專(zhuān)題10解三角形經(jīng)典必刷小題100題

任務(wù)一:和善模式（基礎(chǔ)）1-40題

一、單選題

1.在ARC中，已知且A=。，則。=（）

n057r八元

A.-B.—-C.-

4123

【答案】B

【分析】

由正弦定理得B=f,再由內(nèi)角和可得角C.

4

【詳解】

由正弦定理及由AC=08C，可得當(dāng)=槳=w，因?yàn)锳=g,

sinABCv33

所以sinB=^sinA=岑

，又ACcBC,

所以〃=f,所以△=￡,

34

卜—喑

故選：B.

2.在A4c中，角凡B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若（，+c?-尸》廊8=百加，則角5的

大小為（）

Tt八兀i27tcnc%_p5兀

A.-B.彳或:-C.-D.二或二

633366

【答案】B

【分析】

利用余弦定理邊化角，進(jìn)而利用同角三角函數(shù)的關(guān)系得到sin4的值，即得角4的值.

【詳解】

咋三出"等即等

cos.am/.sinB=>又<0<3<乃，；?4=￡或

233

故選：B.

3.在-ABC中，已知。+6=」7+々；，貝「A8c的形態(tài)肯定是（）

tanAtanB

A.等腰三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.等腰或直角三角形

【答案】B

【分析】

先通過(guò)“邊化角”，再通過(guò)協(xié)助角公式，即可求出答案.

【詳解】

.f?,?八sinAsinB,八

解：由正弦定理得sinA+sinB=------+------二cosA+cos8,

（anAtanB

整理得：sinA-cosA=-sinB+cosB

即0sin（A_1）=一應(yīng)又因?yàn)锳5?0,乃），所以（）一3）《一（,,：

所以=移項(xiàng)得：4+B=],所以三角形肯定為直角三角形.

故選：B

4.已知A45c三邊上的高分別為5.①、1,則cosA=（）

22

B.哼c.40.4

【答案】c

【分析】

2

設(shè)AA3c面積為S,分別將三角形的邊用S表示，利用余弦定理得出cosA.

【詳解】

設(shè)AA8C面積為S,a=4S,8=2忘5，c=2S,

則8sA二阻平3:一受，

2x2&Sx2s4

故選：C.

5.滿(mǎn)意條件卡4,左5及，於45°的△放的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.多數(shù)個(gè)D.不存在

【答案】I）

【分析】

由正弦定理求出角夕值的個(gè)數(shù).從而得出結(jié)論

【詳解】

由正弦定理知上7=3=>sin8=。無(wú)解，即不存在這樣的三角形

sinAsinB4

【點(diǎn)睛】

由正弦定理求出角〃值的個(gè)數(shù).許多時(shí)候還須要結(jié)合“大邊對(duì)大角”特點(diǎn).屬于中檔題

6.A3C的內(nèi)角力，B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若cosA:cosA:cosC=6〃:3/?:2c,則

cosC等于（）

A.巫B.1C.迥D.巫

33310

【答案】D

【分析】

結(jié)合已知條件和正弦定理可得6lanA=3lan8=2lanC,即tanA=-^tanC,

tanB=-tanC,再依據(jù)lanC=Tan（A+B）和兩角和的正切公式，以及三角形內(nèi)角之間的

3

關(guān)系，即可求出lanC,再依據(jù)同角關(guān)系即可求出cosC.

【詳解】

,6a3b2c館/十廿八-6sinA3sinB2sinCllrI

由嬴r嬴利用正弦定理得盆r力二二F'即

I2

6lanA=3tanB=2lanC,所以tanA=-tanC,tan8=：tanC.代入

33

Tan*4-fan/>

tanC=-tan(^^)=--tan-tanfi,解得tanC=±3,乂tanAtan從tanC同號(hào)，所

以tanC=3,所以cosC=

10

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正弦定理任解三角形中的應(yīng)用，同時(shí)考查了三角恒等變換以及同角的基本

關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

7.在四邊形ABCQ中，ZD=2NB,且AO=1,CO=3,cosZB=—,則邊人C的長(zhǎng)

3

()

A.6B.4c.2V2D.2G

【答案】D

【分析】

利用二倍角的余弦公式求出cosNO，然后利用余弦定理可求得邊AC的長(zhǎng).

【詳解】

NO=2/8，cosZ.D=cos2/.B=2cos2Z.B-1=2x-1=-^?

由余弦定理得4c2=AO2+C￡)2-2A￡)COcosNO=12+32-2xlx3x12,

因此，AC=2x/3.

故選：D.

4

【點(diǎn)睛】

本題考查利用余弦定理求三角形的邊長(zhǎng)，同時(shí)也考杳了二倍角余弦公式的應(yīng)用，考查計(jì)算

實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.

8.己知AA8C中內(nèi)角。所對(duì)應(yīng)的邊依次為。也若2a=b+l,c=幣,C.,貝lj

AA8C的面積為()

A.孚B.GC.3GD.26

【答案】A

【分析】

由余弦定理可得￡+//—必=7,結(jié)合2〃4+1可得ab,再利用面積公式計(jì)算即可.

【詳解】

由余弦定理,=a2+￡>2-2AZ?COSC=a2+b2-ab,由［O”研,解得［：一］

2a=b+\［b=3

所以，^BC=-absmC=-x2x3x—=—.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用余弦定理解三角形，考查學(xué)生的基本計(jì)算實(shí)力，是一道簡(jiǎn)潔題.

9.在45c中，sinB=-,8c邊上的高為M?,〃為垂足，豆BD=2CD,貝ljcosN班公

3

()

A..正B.B

33

px/ionx/io

1010

【答案】A

5

【分析】

干脆利用三角函數(shù)的定義和余弦定理求出結(jié)果.

【詳解】

1AD

依題意設(shè)8=x，AD=y,則即=2x,8C=3x.因?yàn)閟inB=，所以然=*>=3)，.因

3sinB

為/K邊上的高為力〃，如圖所示

所以482=6。2+8。2=9+4/=9)2,即x=V5y.所以

AC=4AD，+CD2=舊+J?=島.

9y2+3)--9/_-6)?二G

依據(jù)余弦定理得cosZBAC=產(chǎn)

2ABAC2.3y?島-6島2-3

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了解三角形的問(wèn)題，關(guān)鍵是駕馭余弦定理.，屬于基礎(chǔ)題.

10.八8C中，已知(Z?+c)sin(A+C)=(4+c)(sinA-sinC),設(shè)〃是BC邊的中點(diǎn)，且

4ABC的面積為73,則心(D4+DB)等于()

A.2B.4C.-4D.-2

【答案】A

【分析】

依據(jù)正、余弦定理求出A；依據(jù)三角形面枳公式求出〃c：再依據(jù)〃是BC邊的中點(diǎn)，將

DA，用A3和人C表示，再依據(jù)數(shù)量積的定義，即可求出結(jié)果.

【詳解】

V(Z?+c)sin(A+C)=(t?+c)(sin74-sinC),

6

(b+c)sinB=(a+c)(sinA-sinC),

，(Z?+c)b=(〃+c)(。-c),即〃2+c?-/=一兒，

/.cosA=——=-^?又角A是4Abe的內(nèi)角，

2bc2

???A衛(wèi)，

3

)LSABC=-bcsinA=>/3,即耳，林乂皂,

222

/.be=4x

又〃是4c邊的中點(diǎn)

AB(DA-￥DB\=AB---(AB+AC)±-CB

\7L22

=AB---(AB+AC)+-(AB-AC)AC=-Z?c-cosA=-4xf-ll=2.

L22JI2)

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考杳了正弦定理和余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，同時(shí)考查了平面對(duì)量基本定理和數(shù)

量積運(yùn)算，屬中檔題.

11.已知6Abe的內(nèi)角A,B,。所對(duì)的邊分別為。，b,。，且2cos2?=土上，則

2c

二ABC是()

A.直角三角形B.等腰直角三角形

C.等邊三角形D.等腰三角形或直角三角形

【答案】A

【分析】

利用倍角公式化簡(jiǎn)邊角關(guān)系式，再利用正弦定理把關(guān)系式轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系式，化簡(jiǎn)后可得

cosC=0,從而可得止確優(yōu)項(xiàng).

7

【詳解】

因?yàn)?cos2勺=匕，故cos3+l=^即ccos8=a,

2cc

由正弦定理可得sinCeos8=sinA,

sinCeos=sin(C)=sin^cosC+cosBsinC,

整理得到sin8cosc=().

因?yàn)?e(0,乃)，故sinB>0,從而cosC=0,而?！?0,7)，故C='.

故.幺8c為直角三角形.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

在解三角形中，假如題設(shè)條件是邊角的混合關(guān)系，那么我們可以利用正弦定理或余弦定理

把這種混合關(guān)系式轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系式或角的關(guān)系式.化簡(jiǎn)中留意三角變換公式的合理運(yùn)用.

12.在△胸中，內(nèi)角4B,，對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c,若acosB-bcosA=c,則4=

()

冗c〃c2乃n5"

A.-B.-C.—D.—

3236

【答案】B

【分析】

由已知結(jié)合正弦定理及和差角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求解4

【詳解】

,:acosB-bcosA=c,

由正弦定理可得，sinAcosB-sinBeosA—sinC,

所以sinAcosB-sinBcosA=sin(J+8)=sinAcosB^-sinBeosA,

所以sinlicosA=^,

8

因?yàn)閟in/O,

所以cos4=0,&PA--JI,

2

故選:B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查正弦定理.、兩角和的正弦公式及邊化角的技巧，屬于基礎(chǔ)題.

13.已知4ABe中，比邊上的中線4)=3,4c=4,Zfi4C=60°,則A/WC的周長(zhǎng)為

()

A.x/46+4B.4x/3+4C.5&+4D,2/+4

【答案】A

【分析】

在和A40c中，由余弦定理，化簡(jiǎn)可得4審+AC：=26：在AA8c中，由余弦定理

可知AA?AC=IO,由此可得A8+AC=A，由此即可求出AABC的周長(zhǎng).

【詳解】

在A44D和AAOC中，由余弦定理，可知

AB2=AD2+BD2-2AD-BD-cosZADB=13-12cosZADB，

AC2=AD2+CD2-2ADCDcosZ4DC=13-I2cosZADC，

JAB~+AC2=26,

在AABC中，由余弦定理可知，

BC2=AB2+AC2-2AB-ACcosNBAC=26-/W?AC=16，

，ABAC=10,

：.(AB+AC)2=AB2+AC?+2A8?AC=26+20=46,

所以二八3c的周長(zhǎng)為A8+AC+BC=a+4.

故選：A.

9

【點(diǎn)睛】

本題主要考杳了余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于中等題.

14.在A4C中，角A民C的對(duì)邊分別為gEj若。=2,。=3,且滿(mǎn)意

(2^-c)cosB=/?cosC,則4B8C的值為()

A.2B.3C.—ID.—3

【答案】D

【分析】

利用正弦定理將邊化為角，即可求出角4.結(jié)合向量的數(shù)量積即可求解.

【詳解】

(2a-c)cos8=Z?cosC依據(jù)止5么定十里得：(2sinA-sinC)cos8=sin6cosc

即：2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC,??2sinAcosB=sin(B+C)=sinA,

又..0<A<7T,:.sinA>0..\COSB=—,

2

-0<B<7r,:.I3=-yAI3BC=-\A^\13C\cosB=-accos-=-2x3x-=-3.

332

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查正弦定理、兩角和的正弦公式及平面對(duì)量H勺數(shù)量積，考查邊化角的技巧，屬

于基礎(chǔ)題.

45

15.2\力由7的內(nèi)角4,R,C的對(duì)邊分別為a,h,若々ens;0=—,^=1,則慶

J1J

()

12C13c12n21

A.—B.――C.—D.——

13211313

【答案】I)

【分析】

10

45312

由^:醯從:二^^^仁二三解出0門(mén)人二^^訪^二^^即可求^^皿從由正弦定理即可求得結(jié)果.

513513

【詳解】

45

解：cosA=-,cosC=—,且AC為三角形的內(nèi)角，

..,3>廠12

??sinA=—,sinC=-

513T

63

.*.sinB=sin[^—(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=——,

65

,ab

又???-----=------，

sinAsinB

,asinB21

b=---------=—.

sinA13

故選:D.

【點(diǎn)睛】

在解有關(guān)三角形的題目時(shí):要有意識(shí)地考慮用哪個(gè)定理更合適,或是兩個(gè)定理都要用，要抓住

能夠利用某個(gè)定理的信息.一般地,假如式子中含有角的余弦或邊的二次式時(shí),要考慮用余弦

定理；假如式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，

則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到.

16.在刖8C中，NA=g,8c=3,AB=布，則NC=()

AR2萬(wàn)「式n3兀

A.-”B.—C.—D.——

3344

【答案】C

【分析】

由止弦定理可求得sinC=正，由4BV8C可知,即可得出NC=￡.

234

【詳解】

11

6x/2

---3sinC=—>/2,sinC=

由正弦定理得sinC,才~T，

sin—2

3

，C=f，或歲,因?yàn)锳BVBC,所以CVA=J,所以C=f.

4434

故選：C.

【點(diǎn)睛】

點(diǎn)睛(1)本題主要考查正弦定理解三角形,意在考查學(xué)生對(duì)該基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)的駕馭水平；(2)解三

角形假如出現(xiàn)多解，要利用三角形內(nèi)角和定理或三角形邊角不等關(guān)系來(lái)檢驗(yàn).

17.己知在“3C中，角的對(duì)邊分別為若〃=l,c=G，且

2sin(B+C)cosC=l-2cosAsinC,貝1］八3c的面積是()

A.電B.1C.在或@D.@或g

424242

【答案】C

【分析】

由三角形內(nèi)角和與兩角和與差的正弦公式求得sin8,再由同角三角函數(shù)關(guān)系求得cos8,

進(jìn)而由余弦定理求得a,最終由三角形面積公式求得答案.

【詳解】

因?yàn)?sin(8+C)cosC=1-2cosAsinC,g|J2sin4cosC=1-2cosAsinC,即

2sinAcosC+2sin(A+C)=l,則2sin(A+C)=l,所以2sin5=l,故sin5=—.

2

因?yàn)椤?lt;c,所以BvC,所以角8為銳角，故cosB=Jl-sin"=J,

2

由余弦定理可知，12=/+(6)2-2xaxGx手，解得。=1或〃=2.

當(dāng)a=l時(shí)，.A3C的面積S=—acsin^=—x|x>/3xi=—；

2224

當(dāng)4=2時(shí)，aAbC的面積S=—?csin5=—x2x>/3x—=—.

2222

12

故選：c

【點(diǎn)睛】

本題考查由余弦定理解三角形，并利用隨意三角形面積公式求面積，屬于簡(jiǎn)潔題.

18.△A8C中，NANa/C對(duì)應(yīng)的邊分別為"Ac,八嚶,b=3,三角形A8C的面

積為吆叵，則邊”的長(zhǎng)為（）

4

A.V19B.—C.7D.49

2

【答案】C

【分析】

首先利用三角形的面枳公式S.=；0csinA=q5,求出c=5,再利用余弦定理即可求

解.

【詳解】

由4=等，b=3,

則5\BC=—besinA=",解得c=5,

ABC24

在△ABC中，由余弦定理可得：

（1A

a2=b2+c2-2/?ccosA=94-25-2x3x5x—=49,

I2）

解得。=7.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形的面積公式、余弦定理，需熟記公式與定理，屬「基礎(chǔ)題.

19.在AA8c中，若cos2,4+cos24>2-sin?。，則AA8C的形態(tài)是（）

13

A.鈍角三角形B.直角三角形

C.銳角三角形D.無(wú)法推斷

【答案】A

【分析】

cos2A+cos2B>2-sin2cosin2A+sin2B<sin2C,利用正弦定理可得/+b2<c2，再利

用余弦定理即可推斷三角形形態(tài).

【詳解】

由cos?A+cos?4>2-sii]2。，得sin?A+sin?8vsin?C,由正弦定理，f^a2+b2<c2?

所以cosC=(rC■士<0,故。為鈍角，所以AA3C是鈍角三角形.

2ab

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考杳利用正余弦定理推斷三角形形態(tài)，考查學(xué)生對(duì)定理的敏捷運(yùn)用，是一道簡(jiǎn)潔題.

20.在A4C中，角4尻。所對(duì)的邊分別是〃也c,NA=45,〃=4,假如/WC有兩組解，

那么人的取值范圍是()

A.(4,+oo)B.(0.4)C.(4x/2,8)D.(4,4近)

【答案】D

【分析】

構(gòu)造關(guān)于乙4的余弦定理曰此得到關(guān)于。的方程組，依據(jù)三角形解的個(gè)數(shù)推斷方程組解的個(gè)

數(shù)，由此得到關(guān)于力的不等式組，從而可求)的取值范圍.

【詳解】

法一:設(shè)〃=x,則由余弦定理，42=x2+c2-2cjrcos45°?

.■"2-衣:.c+x2—]6=0,???三角形有兩組解，

，方程/一缶.(；+/-16=0有2個(gè)不同的正數(shù)根,設(shè)為q,C2,

14

A=(>/2X)2-4(X2-I6)>0,

C,+C2=V2X>0,?.4<x<4V2,即4v〃v4及:

2

ct-c2=x-16>0,

法二：.【ABC有兩組解，.,.bsinAvavb,

所以——b<4</>,所以4v〃v4夜.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查解三角形問(wèn)題中依據(jù)三角形解的個(gè)數(shù)求解參數(shù)他圍，難度一般.此類(lèi)問(wèn)題常見(jiàn)解答

方法：（1）作圖法；（2）利用正弦定理分析求解；（3）構(gòu)造一元二次方程，依據(jù)方程根的

分布進(jìn)行分析.

二、多選題

21.不解三角形，則下列對(duì)三角形解的個(gè)數(shù)的推斷中正確的是（）

A.。=30⑦=25,A=150,有一解B.a=7,力=14,A=30,有兩解

C.a=6./>=9.A=45,有兩解D.a=X/3.P=\/6.A=60?無(wú)解

【答案】AD

【分析】

應(yīng)用正弦定理結(jié)合各選項(xiàng)的條件求sin4網(wǎng)辿,由三角形內(nèi)角的性質(zhì)即可推斷各選項(xiàng)的

a

正誤.

【詳解】

A：由正弦定理sin8=2吧4=二，又0<8<g,故3只有一個(gè)解，正確；

a126

B：由正弦定理3也3=幽4=1,又。<4<些，明顯只有一個(gè)解，錯(cuò)誤；

a62

15

C：由正弦定理sin3=^a=S2>l,明顯3無(wú)解，錯(cuò)誤;

4

D：由正弦定理5訪3=汕4=逅>1,明顯/無(wú)解，正確;

2

故選：AD

22.在中，角A,R,C的對(duì)邊分別為〃，b.c,2/?sinA=x/5^cosB,AB=2,

AC=2瓜,D為8c中點(diǎn),E為AC上的點(diǎn)，且盛為的平分線，下列結(jié)論正確的

是（）

A.cosZZ^AC=--B.皿=3亞C.BE=2D.AD=#)

【答案】AD

【分析】

利用正弦定理、余弦定理、三角形面積公式，結(jié)合角平分線的性質(zhì)逐一推斷即可.

【詳解】

解析：由正弦定理可知：2sinBsin4=5/5sinAcosB

sinAw0

/.2sinB=\/5cosB

又sin?3+cos?8=1,

.?.sin8=@,2

cosB=一,

33

在，A3c中.AC2=AR24RC2-7AR-ACccsA得AC=6.

AB2+AC1-BC24+24-36屈

A.cosZBAC---------------=---------=----:

2ABAC2x2x2#6

B.=-/IB-BCsinZ?=—x2x6x32G

22

A-l-八小AE人81

C.由角平分線性質(zhì)可知：法=茲=§

16

，AEq?

BE2=AB2+AE2-2AB-AE-cosA=4+--2x2x—x[-^]=—

22\6/2

.同

?.b匕------.

2

_2

D.在△A8￡）中，AD2=AB2+BD2-2AB-BDcosB=4^-9-2x2x3x-=5

3

/.AD=>/5.

故選：AD

23.在-ABC中，下列結(jié)論中正確的是（）

A.若A<8,貝!Jsin4<sinB

B.若A<8,貝1]cos24<cos24

C.若A<8,則cosA>cos8

D.若A<4,

則總r焉

【答案】AC

【分析】

利用人邊對(duì)大角定理結(jié)合正弦定理可推斷A選項(xiàng)的正誤；利用A選項(xiàng)中的結(jié)論結(jié)合二倍角

的余弦公式可推斷B選項(xiàng)的正誤；利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可推斷C選項(xiàng)的正誤；利用特別

值法可推斷D選項(xiàng)的正誤.

【詳解】

對(duì)于A選項(xiàng)，若A<3,則由正弦定理可得sinAvsinB,A對(duì)：

對(duì)于B選項(xiàng)，若且A、8e（0,乃），則0<sinA<sinB,

則cos2A=\-2sin2A>l-2sin25=cos28,B錯(cuò);

對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?v4v4vn,且余弦函數(shù)N=8sx在（0,萬(wàn)）上為減函數(shù),

17

故cosA>cosB,C對(duì);

對(duì)于D選項(xiàng)，取A=[,B=^-,Msin2/l=sin—=—,sin2^=sin—=-—

633232

11

此時(shí),D錯(cuò).

sin2Asin28

故選：AC.

24.對(duì)于△胸，有如下推斷，其中正確的推斷是（）

A.若cos4=cos8,則△板為等腰三角形

B.若△胸為銳角三角形，有A+8>=，則sin4>cos5

C.若a=8,c=10,5=60。，則符合條件的△放有兩個(gè)

D.若sir^^+sin28Vsi布。，則△胸是鈍角三角形

【答案】ABD

【分析】

對(duì)于A,利用余弦定理推斷即可，對(duì)于B,利用誘導(dǎo)公式推斷即可，對(duì)于C,利用余弦定理

求解推斷即可，對(duì)于D,利用正弦定理和余弦定理推斷即可

【詳解】

對(duì)于A：若cos—?jiǎng)t,整理得：a=b,故△4%為等腰三角

2bc2ac

形，故A正確:

對(duì)于B：若△?1比為銳角三角形，有整理得八>］一8,故sin4>sin（1-或，

則sin4>cosS,故B正確;

對(duì)于C：由于a=8,c=10,8=60°,利用余弦定理求出b=&F+c?-勿ccosB=26，

故△4町唯一，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：sin2/f+sinB<sir2C,利用正弦定理：<c,故cosC="+"———<0,故

lab

18

CwT，乃，故是鈍角三角形，故D正確.

、乙Z

故選：ABD.

25.在A3c中各角所對(duì)得邊分別為a,b,c,下列結(jié)論正確的有()

A.」-=—二二一二貝為等邊三角形；

COS/ACOSHcosC

B.己知(a+〃+c)(a+b-c)=3a〃，貝!)NC=60;

C.己知。=7,。=46，c=JB,則最小內(nèi)角的度數(shù)為30;

D.在。=5,A=60,b=6,解三角形有兩解.

【答案】ABC

【分析】

對(duì)選項(xiàng)A,依據(jù)正弦定理得到tanA=tan8=tanC,從而得到A=8=C,即可推斷A正確.

對(duì)選項(xiàng)B，利用余弦定理即可推斷B正確；對(duì)選項(xiàng)C,利用余弦定理即可推斷C正確，對(duì)選

項(xiàng)D,由正弦定理即可推斷D錯(cuò)誤.

【詳解】

對(duì)選項(xiàng)A,因?yàn)?/p>

cos/\cos8cosC

.sinAsinBsinC,八一

所以----=-----=-----=tanA=tanB=tanC.

cosAcosBcosC

又因?yàn)锳8,C?0,180),所以A=B=C,

即，ABC為等邊三角形，故A止確.

對(duì)選項(xiàng)B,因?yàn)?a+〃+c)(a+c)=3出?，所以〃2+//-。2=",

一/

所以cosC=/+6

2ab2

又因?yàn)?。＜。＜180，所以NC=60，故C正確.

對(duì)選項(xiàng)C,因?yàn)樗訡為最小角,

19

49+48-13x/3

cosC=--------=——又因?yàn)?。<。<180,所以C=30,故C正確.

2x7x4。2

對(duì)選項(xiàng)D,因?yàn)榘a=焉，所以sin八苧>1,

故，八3c不存在，I）錯(cuò)誤.

故選：ABC

26.在48c中，三個(gè)內(nèi)角分別為4,B,Q下列結(jié)論正確的是（）

A.sin（8+C）=sin4恒成立

B.若4+。2-/>0,則八3c肯定是銳角三角形

C.若sinA>sin8,則A>8

D.若acosA=〃cos4,則三角形A4C必是等腰直角三角形

【答案】AC

【分析】

對(duì)于A,利用誘導(dǎo)公式推斷即可，對(duì)于B,利用余弦定理推斷，對(duì)于C,利用正弦定理結(jié)合

大邊對(duì)大角推斷即可，對(duì)于D,利用余弦定理轉(zhuǎn)化為邊變形推斷

【詳解】

對(duì)于A,因?yàn)槎?c中，8+C=7t-A,所以sin（4+C）=sin（乃一A）=sinA,所以A正確，

對(duì)于B,因?yàn)?+從一02>0,所以cosC=竺也=>0,所以角C為銳角，而,.4執(zhí)：不

2ab

肯定是銳角三角形，所以B錯(cuò)誤，

對(duì)于C,因?yàn)閟inA>sin8,所以由正弦定理得a>〃，所以所以C正確,

對(duì)于D,因?yàn)閍cos4=〃cos8,所以由余弦定理得"乜」一""整理得

2bc2ac

a\b2+c2-a2）=b2（a2+c:-b2）,-b2）（a2+b2-c2）=0,所以或

a2+lr=c2,所以.ABC為等腰三角形或直角三角形，所以D錯(cuò)誤，

故選：AC

20

27.在“3C中，a,b,c為三個(gè)內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊，若(/+c?-6)tan3=G，c,

則角8=()

A.30°B.60°

C.150°D.120°

【答案】BD

【分析】

由余弦定理化邊為角即得.

【詳解】

由題得上士里3人更

2ac2

依據(jù)余弦定理“J知cosBtanB=sinB=—?

2

8=60?；?=120°.

故選：BD.

28.在.ABC中，。，btc分別為ZA,DB,NC的對(duì)邊，下列敘述正確的是()

A.若T=貝「ABC為等腰三角形

cosBcosA

B.若ABC為銳角三角形,則|sinA>cosB

C.StanA+tantanC<0,貝！|八3c為鈍角三角形

D.若。=〃sinC+ccos4,貝!|NC=±

4

【答案】BCD

【分析】

由正弦定理得到sin2A=sin24,求得A="或A+8=],可判定A不正確；由銳角三角

形，得到心卷-巴結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，可判定B正確；由tanA+tan8+tanC<0,

21

得至IJtanAtan8,tanC中肯定有一個(gè)小于()成立，可判定C正確；由正弦定理和兩角和的正

弦公式，化簡(jiǎn)得到lanC=l,可判定D正確.

【詳解】

對(duì)于A中,由—--=———，可得sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，

cosBcosA

7T

因?yàn)锳〃€(。,萬(wàn))，"J得24=28或24=乃一23,即4=8或A+8=—,

2

所以ABC為等腰或直角三角形，所以A不正確：

對(duì)于B中，由4人3c為銳知三角形，可得4+則

22

因?yàn)锳8e(0，W),可得g—8e(0,1),

222

又因?yàn)楹瘮?shù)y=sin.r在xw(0,會(huì)上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以IsinA>sin弓一8)=cos8,

所以B正確；

對(duì)于C中，因?yàn)锳8,Cw(0,;r),由tanA+tanA+tanC<0,

jr

可得tanA,tan及tanC中肯定有一個(gè)小干()成立，不妨設(shè)tanC<0,可得?！?彳,乃)，

所以，ABC為鈍角三角形，所以C正確；

對(duì)于D中，因?yàn)椤?Z?sinC+ccosB,由正弦定埋可得sinA=sin“sinC+sinCeos8,

因?yàn)锳=;r-(3+C),可得sinA=sin(4+C)=sinBcosC+cosAsinC,

所以sin8sinC+sinCcos8=sin8cosc+cosBsinC,可得sinBsinC=sinBcosC,

因?yàn)镃w(0,4),可得sinC>0,所以sinC=cosC,即tanC=l,所以/。=工，所以DiE

4

確.

故選：BCD.

29.下列結(jié)論正確的是()

22

A.在ABC中,若貝！|sinA>sin8

B.在銳角三角形ABC中，不等式/+。2一/>0恒成立

C.在人友?中，若。=￡,a2-c2=bc,則人質(zhì):為等腰直角三角形

D.在AHC中，若。=3,A=60。，三角形面積S=3#,則三角形外接圓半徑為且

3

【答案】ABC

【分析】

運(yùn)用三角形的性質(zhì)，結(jié)合正弦定理、余弦定理、三角形面積公式逐一推斷即可.

【詳解】

解：對(duì)于選項(xiàng)A：在.?八中，若A>B,依據(jù)大邊對(duì)大角，所以。>人,

利用正弦定理,所以2RsinA>2Rsin8,

則sin4>sin8,故選項(xiàng)A正確.

對(duì)于選項(xiàng)B：在銳角三角形A8C中，cosA>0,即.+c-->0,

2bc

故不等式〃2+/一/>。恒成立，故選項(xiàng)B正確.

對(duì)于選項(xiàng)C：在，人區(qū)。中，a2-c2=bc，

由余弦定理可知：a2=b2+c2—2bc-cosA?因此有

c=/?-2ccosA=>sinC=sinB-2sinC-cosA=>sinC=sin(^--A-C)-2sinC-cosA,即

sinC=sin(A-C),因?yàn)镃e(O/),所以sinC=sin(A-C)>0,

因此4-Ce(0，)，所以c=a—c或。+4一。=乃，即2c=4,或A=;r(舍去)，

2C=A=|,所以B=；,故C正確.

對(duì)于選項(xiàng)D：在M8C中.若〃=3,A=60。，三角形面積S=3VJ

所以Ssc=L3c@=36,解得c=4,

ADC22

23

所以a=+/-IbccosA=Vl3，

由正弦定理R=」一w無(wú)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

2sinA3

故選：ABC.

30.在A/?C中，有如下四個(gè)命題正確的有()

A.若ACAB〉0，貝屋A8c為銳角三角形

B.若忸+叫=卜4,貝屋AAC的形態(tài)為直角三角形

C.A3C內(nèi)一點(diǎn)G滿(mǎn)意GA+G3+Gd=0,貝lJG是ABC的重心

D.若PAPB=PBPC=PC,PA，則點(diǎn)尸必為八3c的外心

【答案】BC

【分析】

對(duì)「A,由ACAB>0可得角A為銳角，從而可推斷，對(duì)「B,對(duì)|刖+次;卜,4兩邊平方

化簡(jiǎn)，再結(jié)合余弦定理可得結(jié)論，對(duì)?于C,由向最加法和共線及三角形重心概念推斷，對(duì)

于D,由向量運(yùn)算性質(zhì)和三角形垂心概念可推斷

【詳解】

解:對(duì)于A,由ACMB>0,得卜4,8k054>0,所以cosA>0,所以角A為銳角，但不

能推斷三角形為銳角三角形，所以A錯(cuò)誤，

對(duì)FB,因?yàn)?A+BC=AC,所以即

|BZ|2+|BC2-AC|

|BA|2+2|BA|-|BC|COSB+|^C|2=|AC］，所以—COS8==cosB,得