第13講二次函數(shù)圖象與性質(zhì)

錄

題型過(guò)關(guān)練

題型01判斷函數(shù)類(lèi)型

題型02已知二次函數(shù)的概念求參數(shù)值

題型03利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式（一般式）

題型04利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式（頂點(diǎn)式）

題型05利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式（交點(diǎn)式）

題型06根據(jù)二次函數(shù)解析式判斷其性質(zhì)

題型07將二次函數(shù)的一般式化為頂點(diǎn)式

題型08利用五點(diǎn)法繪二次函數(shù)圖象

題型09二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)

題型10二次函數(shù)平移變換問(wèn)題

題型11已知拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的法點(diǎn)求對(duì)稱(chēng)軸

題型12根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性求字母的取值范圍

題型13根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值

題型14根據(jù)二次函數(shù)的最值求字母的取值范圍

題型15根據(jù)規(guī)定范圍二次函數(shù)自變量的情況求函數(shù)值的取值范圍

題型16根據(jù)二次函數(shù)的增減性求字母的取值范圍

題型17根據(jù)二次函數(shù)圖象判斷式子符號(hào)

題型18二次函數(shù)圖象與各項(xiàng)系數(shù)符號(hào)

題型19二次函數(shù)、一次函數(shù)綜合

題型20二次函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)圖象綜合

題型21拋物線(xiàn)與X軸交點(diǎn)問(wèn)題

題型22求X軸與拋物線(xiàn)的截線(xiàn)長(zhǎng)

題型23根據(jù)交點(diǎn)確定不等式的解集

題型24二次函數(shù)與斜三角形相結(jié)合的應(yīng)用方法

___________________________________________________

重難創(chuàng)新練

題型過(guò)關(guān)練

題型01判斷函數(shù)類(lèi)型

I.(2022?北京房山?統(tǒng)考一模)某長(zhǎng)方體木塊的底面是正方形，它的高比底面邊長(zhǎng)還多50cm,把這個(gè)長(zhǎng)方

體表面涂滿(mǎn)油漆時(shí)，如果每平方米費(fèi)用為16元，那么總費(fèi)用與底面邊長(zhǎng)滿(mǎn)足的函數(shù)關(guān)系是()

A.正比例函數(shù)關(guān)系B.一次函數(shù)關(guān)系

C.反比例函數(shù)關(guān)系D.二次函數(shù)關(guān)系

【答案】D

【分析】設(shè)底面邊長(zhǎng)為xcm,則正方體的高為(x+50)cm,設(shè)總費(fèi)用為.y元，則可表示出y與x的函數(shù)關(guān)

系，根據(jù)關(guān)系式即可作出選擇.

【詳解】設(shè)底面邊長(zhǎng)為xcm,則正方體的高為(x+50)cm,設(shè)總費(fèi)用為y元，

由題意得：y=16[2/+4x(x+50)]=96/+3200%,

這是關(guān)于一個(gè)二次函數(shù).

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了列函數(shù)關(guān)系并判斷函數(shù)形式，關(guān)鍵是根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式.

2.(2023?北京東城?北京市廣渠門(mén)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))用繩子圍成周長(zhǎng)為10m的矩形，記矩形的?邊長(zhǎng)為

xm,它的鄰邊長(zhǎng)為ym,矩形的面積為Sm?.當(dāng)“在一定范圍內(nèi)變化時(shí)，y和S都隨x的變化而變化，則y與

x,S與x滿(mǎn)足的函數(shù)關(guān)系分別是()

A.二次函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系B.正比例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系

C.二次函數(shù)關(guān)系，正比例函數(shù)關(guān)系D.一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系

【答案】D

【分析】根據(jù)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)公式和面積公式得出y與人S與x的關(guān)系式即可做出判斷.

【詳解】解：由題意可得：2x+2y=10,S=xy.

即：y=5-x,S=x(5-x)=-x2+5x,

???丁與x是一次函數(shù)關(guān)系，S與x是二次函數(shù)關(guān)系，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的識(shí)別、矩形的周長(zhǎng)與面積公式，理清題中的數(shù)量關(guān)系，熟練掌握

二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式是解答的關(guān)鍵.

3.（2023?北京石景山?統(tǒng)考二模）如圖，在RtaACB中，LACB=90°,=10.點(diǎn)尸是邊上一

動(dòng)點(diǎn)（不與C,8重合），過(guò)點(diǎn)P作「Q1CB交于點(diǎn)Q.設(shè)CP=x,BQ的長(zhǎng)為y,△8PQ的面積為S,則y

與工，S與％滿(mǎn)足的函數(shù)關(guān)系分別為（)

A.一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系B.反比例函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系

C.?次函數(shù)關(guān)系，反比例函數(shù)關(guān)系D.反比例函數(shù)關(guān)系，一次函數(shù)關(guān)系

【答案】A

t分析】先求出=匕3=45。，再求出3P=10-然后解收△3PQ得到PQ=10-尤，BQ=

>/2（10-x）,進(jìn)而得到丫=-&％+10&,S=1（10-x）2,由此即可得到答案.

【詳解】解：??,在RtMCB中,LACB=90%CA=CB=10,

：.LA=LB=45°,

*：CP=x,

：.BP=BC-CP=10-x,

?:PQ1CB,

:.乙QPB=90°,

在RtABPQ中，PQ=BP-tanB=10-x,BQ=^=V2(10-x),

='泛(10—x)=->j2x+10夜，S=~BP-PQ=1(10—x)2,

???y與臬S與x滿(mǎn)足的函數(shù)關(guān)系分別為一次函數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)關(guān)系,

故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，等邊對(duì)等角，列函數(shù)關(guān)系式，正確求出y二-企x+10&,S=

-10-幻2是解題的關(guān)鍵.

題型02已知二次函數(shù)的概念求參數(shù)值

1.(2023?四川南充?統(tǒng)考一模)點(diǎn)P(a,9)在函數(shù)y=4/-3的圖象上，則代數(shù)式(2a+3)(2。-3)的值等

于.

【答案】3

【分析】利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出4a2=12,將其代入(2a+3)(2。-3)=4a2-9中即可

求出結(jié)論.

【詳解】解：二,點(diǎn)P(a,9)在函數(shù)y=4x2-3的圖象上,

:.9=4a2—3,

二4a2=12,

則代數(shù)式(2Q+3)(2Q-3)=4CZ2-9=12-9=3,

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，牢記直線(xiàn)上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系式是解題

的關(guān)鍵.

2.(2020?陜西西安?西安市大明宮中學(xué)?？既?已知二次函數(shù)了=(6-1)》蘇-3的圖象開(kāi)口向下，則〃？

的值為

【答案】一遍

【分析】根據(jù)一次函數(shù)的定義及開(kāi)口向下時(shí)〃?+1<0即可解答.

【詳解】根據(jù)題意得：

[m—1<0

-3=2

解得：m=-V5.

故答案為：—V5.

【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的定義及性質(zhì)，易錯(cuò)點(diǎn)是只考慮其次數(shù)是2,沒(méi)有考慮開(kāi)口向下時(shí)的性

質(zhì).

3.(2021?四川涼山?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))若丁=(〃L1)H"+8〃?x-8是關(guān)于x的二次函數(shù)，則其圖象與x軸

的交點(diǎn)坐標(biāo)為.

【答案】(-2,0)

【分析】首先根據(jù)二次函數(shù)的定義可知依|+1=2且〃l"(),求出〃?的值并代入，再令尸0求出x的值，

即可得出答案.

【詳解】V|m|+1=2,

in-I/O.

，〃印1,

.*.771=-1,

.*.v=-Zv2-8x-8.

當(dāng)y=0時(shí)，K/=X2=-2,

工拋物線(xiàn)與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（-2,0）.

故答案為：（-2,0）.

【點(diǎn)睛】本題主要考杳了二次函數(shù)的關(guān)系式，求拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)二次函數(shù)的定義求出〃，的

值是解題的關(guān)鍵.

題型03利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式（一般式）

1.（2021?廣東廣州?統(tǒng)考中考真題）拋物線(xiàn)y=。/+加；+。經(jīng)過(guò)點(diǎn)（_1,0）、（3,0）,且與），軸交于點(diǎn)

（0,-5）,則當(dāng)％=2時(shí),），的值為（）

A.-5B.-3C.-1D.5

【答案】A

【分析】解法一：先利用待定系數(shù)法求出拋物線(xiàn)解析式，再求函數(shù)值即可.

解法二：利用二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性可知：*=2和工=0對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等，從而得解.

【詳解】解：:拋物線(xiàn)y=a無(wú)2+/）無(wú)+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)（一1,0）、（3,0）,且與y軸交于點(diǎn)（0,-5）,

c=-5

a-b+c=0，

9a+3b+c=0

解方程組得《a=5,

【T

???拋物線(xiàn)解析式為y=Jo

當(dāng)x=2時(shí)，y=1x4——x2—5=-5.

故選擇A.

解法二：拋物線(xiàn)y=a/+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)（一1,0）、（3,0）,

???拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為：x=三中=1,

又?.?等=1,

??.；＜=2和％=0的函數(shù)值相等，即均為一5,

故選擇A.

【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求拋物線(xiàn)解析式，和函數(shù)值，掌握系數(shù)法求拋物線(xiàn)解析式方法和函數(shù)值求法

是解題關(guān)鍵.同時(shí)利用數(shù)形結(jié)合思想和對(duì)稱(chēng)性解題會(huì)起到事半功倍的效果.

2.（2022?山東泰安?統(tǒng)考中考真題）拋物線(xiàn)y=。/+匕％+6：上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)工，縱坐標(biāo)），的對(duì)應(yīng)值如

下列結(jié)論不正確的是（）

A.拋物線(xiàn)的開(kāi)口向下B.拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=9

C.拋物線(xiàn)與x軸的■個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（2,0）D.函數(shù)y="+c的最大值為彳

【答案】C

【分析】利用待定系數(shù)法求出拋物線(xiàn)解析式，由此逐一判斷各選項(xiàng)即可

4Q-2b+c=0

【詳解】解：由題意得Q—匕+c=4

c=6

a=-1

解得b=1,

c=6

2

???拋物線(xiàn)解析式為、=一/+%+6=-（％-3）+個(gè)，

???拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)％=4,該函數(shù)的最大值為B，故A、B、D說(shuō)法正確，不符合題

意；

令、=0,則―/+%+6=0,

解得％=3或%=—2,

???拋物線(xiàn)與工軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-2,0）,（3,0）,故C說(shuō)法錯(cuò)誤，符合題意;

故選c.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，正確求出二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.

3.（2022?浙江紹興?統(tǒng)考中考真題）已知函數(shù)丫=-/+bx+c（b,c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,-3）,

（-6?-3）.

（1）求b,c的值.

⑵當(dāng)-4<x<0時(shí)。，求y的最大值.

（3）當(dāng)時(shí)，若），的最大值與最小值之和為2,求〃?的值.

【答案】（1）〃=-6,。=-3

（2口=-3時(shí)，y有最大值為6

（3>=-2sJc-3-x^lO

【分析】（1）把（0,-3）,（-6,-3）代入），=-/+b%+c,即可求解;

（2）先求出拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)生標(biāo)為（-3,6）,再由-4夕50,可得當(dāng)工=-3時(shí)，），有最大值，即可求解；

（3）由（2）得當(dāng)x>-3時(shí)，y隨x的增大而減?。划?dāng)g-3時(shí)，y隨x的增大而增大，然后分兩種情況：當(dāng)

-3<怔0時(shí)，當(dāng)〃右-3時(shí)，即可求解.

【詳解】（1）解：把（0,-3）,（-6,-3）代入y=-/+bx+c,得：

fc=~3&，解得：”一？；

（2）解：由（1）得：該函數(shù)解析式為丁=一/一6%-3=-（X+3）2+6,

???拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-3,6）,

V-K0

工拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，

又；4SW0,

，當(dāng)x=-3時(shí)，y有最大值為6.

（3）解：由（2）得：拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)尸-3,

???當(dāng)x>-3時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng)爛-3時(shí)，y隨x的增大而增大,

①當(dāng)-3V〃?4時(shí)，

當(dāng)上=0時(shí)，y有最小值為-3,

當(dāng)工=/"時(shí)，y有最大值為——6m—3,

-m2-6m-3+（-3）=2,

「?，〃=-2或〃?=-4（舍去）.

②當(dāng)w<-3時(shí)，

當(dāng)工=-3時(shí)，y有最大值為6,

??j的最大值與最小值之和為2,

???)：最小值為-4,

4-3)2+6=4

ni=-3—J10或m=-3+V10(舍去).

綜上所述，〃?=-2或一3-同.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，并利用分類(lèi)討論思想

解答是解題的關(guān)鍵.

題型04利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式(頂點(diǎn)式)

I.(2023?江蘇泰州??？既?如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(4,-3),

該圖象與x軸相交于點(diǎn)A、8,與1y軸相交于點(diǎn)C,其中點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1.

(I)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；

⑵求tanz/BC.

【答案】(1)該二次函數(shù)解析式為y=g(工一4/一3；

(2)tan乙4BC=

3

【分析】(1)由題意可設(shè)拋物線(xiàn)解析式為：y=a(x-4)2-3,將4(1,0)代入解析式來(lái)求。的值;

(2)由銳角三角函數(shù)定義解答.

【詳解】(1)解：由題意可設(shè)拋物線(xiàn)解析式為：y=a(x-4)2-3,(a00).

把8(1,0)代入，得0=履1-4)2-3,

解得Q=p

故該二次函數(shù)解析式為y=l(x-4)2-3：

(2)解：令3=0,則y=〃0—4)2—3=4則。。=4

333

因?yàn)槎魏瘮?shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(4,-3),4(1,0),則點(diǎn)4與點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)％=4對(duì)稱(chēng)，

所以8(7,0).

所以。8=7.

7

所以tan乙4BC=器=.=/即tan〃BC=￡

【點(diǎn)睛】考查了拋物線(xiàn)與.1軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式以及解直角三角

形.解題時(shí)，充分利用了二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性質(zhì).

2.(2023?河北廊坊?校考三模)如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3).

⑴求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)當(dāng)0<%<3時(shí)，y的取值范圍為」

(3)直接寫(xiě)出該二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的平移恰好過(guò)點(diǎn)(0,-4),且與、軸只有一個(gè)公共點(diǎn).

【答案】(1?=-0-2)2+3

(2)-1<y<3

(3)該二次函數(shù)的圖象向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度或向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度恰好經(jīng)過(guò)

點(diǎn)(0,-4),且與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)

【分析】(1)由題意設(shè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，代入(0,-1)進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；

(2)由函數(shù)表達(dá)式可知：二次函數(shù)y=-(％-2)2+3的圖象有最高點(diǎn)(2,3),對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=2,從而

可得此時(shí)y的取值范圍；

(3)該二次函數(shù)的圖象平移后的頂點(diǎn)在x軸上，設(shè)它的表達(dá)式為y=-(工一九尸，再把點(diǎn)(0,-4)代入，

求出力的值，即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：???二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,-1),頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3),

二設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=a(x-2)2+3(a*0),

把(0,-1)代入得：

-l=a(0-2)2+3,,

解得：。=一1,

二這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=-(x-2)2+3；

(2)解：二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-(％-2)2+3,

二二次函數(shù)y=-(x-2)2+3的圖象有最高點(diǎn)(2,3),對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=2,

當(dāng)x=0時(shí)，y=—(0—2尸+3=-1,

當(dāng)《=3時(shí)，y=-(3-2)2+3=2,

的取值范圍為：一1工7工3,

故答案為：-1WyW3；

(3)解：???該二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)平移后，與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，

二該二次函數(shù)的圖形平移后的頂點(diǎn)在工軸上，設(shè)它的表達(dá)式為y=-(x-/i)2,

?.?該二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)怎樣的平移恰好過(guò)點(diǎn)(0,-4),

-4=—(0—h)2,

解得：h=±2,

即該函數(shù)的圖象平移后的表達(dá)式為：y=-(x-2)2或y=-(X+2)2,

二該二次函數(shù)的圖象向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度或向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度恰好經(jīng)過(guò)

點(diǎn)(0,-4),且與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn).

【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、求二次函數(shù)的函數(shù)值的取值范圍、二次函數(shù)圖

象的平移，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與特征是解題的關(guān)鍵

題型05利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式(交點(diǎn)式)

1.(20237T蘇揚(yáng)州?統(tǒng)考二模)已知：二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(TO"(工①和(0,幻,當(dāng)

x=2時(shí)，y的值為.

【答案】3

【分析】根據(jù)題意可得交點(diǎn)式y(tǒng)=QQ—3)a+l),然后把(0,3)代入求出。值，即可求出二次函數(shù)表達(dá)

式.

【詳解】解：?.?二次函數(shù)y=Q/+必+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(一1,0)、(3,0)

???拋物線(xiàn)的解析式為y=a(x-3)(%十1),

把(0,3)代入得：-3a=3,解得：a=-1,

???函數(shù)的解析式為y=-(x-3)。+1),

即)，=一%2+2%+3,

?,?當(dāng)％=2時(shí)，y=-22+2x2+3=3,

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題考查了求二次函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵.

2.(2022?山東威海?統(tǒng)考一模)如圖I,在平面直角坐標(biāo)系xO)，中，拋物線(xiàn)尸療+法+c與x釉分別相交于

A、B兩點(diǎn),與)，軸相交于點(diǎn)C,下表給出了這條拋物線(xiàn)上部分點(diǎn)(x,)，)的坐標(biāo)值：

X???-10123???

y???03430???

則這條拋物線(xiàn)的解析式為.

【答案】y=-x2+2x+3

【分析［根據(jù)表格可得到點(diǎn)(-1,0)、(0,3)、(3,0),設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=。(％+1)(%-3),將(0,

3)代入解析式即可得到。的值，再帶回所設(shè)解析式化為一般式即可.

【詳解】根據(jù)表格可得到點(diǎn)(-1,0)、(0,3)、(3,0)

設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=a(x+l)(x-3)

將(0,3)代入解析式得3=-3々

解得Q=-1

二解析式為y=-(%+1)(%-3)=-x2+2x+3

故答案為：y=-x24-2x+3.

【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法求解析式的步驟是解題的關(guān)鍵.

題型06根據(jù)二次函數(shù)解析式判斷其性質(zhì)

1.(2022?廣東江門(mén)?鶴山市沙坪中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))關(guān)于二次函數(shù)y="2+2%-8,下列說(shuō)法正確的是

()

A.圖象的對(duì)稱(chēng)軸在)，軸的右側(cè)

B.圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-9)

C.圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(一2,0)和(4,0)

D.y的最小值為一9

【答案】D

【分析】把二次函數(shù)的解析式化成頂點(diǎn)式和交點(diǎn)式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)就可以判斷各個(gè)選項(xiàng)中的結(jié)論

是否正確，從而可以解答本題.

【詳解】解：???二次函數(shù)y=x2+2x-8=(x+I)2-9=(x4-4)(x-2),

,該函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)％=-1,在>，軸的左側(cè)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

當(dāng)x=0時(shí)，y=-8,即該函數(shù)與)，軸交于點(diǎn)(0,-8),故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

當(dāng)y=0時(shí)，%=2或%=-4,即圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)和(一4,0),故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

當(dāng)《二-1時(shí)，該函數(shù)取得最小值丁二-9,故選項(xiàng)D正確.

故選：D

【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，把二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式和交點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵.

2.(2023?遼寧阜新?阜新實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级?對(duì)十二次函數(shù)y=-12+2X+1的性質(zhì)，卜列敘述止確的是

()

A.當(dāng)x>0時(shí)，y隨x增大而減小B.拋物線(xiàn)與直線(xiàn)y=x+2有兩個(gè)交點(diǎn)

C.當(dāng)％=2時(shí)，y有最小值3D.與拋物線(xiàn)y=-1/形狀相同

【答案】D

【分析】將該拋物線(xiàn)表達(dá)式化為頂點(diǎn)式，記錄判斷A、C;聯(lián)立/=%+2和曠=一；*2十2%十1,得到方程

0=-：％2+%―1,各級(jí)一元二次函數(shù)根的判別式，即可判斷&根據(jù)二次函數(shù)平移的性質(zhì)，即可判斷

D.

【詳解】解：??1=-3/+2%+1=一1%-2)2+3,

，該二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=2,

a=-^<0,函數(shù)開(kāi)口向下，

???當(dāng)》>2時(shí)，y隨x增大而減小，故A錯(cuò)誤，不符合題意；

B、當(dāng)y=x+2時(shí)，x+2=-1%2+2x4-1,

整理得：0=-27+%-1

2

:?N=b2-4ac=l2—4x0x(—1)=—1<0>

???方程》+2=-3工2+2》+1無(wú)實(shí)數(shù)根，則拋物線(xiàn)與直線(xiàn)y=x+2沒(méi)有交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤，不符合題意；

C、Yy=-/x-2尸+3,a=<0,函數(shù)開(kāi)口向下，

，當(dāng)％=2時(shí)，y有最大值3,故C錯(cuò)誤，不符合題意；

D、??]=一式％-2）2+3可由丫=一3/向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到，

.??），=—：*2+2%+1與拋物線(xiàn)y=—形狀相同，故D正確，符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握、=0-h）2+憶的對(duì)稱(chēng)軸為工二九，頂

點(diǎn)坐標(biāo)為（h,k）；Q>0時(shí)，函數(shù)開(kāi)口向上，在對(duì)稱(chēng)軸左邊，y隨尤的增大而減小，在對(duì)稱(chēng)軸右邊，），隨工的

增大而增大，a<0時(shí)，函數(shù)開(kāi)口向下\在對(duì)稱(chēng)軸左邊，），隨x的增大而增大，在對(duì)稱(chēng)軸右邊，），隨x的增

大而減小.

3.（2023?廣東深圳?校考三模）關(guān)于二次函數(shù)y=-2（%-1）2+6,下列說(shuō)法正確的是（）

A.圖象的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)％=-1B.圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn)

C.當(dāng)％=1時(shí)，，y取得最小值，且最小值為6D.當(dāng)％>2時(shí)，y的值隨x值的增大而減小

【答案】D

【分析】對(duì)于二次函數(shù)y=。（無(wú)一九）2+依〃，h,A為常數(shù)，QWO）,當(dāng)Q>0時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，在對(duì)稱(chēng)

軸的左側(cè)y隨x的增大而減小，在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)y隨x的增大而增大，此時(shí)函數(shù)有最小值；當(dāng)。<0時(shí)，拋

物線(xiàn)開(kāi)口向卜，在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)y隨x的增大而增大，在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè)），隨x的增大而減小，此時(shí)函數(shù)有

最大值.其頂點(diǎn)坐標(biāo)是（兒左），對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)％=力.根據(jù)二次函數(shù)y=a。一九產(chǎn)+k的性質(zhì)解答即可.

【詳解】解：???拋物線(xiàn)y=-2（%-+6,

???該拋物線(xiàn)的圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)%=1,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，不符合題意；

???頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,6）,

???當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)取得最大值6>0,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，不符合題意；

又1?拋物線(xiàn)的圖象開(kāi)口向下，

???圖象與尤軸有2個(gè)交點(diǎn)，

故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，不符合題意；

當(dāng)欠>2時(shí)，y隨x的增大而減小，故選項(xiàng)D正確，符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)、=研尤-九）2+目的性質(zhì)是解答本題的關(guān)

鍵.

題型07將二次函數(shù)的一般式化為頂點(diǎn)式

1.（2023?浙江?模擬預(yù)測(cè)）要得到丫二一2/-12%-19圖象，只需把拋物線(xiàn)y=-2%2-4%-1圖象如何變

換得到（）

A.向左平移2個(gè)單位、向上平移2個(gè)單位B.向左平移2個(gè)單位、向下平移2個(gè)單位

C.向右平移2個(gè)單位、向上平移2個(gè)單位D.向右平移2個(gè)單位、向下平移2個(gè)單位

【答案】B

【分析［將二次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式，再根據(jù)圖象平移規(guī)則“左加右減，上加下減”求解即可.

【詳解】解：?.3二一2/一12%-19=-2（%+3）2-1,y=-2x2-4x-1=-2（x+I）2+1,

工將拋物線(xiàn)丫二-2（無(wú)+1）2+1向左平移2個(gè)單位、向下平移2個(gè)單位y=-2（x+l+2）2+l-2,即、二

-2（x+3）2-1,

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象的平移，熟練掌握函數(shù)圖象平移的規(guī)則是解答的關(guān)鍵.

2.（2023?陜西渭南?統(tǒng)考二模）將拋物線(xiàn)〉=aM+bx-2（a、》是常數(shù)，aH0）向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度

后，得到的新拋物線(xiàn)恰好和拋物線(xiàn)y=3/+x-4關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則〃、〃的值為（）

A.a=-l，b=-2B.a=「"-1C.a=^b=-AD.a=l,b=2

【答案】C

【分析】先求出拋物線(xiàn)y=：/+%—4關(guān)于），軸對(duì)稱(chēng)的拋物線(xiàn)為y=；（x—l）2—（再根據(jù)拋物線(xiàn)平移的

2

性質(zhì)得出拋物線(xiàn)y=Q/+hx-2向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后為y=ax+bx-4,即可得出a和h的值.

【詳解】解：??3=：/+%-4=/%+1）2-（

???拋物線(xiàn)y=^x2+x-4關(guān)于y相對(duì)稱(chēng)的拋物線(xiàn)為y=|（x-l）2-支

:拋物線(xiàn)y=ax2+bx-2向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后為y=ax2+bx-4,

Vy=ax2+bx-4與y=^x2+x-4關(guān)于），軸對(duì)稱(chēng)，

/.>?=ax2+Z?x-4=^（x-l）2-p

整理得：y=ax2+bx-4=1x2-x-4,

??a=-2>b=—1,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的平移規(guī)律，解題的關(guān)鍵是掌握將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式的方法和步驟，

以及二次函數(shù)的平移規(guī)律：上加下減，左加右減.

3.（2021?陜西西安?西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y=好-2mx+

mz+2m+1的頂點(diǎn)一定不在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】D

【分析】把函數(shù)解析式整理成頂點(diǎn)式形式，再根據(jù)m的取值范圍，分類(lèi)討論，即可判斷頂點(diǎn)所在的象限.

（詳解】解：（1）Vy=x2-2mx+m24-2/n+1=（x-/n）2+2m+1,

，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m,27n+1）,

???當(dāng)m<—：時(shí)，m<0,2m+1<0,頂點(diǎn)在第三象限；

當(dāng)-1<ni<0時(shí)，m<0,2m4-1>0,頂點(diǎn)在第二象限；

當(dāng)n>0時(shí)，m>0,2m+1>0f頂點(diǎn)在第一象限；

綜上所述，拋物線(xiàn)y=x2-2mx+m2+2血+1的頂點(diǎn)一定不在第四象限，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)解析式的轉(zhuǎn)化，坐標(biāo)軸上點(diǎn)的性質(zhì)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

題型08利用五點(diǎn)法繪二次函數(shù)圖象

1.（2022?安徽合肥?統(tǒng)考二模）在函數(shù)學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)歷了列表、描點(diǎn)、連線(xiàn)畫(huà)函數(shù)圖象，并結(jié)合圖形研

究函數(shù)性質(zhì)及其應(yīng)用的過(guò)程，以下是研究三次函數(shù)y=ax3+\2（aH0）的性質(zhì)時(shí)，列表和描點(diǎn)的部分過(guò)

程，請(qǐng)按要求完成下列各小題.

X???-6-5-4-3-2-101???

252757

y???0mn0???

~8~888

(1)表格中〃?=，*,并在給出的坐標(biāo)系中用平滑

的曲線(xiàn)畫(huà)出該函數(shù)的大致圖象；

(2)結(jié)合圖象，直接寫(xiě)出3工。/+]/的解集為：______.

24

【答案】(1)4,2

(2)-6<x<-2或X>2.

【分析】(1)把把％=1,y=泉弋入y=。先求解再把％=一%%=-2代入解析式即可

得到答案；再畫(huà)函數(shù)圖象即可；

(2)先判斷y=：x+3過(guò)(一6,0),(—2,2),(2,4),再結(jié)合函數(shù)圖象可得答案.

【詳解】(1)解：把x=l,y=9代入y=。/十3%2(。中0)可得：

84

.37

???a+Z-

.??a=/

函數(shù)解析式為：y=jx3+：一,

當(dāng)x=-4時(shí)，m=：x(一4T+：x(-4)2=4,

當(dāng)x=-2時(shí)，n=^x(一2尸+：x(-2)2=2.

當(dāng)x=2時(shí)，y=lx23+-x22=1+3=4.

畫(huà)圖如下:

y

X

（2）解：對(duì)于y=：%+3,

當(dāng)x=0時(shí)，y=3,當(dāng)y=0時(shí)，x=-6,

當(dāng)x=2時(shí)，y=4,當(dāng)％=-2時(shí)，y=2,

所以y=3%+3過(guò)（。,3）與（一6,0）,還過(guò)（2,4）,（-2,2）,

結(jié)合函數(shù)圖象可得：；工+3工。/+：工2的解集為：一6工工工一2或%22.

24

【點(diǎn)睛】本題考查的是畫(huà)函數(shù)圖象，利用函數(shù)圖象解不等式，探究函數(shù)的性質(zhì)，掌握“數(shù)形結(jié)合的方法”是

解本題的關(guān)鍵.

2.（2022.廣東深圳?統(tǒng)考二模）小明為了探究函數(shù)M：y=-i+4W|-3的性質(zhì),他想先畫(huà)出它的圖象，

然后再觀察、歸納得到，并運(yùn)用性質(zhì)解決問(wèn)題.

(I)完成函數(shù)圖象的作圖，并完成填空.

①列出y與x的幾組對(duì)應(yīng)值如下表：

X?.?-5-4-3-2-1012345???

y???-8-3010-3010a-8???

表格中，a-：

②結(jié)合上表，在下圖所示的平面直角坐標(biāo)系xQy中，畫(huà)出當(dāng)￡>0時(shí)函數(shù)M的圖象；

③觀察圖象，當(dāng)尸時(shí)，y有最大值為;

(2)求函數(shù)M：y=—產(chǎn)+4|劃一3與直線(xiàn)/：y=2x-3的交點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)已知P(小，%),Q(m+1,y2)兩點(diǎn)在函數(shù)M的圖象上，當(dāng)y1<y2時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出機(jī)的取值范圍.

【答案】⑴①?3；②見(jiàn)解析；③2或-2,I

(2)(-6,-15),(0,-3),(2,1)

(3)?n<-2.5或一0.5<m<1.5

【分析】(1)①觀察表格，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性直接求得a的值：

②根據(jù)描點(diǎn)連線(xiàn)畫(huà)出函數(shù)圖象也可根據(jù)對(duì)稱(chēng)性畫(huà)出函數(shù)圖象；

③根據(jù)函數(shù)圖像直接求解；

(2)分x>0,x<0兩種情況聯(lián)立解方程求解即可；

(3)根據(jù)函數(shù)圖象選取函數(shù)圖象中y隨尤增大而增大的部分的白變量取值范圍即可求解

【詳解】(1)①根據(jù)表格數(shù)據(jù)可知y與x的幾組對(duì)應(yīng)值關(guān)于％=0對(duì)稱(chēng)，

當(dāng)％=4與x=-4的函數(shù)值相等，則a=-3

故答案為：一3

②畫(huà)圖如下，

③觀察圖象，當(dāng)戶(hù)2或-2時(shí)，y有最大值為1：

故答案為：2或-2,1

(2)由、=一/+4氏|-3,

當(dāng)xNO時(shí)，y=-%2+4%-3

(y=-x24-4%-3

Iy=2x-3

當(dāng)力<0時(shí)，y=-x2—4x—3

(Xt=0(X2=-6

tyi=-3'ly2=T5

綜上所述,交點(diǎn)坐標(biāo)為(6?15),(0,-3),(2,1)；

(3)觀察函數(shù)圖像可知，當(dāng)％V-2以及0V%<2時(shí)，y隨％增大而增大

VP(m,yjQ(/77+1,丫2)兩點(diǎn)在函數(shù)M的圖象上，力〈九，

.(m<-2成［0<m<2

F+1<-2Vm+1V2'

解得,m<-3或0<m<l?

由對(duì)稱(chēng)性可知：當(dāng)-0.5,1.5時(shí)，丫1二力，

當(dāng)一34m<一2.5時(shí)，ji<y2i當(dāng)一0.5Wm<0.5時(shí)，當(dāng)<%；當(dāng)IKmV1.5時(shí),<y2;

因此，當(dāng)月<%時(shí)，加的取值范圍是：mV-2.5或一0.5Vm<1.5.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，根據(jù)二次函數(shù)的增減性判斷取值范

圍，掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

題型09二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)

1.（2021?湖北武漢?統(tǒng)考中考真題）已知拋物線(xiàn)y=a/+bx+c（a,b,c是常數(shù)），a+b+c=0,下列

四個(gè)結(jié)論：

①若拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（一3,0）,則b=2a；

②若b=c,則方程ex?+人工+a=0一定有根％=-2；

③拋物線(xiàn)與x軸一定有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)；

④點(diǎn)4a1，乃），8（%2，丫2）在拋物線(xiàn)上，若。VaVc,則當(dāng)<不<1時(shí)，Xi>72-

其中正確的是（填寫(xiě)序號(hào)）.

【答案】①②④

【分析】①將（-3,0）代入解析式即可判定；②由8=c,可得。=-2c,cf+A+D可得cf+cx-2c=0,則原方

程可化為f+.i2=0,則一定有根A=-2：③當(dāng)心4a$0時(shí)，圖像與x軸少于兩個(gè)公共點(diǎn)，只有一個(gè)關(guān)于a,

b,c的方程,故存在。、〃、c使y4"兇），故③錯(cuò)誤；④若（Xa<c,則有b<0且階>|琲>同,\b\>2\a\f所

以對(duì)稱(chēng)軸一2>1，因?yàn)椤?gt;0在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)*<X2<I時(shí)，w22,故④正確.

【詳解】解：???拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-3,0）

.*.0=（-3）2。-3b+c,即9a-3b+c=0

:a+b+c=0

:.b=2a

故①正確；

V/?=c?a+b+c=0

:.a=-2c,

*.*cr+bx+a^

?\cr+cx-2c=0,即丁+?2=0

,一定有根x=-2

故②正確；

當(dāng)/4/cWO時(shí)，圖像與x軸少于兩個(gè)公共點(diǎn)，只有一個(gè)關(guān)于。、仄c的方程，故存在服b、c使廿-

4ac<0,故③錯(cuò)誤；

若0VKC,則有X0且⑶>|c|>同，\b\>2\a\,所以對(duì)稱(chēng)軸一;>1,因?yàn)椤?gt;0在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)，函數(shù)單調(diào)遞減，

所以當(dāng)Xi<X2<1時(shí)，｝7>3,2，故④正確.

故填：①②④.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)以及二元一次方程，靈活運(yùn)用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)成為解

答本題的關(guān)鍵.

2.（2021?湖北武漢?統(tǒng)考二模）拋物線(xiàn)），=加+樂(lè)+。（小b,c是常數(shù)，?<0）經(jīng)過(guò)A（0,3）,B（4,3）.

下列四個(gè)結(jié)論：

①4。+力=0；

②點(diǎn)B5,w），P2（小”）在拋物線(xiàn)上，當(dāng)田-25咫-2|>0時(shí),yi>y2i

③若拋物線(xiàn)與x軸交于不同兩點(diǎn)C,D,且CH6,則〃〈一去

④若34",對(duì)應(yīng)的>'的整數(shù)值有3個(gè)，則-1Vd一；.

其中正確的結(jié)論是—（填寫(xiě)序號(hào)）.

【答案】①③④

【分析】將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式可判斷結(jié)論①；拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，絕對(duì)值的意

義，可判斷結(jié)論②；C,。為拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，計(jì)算CH6,可以

判斷結(jié)論③；拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，3SW4時(shí)函數(shù)值遞減，由點(diǎn)B（4,3）,得到尸3時(shí)，y的取值范圍便可判

斷結(jié)論④；

【詳解】解：將A、8兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)得：（,

（3=16a+4b+c

解得LI：?故結(jié)論①正確：

拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為％=-2=2,函數(shù)開(kāi)口向下，

2a

VU/-2|-|A-2-2|>0,BPPt（內(nèi)，>-/）離對(duì)稱(chēng)軸更遠(yuǎn)，

.??）：/V），2，故結(jié)論②錯(cuò)誤；

設(shè)C（孫0）,C（也，0）,

由根與系數(shù)的關(guān)系得：X3JC4=-r

a

22

IX3~X4\=yJ（X3+X4）-4X3-x4=J4-4x=J16_/<6,

解得:故結(jié)論③正確；

由題意知:x=4時(shí)，y=3,

V3<r<4,對(duì)應(yīng)的），的整數(shù)值有3個(gè)，函數(shù)開(kāi)口向下,

???丁對(duì)應(yīng)的整數(shù)值為：5,4,3,

23時(shí),對(duì)應(yīng)的y值:59V6,

/.5<9?+3Z?+c<6?5W9。-12。+3<6,

解得-IVaW-j故結(jié)論④正確；

故答案為：①③④；

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，絕對(duì)值的意義，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系；掌握二次函數(shù)

的圖象和性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

3.(2022?廣東珠海?統(tǒng)考二模)已知拋物線(xiàn)的解析式為y=/—(m+2)x+m+l(小為常數(shù))，則下列說(shuō)

法正確的是.

①當(dāng)771=2時(shí)，點(diǎn)(2,1)在拋物線(xiàn)上；

②對(duì)于任意的實(shí)數(shù)in,X=1都是方程/一(m+2)x+7N+1=0的一個(gè)根；

③若m>0,當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大：

④已知點(diǎn)力(一3,0),8(1,0),則當(dāng)一V0時(shí)，拋物線(xiàn)與線(xiàn)段有兩個(gè)交點(diǎn).

【答案】②

【分析】①將點(diǎn)代入解析式中即可判斷；

②解方程/-(m4-2)x+m+1=0即可判斷；

③根據(jù)函數(shù)解析判斷開(kāi)口方向，根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸及開(kāi)口方向即可判斷；

④解方程--(m+2)x+m+l=0,根據(jù)題意，利用m的取值范圍及即可判斷.

【詳解】解：拋物線(xiàn)'=/一(血+2)%+血+1=(%-1)(%-加-1)(771為常數(shù))中，

當(dāng)m=2時(shí)，拋物線(xiàn)、="2-4%+3,若x=2,My=22-4x2+3=-1,

???點(diǎn)(2,1)不在拋物線(xiàn)上，

即①說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意，

方程/-(m+2)x+m+l=0即(％-l)(x-m-1)=0,

x-1=0或x-m—1=0,

解得%=1,&=血+1，

???對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，x=1■都是方程/-(TH4-2)x+m+1=。的一個(gè)根，

即②說(shuō)法正確，符合題意，

拋物線(xiàn)丫=/一(血+2)為+771+1(771為常熟)中，1>0,開(kāi)口向上，

對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)X=等，當(dāng)春時(shí)，y隨工的增大而增大,

即若m>0,X=等>1,當(dāng)x>l時(shí)，），隨文的增大而增大，不一定正確,

即③說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意，

拋物線(xiàn)y=/一（血+2）x+m+1=（%-l）（x-m—1）（m為常數(shù)）中，

當(dāng)y=0時(shí)，x2-（?n+2）x+m+1=0,

解得力]=1，乃=7九+1，

???拋物線(xiàn)與％軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1,0）、（m+1,0）,

當(dāng)一44m40時(shí),-3<m+1<1,

???“④己知點(diǎn)4（一3,0）,8（1,0）,則當(dāng)一4工m<0時(shí)，拋物線(xiàn)與線(xiàn)段有兩個(gè)交點(diǎn)”的說(shuō)法錯(cuò)誤，（因?yàn)楫?dāng)巾=

1時(shí)只有一個(gè)交點(diǎn)），不符合題意，

綜上所述，說(shuō)法正確的是②，

故答案為：②.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，.主要考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，靈活運(yùn)用二

次函數(shù)的圖象及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.（2020?山東泰安?中考真題）已知二次函數(shù)y=a/+bx+c（a,瓦。是常數(shù)，a工0）的y與之的部分對(duì)應(yīng)

值如下表：

X-5-4-202

y60—6-46

下列結(jié)論：

①a>0；

②當(dāng)無(wú)=一2時(shí)，函數(shù)最小值為一6：

③若點(diǎn)（一8,%），點(diǎn)（8,2）在二次函數(shù)圖象上，則yiV%：

④方程Q/+bx+c=一5有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

其中，正確結(jié)論的序號(hào)是.（把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填上）

【答案】①③④

【分析】先根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)利用待定系數(shù)法求出拋物線(xiàn)的解析式，進(jìn)而可直接判斷①；由拋物線(xiàn)的性質(zhì)

可判斷②；把點(diǎn)（一8,%）和點(diǎn)（8,死）代入解析式求出刈、”即可③；當(dāng)尸-5時(shí)，利用一元二次方程的根的

判別式即可判斷④，進(jìn)而可得答案.

【詳解】解：由拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(-5,6)、(2,6)、(0,-4),可得:

25a—Sb+c=6(a=1

4Q+2b+c=6,解得：］b=3

???二次函數(shù)的解析式是y=x2+3x-4,

/.a=l>0,故①正確；

當(dāng)火=一［時(shí)，有最小值一章故②錯(cuò)誤；

若點(diǎn)(一8,%),點(diǎn)(8/2)在二次函數(shù)圖象上，則yi=36,y2=84,?,-y1<y2^故③正確；

2

當(dāng)尸-5時(shí)，方程/+3%-4=-5即M+3X+1=0,?.為=3-4=5>0,，方程a/+hx+c=_5

有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故④正確；

綜上，正確的結(jié)論是：①③④.

故答案為：①③④.

【點(diǎn)睛】本題以表格的形式考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)以及?元二次方程的

根的判別式等知識(shí)，屬于?？碱}型，熟練掌握二次函數(shù)與一元二次方程的基本知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

題型10二次函數(shù)平移變換問(wèn)題

1.(2021?江蘇蘇州?統(tǒng)考中考真題)已知拋物線(xiàn)y=/+的對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)，現(xiàn)將該拋物線(xiàn)先向

右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的拋物線(xiàn)正好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，貝抹的值是(〉

A.-5或2B.-5C.2D.-2

【答案】B

【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象左加右減，上加下減的平移規(guī)律進(jìn)行解答即可.

【詳解】解：函數(shù)y=/+k%-U向右平移3個(gè)單位，得：y=(x-3)2+k。-3)-攵2；

再向上平移1個(gè)單位，得：y=(x-3)2+Ar(x-3)-k2+\,

,/得到的拋物線(xiàn)正好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)

/.0=(0-3)2+k(0-3)-k2+l即好+3k-10=0

解得：k=-5或k=2

:拋物線(xiàn)y=x2+kx-/的對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)

,?X=一5>。

：.k<0

:?k=-5

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了函數(shù)圖象的平移，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減.

2.（2021?貴州黔東南?統(tǒng)考中考真題）如圖,拋物線(xiàn)%、=收2+必+c（aH（））與％軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，（1,

0）,與y軸交于點(diǎn)8（0,2）,虛線(xiàn)為其對(duì)稱(chēng)軸，若將拋物線(xiàn)向下平移兩個(gè)單位長(zhǎng)度得拋物線(xiàn)G，則圖中兩

個(gè)陽(yáng)影部分的面枳和為（）

【答案】B

【分析】連接A&OM,根據(jù)二次函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性把陰影圖形的面積轉(zhuǎn)化為平行四邊形480M面積求解

即可.

【詳解】設(shè)平移后的拋物線(xiàn)與對(duì)稱(chēng)軸所在的直線(xiàn)交于點(diǎn)連接人氏OM.

由題意可知，AM=OB,

???4(1,0),8(0,2)

OA=1,OB=AM=2?

;拋物線(xiàn)是軸對(duì)稱(chēng)圖形,

???圖中兩個(gè)陰影部分的面積和即為四邊形ABOM的面積,

?：AM〃OB,AM=OB,

:.四邊形ABOM為平行四邊形，

:四邊形ABOM=08?。力=2x1=2，

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性和陰影面積的求法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)性

轉(zhuǎn)化陰影圖形的面積.

3.(2021.山西.統(tǒng)考中考真題)拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為y=3(x-2/+1,若將不軸向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)

度，將y軸向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，則該拋物線(xiàn)在新的平面直角坐標(biāo)系中的函數(shù)表達(dá)式為()

A.y=3(x+l)2+3B.y=3(x-5)2+3

C.y=3(x-5)2-1D.y=3(%+l)2-1

【答案】C

【分析】將題意中的平移方式轉(zhuǎn)換成函數(shù)圖像的平移，再求解析式即可.

【詳解】解：若將》軸向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，

相當(dāng)于將函數(shù)圖像向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，

將)，軸向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，

相當(dāng)于將函數(shù)圖像向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，

則平移以后的函數(shù)解析式為：y=3。-2-3)2+1-2

化簡(jiǎn)得：y=3(%-5)2-1,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)圖像的平移，將題意中的平移方式轉(zhuǎn)換為函數(shù)圖像的平移是解決本題的關(guān)

鍵.

4.(2022?山東聊城?統(tǒng)考二模)平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線(xiàn)y=-嚴(yán)平移得到拋物線(xiàn)c,如圖所示，旦拋

物線(xiàn)C經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(一1,0)和8(0,3),點(diǎn)尸是拋物線(xiàn)C上第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作x軸的垂線(xiàn)，垂足為

Q,則。Q+PQ的最大值為.

【分析】求得拋物線(xiàn)。的解析式，設(shè)Q(x,0),則P(x,-f+2x+3),即可得出OQ+PQ,根據(jù)二次函數(shù)

的性質(zhì)即可求得.

【詳解】解：設(shè)平移后的解析式為產(chǎn)4+縱+c,

;拋物線(xiàn)C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-1,0)和8(0,3),

.??)：=°，解得的；,

J拋物