年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學（天津卷）2022．06．一、選擇題：本題共9小題，每小題5分，共45分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設全集，集合，則（）A B. C. D.2.“為整數(shù)”是“為整數(shù)”的（）A.充分不必要 B.必要不充分C.充分必要 D.既不允分也不必要3.函數(shù)的圖像為（）A. B.C. D.4.為研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進行臨床試驗，所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)（單位：）的分組區(qū)間為，將其按從左到右的順序分別編號為第一組，第二組，…，第五組，右圖是根據(jù)試驗數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖．已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組中有療效的人數(shù)為（）A.8 B.12 C.16 D.185.已知，，，則（）A. B. C. D.6.化簡的值為（）A.1 B.2 C.4 D.67.已知拋物線分別是雙曲線的左、右焦點，拋物線的準線過雙曲線的左焦點，與雙曲線的漸近線交于點A，若，則雙曲線的標準方程為（）A. B.C. D.8.如圖，“十字歇山”是由兩個直三棱柱重疊后的景象，重疊后的底面為正方形，直三棱柱的底面是頂角為，腰為3的等腰三角形，則該幾何體的體積為（）A.23 B.24 C.26 D.279.已知，關(guān)于該函數(shù)有下列四個說法：①的最小正周期為；②在上單調(diào)遞增；③當時，的取值范圍為；④的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到．以上四個說法中，正確個數(shù)為（）A. B. C. D.第II卷二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．試題中包含兩個空的，答對1個的給3分，全部答對的給5分．10.已知是虛數(shù)單位，化簡的結(jié)果為_______．11.的展開式中的常數(shù)項為______.12.若直線與圓相交所得的弦長為，則_____．13.52張撲克牌，沒有大小王，無放回地抽取兩次，則兩次都抽到A的概率為____________；已知第一次抽到的是A，則第二次抽取A的概率為____________14.在中，，D是AC中點，，試用表示為___________，若，則的最大值為____________15.設，對任意實數(shù)x，記．若至少有3個零點，則實數(shù)的取值范圍為______.三、解答題：本大題共5小題，共75分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．16.在中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c.已知.（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值.17.直三棱柱中，，D為中點，E為的中點，F(xiàn)為的中點．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求平面與平面所成二面角的余弦值．18.設是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且．（1）求與的通項公式；（2）設的前n項和為，求證：；（3）求．19.橢圓的右焦點為F、右頂點為A，上頂點為B，且滿足．（1）求橢圓離心率；（2）直線l與橢圓有唯一公共點M，與y軸相交于N（N異于M）．記O為坐標原點，若，且的面積為，求橢圓的標準方程．20.已知，函數(shù)（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）若和有公共點，（i）當時，求取值范圍；（ii）求證：．

2022年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學（天津卷）2022．06．一、選擇題：本題共9小題，每小題5分，共45分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出，再根據(jù)交集的定義可求.【詳解】，故，故選：A.2.“為整數(shù)”是“為整數(shù)”的（）A.充分不必要 B.必要不充分C.充分必要 D.既不允分也不必要【答案】A【解析】【分析】依據(jù)充分不必要條件的定義去判定“為整數(shù)”與“為整數(shù)”的邏輯關(guān)系即可.【詳解】由題意，若為整數(shù)，則為整數(shù)，故充分性成立；當時，為整數(shù)，但不為整數(shù)，故必要性不成立；所以“為整數(shù)”是“為整數(shù)”的充分不必要條件.故選：A.3.函數(shù)的圖像為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分析函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性及其在上的函數(shù)值符號，結(jié)合排除法可得出合適的選項.【詳解】函數(shù)的定義域為，且，函數(shù)為奇函數(shù)，A選項錯誤；又當時，，C選項錯誤；當時，函數(shù)單調(diào)遞增，故B選項錯誤；故選：D4.為研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進行臨床試驗，所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)（單位：）的分組區(qū)間為，將其按從左到右的順序分別編號為第一組，第二組，…，第五組，右圖是根據(jù)試驗數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖．已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組中有療效的人數(shù)為（）A.8 B.12 C.16 D.18【答案】B【解析】【分析】結(jié)合已知條件和頻率分布直方圖求出志愿者的總?cè)藬?shù)，進而求出第三組的總?cè)藬?shù)，從而可以求得結(jié)果.【詳解】志愿者的總?cè)藬?shù)為＝50，所以第三組人數(shù)為50×0.36＝18，有療效的人數(shù)為18－6＝12．故選：B.5.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間值法可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】因為，故.故答案為：C.6.化簡的值為（）A.1 B.2 C.4 D.6【答案】B【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)可求代數(shù)式的值.【詳解】原式，故選：B7.已知拋物線分別是雙曲線的左、右焦點，拋物線的準線過雙曲線的左焦點，與雙曲線的漸近線交于點A，若，則雙曲線的標準方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知可得出的值，求出點的坐標，分析可得，由此可得出關(guān)于、、的方程組，解出這三個量的值，即可得出雙曲線的標準方程.【詳解】拋物線的準線方程為，則，則、，不妨設點為第二象限內(nèi)的點，聯(lián)立，可得，即點，因為且，則為等腰直角三角形，且，即，可得，所以，，解得，因此，雙曲線的標準方程為.故選：C.8.如圖，“十字歇山”是由兩個直三棱柱重疊后的景象，重疊后的底面為正方形，直三棱柱的底面是頂角為，腰為3的等腰三角形，則該幾何體的體積為（）A.23 B.24 C.26 D.27【答案】D【解析】【分析】作出幾何體直觀圖，由題意結(jié)合幾何體體積公式即可得組合體的體積.【詳解】該幾何體由直三棱柱及直三棱柱組成，作于M，如圖，因為，所以，因為重疊后的底面為正方形，所以,在直棱柱中，平面BHC，則,由可得平面，設重疊后的EG與交點為則則該幾何體的體積為.故選：D.9.已知，關(guān)于該函數(shù)有下列四個說法：①的最小正周期為；②在上單調(diào)遞增；③當時，的取值范圍為；④的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到．以上四個說法中，正確的個數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及變換法則即可判斷各說法的真假．【詳解】因為，所以最小正周期為，①不正確；令，而在上遞增，所以在上單調(diào)遞增，②正確；因為，，所以，③不正確；由于，所以的圖象可由的圖象向右平移個單位長度得到，④不正確．故選：A．

第II卷二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．試題中包含兩個空的，答對1個的給3分，全部答對的給5分．10.已知是虛數(shù)單位，化簡的結(jié)果為_______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的運算法則即可解出．【詳解】．故答案為：．11.的展開式中的常數(shù)項為______.【答案】【解析】【分析】由題意結(jié)合二項式定理可得的展開式的通項為，令，代入即可得解.【詳解】由題意的展開式的通項為，令即，則，所以展開式中的常數(shù)項為.故答案為：.【點睛】本題考查了二項式定理的應用，考查了運算求解能力，屬于基礎題.12.若直線與圓相交所得的弦長為，則_____．【答案】【解析】【分析】計算出圓心到直線的距離，利用勾股定理可得出關(guān)于的等式，即可解得的值.【詳解】圓的圓心坐標為，半徑為，圓心到直線距離為，由勾股定理可得，因為，解得.故答案為：.13.52張撲克牌，沒有大小王，無放回地抽取兩次，則兩次都抽到A的概率為____________；已知第一次抽到的是A，則第二次抽取A的概率為____________【答案】①.②.【解析】【分析】由題意結(jié)合概率的乘法公式可得兩次都抽到A的概率，再由條件概率的公式即可求得在第一次抽到A的條件下，第二次抽到A的概率.【詳解】由題意，設第一次抽到A的事件為B,第二次抽到A的事件為C,則.故答案為：；.14.在中，，D是AC中點，，試用表示為___________，若，則的最大值為____________【答案】①.②.【解析】【分析】法一：根據(jù)向量的減法以及向量的數(shù)乘即可表示出，以為基底，表示出，由可得，再根據(jù)向量夾角公式以及基本不等式即可求出．法二：以點為原點建立平面直角坐標系，設，由可得點的軌跡為以為圓心，以為半徑的圓，方程為，即可根據(jù)幾何性質(zhì)可知，當且僅當與相切時，最大，即求出．【詳解】方法一：，，，當且僅當時取等號，而，所以．故答案為：；．方法二：如圖所示，建立坐標系：，，，所以點的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，當且僅當與相切時，最大，此時．故答案為：；．15.設，對任意實數(shù)x，記．若至少有3個零點，則實數(shù)的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】設，，分析可知函數(shù)至少有一個零點，可得出，求出的取值范圍，然后對實數(shù)的取值范圍進行分類討論，根據(jù)題意可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，綜合可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】設，，由可得.要使得函數(shù)至少有個零點，則函數(shù)至少有一個零點，則，解得或.①當時，，作出函數(shù)、的圖象如下圖所示：此時函數(shù)只有兩個零點，不合乎題意；②當時，設函數(shù)的兩個零點分別為、，要使得函數(shù)至少有個零點，則，所以，，解得；③當時，，作出函數(shù)、的圖象如下圖所示：由圖可知，函數(shù)的零點個數(shù)為，合乎題意；④當時，設函數(shù)的兩個零點分別為、，要使得函數(shù)至少有個零點，則，可得，解得，此時.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.三、解答題：本大題共5小題，共75分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．16.在中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c.已知.（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)余弦定理以及解方程組即可求出；（2）由（1）可求出，再根據(jù)正弦定理即可解出；（3）先根據(jù)二倍角公式求出，再根據(jù)兩角差的正弦公式即可求出．【小問1詳解】因為，即，而，代入得，解得：．【小問2詳解】由（1）可求出，而，所以，又，所以．【小問3詳解】因為，所以，故，又，所以，，而，所以，故．17.直三棱柱中，，D為的中點，E為的中點，F(xiàn)為的中點．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求平面與平面所成二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可證得結(jié)論成立；（2）利用空間向量法可求得直線與平面夾角的正弦值；（3）利用空間向量法可求得平面與平面夾角的余弦值.【小問1詳解】證明：在直三棱柱中，平面，且，則以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、、、、、，則，易知平面的一個法向量為，則，故，平面，故平面.【小問2詳解】解：，，，設平面的法向量為，則，取，可得，.因此，直線與平面夾角的正弦值為.【小問3詳解】解：，，設平面的法向量為，則，取，可得，則，因此，平面與平面夾角的余弦值為.18.設是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且．（1）求與的通項公式；（2）設的前n項和為，求證：；（3）求．【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）利用等差等比數(shù)列的通項公式進行基本量運算即可得解；（2）由等比數(shù)列的性質(zhì)及通項與前n項和的關(guān)系結(jié)合分析法即可得證；（3）先求得，進而由并項求和可得，再結(jié)合錯位相減法可得解.【小問1詳解】設公差為d，公比為，則，由可得（舍去），所以；【小問2詳解】證明：因為所以要證，即證，即證，即證，而顯然成立，所以；【小問3詳解】因為，所以，設所以，則，作差得，所以，所以.19.橢圓的右焦點為F、右頂點為A，上頂點為B，且滿足．（1）求橢圓的離心率；（2）直線l與橢圓有唯一公共點M，與y軸相交于N（N異于M）．記O為坐標原點，若，且的面積為，求橢圓的標準方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的等量關(guān)系，由此可求得該橢圓的離心率的值；（2）由（1）可知橢圓的方程為，設直線的方程為，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，由可得出，求出點的坐標，利用三角形的面積公式以及已知條件可求得的值，即可得出橢圓的方程.【小問1詳解】解：，離心率為.【小問2詳解】解：由（1）可知橢圓的方程為，易知直線的斜率存在，設直線的方程為，聯(lián)立得，由，①，，由可得，②由可得，③聯(lián)立①②③可得，，，故橢圓的標準方程為．20.已知，函數(shù)（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）