥AB于點Q′，交⊙O于點P′，過點P作PQ⊥AB于點Q，連接OQ.

解圖②∵OP＋PQ≥OQ≥OQ′=OP′＋P′Q′，且OP=OP′，∴PQ≥P′Q′，

解圖②在菱形ABCD中，M，N分別是BD，AC上的動點，M