福建省廈門市2018屆高三下學(xué)期第一次（開學(xué)）考試試題理（數(shù)學(xué)）一、選擇題要求：請從下列各題給出的四個選項中，選擇一個正確的答案，并將該選項前的字母填寫在答題卡相應(yīng)的位置上。1.已知函數(shù)$f(x)=\sqrt{x^2+1}$，若$f(\sinx)=\cosx$，則實數(shù)$x$的取值范圍是（）A.$x\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$B.$x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$C.$x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right]$D.$x\in\left[-\frac{\pi}{2},\pi\right]$2.設(shè)函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的圖象經(jīng)過點$A(0,1)$和點$B(1,4)$，若$f(x)$的圖象的對稱軸方程為$x=-1$，則下列方程組無解的是（）A.$\begin{cases}ax^2+bx+c=1\\ax^2+bx+c=4\end{cases}$B.$\begin{cases}ax^2+bx+c=1\\ax^2+bx+c=0\end{cases}$C.$\begin{cases}ax^2+bx+c=1\\ax^2+bx+c=-4\end{cases}$D.$\begin{cases}ax^2+bx+c=1\\ax^2+bx+c=0\end{cases}$二、填空題要求：請將答案填寫在答題卡相應(yīng)的位置上。3.函數(shù)$f(x)=x^3-3x+2$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$的值域為______。4.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項為$a_1$，公差為$d$，若$a_3=5$，$a_7=13$，則$\frac{a_5}{a_6}=\frac{______}{______}$。三、解答題要求：請將解答過程寫在本試卷上。5.（本小題滿分12分）已知函數(shù)$f(x)=\log_2(3x-1)$。（1）求函數(shù)$f(x)$的定義域；（2）設(shè)實數(shù)$t$滿足不等式$\log_2(t^2-5t+6)>1$，求$t$的取值范圍。四、解答題要求：請將解答過程寫在本試卷上。5.（本小題滿分12分）已知函數(shù)$f(x)=\log_2(3x-1)$。（1）求函數(shù)$f(x)$的定義域；（2）設(shè)實數(shù)$t$滿足不等式$\log_2(t^2-5t+6)>1$，求$t$的取值范圍。六、解答題要求：請將解答過程寫在本試卷上。6.（本小題滿分12分）已知數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n^2+2a_n+1$，求證：對任意正整數(shù)$n$，都有$a_{n+1}\geq3a_n$成立。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B.$x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$解析思路：由$f(\sinx)=\cosx$，得到$\sqrt{\sin^2x+1}=\cosx$，由于$\cosx\geq0$，則$\sin^2x+1\geq\cos^2x$，即$\sin^2x\geq\cos^2x-1$。由于$\sin^2x+\cos^2x=1$，得到$\sin^2x\geq0$，因此$\sinx$的取值范圍為$[-1,1]$，即$x$的取值范圍為$[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$。2.D.$\begin{cases}ax^2+bx+c=1\\ax^2+bx+c=0\end{cases}$解析思路：由$f(x)$的對稱軸方程$x=-1$，得到$f(-1)=f(1)$，即$a(-1)^2+b(-1)+c=a(1)^2+b(1)+c$，化簡得$-a+b+c=a+b+c$，即$2a=0$，所以$a=0$。因此$f(x)=bx+c$，代入點$A(0,1)$和點$B(1,4)$，得到$\begin{cases}c=1\\b+c=4\end{cases}$，解得$b=3$，$c=1$。所以方程組$\begin{cases}ax^2+bx+c=1\\ax^2+bx+c=0\end{cases}$無解。二、填空題3.$(-\infty,+\infty)$解析思路：$f(x)=x^3-3x+2$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$，解得$x=\pm1$。當(dāng)$x<-1$或$x>1$時，$f'(x)>0$，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)$-1<x<1$時，$f'(x)<0$，函數(shù)單調(diào)遞減。因此，$f'(x)$的值域為$(-\infty,+\infty)$。4.$\frac{5}{7}$解析思路：由等差數(shù)列的性質(zhì)，$a_7=a_3+4d$，代入$a_3=5$和$a_7=13$，得到$5+4d=13$，解得$d=2$。因此，$a_5=a_3+d=5+2=7$，$a_6=a_3+2d=5+4=9$，所以$\frac{a_5}{a_6}=\frac{7}{9}$。三、解答題5.（本小題滿分12分）已知函數(shù)$f(x)=\log_2(3x-1)$。（1）求函數(shù)$f(x)$的定義域；解析思路：由于對數(shù)函數(shù)的定義要求對數(shù)內(nèi)的值大于0，所以$3x-1>0$，解得$x>\frac{1}{3}$，因此定義域為$\left(\frac{1}{3},+\infty\right)$。（2）設(shè)實數(shù)$t$滿足不等式$\log_2(t^2-5t+6)>1$，求$t$的取值范圍。解析思路：將不等式$\log_2(t^2-5t+6)>1$轉(zhuǎn)化為$t^2-5t+6>2$，即$t^2-5t+4>0$。因式分解得$(t-1)(t-4)>0$，解得$t<1$或$t>4$，因此$t$的取值范圍為$(-\infty,1)\cup(4,+\infty)$。四、解答題5.（本小題滿分12分）已知函數(shù)$f(x)=\log_2(3x-1)$。（1）求函數(shù)$f(x)$的定義域；解析思路：由于對數(shù)函數(shù)的定義要求對數(shù)內(nèi)的值大于0，所以$3x-1>0$，解得$x>\frac{1}{3}$，因此定義域為$\left(\frac{1}{3},+\infty\right)$。（2）設(shè)實數(shù)$t$滿足不等式$\log_2(t^2-5t+6)>1$，求$t$的取值范圍。解析思路：將不等式$\log_2(t^2-5t+6)>1$轉(zhuǎn)化為$t^2-5t+6>2$，即$t^2-5t+4>0$。因式分解得$(t-1)(t-4)>0$，解得$t<1$或$t>4$，因此$t$的取值范圍為$(-\infty,1)\cup(4,+\infty)$。六、解答題6.（本小題滿分12分）已知數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n^2+2a_n+1$，求證：對任意正整數(shù)$n$，都有$a_{n+1}\geq3a_n$成立。解析思路：由題意得$